ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Mỗi hoäp coù 16 saûn phaåm, trong ñoù moãi saûn phaåm ñeàu coù theå laø chính phaåm hoaëc pheá phaåm vôùi xaùc suaát nhö nhau. Laáy ngaãu nhieân laàn löôït 6 saûn phaåm theo phöông thöùc coù hoaøn laïi thì ñöôïc toaøn chính phaåm. Tính xaùc suaát ñeå hoäp coù chöùa toaøn chính phaåm.Mỗi hoäp coù 16 saûn phaåm, trong ñoù moãi saûn phaåm ñeàu coù theå laø chính phaåm hoaëc pheá phaåm vôùi xaùc suaát nhö nhau. Laáy ngaãu nhieân laàn löôït 6 saûn phaåm theo phöông thöùc coù hoaøn laïi thì ñöôïc toaøn chính phaåm. Tính xaùc suaát ñeå hoäp coù chöùa toaøn chính phaåm.Mỗi hoäp coù 16 saûn phaåm, trong ñoù moãi saûn phaåm ñeàu coù theå laø chính phaåm hoaëc pheá phaåm vôùi xaùc suaát nhö nhau. Laáy ngaãu nhieân laàn löôït 6 saûn phaåm theo phöông thöùc coù hoaøn laïi thì ñöôïc toaøn chính phaåm. Tính xaùc suaát ñeå hoäp coù chöùa toaøn chính phaåm.Mỗi hoäp coù 16 saûn phaåm, trong ñoù moãi saûn phaåm ñeàu coù theå laø chính phaåm hoaëc pheá phaåm vôùi xaùc suaát nhö nhau. Laáy ngaãu nhieân laàn löôït 6 saûn phaåm theo phöông thöùc coù hoaøn laïi thì ñöôïc toaøn chính phaåm. Tính xaùc suaát ñeå hoäp coù chöùa toaøn chính phaåm.Mỗi hoäp coù 16 saûn phaåm, trong ñoù moãi saûn phaåm ñeàu coù theå laø chính phaåm hoaëc pheá phaåm vôùi xaùc suaát nhö nhau. Laáy ngaãu nhieân laàn löôït 6 saûn phaåm theo phöông thöùc coù hoaøn laïi thì ñöôïc toaøn chính phaåm. Tính xaùc suaát ñeå hoäp coù chöùa toaøn chính phaåm.Mỗi hoäp coù 16 saûn phaåm, trong ñoù moãi saûn phaåm ñeàu coù theå laø chính phaåm hoaëc pheá phaåm vôùi xaùc suaát nhö nhau. Laáy ngaãu nhieân laàn löôït 6 saûn phaåm theo phöông thöùc coù hoaøn laïi thì ñöôïc toaøn chính phaåm. Tính xaùc suaát ñeå hoäp coù chöùa toaøn chính phaåm.Mỗi hoäp coù 16 saûn phaåm, trong ñoù moãi saûn phaåm ñeàu coù theå laø chính phaåm hoaëc pheá phaåm vôùi xaùc suaát nhö nhau. Laáy ngaãu nhieân laàn löôït 6 saûn phaåm theo phöông thöùc coù hoaøn laïi thì ñöôïc toaøn chính phaåm. Tính xaùc suaát ñeå hoäp coù chöùa toaøn chính phaåm.

Trường ĐHBK TP HCM ĐỀ THI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Bộ môn Toán ứng dụng Thời gian: 90 phút

4

(Thí sinh được dùng và máy tính cá nhân )

Câu 1(2đ)

Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm Xáùc suất để người thứ nhất và người thứ hai làm ra chính phẩm bằng 0,92 Còn xác suất để người thứ 3 làm ra chính phẩm bằng 0,85 Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, thấy có 2 phế phẩm Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm tiếp theo cũng do người đó sản xuất sẽ có 6 chính phẩm

Câu 2 (2đ)

Thời gian đi từ nhà tới trường của sinh viên A là một đại lượng ngẫu nhiên T (đơn vị là phút) có phân bố chuẩn Biết rằng 68% số ngày A đến trường mất hơn 20 phút và 9% số ngày An đi mất hơn 30 phút

a) Tính thời gian đến trường trung bình của sinh viên A và độ lệch tiêu chuẩn

b) Giả sử sinh viên A xuất phát từ nhà trước giờ vào học 26 phút Tính xác suất để A bị muộn học

Câu 3 (3đ)

Để nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X (triệu đồng) của các hộ gia đình đối với mức độ tiêu dùng Y (kg) về một loại thực phẩm hàng tháng, người ta điều tra ở một số gia đình và thu được bảng số liệu sau đây:

a) Ti nh ca c đ c trưng cu a mẫu trên Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của X đối với Y và tính hệ số tương quan mẫu

b) Với độ tin cậy 0,99, tìm các khoảng tin cậy cho phương sai của mức thu nhập và mức độ tiêu dùng của loại thực phẩm của các gia đình

c) Có tài liệu nói tỷ lệ gia đình có thu nhập cao ( từ 50 triệu trở lên) là 25% Với mức ý nghĩa 0,01 hãy cho nhận xét về độ tin cậy của tài liệu trên

Câu 4 (3đ)

Khảo sát điểm trung bình học tập của một số sinh viên, người ta có số liệu:

(0; 3) (3; 5) (5; 7) (7; 8) (8; 10)

6

22

44

18

10 Với mức ý nghĩa 0,01, hãy kiểm định giả thiết điểm trung bình học tập của các sinh viên trên tuân theo luật phân phối chuẩn

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

ÁP ÁN

Các chữ số gần đúng phải lấy làm tròn 4 chữ số phần thập phân

Các bài kiểm định phải có đầy đủ giả thiết Ho và H 1

Câu 1: ( đ)

Gọi F1 là biến cố lần đầu người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm

Gọi F2 là biến cố lần sau người đó sản xuất ra 8 sản phẩm thì có 2 phế phẩm

P(CN1/F1)= P(CN2/F1) =

2 8

1 0,92 0, 08

0,92 0, 08 0,85 0,15

C

P(CN3/F1) =

2 8

1 0,85 0,15

0,92 0, 08 0,85 0,15

C

2*0, 238852*C 0,92 0, 08  0.522297*C 0,85 0,15  0,176007

Câu 2: ( đ)

T  N(a, 2) thỏa:

( 20) 0,5 ( ) 0, 68 ( ) 0,18 ( 0, 47)

( 30) 0,5 ( ) 0, 09 ( ) 0, 41 (1,34)

P T

P T

Dẫn đến hệ

20

0, 47

22, 5967

1, 34

a

a a













Xác suất sinh viên A đi học trễ:

P(T >26) = 0,5 26 22,5967 0,5 0, 231053 0.26895

5,5247



Câu 3: (3đ)

a) Các đ c trưng mẫu:

Hệ số tương quan: r XY  0, 7311

Phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu: X  3,5875 1,5403 Y

 Khoảng ƯL cho phương sai của X:

120*11, 6975 120*11, 6975

163, 65 83,85



 Khoảng ƯL cho phương sai của Y:

120*5,5522 120*5,5522

; 22, 6042; 44,1166

163, 65 83,85



c) Gọi p là tỉ lệ gia đình có thu nhập cao

Giả thiết kiểm định H0 : p = 25%

Giả thiết đối H1 : p  25%

Tra bảng z 2,58

Tính tckđ: 0

23

0, 25 121

121 1,5221

0, 25*0, 75

z



KL: Chấp nhận H0 (Chưa đủ cơ s để bác bỏ H0 )

Câu 4: (3đ)

Các đ c trưng mẫu: x5,86 s X 1,8386 (s X 1,8478) n100

Giả thiết Kiểm định H0 : Mẫu phù hợp phân phối chuẩn

H1: Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn

Tra bảng 2

0,01(2) 9, 21

p1 = 0.05991 p2 = 0.260073 p3 = 0.412401 p4 =0.14539 p5 =0.122226

0 2, 0302 

    nên chấp nhận H0

Trường ĐHBK TP.HCM ĐE À THI HỌC KỲ MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

ĐỀ THI GỒM 02 TRANG

(Thí sinh được dùng bảng thông dụng và máy tính cá nhân, không dùng tài liệu)

lần lượt rút một quả cầu trong túi (rút xong không trả lại vào túi) Trò chơi kết thúc khi có người rút được quả cầu đen Người đó xem như thua cuộc và phải trả cho người kia số tiền là số quả cầu đã rút ra nhân với 5 USD Giả sử

A là người rút trước và X là số tiền A thu được

a) Lập bảng phân bố xác suất của X

b) Tính EX Nếu chơi 150 ván thì trung bình A được bao nhiêu?





 





2

( , )

0

nếu trái lại

a) Tìm hằng số k

b) Tìm hàm mật độ lề của X và của Y

c) Tính kỳ vọng của Y

Câu 3: Bán kính của một số sản phẩm như sau

Với mức ý nghĩa   0, 05, có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy luật chuẩn ?

Câu 4: Nghiên cứu sự phát triển của một loại cây người ta tiến hành đo đường kính X(cm) và chiều cao Y(m) của một số cây Số liệu ghi trong bảng sau:

Y

X

a) Ước lượng đường kính trung bình của cây với độ tin cậy 99%

b)Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X

c)Những loại cây cao 6m trở lên là cây loại I Hãy ước lượng tỉ lệ cây loại I với độ tin cậy 90%

d)Trước đây chiều cao trung bình của loại cây này là 5 m Số liệu trên lấy ở những cây áp dụng một biện pháp chăm sóc mới Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận xét về tác dụng của biện pháp chăm sóc đó

PHO CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS NGUYỄN BÁ THI

Câu 1:

a) Bảng PPXS cho số quả cầu được rút ra (Z):

7

2 7

6 35

3 35

1 35 Bảng PPXS cần tìm:

35

6 35

3 7

2 7

3 35 b) E(X)= 6

7



 - 0,8571

150*E(X) = 900

7



Câu 2:

a) k=2

ln

1 2

( )

x

x

x y x

f x

x





 









2 1

1

1

y

Y

y

dx

y

x y y

y

x y

y























c) Không có E(Y)

Câu 3:

n=91; x4,1648; s0, 2473

GTKĐ H0: X  N(a=4,1648; (0,2473)2 )

GT H1: X không có phân phối chuẩn

p1 = 3,5 4,1648 0,5 0, 4964 0,5

0, 2473



p2= 3, 7 4,1648 3,5 4,1648 0, 4700 0, 4964

0, 2473 0, 2473

p3= 0,1120

p4=0,2545

p5=0,3111

p6=0,2047

p7=0,0724

p8=0,0152

0 17, 0137 0,05(8 2 1) 11, 07

Bác bỏ H0

Câu 4:

Số liệu bấm máy ( đề không yêu cầu hết):

126, 66 0,8027 6,3191 0, 4568

a) 2,58* 2,3094 0,5958

100

   Khoảng UL: 24,8  0,5958

b) Y = -6,3191 + 0,4568 * X

c) 1, 64* 0,37 *0, 63 0, 0792

100

   Khoảng UL tỷ lệ: 0,37  0,0792 d) GTKĐ H0 : a= 5 m

H1: a  5 m

0

5, 01 5

100 0, 0761 1,96

1,3142

Chấp nhận H0

1

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BỘ MƠN T0ÁN ỨNG DỤNG THỜI LƯỢNG : 90 PHÚT

m 2 m t tờ 4

( SV CHỈ ƯỢC DÙNG MÁY TÍNH CÁ NHÂN VÀ BẢNG TR THƠNG DỤNG)

CÂU I Mỗi hộp có 16 sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là chính

phẩm hoặc phế phẩm với xác suất như nhau Lấy ngẫu nhiên lần lượt 6 sản phẩm

theo phương thức có hoàn lại thì được toàn chính phẩm Tính xác suất để hộp có

chứa toàn chính phẩm

CÂU II Cho vec tơ n ẫu nhiên (X,Y) cĩ hàm mật độ đ n thời:

    



 



0

x

x y

ở nơi khác

a) Xác định a

b) Tính covarian của véc tơ n ẫu nhiên (X, Y)

CÂU III Thốn kê điểm kiểm tra mơn tốn 1(X) và tốn 2 (Y) của một số SV năm

I cĩ bản thốn kê sau:

1) Hãy tính các đ c trưn của mẫu trên , viết phươn trình tươn quan tuyến tính

của Y theo X và tính hệ số tươn quan mẫu

2) Hãy ước lượn điểm trun bình của các mơn tốn trên với độ tin cậy γ=0,95

Y

X

2

3) Qui định SV cĩ điểm trun bình ≥8 thì đạt loại tốt , phịn đào tạo cơn bố tỷ

lệ SV đạt loại tốt của mơn tốn I là 0,39 Hãy cho nhận xét v cơn bố đĩ với mức ý n hĩa α=0,01

CÂU I V

• Thống kê về chiều cao của một loại cây sau hai tháng tuổi cho kết

• quả sau

Độ cao (cm) 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 Số lượng 12 25 27 30 26 22 24 20 14

Với mức ý nghĩa  = 0,01 hãy kiểm định xem mẫu trên có phù hợp với phân phối chuẩn không?

•

CHỦ NHIỆM BỘ MƠN

PGS.TS.N uyễn ình Huy

3

4

HƯỚNG DẪN chi tiết cho câu 1:

Có thể viết lại giả thiết bài này:

Một hộp m 16 sản phẩm được lấy ra n ẫu nhiên từ 1 dây chuy n sản xuất có tỉ lệ chính phẩm là 50% Từ hộp đó n ười ta lấy ra 6 sản phẩm ( có hoàn lại sau mỗi lần lấy) thì được

cả 6 chính phẩm Tìm xác suất hộp ban đầu đó chứa cả 16 chính phẩm

Từ iả thiết có thể thấy ta khôn biết chắc chắn tron hộp ban đầu có bao nhiêu chính phẩm và phế phẩm, các khả năn có thể xảy ra được liệt kê tron 17 trườn hợp như sau:

H0: Hộp có 0 chính phẩm và 16 phế phẩm

H1: Hộp có 1 chính phẩm và 15 phế phẩm

H2: Hộp có 2 chính phẩm và 14 phế phẩm

…………

H16: Hộp có 16 chính phẩm và 0 phế phẩm

Theo côn thức Bernoulli, ta có thể tính được XS xảy ra của từn biến cố như sau:

 

 

 

 

16

1

2

1

4 16

16 6

6

P H (0, 5) (0, 5) (0, 5)

P H (0, 5) (0, 5)

P H (0, 5) (0, 5)

P H (0, 5) (0, 5)

C C

C

Gọi F là biến cố cả 6 sản phẩm lấy ra đ u là chính phẩm

XS cần tìm là: P(H16/F)

Côn thức tươn ứn cần dùn là:

16 16

( / )

( )

( ) P(F/ H ) ( ) P(F/ H ) ( ) P(F/ H )

P H F

P F





(1)

ở đây P(F) cần tính bằn côn thức xác suất toàn phần

Giả sử rơi vào trườn hợp H3, tức là tron hộp ban đầu có 3 chính phẩm tron 16 sản phẩm, thì xác suất lấy cả 6 lần được chính phẩm ( có hoàn lại) sẽ được tính bằn công thức Bernoulli, bằn C6

6(3/16)6(13/16)0 Tính tươn tự cho tất cả các trườn hợp:

5

 

 

6 0

6 6 6 6 6

16

1

2

16

0

16

P F/H ( )

16 16

16 16

P H C (0, 5) (0, 5)

Thay vào côn thức (1), ta tính được:

16

6

16 16 16

6

16

6

16

1

( / )

16

C (0, 5)

16

C (0, 5) C (0, 5) C (0, 5) C (0, 5)

16

0, 000463

k

k





 

  





