Thực hành dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học chủ đề giải bài tập phương trình và bất phương trình vô tỷ ở trường trung học phổ thông

Ch-ơng II Xây dựng một số ph-ơng pháp s- phạm để tạo tình huống giải quyết vấn đề, thiết kế một số bài dạy theo ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề với chủ đề giải bài tậ

Tr-êng §¹i häc Vinh

Mục lục Trang

Phần 1 Mở đầu Phần 2 Nội dung

Ch-ơng I Một số cơ sở lý luận của ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1 Cơ sở khoa học của ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

2.2 Tình huống gợi vấn đề

2.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

3 Bản chất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

4 Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

4.1 Hình thức nghiên cứu

4.2 Hình thức tìm tòi từng phần

4.3 Trình bày nêu vấn đề

5 Dạy học giải bài tập

5.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

5.2 Các yêu cầu trong dạy học và giải bài tập

6 Những biện pháp thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề

7 Quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

7.1 Khái niệm quy trình, quy trình dạy học

7.2 Nguyên tắc thiết lập quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

7.3 Cấu trúc của quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

7.4 Những biện pháp thực hiện quy trình

Ch-ơng II Xây dựng một số ph-ơng pháp s- phạm để tạo tình huống giải quyết vấn đề,

thiết kế một số bài dạy theo ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề với chủ đề giải bài tập ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ ở tr-ờng trung

học phổ thông

I Thực trạng dạy toán hiện nay ở tr-ờng trung học phổ thông

1.1 Một số khó khă th-ờng xảy ra trong lúc dạy học theo ph-ơng pháp phát hiện

và giải quyết vấn đề

1.2 Thực trạng dạy toán hiện nay ở tr-ờng trung học phổ thông

II Một số ph-ơng pháp s- phạm để tạo tình huống giải quyết vấn đề thông qua ph-ơng pháp giải bài tập ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ

2.1 Các nguyên tắc xây dựng ph-ơng pháp tạo tình huống gợi vấn đề

2.2 Các ph-ơng pháp s- phạm để tạo tình huống gợi vấn đề

2.2.1 Biện pháp 1: Giải bài toán mà ng-ời học ch-a biết thuật giải

2.2.2 Biện pháp 2: Khái quát hoá

2.2.3 Biện pháp 3: Phát hiện sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm đó

2.2.4 Biện pháp 4: Đề xuất bài toán t-ơng tự

III Thiết kế một số bài dạy giải bài tập về ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ theo h-ớng phát hiện và giải quyết vấn đề

3.1 Giáo án 1.Giải ph-ơng trình, bất ph-ơng trình vô tỷ bằng ph-ơng pháp biến

Ch-ơng III Thực nghiệm s- phạm

1 Mục đích thức nghiệm

2 Nội dung thực nghiệm

3 Tổ chức thực nghiệm

3.1 Địa điểm và đối t-ợng thực nghiệm

3.2 Thời gian thực nghiệm s- phạm đ-ợc tiến hành trong 2 tháng

3.3 Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện

4 Kết quả thực nghiệm

4.1 Kết quả đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học

4.2 Kết quả kiểm tra

Phần 1: mở đầu

I Lý do chọn đề tài

1 Luật gi²o dục, t³i chuơng I điều 24 đ± x²c định “ph-ơng pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy đ-ợc tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập của học sinh”

Và nghị quyết TW2 (khoá VIII) đề cập về công tác giáo dục và đào tạo có đoạn ghi

rõ ”Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục v¯ đ¯o tạo, khắc phục lối truyền thụ một

chiều, rèn luyện nếp t- duy sáng tạo cho ng-ời học, từng b-ớc áp dụng các ph-ơng pháp tiên tiến, hiện đại hoá vào quá trình dạy học…”

Rồi đến nghị quyết TW6 (khoá IX) lại tiếp tục khẳng định ”…Đổi mới nội dung,

ch-ơng trình, ph-ơng pháp theo h-ớng chuẩn hoá, hiện đại hoá, tăng c-ờng giáo dục t- duy sáng tạo năng lực tự học, tự tu d-ỡng…” Dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề có tác dụng phát huy hoạt động nhận thức tự chủ, tích cực của học sinh, giúp học sinh chiếm lĩnh đ-ợc các tri thức khoa học sâu sắc, vững chắc, đồng thời phát triển trí tuệ, phát triển năng lực sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập, có thể đáp ứng

đ-ợc nhu cầu về đào tạo con ng-ời trong công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá ở n-ớc ta

2 Trên thế giới, hiện nay, xu thế chuyển ph-ơng pháp dạy học sang quan điểm dạy học tích cực đang đựơc nhiều n-ớc quan tâm nh- dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề, dạy học ch-ơng trình hoá, dạy học vận dụng công nghệ tiên tiến

3 ở n-ớc ta, những thập niên gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề tiêu biểu là các tác giả Nguyễn Bá Kim - Vũ D-ơng Thụy, Phạm Văn Hoàn, Vũ Văn Tảo, Trần Văn Hà, Nguyễn Hữu Châu, Nguyễn Lan

Ph-ơng (luận án tiến sĩ), và nhiều luận văn thạc sỹ, khoá luận tốt nghiệp khai thác nghiên cứu ph-ơng pháp dạy học này

4 Thực trạng dạy học ở n-ớc ta hiện nay đang có nhiều bất cập Sách giáo khoa biên soạn theo lối trình bày kiến thức có sẵn nên rất khó khăn cho giáo viên trong dạy học theo h-ớng phát hiện và giải quyết vấn đề Mặt khác, giáo viên tuy ngày càng tiếp cận với ph-ơng pháp dạy học mới nh-ng vẫn không hiệu quả, do còn chịu nhiều ảnh h-ởng của lề lối, phong cách làm việc cũ Ngoài ra, còn có những khó khăn do khách quan đ-a lại nh-: Thời gian hạn chế, lực học của các học sinh trong lớp không đồng

đều…Tình trạng dạy học theo kiểu thuyết trình, thầy đọc, trò chép vẫn còn khá phổ biến làm hạn chế tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh

5 Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình là loại toán mà học sinh đã đ-ợc làm quen từ rất sớm Có thể nói đây là một loại toán khá phức tạp, nhất là toán về ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ Nếu biết vận dụng ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào việc dạy học ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, đặc biệt là giải bài tập về ph-ơng trình, bất ph-ơng trình vô tỷ có thể giúp học sinh lĩnh hội, hình thành rất tốt cách suy nghĩ, tìm tòi, phán đoán để đi đến lựa chọn đ-ợc cách giải phù hợp nhằm giải quyết bài toán tốt hơn

Vì những lí do trên mà chúng tôi chọn đề t¯i “Thực h¯nh d³y hóc ph²t hiện v¯ giải quyết vấn đề thông qua dạy học chủ đề giải bài tập ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ trường phổ thông”

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của khoá luận là xây dựng một số biện pháp tạo tình huống gợi vấn đề, thiết lập một số bài dạy theo ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua chủ đề ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, góp phần phát triển khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, để từ đó có thể tiến hành nhiều quá trình t-ơng tự

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đ-ợc mục đích nghiên cứu trên chúng tôi xác định các nhiệm vụ nghiên cứu sau:

1 Hệ thống hoá cơ sở lý luận về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích bản chất và hình thức tổ chức của dạy phát hiện và giải quyết vấn đề

2 Tìm hiểu, tổng kết tình hình dạy học toán ở tr-ờng phổ thông theo h-ớng vận dụng ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

3 Xây dựng một số biện pháp s- phạm để tạo tình huống gợi vấn đề

4 Thiết kế một số bài dạy theo ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 5.Thực nghiệm s- phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của ph-ơng pháp đã đề xuất

IV Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng tốt ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào việc dạy cho học sinh giải bài tập phần ph-ơng trình, bất ph-ơng trình vô tỷ thì phát huy

đ-ợc tính tích cực, năng động, sáng tạo của học sinh Có thể giúp học sinh có đ-ợc cách thức tốt khi nhìn nhận và giải quyết bài toán về ph-ơng trình, bất ph-ơng trình vô tỷ, cũng nh- các bài toán khác Từ đó góp phần nâng cao chất l-ợng dạy và học toán ở tr-ờng phổ thông

V Ph-ơng pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lí luận:

Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ, các tài liệu về tâm lí học, giáo dục học, ph-ơng pháp dạy học bộ môn, sách giáo khoa

và các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài

2 Điều tra, tổng kết kinh nghiệm

Thăm dò và quan sát giáo viên ở tr-ờng trung học phổ thông nơi thực tập

3.Thực nghiệm s- phạm

Tiến hành dạy một số bài ở tr-ờng trung học phổ thông nơi thực tập để kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài

VI Đóng góp của luận văn

Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và giáo viên ngành toán khi nghiên cứu về thực hành ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học chủ đề giải bài tập ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ ở tr-ờng trung học phổ thông

VII CÊu tróc cña luËn v¨n

PhÇn III KÕt luËn

1.2 Cơ sở tâm lí học

Theo các nhà tâm lí học, con ng-ời chỉ bắt đầu t- duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu t- duy, tức là khi đứng tr-ớc một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề Như Rubinstein đ± nõi: “Tư duy s²ng t³o luôn bắt đầu b´ng một tình huống gợi vấn đề”

Theo tâm lí học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình, trong đó ng-ời học xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm nghiệm mới với những tri thức đã có Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với quan điểm này

1.3 Cơ sở giáo dục học

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi đựơc hoạt động học tập mà chủ thể đ-ợc h-ớng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi d-ỡng phẩm chất Những tri thức mới (đối với học sinh) đ-ợc kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ học sinh đ-ợc học cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng góp phần bồi

d-ỡng cho ng-ời học những đức tính cần thiết của ng-ời lao động sáng tạo nh- tính chủ động, tích cực, tính kiên trì, v-ợt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

là một vấn đề

2.2 Tình huống gợi vấn đề (hay tình huống vấn đề): Là tình huống gợi ra cho học

sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng v-ợt qua nh-ng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một qúa trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối t-ợng hoạt động hoặc điều khiển kiến thức sẵn có

Nh- vậy, tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các điều kiện sau:

Thứ nhất là phải tồn tại một vấn đề, tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức đ-ợc một khó khăn trong t- duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có ch-a đủ để v-ợt qua

Thứ hai là phải gợi nhu cầu nhận thức Nếu tình huống có một vấn đề nh-ng vì

lí do nào đó học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết, chẳng hạn họ thấy vấn đề xa lạ, không liên quan gì tới mình thì đó cũng ch-a phải là một tình huống gợi vấn đề Điều quan trọng là tình huống phải gợi nhu cầu nhận thức, chẳng hạn làm bộc

lộ sự khiếm khuyết về kiến thức và kỹ năng của học sinh để họ cảm thấy cần thiết phải

bổ sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri thức, kỹ năng bằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh

Thứ ba là phải khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân Nếu một tình huống tuy

có vấn đề và học sinh tuy có nhu cầu giải quyết nh-ng nếu họ cảm thấy vấn đề v-ợt quá xa so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn

đề Tình huống cần phải khơi dậy cho học sinh cảm nghĩ là tuy họ ch-a có ngay lời giải nh-ng đã có một số tri thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hi vọng giải quyết đ-ợc vấn đề đó Nh- vậy là học sinh có

đ-ợc niềm tin ở khả năng huy động tri thức và kỹ năng sẵn có để giải quyết hoặc tham gia giải quyết vấn đề

Ví dụ: Giả sử học sinh lớp 10 sau khi đã đ-ợc học cách giải ph-ơng trình bậc hai

giáo viên yêu cầu học sinh tìm cách giải bài toán dạng: au2bv2 cuv;(trong đó

2.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là kiểu dạy học mà thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt đ-ợc những mục đích học tập khác

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau đây:

Thứ nhất, học sinh đ-ợc đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là đ-ợc thông báo tri thức d-ới dạng có sẵn

Thứ hai, học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

Thứ ba, mục đích dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chổ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình nh- vậy Nói cách khác, học sinh đ-ợc học bản thân việc học

3 Bản chất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Nét bản chất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là tình huống gợi vấn

đề Trong một giờ học nào đó, thầy giáo có thể đặt ra nhiều câu hỏi, nh-ng nếu các câu hỏi này chỉ đòi hỏi tái hiện tri thức đã học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Ng-ợc lại trong một số tr-ờng hợp, việc phát hiện

và giải quyết vấn đề của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra

Nh- vậy, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là sự tổ chức quá trình dạy học bao gồm việc tạo ra tr-ớc học sinh những tình huống gợi vấn đề, kích thích hứng thú giải quyết vấn đề nảy sinh của học sinh, lôi cuốn họ vào hoạt động nhận thức nhằm lĩnh hội, nắm vững kiến thức, kĩ xảo mới, phát triển tính tích cực trí tuệ và hình thành cho học sinh năng lực tự mình thông hiểu và lĩnh hội thông tin khoa học mới

4 Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Có nhiều cách phân chia các hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nh- của giáo s- Nguyễn Cảnh Toàn, giáo s- Nguyễn Bá Kim, Vũ D-ơng Thụy…Các cách

phân chia đều có đặc điểm chung là đều dựa trên những thể hiện mức độ tính tích cực khác nhau Trong khoá luận này, chúng tôi đã thống nhất sẽ dùng theo cách phân loại của giáo s- Nguyễn Bá Kim Có 3 hình thức nh- sau:

4.1 Hình thức nghiên cứu:

ở hình thức này, tính độc lập của ng-ời học đ-ợc phát huy cao độ Giáo viên chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, để học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề Có thể châm ch-ớc một chút - giáo viên giúp học sinh cùng lắm là ở khâu phát hiện vấn đề

4.2 Hình thức tìm tòi từng phần:

Giáo viên tạo tình huống, học sinh tự phát hiện từng phần của vấn đề d-ới sự h-ớng dẫn của giáo viên (dự đoán, lập kế hoạch thực hiện, trình bày, kiểm tra, vận dụng) ở hình thức này tính độc lập của học sinh thấp hơn ở hình thức trên

4.3 Trình bày nêu vấn đề:

Giáo viên nêu và giải quyết toàn bộ vấn đề nh-ng trình bày lôgic cách tìm lời giải Học sinh học tập cách nêu và giải quyết vấn đề của thầy, tham gia vào giải quyết cùng thầy nếu có thể Hình thức này tính độc lập của ng-ời học thấp hơn hai hình thức trên Trong dạy học có sự pha trộn giữa các hình thức nêu trên

5 Dạy học giải bài tập

5.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán, là giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, qui tắc hay ph-ơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Vai trò của bài tập toán học đ-ợc thể hiện cả trên ba bình diện

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở tr-ờng phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện ở mức đạt mục tiêu Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau h-ớng

đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt

động liên hệ với những nội dung nhất định, là một ph-ơng diện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đ-ợc trình bày trong phần lý thuyết

Thứ ba, trên bình diện ph-ơng pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt

động để ng-ời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác

Trong thực tiễn dạy học, bài tập đ-ợc sử dụng với những dụng ý khác nhau về ph-ơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là ph-ơng tiện để

đánh giá mức độ, kết quả dạy và học khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh

Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên

5.2 Các yêu cầu trong dạy học giải bài tập

- Chú ý tới chức năng sử dụng bài tập: Rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, gây hứng thú học tập, rèn luyện thao tác t- duy kiểm tra hoặc hình thành kiến thức mới,…

- Hoạt động chủ đạo là tìm tòi lời giải

Chú ý tới việc rèn luyện t- duy thuật toán (giải ph-ơng trình, dựng hình, tìm tập hợp điểm, ) và t- duy phi thuật toán (tiên đoán, ph-ơng pháp không mẫu mực,…) Giáo viên cần phân loại các hệ thống bài tập nhằm rèn luyện một số t- duy sáng tạo cho học sinh nh- tính mềm dẻo; tính nhuần nhuyễn; tính độc lập; tính thuận nghịch;…

6 Những biện pháp thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề

Tạo tình huống có vấn đề tức là thiết lập đ-ợc hệ thống câu hỏi có vấn đề, đặt ra tr-ớc học sinh một nhiệm vụ nào đó để các em có thể hiểu ích lợi của việc giải quyết nhiệm vụ đó về mặt nhận thức, cũng nh- về mặt thực tiễn, đồng thời các em cũng gặp phải một số khó khăn do nhận thức ch-a đầy đủ Nh-ng sự thiếu thốn đó còn có thể khắc phục đ-ợc nhờ sự nổ lực của trí tuệ

Việc tạo ra tình huống gợi vấn đề cần phải dựa vào sự không phù hợp giữa hiểu biết

cũ mà học sinh đã có với những yêu cầu đặt ra cho họ khi giải quyết nhiệm vụ mới trong học tập hay trong thực tiễn

Các tr-ờng hợp xây dựng tình huống gợi vấn đề có thể theo ba b-ớc đi chủ yếu là:

+ Tái hiện kiến thức cũ

+ Đ-a ra hiện t-ợng có mâu thuẫn với kiến thức mới

+ Phát biểu vấn đề (nêu rõ vấn đề cần giải quyết)

Việc tạo ra trong giờ học những tình huống gợi vấn đề và tổ chức cho học sinh tự mình v-ợt qua có thể kích thích t- duy tích cực, độc lập, sáng tạo, hứng thú học tập cho học sinh Giáo s- Nguyễn Bá Kim đã đ-a ra một số biện pháp thông dụng nh- sau:

Biện pháp 1: Dự đoán nhờ trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc…) Biện pháp 2: Lật ng-ợc vấn đề

Biện pháp 3: Xem xét t-ơng tự

Biện pháp 4: Khái quát hoá

Biện pháp 5: Giải bài tập mà ng-ời học ch-a biết thuật giải

Biện pháp 6: Tìm sai lầm trong lời giải

Biện pháp 7: Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sữa chữa sai lầm

7 Qui trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

7.1 Khái niệm qui trình, qui trình dạy học

+ Qui trình là một tổ hợp các thao tác đ-ợc tiến hành theo một trình tự nhất định, tạo nên một sản phẩm nhất định

+ Qui trình dạy học là tổ hợp thao tác của giáo viên hoặc học sinh trên một đối t-ợng nhận thức nào đó, đ-ợc tiến hành theo trật tự nhất định, nhằm đạt đ-ợc mục

đích dạy học đã định

7.2 Nguyên tắc thiết lập qui trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Cơ sở để vạch ra các b-ớc cơ bản trong qui trình dạy học là cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ, cấu trúc lôgic nội dung dạy học và cấu trúc hoạt động của thầy và trò trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

+ Cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ:

Phát hiện mâu thuẫn giữa tri thức mới và tri thức cũ, từ đó nảy sinh tình huống gợi vấn đề và hoạt động trí tuệ bắt đầu đ-ợc tiến hành

+ Cấu trúc lôgic của nội dung dạy học:

Lôgic khoa học, con đ-ờng hình thành và phát triển lôgic, các hoạt động t-ơng thích với nó

+ Cấu trúc hoạt động của thầy và trò:

Giáo viên không cung cấp thông tin sẵn có mà chỉ đặt ra các tình huống liên tiếp để h-ớng ý nghĩ của học sinh vào việc nghiên cứu, phân tích đối t-ợng và tìm cách giải quyết Giáo viên phải tìm đ-ợc cấu trúc lôgic của nội dung dạy học, từ đó kết hợp với qui tắc hình thành và diễn biến của quá trình tâm lí mà tìm biện pháp không ngừng nâng cao tính sẵn sàng học tập của học sinh Ph-ơng tiện điều khiển chủ yếu hoạt

động của học sinh là hệ thống câu hỏi có tính vấn đề Học sinh lĩnh hội tri thức và cách tìm kiếm Trong quá trình đó tính tích cực, độc lập của học sinh luôn luôn đ-ợc phát huy khi đứng tr-ớc yêu cầu do chính đối t-ợng đặt ra, học sinh sẵn sàng tìm hiểu nguyên nhân, bản chất của hiện t-ợng

Cứ thế, lôgic phát triển của ph-ơng pháp dạy học cũng mang tính chất gây ra tình huống có vấn đề và ý nghĩa khách quan của vấn đề biến thành ý nghĩa chủ quan của học sinh khiến họ phải tìm h-ớng giải quyết

7.3 Cấu trúc của quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Thông qua định nghĩa dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nêu ở 2.3 và nguyên tắc thiết lập qui trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ở 7.2, ta thấy yêu cầu chính của kiểu dạy học này là điều khiển quá trình nghiên cứu của học sinh Có một

số cách chia ra các b-ớc xây dựng qui trình của tác giả nh- Nguyễn Bá Kim - Vũ

D-ơng Thụy, G.polia…Chúng tôi xin đ-a ra qui trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nh- sau:

B-ớc 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

+ Đ-a học sinh vào tình huống gợi vấn đề

+ Thực hiện lời giải

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng

+ Kiểm tra tính hợp lí, tối -u của lời giải

+ Phát biểu chính xác vấn đề (kiến thức mới cần lĩnh hội)

+ Xét khả năng ứng dụng của nó

+ Vận dụng vào tình huống mới

Trong các dạng bài toán cụ thể, không đòi hỏi thực hiện đầy đủ các b-ớc nêu trên

mà có thể tuỳ điều kiện linh hoạt biến đổi (bớt một số b-ớc) cho phù hợp

Ví dụ: Dạy giải bài tập: Giải ph-ơng trình: x+ 2

2 x = 2 x2 2x 2B-ớc 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

+ Đ-a học sinh vào tình huống gợi vấn đề:

- Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki

- áp dụng để tính giá trị lớn nhất của Px+ 2

2 x + Phân tích tình huống đó: Ta đã tìm đ-ợc giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa biến

+ Đặt vấn đề: Giải ph-ơng trình: x+ 2

2 x =2 x2  2x 2 B-ớc 2: Giải quyết vấn đề

+ Phân tích mối quan hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm: Cái đã biết là VT  2 Cần tìm x để VT VP

+ Đề xuất h-ớng giải quyết: Dùng ph-ơng pháp đánh giá dẫn tới việc đi tìm giá trị nhỏ nhất của VP

+ Thực hiện lời giải:

+ Kiểm tra tính hợp lí, tối -u của lời giải: Lời giải đã tối -u ch-a? Lời giải đã tối -u

+ Vận dụng vào tình huống mới:

Giải ph-ơng trình: sinx 2  sin2x = 21  cos2 x

7.4 Những biện pháp thực hiện qui trình

Nói tóm lại thực chất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là tạo điều kiện để học sinh đ-ợc học tập trong hoạt động và bằng hoạt động của chính mình Khi đó tính tích cực sẽ đ-ợc phát huy tối đa ở mỗi học sinh Vì vậy, có thể nói ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đã tích cực hoá đ-ợc ng-ời học, sự học qua các hình thức tổ chức, các giai đoạn của qui trình dạy học và các biện pháp sử dụng trong các giai đoạn đó

Ch-ơng II: Xây dựng một số biện pháp s- phạm để tạo tình huống gợi vấn đề, thiết kế một số bài dạy theo ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề với chủ đề giải bài tập ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ ở tr-ờng THPT

I Thực trạng dạy toán hiện nay ở tr-ờng THPT

1 Một số khó khăn th-ờng xảy ra trong lúc dạy học theo ph-ơng pháp phát hiện

và giải quyết vấn đề

+ Đội ngũ giáo viên th-ờng sử dụng ph-ơng pháp truyền thống do thói quen tâm lí ngại thay đổi Hơn nữa, các tài liệu và thông tin về ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề họ không có hoặc có ít và cũng ch-a hiểu sâu sắc về chúng

+ Tài liệu tham khảo đ-ợc viết theo kiểu có sẵn, ít hệ thống hoá kiến thức và h-ớng dẫn cách học mà chỉ đơn thuần lời giải và h-ớng dẫn giải, tạo cho học sinh thói quen ỷ lại theo kiểu học ghi nhớ

+ Để dạy học tốt một giờ dạy theo ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, ng-ời giáo viên phải chuẩn bị thật kĩ càng và chu đáo, đòi hỏi phải đầu t- thời gian và tài liệu, phải hình dung đ-ợc mức độ tiếp thu của học sinh để đ-a ra vấn đề, tình huống gợi vấn đề phù hợp nhằm gây hứng thú học tập cho hoc sinh Do đó ng-ời giáo viên phải có trình độ chuyên môn, nghiệp vụ cao, có tâm huyết Khó khăn đặt ra

là trình độ giáo viên còn nhiều hạn chế, thời gian và tâm huyết với nghề còn khiêm tốn

do giáo viên còn phải lo lắng nhiều về cuộc sống

+ Về phần học sinh, do thói quen từ tr-ớc, học một cách thụ động nên những kiến thức cũ th-ờng không nhớ, còn lẫn lộn giữa kiến thức cũ và mới Bởi thế, nhiều khi giáo viên đ-a ra tình huống gợi vấn đề mà học sinh cũng ch-a phát hiện ra vì họ ch-a hiểu đ-ợc cái gì mới cần giải quyết và cái gì đã biết, dẫn đến việc dạy học theo ph-ơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề bị giảm đi

+ Trong lớp, nói chung trình độ học sinh không đồng đều nên xây dựng một bài học theo h-ớng phát hiện và giải quyết vấn đề rất phức tạp, bởi lẽ một vấn đề nêu ra,

đối với đối t-ợng này là tình huống gợi vấn đề nh-ng đối với một số đối t-ợng khác

không là tình huống gợi vấn đề Vì thế, giáo viên ch-a nghiên cứu thật kĩ ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thì rất khó khăn để hoàn thành tốt việc cá biệt hoá nội dung giảng dạy

2 Thực trạng dạy toán hiện nay ở tr-ờng THPT

Qua các tiếp xúc, trao đổi với các giáo viên và học sinh ở tr-ờng phổ thông, chúng tôi nhận thấy ở tr-ờng phổ thông thực trạng dạy học có một số đặc điểm sau:

Mặc dù đ± cõ hướng “c°i tiến” để ph²t huy tính tích cực cða hóc sinh nhưng gi²o viên gi°ng d³y còn mang nặng tính “truyền thống” Tuy gi²o viên đ± cõ ý thức lựa chọn ph-ơng pháp dạy học chủ đạo trong mỗi tình huống điển hình ở môn toán, nh- dạy học khái niệm theo ph-ơng pháp thuyết trình, dạy học định lí theo ph-ơng pháp tìm tòi nêu vấn đề, dạy học giải bài tập theo ph-ơng pháp tái hiện Nh-ng những ph-ơng pháp dạy học có khả năng phát huy đ-ợc tính tích cực, độc lập, sáng tạo ở học sinh nh- dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thì ít giáo viên sử dụng vì cho rằng khó thực hiện do thời gian một giờ học hạn chế, khối l-ợng kiến thức qui định thì nhiều, và sẽ bỏ rơi số đông học sinh trong lớp Và cũng có một số giáo viên trẻ sử dụng ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nh-ng còn lúng túng và ít hiệu quả

Ph-ơng pháp dạy học môn toán chủ yếu là thuyết trình và vấn đáp Phần lí thuyết giáo viên th-ờng dạy từng chủ đề theo các b-ớc: Đặt vấn đề, giảng giải để học sinh dẫn tới kiến thức, kết hợp uốn nắn những lệch lạc nếu có, củng cố kiến thức bằng bài tập, h-ớng dẫn công tác học ở nhà Về phần luyện tập: Học sinh chuẩn bị bài tập ở nhà, hoặc ít phút tại lớp giáo viên gọi vài em học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên chữa và đ-a ra lời giải mẫu, và qua đó củng cố kiến thức cho học sinh Bài toán sẽ phát triển theo h-ớng khái quát hoá hoặc đặc biệt hoá cho những đối t-ợng học sinh khá, giỏi

Việc rèn luyện t- duy lôgic cho học sinh không đồng đều, th-ờng chú ý đến việc rèn luyện t- duy suy diễn, coi nhẹ khả năng qui nạp, coi nhẹ việc dạy bằng ph-ơng pháp phân tích, ít chú ý tới việc rèn luyện t- duy biện chứng cho học sinh qua các cặp

phạm trù: chủ quan – khách quan; bản chất – hiện t-ợng; cái chung – cái riêng, có chăng thì chỉ chú ý đến mặt mâu thuẫn giữa chúng

Đội ngũ giáo viên tr-ớc đây đ-ợc đào tạo theo ph-ơng pháp truyền thống, giáo viên còn sử dụng nhiều ph-ơng pháp thuyết trình và đàm thoại Các nhiệm vụ học tập th-ờng đ-ợc giáo viên đ-a ra một cách áp đặt cho cả lớp, ít chú ý tới nhu cầu, hứng thú của học sinh đối với các nhiệm vụ đó

Thực trạng dạy học toán hiện nay ở các tr-ờng phổ thông ch-a phát huy đ-ợc tính tích cực của học sinh, ch-a triển khai đ-ợc ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Hơn nữa tài liệu về ph-ơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề chủ yếu là phần lý thuyết, viết chung chung ch-a có sự áp dụng cụ thể cho từng phân môn Việc dạy học nh- vậy sẽ dẫn đến tình trạng là nắm công thức một cách máy móc

mà không thật sự hiểu rõ bản chất của chúng Trong việc dạy học ph-ơng trình, bất ph-ơng trình vô tỷ vì không nắm chắc các phép biến đổi t-ơng đ-ơng nên dẫn đến các b-ớc giải sai lầm

Ví dụ: Giải bất ph-ơng trình: x 1  x 2(1)

Lời giải sai lầm:

0 2

0 1

x x

2

1

2

x x x x

5 5

0 2

0 1

0 2

x x

x x x

5 5 2 1 2

x x

x x

1 2

II Một số biện pháp sự phạm để tạo tình huống gợi vấn đề thông qua ph-ơng pháp dạy học giải bài tập ph-ơng trình và bất ph-ơng trình vô tỷ

2.1 Các nguyên tắc xây dựng biện pháp tạo tình huống gợi vấn đề

2.1.1 Đảm bảo phù hợp với các yêu cầu của một tình huống gợi vấn đề

2.1.2 Bảo đảm sự phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh (tập thể nói chung, từng học sinh nói riêng) tức là đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức chung và tính vừa sức riêng trong dạy học

2.1.3 Đảm bảo phù hợp với việc dạy giải các bài tập

2.1.4 Đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò điều khiển của thầy với vai trò tự giác, tích cực độc lập của học sinh

2.2 Các biện pháp sự phạm để tạo tình huống gợi vấn đề

2.2.1 Biện pháp 1: Giải bài toán mà ng-ời học ch-a biết thuật giải

Khi học sinh đựơc giao một bài tập mà họ ch-a biết thuật giải để giải trực tiếp thì tức là tình huống có bao hàm một vấn đề Vấn đề này gợi nhu cầu nhận thức và khơi dậy ở họ niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kỹ năng của bản thân vào việc giải quyết vấn đề, bởi vì kinh nghiệm từ quá tình học tập cho thấy rằng mỗi bài tập thầy ra đều dẫn đến một tri thức bổ ích, hoặc giúp củng cố một tri thức đã học hay rằng luyện một kỹ năng nào đó, và họ cũng thấy rằng khi giải những bài tập nh- vậy chỉ cần sử dụng những tri thức đã đ-ợc học

Tuy vậy, tình huống này cũng có những hạn chế sau:

Thứ nhất, việc gợi nhu cầu giải quyết vấn đề và khơi dậy ở học sinh niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kỹ năng của bản thân còn phụ thuộc quá trình làm việc của thầy giáo Trong quá trình dạy học, nếu thầy đã ra quá nhiều bài tập xa lạ

đối với yêu cầu của ch-ơng trình quá khó đối với đa số học sinh thì tác dụng gợi nhu cầu nhận thức và khơi dậy niềm tin vào khả năng huy động tri thức, kỹ năng

của bản thân học sinh trong tình huống bài tập nói chung sẽ bị giảm sút hoặc không còn Trong tr-ờng hợp đó, tình huống này ch-a chắc đã là tình huống gợi vấn đề

Thứ hai, trong tình huống này nói chung vấn đề đ-ợc nêu sẵn trong bài toán, học sinh ít có điều kiện rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề

Chính vì những hạn chế nói trên, tình huống này cần đ-ớc sử dụng phối hợp cùng vói những cách tạo tình huống khác nữa Và nói chung không thể tuyệt đối hoá chỉ một cách tạo tình huống nào đó để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: 4x 1  3x 2 x 3 (1)

Rõ ràng học sinh ch-a đ-ợc học một thuật giải trực tiếp nào để giải bài toán Tuy vậy những căn thức xuất hiện trong ph-ơng trình đều ở dạng đơn giản, không quá khó đối với học sinh, bài toán này là một tình huống gợi vấn đề

Thông th-ờng học sinh sẽ cố gắng đ-a ph-ơng trình trên về dạng ph-ơng trình cơ bản đã biết cách giải (nhờ phép biến đổi t-ơng đ-ơng) nh-ng có lẽ họ sẽ lúng túng khi cố gắng biến đổi Giáo viên có thể gợi ý để họ nhận xét hiệu

2 3 1

0 3

x x

x

(L-u ý cho học sinh là: Vì 4x 1  3x 2  0 với  x nên khi nhân hai vế của (1) với 4x 1  3x 2 ta đ-ợc một ph-ơng trình t-ơng đ-ơng)

(2)

Ph-ơng trình (2) là một ph-ơng trình đơn giản, học sinh chỉ cần thực hiện các phép biến đổi t-ơng đ-ơng là sẽ giải đ-ợc

Giáo viên yêu cầu học sinh giải ph-ơng trình (2) theo cách khác, nếu cần thiết

có thể gợi ý cho học sinh: Từ điều kiện

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình:   2   2

4 3 1 7 3 1

 2  2 2   2

1 3

t     (2) Bây giờ bài toán đã trở nên đơn giản, chỉ cần học sinh vận dụng những kiến thức và kĩ năng sẵn có là có thể giải ra đ-ợc t  1

1  x Với gợi ý đó học sinh sẽ nghĩ tới việc nhân 2 vế của (1) với biểu thức  2

4 3

1  x(Giáo viên cần l-u ý học sinh là do 1  3x 42  0 x, nên bất ph-ơng trình (1)

không đổi dấu khi ta nhân 2 vế của chúng với  2

4 3

1  x ) để đ-ợc bất ph-ơng trình:  2 2    2

1 9 7 3 4 3 1 1

9 x  x  x x (3)

Đến đây học sinh rất có thể mắc phải sai lầm là biến đổi

(3) 1  3x 42  3x 7 Nh- vậy là họ bỏ qua tr-ờng hợp x  1 Điều này sẽ dẫn đến sai lầm, cụ thể là sẽ làm sót nghiệm Cách biến đổi đúng nh- sau:

1

2

x x

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình: x3  3 3 3x 2  2 (1)

Thoạt nhìn, bài toán có vẻ đơn giản nên học sinh sẽ cố gắng đ-a về các ph-ơng trình cơ bản Nh-ng họ sẽ gặp khó khăn do đ-a về ph-ơng trình có bậc quá cao Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh là tuy ph-ơng trình trên chỉ có 1 ẩn, nh-ng nếu

cứ dùng các phép biến đổi t-ơng đ-ơng thì rất khó giải Để bài toán có thể trở nên

dễ giải hơn, ta chỉ còn cách phát hiện các ẩn phụ, chuyển việc giải bài toán 1 ph-ơng trình 1 ẩn phụ trên thành hệ ph-ơng trình nhiều ẩn nh-ng dễ giải hơn Cụ thể là ta tìm cách đặt 1 ẩn phụ để chuyển ph-ơng trình (1) thành hệ đối xứng đối với ẩn phụ và ẩn x Vậy ta nên chọn ẩn phụ nh- thế nào?

2 3

3 3

x u u x

Hệ trên là hệ đã biết cách giải và học sinh dễ dàng giải đ-ợc Giáo viên yêu cầu

học sinh tự giải và cho kết luận về nghiệm của ph-ơng trình

Sau đó giáo viên ra các bài tập t-ơng tự sau:

Giải các ph-ơng trình:

1 2 2

Rõ ràng nếu dùng các phép biến đổi thông th-ờng thì khó có thể giải đ-ợc bất

ph-ơng trình Vì vậy, cần phân tích, nghiên cứu mối quan hệ của các biểu thức có

mặt trong bất ph-ơng trình:

Giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích: 2x2  6x 8  2x 22  2x

Việc phát hiện đ-ợc mối liên hệ đó cho phép ta thu đ-ợc:

(1)  2x 22  2x  x 2  x

mà dạng tổng quát của bất ph-ơng trình có dạng: u2 v2uv

2Nếu học sinh ch-a nhìn ra đ-ợc cách giải thì giáo viên có thể yêu cầu học sinh

viết lại bất đẳng thức Bunhicôpxki đối với 2 cặp số (u;v) và (1;1):

Đây là một ph-ơng trình cơ bản mà việc giải không có gì khó khăn Học sinh có

thể giải nó theo nhiều cách

t t

(loại)

x x

x x

2

2

x x

x

4 4

Vậy bất ph-ơng trình có nghiệm duy nhất là x 4

Sau khi học sinh giải xong bài toán giáo viên ra thêm các bài toán t-ơng tự:

Giải các ph-ơng trình:

1) 3 2 x  1  x 1

2) 2x2 10x 16  x 1 x 3

Ví dụ 5: Giải và biện luận ph-ơng trình: x2 1 2m 1xm2m 1 (1)

Nhìn chung, loại toán giải và biện luận là một loại toán khó, không có một cách giải nào tổng thể cho loại toán này mà phải tuỳ vào từng bài toán cụ thể Nếu không cẩn thận học sinh sẽ không xét hết các tr-ờng hợp của tham số do không tìm ra đ-ợc tiêu chí của sự phân chia hoặc phân chia tr-ờng hợp không thống nhất cùng một tiêu chí Đối với bài toán này, nếu để nh- vậy thì thực sự là đang rất khó giải Giáo viên có thể h-ớng dẫn cho học sinh biến đổi một chút để bài toán đơn giản hơn

Nh- vậy ta đã biến đổi (1) (3)

Bài toán giải và biện luận ph-ơng trình (1) trở thành bài toán giải và biện luận ph-ơng trình (3)

2

1 x xm m x

m x

Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại xem đã xét hết các tr-ờng hợp của tham số

m ch-a

Sau đó, yêu cầu học sinh giải những bài toán sau:

1) Giải và biện luận bất ph-ơng trình sau theo tham số m:

ẩn phụ xuất hiện đó là t x2  2x 4 ;t  5

Khi đó ph-ơng trình đối với ẩn t là: 3t 19  5t 34  t (2)

0

t t

t t

2 43 8

0

2 2

t t

t t

5x2  x  x2  x   x 2 

1 5

1 2 5

2

4  xx   x  x   x

Với sự phân tích nh- vậy chúng ta hi vọng rằng học sinh có thể nhận thấy việc dùng ph-ơng pháp đánh giá để giải ph-ơng trình (1) Nếu không giáo viên có thể yêu cầu học sinh nhận xét về giá trị bé nhất của vế trái và giá trị của vế phải

Ta có: VT = 3x 12  4  5x 12  9  2  3  5

VP = 5 x 12  5

Từ đó học sinh có thể dẽ dàng giải đ-ợc Ph-ơng trình (1) và kết luận đ-ợc nghiệm là: x   1

2.2.2 Biện pháp 2: Khái quát hoá

Sau khi học sinh đã giải đ-ợc bài toán, giáo viên yêu cầu học sinh khái quát hoá nó

và trình bày lời giải bài toán tổng quát thì tức là tình huống bao hàm một vấn đề, bởi vì học sinh ch-a có câu trả lời và cũng không biết một thuật giải nào để có câu trả lời Học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề vì họ rất muốn tìm ra bài toán tổng quát để sau này có thể giải quyết đ-ợc một lớp bài toán Vấn đề này liên quan tới tri thức sẵn có của học sinh, không có gì v-ợt quá yêu cầu, bởi lẽ, nếu họ tích cực suy nghĩ tìm ra những đặc điểm bản chất của bài toán đã có thì có thể khái quát hoá đ-ợc bài toán đó

(3)

Do vậy, tình huống này là một tình huống gợi vấn đề Sau đây chúng ta đi xét một

số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:

1 x2  1 x2  3 1 x3  3 1 x3  4 1 x4  4 1 x4  6 (1)

Rồi khái quát hoá bài toán và giải nó

Giáo viên cho học sinh nhận xét vế trái (1) có 6 số t-ơng ứng với 3 cặp số:

2 2 3 3 3 34 4 4 4

1

; 1

; 1

; 1

; 1

1

4 1

1 1 1 1

; 1

2 2

2 2

2 2 2

x x

x x

T-ơng tự, ta có thể chứng minh đ-ợc: 31 x3 31 x3  2 và 41 x4 41 x4  2không? Học sinh sẽ cố gắng tìm cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Nếu cần thiết giáo viên h-ớng dẫn học sinh áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki

1 1

1 1 1

1

Yêu cầu học sinh làm t-ơng tự đối với bộ số 41 x4; 1 ; 1 ; 1 và 41 x4; 1 ; 1 ; 1

Giáo viên có thể tạo tình huống gợi vấn đề nữa bằng cầu yêu cầu học sinh chứng minh 31 x3 31 x3  2 và 41 x4 41 x4  2 theo cách khác Nếu học sinh thấy khó khăn giáo viên có thể h-ớng dẫn :

1 1 1 1

1 1 1

3

1 3

1 1 1 1

1 1 1

3 3

3 3

x x

x x

x x

x x

2 1

1

2 1

x x

x x

x x

3 3

2 2

1 1

1 1

1 1

x x

x x

x x

 x 0

Vậy ph-ơng trình có nghiệm duy nhất x 0

Bây giờ vấn đề là tổng quát hoá bài toán vừa giải Với h-ớng dẫn và cách giải nh- trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh phân tích rõ hơn đặc điểm của hai vế của ph-ơng trình (1) Vế trái là tổng của 6 biểu thức chứa căn, vế phải là 6 Vậy thì bài toán tổng quát sẽ là nh- thế nào? Nếu vế trái là:

x x

x

Học sinh sẽ dễ dàng suy ra: VP = 2n 1

Nh- vậy bài toán tổng quát là: Giải ph-ơng trình:

1 x2  1 x2  n1 x n n1 x n  2n 1 (2)

Việc giải ph-ơng trình (2) không có gì phức tạp Nó đ-ợc tiến hành t-ơng tự nh- cách giải ph-ơng trình (1), học sinh có thể tự làm đ-ợc

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: 23 1 x2  3 3 1 x2  3 1 x2  0 (1)

Sau đó khái quát hoá bài toán và giải nó

Có thể dễ dàng nhận thấy ph-ơng trình (1) có dạng tổng quát là:

Chia 2 vế của (1) cho  2

1 3

1

1 1

1

3 3

x x x

1

1 1

1

x x x

Bây giờ chúng ta khái quát hoá bài toán nh- thế nào?

Có thể nhận thấy vế trái của (1) là tổng của 3 căn bậc ba Vậy thì sự xuất hiện của các dấu căn bặc ba có liên quan gì đến cách giải của ph-ơng trình hay không? Với gợi

ý đó chúng ta hy vọng rằng học sinh sẽ tổng quát hoá đ-ợc bài toán bằng cách thay dấu căn bậc 3 bằng dấu căn bậc n Bài toán tổng quát sẽ là:

Nếu n chẵn thì ph-ơng trình vô nghiệm

Nếu n lẻ thì với t   1 ta đ-ợc 1

1

1 1 1

x

2 1

2 1 2

2 1

1 2 1

Sau khi giải xong giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại kết quả với n  3

Ví dụ 3: Giải và biện luận theo a > 0 bất ph-ơng trình:

x  xa  2a  a (1)

Sau đó hãy tổng quát bài toán trên và giải nó

Học sinh dễ dàng nhận thấy nếu thế x 2a thì VT VPĐiều đó gợi cho học dùng ph-ơng pháp hàm số để giải bất ph-ơng trình (1) Nh- vậy có nghĩa là phải đi xét tính

đơn điệu của hàm số f x  x xa Tất nhiên học sinh có thể tự giải quyết đ-ợc vấn đề này Hàm số f x là hàm số nghịch biến (1) f x  f 2a x 2a

Mặt khác xa nghiệm của bất ph-ơng trình là a x 2a

Vậy a 0 bất ph-ơng trình có nghiệm là a x 2a

Vấn đề tổng quát hoá bài toán, có thể học sinh làm theo hai h-ớng:

H-ớng 1: Thay dấu căn bậc 2 bằng dấu căn bậc n với n chẵn

H-ớng 2: Thay dấu căn bậc 2 bằng dấu căn bậc n, n N

Nếu theo h-ớng 1 thì bài toán tổng quát là:

Giải và biện luận bất ph-ơng trình: 2k x  2k xa  2k2a  2k a

Nếu theo h-ớng 2 thì bài toán tổng quát là:

Giải và biện luận bất ph-ơng trình: n n n n

a a a

x

x    2  (*) Tổng quát hoá theo h-ớng 1 bài toán đ-ợc giải t-ơng tự nh- bài toán trên Nh-ng tổng quát hoá theo h-ớng 2 thì nếu học sinh ch-a biết phát hiện ra giáo viên cần l-u ý

họ nên chia ra 2 tr-ờng hợp

+ Tr-ờng hợp 1: n chẵn hàm số   n n

a x x x

f    xác định D = [a; +) và nghịch biến trên D suy ra f x  f 2a ax 2a

Vậy a 0 bất ph-ơng trình có nghiệm a x 2a

+ Tr-ờng hợp 1: n lẽ: Hàm số   n n

a x x x

Sau đó em hãy khái quát hoá bài toán trên và giải nó

Thoạt nhìn, học sinh sẽ ngần ngại dùng ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng vì nhận thấy nếu làm nh- thế sẽ đ-a về đ-ợc ph-ơng trình bậc quá cao Tuy nhiên ở bài này, nếu học sinh làm theo cách đó sẽ có một kết quả rất thú vị

Để bình ph-ơng đ-ợc hai vế ta cần đặt điều kiện cho VP  0

   

1

0 5 1

0 5 4

2 3

x x

L-u ý đến điều kiện của ph-ơng trình là x 1 Ta có ngay ph-ơng trình có nghiệm duy nhất là x 1

Một số học sinh khác do nhận thấy khó khăn mà ta đã nêu trên sẽ nghĩ đến việc dùng ph-ơng pháp hàm số để giải Dễ dàng nhận thấy :

x là nghiệm của (1) 1 là nghiệm duy nhất của (1)

Với yêu cầu của giáo viên là khái quát hoá bài toán học sinh sẽ suy nghĩ tới h-ớng xây dựng ph-ơng trình sao cho vế trái là hàm đồng biến có nghiệm bằng 1 ; Vế phải là hàm nghịch biến có nghiệm bằng 1

Từ đó có thể có các cách khái quát hoá sau đây:

Cách 1: Giải ph-ơng trình: 2n x 1  x3 4x 5

Cách 2: Giải ph-ơng trình:  1   2n1 4 2m1  5

x x

x nm Cách 3: Giải ph-ơng trình: 2n  1   2n1 4 2m1 5

x x

x nm

Cách 4: Giải ph-ơng trình: 2n x  px2n 1 qx2m 1 pq

Cách giải các ph-ơng trình trên đ-ợc tiến hành giải t-ơng tự nh- ph-ơng trình (1)

2.2.3 Biện pháp 3: Phát hiện sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

đó

Thầy giáo ra bài toán và trình bày lời giải lên bảng, yêu cầu học sinh kiểm tra tính

đúng đắn của lời giải Thông th-ờng, lời giải thầy nêu ra trong tr-ờng hợp này là sai, vì mục đích là học sinh phải tìm ra chỗ sai, tìm nguyên nhân và cách sửa chữa để sau này tránh những sai lầm t-ơng tự Tuy nhiên vẫn phải có những lúc lời giải đúng để kiểm tra trình độ, t- duy lôgic và kiến thức cũ học sinh Rõ ràng đây là một tình huống gợi vấn đề vì nói chung không có thuật giải để phát hiện sai lầm Tình huống gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ học sinh rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, và dĩ nhiên không thể chấp nhận lời giải sai mà phải tìm nguyên nhân và sửa chữa Nếu đã thấy

đ-ợc nguyên nhân của sai lầm, bằng tri thức sẵn có đã học tìm có thể tìm ra nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm đó

1) Sai lầm trong việc sử dụng các phép biến đổi không t-ơng đ-ơng

Ví dụ1: Cho bài toán: Giải ph-ơng trình: x 3  3x 1 (1)

Có học sinh giải bài toán nh- sau:

(1)  2

1 3



 x x (2)  9x2 7x 2  0 (3)

1

x x

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm là x  1và

Để tìm sai lầm trong lời giải ph-ơng trình, học sinh th-ờng nghĩ đến việc thử

nghiệm Dễ nhận thấy x 1 thoả mãn, còn

đổi không t-ơng đ-ơng.Vậy phép biến đổi nào là không t-ơng đ-ơng?

Học sinh sẽ kiểm tra từng b-ớc của phép biến đổi, sử dụng vốn tri thức sẵn có của mình sẽ nhận thấy phép biến đổi từ (2) đến (3) l¯ tương đương Do đõ cõ thể đặt “nghi ngờ” v¯o phép biến đổi từ phương trình (1) đến phương trình (2) Để gi°i quyết vấn đề này thầy giáo có thể h-ớng dẫn:

Vế trái của (1) luôn luôn không âm Để khử căn ta bình ph-ơng hai vế Muốn bình ph-ơng hai vế ta cần đặt điều kiện gì cho vế phải?

0 1 3

x x

2

x x

x

(2’)

x x

x

x 1

VËy ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ x  1

VÝ dô 2: Cho bµi to¸n: Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 3x 2  2x 1 (1)

Cã häc sinh gi¶i bµi to¸n nh- sau:

(1)  2

1 2 2

1

x x

Râ rµng (2) t-¬ng ®-¬ng víi (3) Vµ thùc tÕ (1) t-¬ng ®-¬ng víi (2), v× hai ph-¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm b»ng nhau Nh-ng mét c¸ch tæng qu¸t, ph-¬ng tr×nh f x g x

x g

2

0