Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giả bài toán cực trị đại số

Nó đòi hỏi mỗi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướngdẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng,động viên khuyến khích, tạo cơ hội

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Toán học là một môn khoa học tự nhiên, nó ra đời và phát triển gắn liềnvới sự phát triển của xã hội loài người Từ xa xưa con người đã biết đến Toánhọc và khoa học đã khẳng định rằng Toán học là nền tảng của nhiều môn khoahọc khác, các ứng dụng của toán học đưa lại hiệu quả to lớn trong đời sống xãhội và là nền tảng tư duy tri thức rèn luyện kỹ năng, kỷ xảo, phát triển trí tuệ,phẩm chất đạo đức cho mỗi con người Do đó việc dạy và học bộ môn Toánkhông chỉ dừng lại ở việc học thuộc bài toán mà phải phát huy năng lực tư duysáng tạo cho học sinh, trang bị cho học sinh các kỹ năng cần thiết để học sinh cóthể vận dụng một cách linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống Hơn nữa việc đổi mớiphương pháp dạy học ở trường phổ thông phải hướng đến đào tạo nguồn nhânlực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc

tế Nó đòi hỏi mỗi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướngdẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng,động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cáchtích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bàihọc, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh,bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của họcsinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân

Toán học mang tính chính xác rất cao, một bài toán có thể có nhiều cáchgiải song nó chỉ có một đáp số duy nhất Do đó trong quá trình dạy học toán,giáo viên cần phân tích, tìm tòi và giúp học sinh phát hiện bài tập đã cho thuộcdạng toán nào để vận dụng phương pháp giải cho phù hợp Trong quá trình giảitoán, học sinh thường mắc phải những sai lầm mà chính học sinh cũng khôngphát hiện được nên vẫn cứ nghĩ rằng cách giải của mình là đúng Trong nhiềunăm tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán, bản thân tôi nhậnthấy dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (gọi là bài toán cực trị đại số) thìhọc sinh thường mắc phải nhiều sai lầm Từ lý do đó nên tôi chọn sáng kiến kinh

nghiệm “Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị

đại số” để nghiên cứu nhằm tìm ra những sai lầm cơ bản, tìm hiểu nguyên nhân

và hướng khắc phục, giúp học sinh tự tin hơn, chính xác hơn khi giải dạng toánnày

Đổi mới phương pháp dạy học đã và đang diễn ra một cách mạnh mẽ ởtất cả các trường và với mỗi một người giáo viên Đã có nhiều nhà khoa học,nhiều nhà quản lý giáo dục và nhiều giáo viên nghiên cứu, đưa ra những sángkiến hay trong việc đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả giáodục Điểm mới của đề tài này tôi muốn đề cập đến đó là nghiên cứu tìm ranhững sai lầm cơ bản trong việc trình bày bài giải của một bài toán cực trị, từ đótìm ra nguyên nhân và phương pháp khắc phục cụ thể cho từng sai lầm Giúphọc sinh nắm chắc hơn và tự sửa chữa cho mình trong quá trình giải toán, nhằmgây hứng thú học tập, tạo ra niềm say mê môn học trong mỗi một học sinh

Đồng thời giúp tất cả các đối tượng học sinh nắm được phương pháp học tập đểnắm thật chắc chắn kiến thức môn học, đặc biệt là bồi dưỡng, đào tạo nên nhữnghọc sinh giỏi thực sự, tạo nguồn nhân lực tương lai cho đất nước.

II Phạm vi áp dụng:

Sáng kiến này được áp dụng trong việc dạy học phân môn Đại số cấpTHCS, trong việc ôn luyện cho học sinh dự thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.Đặc biệt áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chấtlượng đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh

PHẦN NỘI DUNG

I Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếcchìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoahọc, kinh tế, quân sự trong cuộc sống Chính vì vậy việc dạy và học bộ môntoán trong nhà trường đóng vai trò vô cùng quan trọng Dạy toán chiếm vị trí sốmột trong các môn học của nhà trường, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tựhào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn Để dạy toán và học toán tốt thì thầy

và trò không ngừng rèn luyện và đầu tư trí và lực vào nghiên cứu học hỏi Học

và dạy toán với chương trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đàotạo mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc ngườihọc và người dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thầy và trò phải dày công đầu

tư vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toánhọc do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra người dạy và họctoán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêngmình cùng góp sức để đưa bộ môn toán ngày càng phát triển

Qua quá trình giảng dạy nhiều năm bản thân tôi thấy việc hình thành chohọc sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó làcông việc rất khó Đứng trước một bài toán nếu người thầy chưa hiểu, chưa cóhướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như thế nào, thật khó trong những tìnhhuống như thế người thầy sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, cònhọc sinh đã không giải được toán nhưng lại mất niềm tin ở thầy và cảm thấy việchọc toán là cực hình, là khó vô cùng không thể học được

Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại, một bộ môn khoa học đadạng về thể loại Không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnhcao của trí tuệ nhân loại Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiếnthức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về cực trị trongđại số Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải thường hay xuất hiệnnhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên,

nhiều học sinh không biết giải như thế nào? Có những phương pháp nào? Trongkhi các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành cácphương pháp nhất định, gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, dẫnđến học sinh dễ mắc phải các sai lầm Vì vậy việc nghiên cứu các sai lầm củahọc sinh khi giải các bài toán cực trị đại số là rất thiết thực, giúp giáo viên nắmvững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả,góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi vàgiáo viên giỏi ở các trường THCS Tôi đã tiến hành khảo sát về chất lượng làmbài thi của các em thuộc đội tuyển bồi dưỡng HSG lớp 9 cấp tỉnh, kết quả thuđược như sau:

Bảng 1: Kết quả học sinh làm bài tập về cực trị đại số trong đề thi HSG cấp tỉnh thi HSG c p t nhấp tỉnh ỉnh

Năm học tham giaSố HS

Chưalàmđược

Đã làm nhưngđịnh hướngcách giải sai

Làm đượcnhưngchưa xong

Bảng 2: Kết quả khảo sát 20 học sinh đang tham gia bồi dưỡng

Chưa làm

được

Đã làm nhưng địnhhướng cách giải sai

Làm được nhưngchưa xong

Làm được cảbài

Qua công tác chấm chữa và tìm hiểu học sinh tôi nhận thấy có một sốnguyên nhân như sau:

- Học sinh chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị Đại số

- Học sinh chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức vì bài toán cựctrị liên quan rất chặt chẽ với bài toán chứng minh bất đẳng thức

- Chưa hệ thống, phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải

- Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giảitoán

- Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịunghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sửdụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có

- Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúngchưa.

Qua đó tôi rút ra được một số vấn đề cần được khắc phục trong việc đổimới phương pháp dạy học như sau:

- Phải trang bị cho học sinh nắm chắc chắn các kiến thức cơ bản về bàitoán tìm cực trị Đại số và các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

- Phải phân loại được các dạng toán và xây dựng phương pháp giải phùhợp cho từng dạng toán cực trị

- Tìm ra các sai lầm cơ bản và hướng khắc phục cho từng sai lầm đó

- Yêu cầu học sinh thực hành tư duy tìm hướng giải và trình bày bài giảiVới đặc trưng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy có nhiều

thuận lợi để triển khai nghiên cứu, áp dụng sáng kiến: “Một số sai lầm và

phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số” Sau đây tôi xin đưa

a, Định nghĩa GTNN (Min): Cho biểu thức một biến A(x) được xác định trên

tập D Nếu mọi giá trị của x  D mà A(x)  m (với m  R) (1), dấu đẳng thứcxảy ra tại x = x0 và x0  D (2) ta nói A(x) có giá trị nhỏ nhất là k, tại x = x0

Ký hiệu: Min A(x) = m, tại x = x0

b, Định nghĩa GTLN (Max): Cho biểu thức một biến A(x) được xác định trên

tập D Nếu mọi giá trị của x  D mà A(x) ≤ n ( với n  R) (1), dấu đẳng thứcxảy ra tại x = x0 và x0  D (2) ta nói A(x) có giá trị lớn nhất là n, tại x = x0

Ký hiệu: MaxA(x) = n, tại x = x0

c, Chú ý: - Hai định nghĩa trên vẫn đúng với biểu thức hai biến A(x; y) trở lên

- Để tồn tại cực trị thì điều kiện (1) và (2) đồng thời thỏa mãn

Ví dụ minh họa: Ta xét biểu thức A = (x - 1)2 + (x - 3)2 Rõ ràng A 0, dấubằng xảy ra khi: x - 1 = 0 x = 1



  (điều này vô lý)

Nên ta không thể kết luận MinA = 0 được

* Cách giải đúng:

A = (x - 1)2 + (x - 3)2 = 2x2 - 8x + 10 = 2(x - 2)2 + 2  2Dấu bằng xảy ra khi x = 2 Vậy MinA = 2, khi x = 2

1.1.2, Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Tính chất 1: Giả sử A  Bkhi đó ta có:

a, Max xA f(x) maxxB f(x) b, Min f(x) min f(x)

B x A

Tính chất 2: Nếu f(x,y)  0 với mọi xthuộc D, ta có:

a, Max f(x) max f 2 (x)

D x D

x   b, Min f(x) min f 2 (x)

D x D

x  

Tính chất 3:a, Max f x x D  ( )g x( )Max f x x D 1 ( )Max f x x D 2 ( ) ( 1 )

b, Min f x x D  ( )g x( )Min f x x D 1 ( )Min f x x D 2 ( ) ( 2 )

Dấu bằng trong ( 1 ) xẩy ra khi có ít nhất một điểm x0 mà tại đó f (x)vàg (x)

cùng đạt giá trị lớn nhất Tương tự nếu tồn tại x0thuộc D mà tại đó f , gcùng đạtgiá trị nhỏ nhất thì ( 2 ) có dấu bằng

Tính chất 4: Max f(x) = - min (-f(x))x D x D 1

Tính chất 5: Nếu đặt M Max x D f (x), mminx D f(x) thì Max f x MaxM m

D x D

x f x

f Min

x f Min

D x D

x D

x    

Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng

phải tìm TXĐ Cùng một hàm số f (x) nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nóichung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau Để cho phù hợp với chương trìnhcác lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trịcực trị trên một tập hợp nào đó

- Cộng vế theo vế của hai bắt đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳngthức cùng chiều: a > b và c > d  a + c > b + d

Chú ý: Không được trừ vế theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều

- Trừ vế theo vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳngthức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b và c < d  a – c > b – d

- Nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0  a.c > b.d

- Nâng lên lũy thừa bậc n nguyên dương hai vế của bất đẳng thức

a > b > 0  an > bn (n  N)

a > b  an > bn với mọi n lẻ; a > b  an > bn với n chẵn

- So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương

- Với mọi a ta có: a2 ≥ 0 ; -a2 ≤ 0 Dấu ‘‘=’’ xảy ra  a = 0

- Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì a – b < c < a + b

- Bất đẳng thức Côsi: Augustin Louis Cauchy Nhà Toán học Pháp (1789-1857)

+ Với hai số a, b không âm ta có: a + b ab

2  Dấu “=” xảy ra  a = bMột vài dạng thường gặp: a2 + b2 ≥ 2ab; (a + b)2 ≥ 4ab;

2

a + b

ab 2

+ Với các số a, b, x, y ta có: (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2)

Dấu “=” xảy ra  ay = bx (nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì ta viết x = y

2 Giải pháp 2: Phân tích những sai lầm và nêu hướng khắc phục

2.1, Sai lầm trong chứng minh điều kiện (1):

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 3

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “A có tử số là số

không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét

tử mẫu là các số dương Ta đưa ra một ví dụ: Xét biểu thức B = 21

x - 4

Với lập luận “phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫunhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x = 0, ta sẽ đi đến: Max B = -1

4 khôngphải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 3 thì B =

4

1 5

Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: 4x - 4x + 5 = (2x - 1) + 4 4 2 2  nên tử vàmẫu của A là các số dương Hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó A lớnnhất khi và chỉ khi 1

A nhỏ nhất  4x - 4x + 5 2 nhỏ nhất

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x + y 2 2 biết x + y = 4

Lời giải sai: Ta có: A = x + y 2xy 2 2 

Do đó A nhỏ nhất  x2 + y2 = 2xy  x = y = 2Khi đó Min A = 22 + 22 = 8

Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm Ta mới

chứng minh được f(x, y) g(x, y)  , chứ chưa chứng minh được f(x, y) m  với m

là hằng số

Ta đưa ra một ví dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng x2 ≥ 4x - 4 sẽsuy ra: x2 nhỏ nhất  x = 4x - 4 2  (x - 2) = 0 2  x = 2  Minx = 4 2  x = 2

Dễ thấy kết quả đúng phải là: Minx = 0 2  x = 0

Lời giải đúng: Ta có: x + y = 42 2  x + 2xy + y = 162 2 ( 1 )

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz x + y  y + z z + x

2.3, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau:

Ví dụ 5: Cho x, y là các số dương thỏa mãn: x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Phân tích sai lầm: Ta thấy khi áp dụng hai bất đẳng thức trên, dấu "=" không

2.4, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:

Ví dụ 6: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

2 2

Lời giải sai:

Áp dụng bđt côsi cho hai số không âm x, 1

Từ đó đẳng thức xảy ra thì x = y = 1 không thỏa mãn vì x + y = 1

Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức C = 1 + x + y 2 ?

Lời giải sai: Với hai số thực a, b bất kỳ ta có: 2 a + b = a + b + a - b 2 2  2  2 a + b2

Áp dụng với a = 1 + x ; b = y 2 ta có C = 2  1 + x + y 2 22  2 1 + x + y = 4 2 2

Do đó C = 4 2  -2 C 2   Vậy MinC = -2 và MaxC = 2

Phân tích sai lầm:

Ta thấy 2

1 + x  0 nên C2 = 4 khi và chỉ khi 1 + x2   y 1 + x = y2 2với y ≥ 0

Mà theo giả thiết x2 + y2 = 1 nên x = 0, y = 1, khi đó C = 2,

do đó MinC = -2 là không thỏa mãn Vậy sai lầm xảy ra ở đâu?

Ta thấy trong bất đẳng thức a + b2  2 a + b 2 2  - 2 a + b 2 2 a + b2  2 a + b 2 2

thì dấu bằng thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi a = b ≤ 0; còn dấu “=” thứ hai xảy

ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0 Nếu a, b có giá trị bị hạn chế thì dấu bằng trong cácbất đẳng thức trên có thể không xảy ra

Lời giải đúng:

Vì x2 + y2 = 1 nên y ≥ -1, mặt khác 1 + x 2  1 nên C = 1 + x + y 02 

Do đó MinC = 0 khi x = 1 và y = -1

2.6, Sai lầm khi sử dụng tính chất của dấu giá trị tuyệt đối:

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = x - 1 + x - 2 + x - 3 + x - 4 ?

Lời giải sai: Áp dụng a + b a + b  Dấu ‘‘=’’ xảy ra  ab ≥ 0 ta có

x - 1 + x - 2 = x - 1 + 2 - x  x - 1 + 2 - x = 1, Dấu “=” xảy ra  1 x 2  

x - 3 + x - 4 = x - 3 + 4 - x  x - 3 + 4 - x = 1, Dấu “=” xảy ra  3 x 4  

Do đó D = x - 1 + x - 2 + x - 3 + x - 4 1 + 1 = 2 