2 Xác định tâm I và tìm bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. Tính thể tích của khối cầu tương ứng.[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC KỲ I – MÔN TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 90 phút
Đề thi:
Bài I: (3 điểm) Cho hàm số y = x4
2 −3 x
2 +5 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào (C); biện luận theo m số nghiệm phương trình:x4 6x2 5 2m0
Bài II: (2,5 điểm)
1) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) sin 2 x, biết F 6 0
2) Xác định m để hàm số y = x4 + mx2 – m – 5 có 3 điểm cực trị
3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2 cos 2x4 sinx trên đoạn
0;
2
Bài III: (1,5 điểm)
1) Giải bất phương trình: 3x 9.3x 100
2) Giải phương trình: lg2x+lg x3−4=0
Bài IV: (3điểm) Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại B, AC = 2a, SA(ABC), góc giữa SB và mặt đáy bằng 600
1) Tính thể tích khối chóp
2) Xác định tâm I và tìm bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích của khối cầu tương ứng
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
I
1)
(2,0đ)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x
4
2 −3 x
2 +5 2
TXĐ D = R ; hàm số chẵn
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên : y’= 2x3 – 6x ; y’ = 0
⇔
x =0 ⇒ y= 5
2
¿
x=±√3⇒ y =−2
¿
¿
¿
¿
¿
Hàm số nghịch biến trên hai khoảng ; 3 ; 0 ; 3 Hàm số đồng biến trên hai khoảng 3 ; 0 ; 3 ; + Cực trị:
yCĐ
5 (0) 2
y
; yCT =y 3 2
+ Giới hạn: lim y x →+∞ =+ ∞ ; limy x→ −∞ =+ ∞ + Bảng biến thiên:
x
- - 3 0 3 +
'
y - 0 + 0 - 0 +
y
+
5
2 +
-2 -2
Đồ thị
0,25
0,5
0,25 0,25 0,25
0,5
+ Giao điểm với trục hoành : (-1; 0) ; (1; 0) + Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
và đi qua các điểm
2; ; 2;
+ Đồ thị như hình vẽ:
Trang 3-3 -2 -1 1 2 3
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x
(1,0đ)
Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm ph.trình:
x x m (1) + Biến đổi (1) về: x
4
2 −3 x
2 +5
2=m
+ Số nghiệm pt là số giao điểmcủa (C) và đường thẳng d: y = m + Biện luận :
-Nếu m < -2 thì (1) vô nghiêm
-Nếu m = -2 hoặc m > 5/2 thì (1) có hai nghiệm -Nếu m = -5/2 thì (1) có 3 nghiệm
-Nếu -2< m < 5/2 tih (1) có 4 nghiệm
0,25
0,25 0,5
(0,75đ)
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) sin 2 x, biết
0 6
F
+ Tìm được : F(x) =
1 cos 2
(1) + Thế x 6
vào (1), tính được
1 4
C
Vậy một nguyên hàm cần tìm là: F(x) =
cos 2
0,25
0,25 0,25
(0,75đ) Xác định m để hàm số y = x
4 + mx 2 – m – 5 có 3 điểm cực trị.
+ y’ = 4x3 + 2mx = 2x(2x2 + m) + Hàm số có 3 cực trị khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 2x(2x2 + m)=0 x = 0 2x2 + m = 0 (2) + ycbt (2) có 2 nghiệm phân biệt x 0 m < 0
0,25
0,25 0,25
(1,0đ)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
0;
2
:
+
2
( ) 2 cos 2 4 sin 2 1 2 sin 4 sin
2 2 sin 4 sin 2
+ Đặt t=sin x ; vì x ∈[0 ; π
2] nên t ∈[0 ; 1] Hàm số trở thành y=− 2√2 t2
+4 t+√2 , t ∈[0 ; 1] + y '=− 4√2t +4 ; y '=0⇔t=√2
2 ∈[0 ;1]
0.25đ
0.25đ
Trang 4
2
2
y y y
+
2
2
2
Miny 2 khi t 0 Minf(x) 2khi x 0
0;25đ
0,25
(0,75đ) Giải bất phương trình:
+ Đặt t = 3x , đk: t > 0 đưa về bpt: t2 – 10t + 9 < 0 + Giải được 1 < t < 9
+ kết quả : 0 < x < 2
0,25 0,25 0,25
(0,75đ) Giải phương trình: lg
2x+lg x3−4=0
+ Đk x > 0 Đưa pt về: lg2
x+3 lg x −4=0
+ Đặt t = lgx : có phương trình : t23t 4 0 t 1 t4
+ Giải ra:
lg x=1
¿
lg x=− 4
¿
⇔
¿
x=10
¿
x =10 −4
¿
¿
¿
¿
¿
¿
0,25 0,25 0,25
(2,0đ)
A
B
C
S
0,25 0,5 0,75
0,25 0,25
Tính thể tích khối chóp:
+ Hình vẽ giải được bài toán
+ Xác định được góc giữa SB
và mặt đáy là góc SBA 600 + Tính
2 2
AC
AB a
;
SA = AB.tan 600 = a 6 + Nêu được công thức tính :
2
V S SA BA SA
+ Tính đúng kết quả:
3 6
a
I
Trang 5IV 2)
(1,0đ)
Xác định tâm I và tìm bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích của khối cầu tương ứng :
+ Chứng minh : SACSBC 1V mặt S(I;r) nhận SC làm đường kính.
+ Tâm I là trung điểm của cạnh SC
bán kính r =
1
2SC =
2 SA AC 2 a a 2 a
+ V=
3
3 3
0,25 0,5 0,25
Chú ý: Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa