Vị trí các tập trên không gian mêtric và mối liên hệ với shape

Kiến thức chuẩn bị

Vị trí các tập trong các không gian mêtric và mối liên hệ với shape ……………………………………………………… 9 2.1 Vị trí đồng luân và sự đồng dạng của các cặp không gian … 9 2.2 Vị trí các tập trong không gian mêtric

Mối liên hệ giữa vị trí các tập trong không gian mêtric với

Luận văn này được thực hiện tại khoa Sau đại học, trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Tạ Khắc Cư, người đã đề xuất vấn đề và hướng dẫn tận tình để tác giả hoàn thành luận văn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán, cùng các thầy cô giáo tổ Giải tích đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này, khi nói đến ánh xạ ta hiểu đó là ánh xạ liên tục

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X, Y là các T2 - không gian ánh xạ f: X  Y được gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ g: Y  X sao cho fg: Y  Y là ánh xạ đồng nhất trên Y

Nếu f: X  Y là r - ánh xạ thì Y được gọi là r - ảnh của X

1.1.2 Nhận xét.i) Mỗi phép đồng phôi là một r - ánh xạ ii) Hợp của hai r - ánh xạ là r - ánh xạ

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là T2 - không gian, A là không gian con của X Khi đó ánh xạ f: X  A được gọi là phép co rút nếu f(a) = a với mọi a  A

Tập A được gọi là cái co rút của X nếu tồn tại phép co rút từ X lên A

1.1.4 Nhận xét Mỗi cái co rút A của X là đóng trong X

1.1.5 Định nghĩa Một tập con đóng X0 của không gian X được gọi là co rút lân cận của không gian X nếu X 0 là một cái co rút của một tập mở U chứa X 0 trong không gian X

1.1.6 Định nghĩa i) Không gian mêtric X được gọi là co rút tuyệt đối đối với mổi không gian mêtric nếu với mỗi đồng phôi h ánh xạ từ X lên một tập con đóng h(X) của một không gian mêtric Y thì h(X) là một cái co rút của

Trong lý thuyết không gian, ký hiệu X thuộc AR chỉ ra rằng X là một AR - không gian Một không gian mêtric X được gọi là co rút lân cận tuyệt đối nếu mọi phép đồng phôi từ X lên một tập con đóng h(X) của không gian mêtric Y đều tạo ra h(X) là co rút lân cận của Y Khi đó, ký hiệu X thuộc ANR cho thấy X là một ANR - không gian.

1.1.7 Chú ý Kí hiệu M là lớp các không gian mêtric hoá được Nếu ta thay “không gian mêtric” bởi “không gian mêtric hoá được” trong Định nghĩa 1.1.6 thì ta viết X  AR(M) và X  ANR(M )

1.2 ĐỒNG LUÂN VÀ THÁC TRIỂN ÁNH XẠ

1.2.1 Định nghĩa Hai ánh xạ g, h: X  Y được gọi là đồng luân nếu tồn tại một ánh xạ f t : I x X  Y sao cho f(0, x) = g(x) và f(1, x) = h(x) với mọi x  X Khi đó họ ánh xạ {ft} được gọi là họ ánh xạ đồng luân nối g với h Ở đây X, Y là các T2 - không gian, I = [0, 1] Khi đó ta ký hiệu f g

1.2.2 Nhận xét Quan hệ đồng luân của các ánh xạ là một quan hệ tương đương

1.2.3 Định nghĩa Cho X0 là không gian con của T2 - không gian X và ánh xạ f 0 : X 0  Y Khi đó ánh xạ f: X  Y được gọi là thác triển liên tục của f0 nếu

1.2.4 Định lý Tập con X0 của T 2 - không gian X là cái co rút của nó khi và chỉ khi mỗi ánh xạ f 0 : X0 Y luôn tồn tại thác triển liên tục f: X  Y

1.2.5 Định lý (Dugundji) Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric X và Y là không gian lồi địa phương Khi đó mọi ánh xạ f: A  Y đều tồn tại thác triển liên tục f': X  Y Hơn nữa tất cả các giá trị của f' đều lấy trong bao lồi conv (f(A)) của tập f(A)

1.2.6 Định lý Giả sử X 0 là không gian con đóng của không gian mêtric X Khi đó a) Nếu X là AR - không gian thì mọi ánh xạ f 0 : X0  Y luôn tồn tại thác triển liên tục f: X  Y b) Nếu X 0 là ANR - không gian thì tồn tại lân cận mở U của X0 trong X sao cho mọi ánh xạ f 0 : X 0  Y đều tồn tại thác triển liên tục f: U  Y

1.2.7 Định lý (Định lý Kuratowski) Với mỗi không gian mêtric X tồn tại một không gian định chuẩn Z và một đồng phôi h của X lên một tập con h(X) của Z đóng trong bao lồi conv(h(X))

1.2.8 Định lý Giả sử X là không gian mêtric Khi đó a) Y là AR( M ) - không gian khi và chỉ khi mỗi tập con đóng X0 của X và mỗi ánh xạ f 0 : X 0  Y đều có thác triển liên tục f: X  Y b) Y là ANR( M ) - không gian khi và chỉ khi mỗi tập con đóng X0 của không gian mêtric X và mỗi ánh xạ f 0 : X0 Y đều có thác triển liên tục f: U  Y, với U là lân cận của X 0 trong X

1.3 DÃY CƠ BẢN, TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BẢN, KHÁI NIỆM SHAPE

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian mêtric và X  M, Y  N, trong đó M, N  AR( M ) Khi đó dãy các ánh xạ liên tục f k : M  N, k = 1, 2, được gọi là W - dãy nếu với mỗi cái compact A  X tồn tại cái compac B  Y sao cho mọi lân cận V của B trong N tồn tại một lân cận U của A trong M sao cho f k U f k 1  U trong V với hầu hết k

Khi đó ta ký hiệu là f {f ,X,Y} k M,N và viết f : X  Y trong M, N

1.3.2 Chú ý Nếu X, Y là các không gian mêtric compact thì W - dãy k M,N f {f ,X,Y} được gọi là dãy cơ bản thoả mãn điều kiện: với mỗi lân cận

V của Y trong N tồn tại lân cận U của X trong M sao cho k k 1

Nếu X = Y, M = N thì dãy cơ bản i X,M {i ,X,X} k M,M được gọi là dãy cơ bản đồng nhất trên X với mọi k = 1, 2,

1.3.3 Định nghĩa Giả sử f{f ,X,Y} k M,N là một W - dãy và gk: M  N, k = 1, 2, là dãy các ánh xạ liên tục thoả mãn điều kiện: Mọi cái compact A  X tồn tại cái compact B  Y sao cho mỗi lân cận V của B trong

N tồn tại lân cận U của A trong M sao cho f k U g k U trong V với hầu hết k

Khi đó g {g ,X,Y} k M,N là một W - dãy

1.3.4 Định nghĩa Giả sử f{f ,X,Y} k M,N là một W - dãy Ta nói

W - dãy g {g ,X,Y} k M,N là W - đồng luân với W - dãy f nếu thoả mãn điều kiện của Định nghĩa 1.3.3 Khi đó ta ký hiệu fWg

1.3.5 Định lý Giả sử X, Y, Z là các không gian mêtric và X  M, Y 

N, Z  P trong đó M, N, P  AR( M ) Nếu f{f ,X,Y}k M,N , g {g ,X,Y} k N,P là các W - dãy thì gf {g f ,X, Z} k k M,P là W - dãy

1.3.6 Định lý Giả sử f{f ,X,Y} k M,N ,f ' {f ,X,Y} k ' M,N , k N,P g {g ,X,Y} , g ' {g ,X,Y} ' k N,P là các W - dãy thoả mãn

1.3.7 Định nghĩa Giả sử f{f ,X,Y} k M,N , g {g ,X,Y} k M,N là hai

W - dãy Ta nói f và g là liên kết nếu f k (x) = gk(x) với mọi x  X, k = 1, 2,

1.3.8 Định lý Giả sử f {f ,X,Y} k M,N , g {g ,X,Y} k M,N là hai W - dãy liên kết Khi đó f

1.3.9 Định nghĩa i) Giả sử X, Y là các không gian mêtric, X  M,

Y  N, với M, N  AR( M ) Ta nói X là W - trội Y rel M, N nếu tồn tại hai

W - dãy f : X  Y trong M, N và g : Y  X trong N, M sao cho Y,N f g iW

Trong không gian AR(M) với các tập compact X và Y, X được gọi là trội cơ bản trên Y nếu tồn tại hai dãy cơ bản f: X → Y trong M, N và g: Y → X trong N, M sao cho f g i Y,N.

1.3.10 Định nghĩa i) Một W - dãy f : X  Y trong M, N được gọi là

W - dãy tương đương rel M, N nếu tồn tại một W - dãy g : Y  X trong N, M sao cho Y,N f g iW và X,M g f Wi Khi đó ta nói rằng X là W - tương đương với Y rel.M, N và viết X

WY rel.M, N ii) Giả sử X, Y tương ứng là các tập compact của AR( M ) - không gian

M, N Ta nói X là tương đương cơ bản với Y rel.M, N nếu tồn tại hai dãy cơ bản f : X  Y trong M, N và g : Y  X trong N, M sao cho f g i Y,N và g f iX,M Khi đó ta viết X

1.3.11 Định nghĩa Hai không gian mêtric X, Y được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại hai ánh xạ f: X  Y, g: Y  X sao cho gf iX và fg iY với iX: X  X , iY: Y  Y là các ánh xạ đồng nhất Khi đó ta viết X h

Y và nói X, Y cùng dạng đồng luân

Nếu hai ánh xạ f, g chỉ thoả mãn điều kiện fg i Y thì ta nói X trội đồng luân trên Y và viết X h