Liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh và ứng dụng trong loại toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định

Trên cơ sở lý thuyết về hình học xạ ảnh và đặc biệt là liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2R, chúng tôi đã nghiên cứu và vận dụng liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2R

Lời nói đầu

Hình học xạ ảnh và các vấn đề nghiên cứu về hình học xạ ảnh đã đ-ợc nghiên cứu khá nhiều từ tr-ớc tới nay Trên cơ sở lý thuyết về hình học xạ ảnh và

đặc biệt là liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R), chúng tôi đã

nghiên cứu và vận dụng liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) vào giải các bài toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định

Khoá luận này đ-ợc trình bày với 3 mục chính:

1 ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh

Mục này đ-a ra một số kiến thức cơ bản phục vụ cho 2 và 3

2 Liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2

(R)

Mục này đ-a ra các khái niệm, các định lý, một số đối ngẫu của định lý,

hệ quả và một số đối ngẫu của hệ quả, các tính chất có liên quan đến liên hệ xạ

Khoá luận này đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới

sự h-ớng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội

Nhân dịp này tôi xin đ-ợc tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Đồng thời cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa – tr-ờng đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này

Do sự hạn chế về thời gian cũng nh- năng lực, nên khoá luận này không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đ-ợc sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thây, cô giáo

1 ánh xạ xạ ảnh và biến đổi xạ ảnh

1.1 ánh xạ xạ ảnh

1.1.1 Định nghĩa Cho các K – không gian xạ ảnh (P, p, V) và (P’, p’, V’) Một ánh xạ f : P P’ đ-ợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ tuyến tính : V V’,

sao cho nếu véctơ x  V là đại diện của điểm X  P thì vectơ  x

 V’ là đại diện cho điểm (X)  P’

Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính  là đại diện của ánh xạ xạ ảnh 

1.1.2 Định lý về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh

Định lý Cho hai K – không gian xạ ảnh P và P’ có số chiều lần l-ợt là n

và m (n  m) Trong P cho mục tiêu xạ ảnh S 0 ,S 1 ,…, S n ; E và trong P’ cho

n+2 điểm phụ thuộc S 0 – ,S 1 –,…, S n – ; E–, sao cho bất kì n+1 điểm trong số đó

đều độc lập Khi đó, có một và chỉ một ánh xạ xạ ảnh : P P’ sao cho

0 liên kết với mục tiêu Si ; E

Trong Vm+1 lấy n+1 vectơ ei

Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh : Pn  P’n

cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính : Vn+1  V’ n+1 Nếu hệ Ai (i=1,2,…,n) là hệ điểm độc lập thì hệ vectơ a i(i=1,2,.,n) trong đó

ai



đại diện cho Ai là hệ vectơ độc lập tuyến tính

Do  là đẳng cấu tuyến tính nên (a i ), ( i=1,2,…,m) độc lập tuyến tính,

nh-ng (a i ) đại diện cho  (A

i) Vậy (Ai) (i=1,2,…,n) độc lập

Tr-ờng hợp đối với hệ điểm phụ thuộc Ai (i=1,2,…,m) thì cũng chứng minh t-ơng tự

1.1.4 Hệ qu ả ánh xạ xạ ảnh biến mặt phẳng thành mặt phẳng Nói riêng, ánh

xạ xạ ảnh biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh Giả sử mặt phẳng Pm đ-ợc xác định bởi m+1 điểm độc lập

A1, A2, …., Am+1 Theo định lý (1.1.3) ta có hệ điểm (Ai) (i=1,2,…, m+1)

độc lập Nên dễ thấy (Pm) chính là m- phẳng đi qua hệ điểm f(Ai)

(i=1,2,…,m+1)

Ta chứng minh (Pm

) = P’ m bằng cách lấy điểm Y bất kỳ thuộc (Pm

) thì Y=(X), X  Pm

Hệ điểm A1, A2, …., Am+1, X là hệ phụ thuộc Do đó, hệ điểm A1’, A2’,

…., A’m+1, Y phụ thuộc Suy ra Y  P’m Vậy (Pm)  P’m

Chững minh ho¯n to¯n tương tứ, ta có P’m  (Pm

)

1.1.5 Biểu thức toạ độ (hay ph-ơng trình) của ánh xạ xạ ảnh

Cho 2 không gian xạ ảnh (Pn, P, Vn+1) v¯ (P’n, P’, V’n+1) Giả sử  là ánh xạ xạ ảnh của Pn Pn cảm sinh bởi : Vn+1 V’n+1

Trong Pn cho mục tiêu

Ai; E (i=1,2,…, n+1) có cơ sở đại diện là a i ’ (i=1,2,…, n+1) Với mỗi một

X  Pn gọi X’ = (X) Giả sử x là véctơ đại diện cho điểm X thì  (x

) là véctơ

đại diện cho điểm X’

Ký hiệu x là ma trận toạ độ của véctơ x đối với cơ sở a i, [ (

cho điểm X, X’ nên toạ độ X của điểm X đối với mục tiêu Ai; E thoả mãn ph-ơng trình x= k1 X, toạ độ X’ cða điểm X’ đối với múc tiêu

Ai; E thoả mãn ph-ơng trình [ (x

)]= k2X’ với k1 và k2  0 Từ đó ta có: kX’= AX, k  0, (*) (det A  0)

Biểu thức (*) đ-ợc gọi là biểu thức toạ độ ( hay ph-ơng trình ) của ánh xạ

xạ ảnh  đối với cặp mục tiêu Ai; E và Ai’; E’ Ma trận A đ-ợc gọi là ma trận của ánh xạ xạ ảnh f đối với cặp mục tiêu trên Từ đó ta dễ thấy hai ma trận

A và B cũng là ma trận của ánh xạ xạ ảnh f đối với cặp mục tiêu Ai; E và

Ai’; E’ khi và chỉ khi A=kB, k  0

1.1.6 Định lý Tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng không thay đổi qua ánh xạ xạ

ảnh

Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh f có biểu thức toạ độ kX’= AX đối

với cặp mục tiêu Ai; E và Ai’; E’ Kí hiệu M, N, P, Q lần l-ợt là ma trận toạ độ cột các điểm M, N, P, Q đối với mục tiêu Ai ; E

Gọi M’, N’, P’, Q’, lần lượt l¯ °nh cða M, N, P, Q qua phép ánh xạ xạ °nh

f Khi đó, ma trận toạ độ cột M’, N’, P’, Q’ đối với mục tiêuAi’; E’ thoả mãn ph-ơng trình:

1.2.1 Định nghĩa Một ánh xạ xạ ảnh : Pn  Pm

là song ánh đ-ợc gọi là đẳng cấu xạ ảnh Ta có, ánh xạ : Pn  Pm là đẳng cấu  dimPn

=dim Pm Đẳng cấu xạ ảnh : Pn  Pn

đ-ợc gọi là biến đổi xạ ảnh

1.2.2 Ph-ơng trình của phép biến đổi xạ ảnh

Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu xạ ảnh  Ai; E, : Pn  Pn

là phép biến đổi xạ ảnh của Pn Hai cặp điểm tương ững X, X’ có toạ độ đối với mục tiêu trên là X(x1:…….:xn+1), X’(x1’:…….:xn+1’), đ-ợc liên hệ với nhau bởi

Chứng minh Cho siêu mặt lớp hai (S) có ph-ơng trình xt Ax= 0, vì nó không suy biến nên det A  0 Giả sử siêu phẳng U tiếp xúc với (S) tại điểm Y=(y0;y1: …:yn) thuộc (S) Khi đó, toạ độ U là (U)=Ay Vì điểm Y(S) nên

ytAy=0, từ đó ta có: ytAA-1Ay = 0, hay (U)tA-1(U)= 0 Điều đó chứng tỏ rằng tập hợp các siêu tiếp diện U của (S) là siêu diện lớp hai (S*) có ma trận là A-1

Ng-ợc lại, cho siêu diện lớp hai không suy biến (S*) có ph-ơng trình:

utAu= 0 (det A  0) Ta gọi (S) là siêu mặt bậc hai có ph-ơng trình xt

A-1x= 0 Khi đó, cũng chứng minh t-ơng tự nh- trên thì mỗi siêu phẳng U của (S*)

đều là siêu phẳng tiếp xúc của(S)

1.3.2 Hệ quả Đối ngẫu của khái niệm điểm thuộc siêu mặt bậc hai không suy biến là khái niệm siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến

2 liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 (R)

2.1 ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm trong P2(R)

Trong P2(R),tập hợp các điểm cùng thuộc một đ-ờng thẳng d đ-ợc gọi là một

hàng điểm và ký hiệu bởi d,đ-ờng thẳng d đ-ợc gọi là giá của hàng điểm ấy

Gi° sừ d v¯ d’ l¯ hai đường thằng trong P2(R), vì mỗi đ-ờng thẳng này là không gian xạ °nh một chiều nên có các ánh xạ xạ °nh tụ d lên d’

2.1.1.Định nghĩa ánh xạ xạ ảnh  tụ đường thằng d lên đường thằng d’ ( kỹ

hiệu :dd’) được gọi l¯ ánh xạ xạ ảnh tụ h¯ng điểm d lên h¯ng điểm d’

Phép chiếu xuyên tâm :dd’ với O l¯ tâm chiếu còn đ-ợc gọi là phép

phối cảnh tâm O giửa hai h¯ng điểm d v¯ d’

2.1.2 Định lý ánh xạ f : dd– l¯ ánh xạ xạ °nh khi v¯ chỉ khi f b°o tồn tỷ

số kép của 4 điểm bất kỳ

Chứng minh. Nếu f là ánh xạ xạ ảnh, theo tính chất của ánh xạ xạ ảnh thì

tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ đ-ợc bảo tồn

Ngược lại, nếu f l¯ ánh xạ giửa hai h¯ng điểm d v¯ d’ có tính chất b°o tồn tỳ số kép của 4 điểm bất kỳ Lấy ba điểm A,B,C phân biệt thuộc d và ảnh của chúng qua f l¯ A’=f(A), B’=f(B), C’=f(C) l¯ 3 điểm phân biệt thuộc d’ Khi đó, các hệ

điểm A,B,C và A’,B’,C’ tương ững l¯ múc tiêu cða d va d’ nên  duy nhất

ánh xạ xạ ảnh g: dd’ sao cho g(A) =A’, g(B)=B’, g(C) =C’ Lấy điểm M bất

kự thuộc d, khi đó (ABCM) =(A’B’C’g(M)) Nhưng do (ABCM)=(A’B’C’g(M)),

từ đó suy ra: g(M)=f(M),Md, hay f=g, tức f là ánh xạ xạ ảnh

Từ định lý này,ta có thể suy ra hệ quả sau:

2.1.3 Hệ quả Cho hai h¯ng điểm d v¯ d– ánh xạ f: dd– l¯ ánh xạ xạ °nh nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ

2.1.4 Định lý á nh xạ xạ ảnh f: dd là phép phối cảnh khi và chỉ khi giao diểm của hai đường thằng d v¯ d– l¯ điểm tự ứng (tức l¯ O=f(O))

điểm ảnh và tạo ảnh đồng quy Lấy 3 điểm A, B, O thuộc d, khi đó ảnh của chũng qua f l¯ A’=f(A), B’=f(B) v¯ O=f(O) Đặt S= AA’ BB’, lấy điểm M bất

kự thuộc d, đặt M’=f(M) Ta chững minh M’,M,S thằng h¯ng

Vì f l¯ ánh xạ xạ °nh nên (OABM)=(OA’B’M’) (1)

Đặt M1=d’ SM, theo định lý về quan hệ về tỷ số kép của 4 điểm thuộc hàng và

4 siêu phằng thuộc chùm, ta có: (OABM) =(SO, SA, SB, SM)=(OA’B’M1)

Kết hợp với (1), suy ra (OABM)=(OA’B’M1) Suy ra, M’ M1 tức là M, M’, S thằng h¯ng

Ng-ợc lại, giả sử ánh xạ xạ ảnh f:dd là phép phối cảnh tâm S, khi đó

dễ thấy giao điểm cða hai đường thằng d v¯ d’ l¯ O sẽ biến nó th¯nh chính nó, tức là f(O) = O

2.2 ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đ-ờng thẳng trong P2(R)

Trong P2(R), tập hợp tất cả các đ-ờng thẳng đi qua điểm S đ-ợc gọi là chùm

đ-ờng thẳng tâm S Ký hiệu S Ký hiệu chùm đ-ờng thẳng tâm S là S

f

S

2.2.1 Định nghĩa

a) Trong P2(R), cho hai chùm đ-ờng thẳng S và S’ (S  S’)

ánh xạ f: S S’ biến mỗi đ-ờng thẳng thuộc S thành mỗi đ-ờng thẳng thuộc S’ đ-ợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 đ-ờng

thẳng bất kỳ

b) Trong P2(R), cho hai chùm đ-ờng thẳng S và S’ (S  S’) v¯ đường thẳng d không đi qua điểm nào trong chúng ánh xạ f: S S’ đ-ợc xác định nh- sau: Với đ-ờng thẳng m  S thì °nh f(m)= m’ S’ đi qua giao điểm

của m và d, đ-ợc gọi là phép phối cảnh (hay phép chiếu xuyên trục ) và đ-ờng thẳng d đ-ợc gọi là trục phối cảnh Ký hiệu : S

3 đường thằng a–, b–, c– thuộc S–

2) ánh xạ xạ ảnh f: SS– (S  S–) l¯ phép phối c°nh khi v¯ chỉ khi

Nhận xét: 1) Là đối ngẫu của định lý 2.1.2

2) Là đối ngẫu của định lý 2.1.4

2.2.3 Định lý Steine

a) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai chùm S 1 và S 2 (S 1 S 2 ), nếu ánh xạ f: S 1S 2 mà f(S 1 S 2 )  S 1 S 2 (tức f không là phối cảnh ) thì quỹ tích giao

điểm các cặp đ-ờng thẳng ảnh và tạo ảnh t-ơng ứng là một đ-ờng cônic đi qua

S 1 và S 2 Cônic này tiếp xúc với đ-ờng thẳng f(S 1 S 2 ) tại S 2 và tiếp xúc với đ-ờng thằng f–(S 1 S 2 ) tại S 1

b) Đảo laị, nếu S 1 và S 2 là hai điểm phân biệt cố định trên một cônic (C) và

M là một điểm thay đổi trên (C) thì ánh xạ f: S 1S 2 xác định bởi f(S 1 M) =

S 2 M là một ánh xạ xạ ảnh không phối cảnh

(Khi M  S 1 , coi S 1 M là tiếp tuyến của (C) tại S 1

khi M  S 2 , coi S 2 M là tiếp tuyến của (C) tại S 2 )

Chứng minh.

a) Gọi d3 là đ-ờng thẳng đi qua S1S2 , gọi d2, d1 t-ơng ứng là tạo ảnh của

d3: f(d2) =d3 , f(d3) =d1 Do f không phải là phép phối cảnh nên theo định lý 2.2.2 thì đ-ờng thẳng d3 không tự ứng, vậy d3  d1, d3  d2

Suy ra d1  d2 (vì nếu d1 d2  S1 S2 = d3 ) Do đó d1, d2, d3 là 3 đ-ờng phân biệt Goị S3 là giao điểm của d1 và d2 thì S1, S2, S3 là các điểm phân biệt Lấy d là đ-ờng thẳng thuộc chùm S1 tuỳ ý khác d2, d3 v¯ d’ l¯ °nh cða đường

thằng d (tữc f (d) =d’) Gọi E l¯ giao điểm cða hai đường thằng d v¯ d’, khi đó chọn mục tiêu trong mặt phẳng xạ ảnh là S1,S2,S3;E (1)

Giả sử đ-ờng thẳng m bất kỳ S1 khác với d, d2, d3, và ảnh f(m) Vì f

là ánh xạ xạ ảnh nên (d3, d2, d’, m’) = (d1, d3, d’, m’) (2)

Gọi M l¯ giao điểm cða m v¯ m’, gi° sừ điểm M(x1, x2, x3) đối với mục tiêu (1), ta có toạ độ các đ-ờng thẳng sau: d1[1,0,0]; d2[0,1,0]; d3[0,0,1]; d[0, -1, 1]; d’[1, 0, -1]; m[0, -x3, x2]; m’ [x3, 0, -x1]

m  (C), bằng cách viết ph-ơng trình tiếp tuyến của cônic (C) tại hai điểm S1 và

S2 ta thấy đó chính là đ-ờng thẳng x2=0, x1=0, tức là hai đ-ờng thẳng d2, d1 Khi

m trùng với d, d2, hoặc d3 thì điểm M chính là điểm E , S1 hoặc S2 thuộc (C) Ng-ợc lại, lấy điểm M bất kỳ thuộc cônic (C) Khi đó từ (3), (4), (5) ta suy ra (2) tức là (d3, d2, d, m) = (d1, d3, d’, m’) (2)

b) Bây giờ ta chứng minh rằng nếu ánh xạ f thoả mãn điều kiện trên thì nó

là ánh xạ xạ ảnh nh-ng không phải là phép phối cảnh

Gọi d3 là đ-ờng thẳng đi qua S1 , S2, gọi d1, d2 lần lựơt là các tiếp tuyến của (C) tại S1, S2 và gọi giao điểm của d1, d2 là S3 Lấy E  (C), E S1, E S2 Chọn mục tiêu của mặt phẳng xạ ảnh là S1, S2, S3; E thì (C) có ph-ơng trình

là : x32 –x1x2 =0

Với mỗi điểm M  (C), M(x1,x2,x3) thì x32 –x1x2 =0, hay

(với x3  0, x1  0) (6) Gọi d, d’, m, m’ lần lượt l¯ đường thằng qua S1E, S2E,

S1M, S2M, khi đó chứng minh t-ơng tự nh- phần a) (cho định lý thuận )

T-ơng tự ta gọi g là ánh xạ xạ ảnh từ chùm S1 vào chùm S2 biến

các điểm d3, d2, d t-ơng ứng thành d1, d3, d’ Khi đó ta dễ d¯ng chững minh

đ-ợc g  f Ta thấy f không phải là phép phối cảnh vì d3 không tự ứng Chú ý rằng M  S1 thì MS1 chính là tiếp tuyến của (C) tại S1

Ta có các định lý sau là định lý đối ngẫu của định lý Steine

2.2.4 Định lý

a) Nếu f :  m 1 m 2 là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm không phải là phép phối cảnh thì các đ-ờng thẳng nối với các cặp điểm ảnh t-ơng ứng sẽ tiếp xúc với một đ-ờng côníc Côníc này tiếp xúc với m 1 , m 2 lần l-ợt tại f -1 (Q) và f(Q) trong đó Q= m 1  m 2

b) Nếu m 1 , , m 2 là các tiếp tuyến khác nhau của đ-ờng cônic (C) mà m là tiếp tuyến thay đổi của (C) thì ánh xạ biến m 1  m 2 thành m  m 2 là ánh xạ xạ ảnh ( nh-ng không phải là phép phối cảnh) ( Khi m trùng m 1 thì ta coi m  m 1 là tiếp điểm của của m với cônic (C), khi m trùng m 2 thì ta coi m  m 2 là tiếp điểm của m với cônic (C))

2.3 Sự xác định một đ-ờng cônic trong P2(R)

2.3.1.Định lý. Trong P 2 (R) cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó luôn luôn có một đ-ờng cônic duy nhất đi qua chúng

Chứng minh Xét hai chùm đ-ờng thẳng  A,  B  Có phép ánh xạ xạ

ảnh duy nhất f :  A  B  sao cho f(AC) = BC, f(AD) = BD và f(AE) = BE Vì các điểm C, D, E không thẳng hàng nên f không phải là phép phối cảnh Theo định lý đối ngẫu của định lý Steine thì có duy nhất một đ-ờng cônic qua giao điểm của các cặp đ-ờng thẳng t-ơng ứng, đó là 5 điểm nói trên

Sau đây là các tr-ờng hợp đặc biệt của định lý trên, khi hai trong 5 điểm

đó trùng nhau, cách chứng minh t-ơng tự nh- trên

2.3.1.1 Hệ quả 1 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 điểm A,B,C,D trong đó không

có 3 điểm nào thẳng hàng và đ-ờng thẳng a đi qua A nh-ng không đi qua các

điểm còn lại Khi đó có duy nhất một đ-ờng cônic đi qua A,B,C,D và tiếp xúc với

a và A

2.3.1.2 Hệ quả 2 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng,

đ-ờng thẳng a đi qua A nh-ng không đi qua B và C, đ-ờng thẳng b đi qua B nh-ng không đi qua A và C Khi đó có duy nhất đ-ờng cônic đi qua C tiếp xúc với a và b lần l-ợt tại A và B

Các định lý sau là đối ngẫu của định lý 2.3.1 và hai hệ quả trên

2.3.2 Định lý 2 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 5 đ-ờng thẳng a, b, c, d, e trong

đó không có 3 đ-ờng nào đồng quy Khi đó có duy nhất đ-ờng cônic tiếp xúc với chúng

2.3.2.1 Hệ quả 3 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 đ-ờng thẳng a, b, c, d trong đó không có 3 đ-ờng nào đồng quy và một điểm A nằm trên a nh-ng không nằm

trên các đ-ờng còn lại Khi đó, có duy nhất đ-ờng cônic tiếp với a, b, c, d và đi qua A

2.3.2.2 Hệ quả 4 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 đ-ờng thẳng a, b, c không

đồng quy, một điểm A nằm trên a nh-ng không nằm trên b và c, một điểm B nằm trên b nh-ng không nằm trên a và c Khi đó có duy nhất 1 đ-ờng cônic tiếp xúc

với a tại A, tiếp xúc với b và B và tiếp xúc với c

Chứng minh

Giả sử hình 6 đỉnh A1 A2 A3 A4 A5 A6 nội tiếp cônic

Gọi Q, I, R lần l-ợt là giao điểm của các cặp cạnh đối diện:

Suy ra, 3 đ-ờng thẳng MA2, A4N,QR đồng quy Nghĩa là Q, I, R thẳng hàng

2.4.3 Các tr-ờng hợp đặc biệt của định lý Paxcan

Ta có thể định nghĩa hình 5 đỉnh, hình 4 đỉnh, hình 3 đỉnh, t-ơng tự nh-

định nghĩa hình 6 đỉnh khi thay 6 bởi 5, 4, 3 Xem hình 5 đỉnh, 4 đỉnh, 3 đỉnh là một hình 6 đỉnh trong đó lần l-ợt có 2 đỉnh, 3 đỉnh, 4 đỉnh trùng nhau Từ đó ta

có các tr-ờng hợp đặc biệt của định lý Paxcan

Định lý a) Nếu hình 5 đỉnh A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 nội tiếp đ-ờng cônic (S) thì 3 giao

điểm của các cặp đ-ờng thẳng cạnh A 1 A 2 và A 4 A 5 , cạnh A 2 A 3 và tiếp tuyến của (S) tại A 5 , cạnh A 3 A 4 và cạnh A 5 A 1 thẳng hàng (hình a)

b) Nếu hình 4 đỉnh ABCD nội tiếp một đ-ờng cônic thì 3 giao điểm của tiếp tuyến tại A và cạnh BC, cạnh AB và AD, tiếp tuyến tại B và cạnh AD nằm trên một đ-ờng thẳng.(hình b)

c) Nếu hình 3 đỉnh ABC nội tiếp một đ-ờng cônic thì 3 giao điểm của tiếp tuyến tại mỗi đỉnh và cạnh dối diện nằm trên một đ-ờng thẳng (hinh c)

2.5 Định lý Briăngsông

2.5.1 Định nghĩa hình 6 cạnh.Trong mặt phẳng xạ ảnh, một tập hợp có thứ tự

gồm 6 đ-ờng thẳng a1, a2, a3, a4, a5, a6 đ-ợc gọi là hình 6 cạnh Nó đ-ợc kí hiệu

là a1a2a3a4a5a6 6 đ-ờng thẳng đó đ-ợc gọi là các cạnh Các giao điểm: A1=a6 

a1, A1=a1  a2, A3= a2  a3, A4= a3  a4, A5= a4  a5, A6=a5  a6 đ-ợc gọi là

các đỉnh của hình 6 cạnh

Các cặp cạnh a1 vàa4 ,a2 và a5 ,a3 và a6 gọi là các cặp cạnh đối diện Các

cặp đỉnh A1 và A4, A2và A5, A3 và A6 gọi là các cặp đỉnh đối diện

Nhận xét : Đối ngẫu với khái niệm hình 6 đỉnh là khái niệm hình 6 cạnh

Suy ra định lý Briăngsông sau đây là đối ngẫu của định lý Paxcan

2.5.2 Định lý Briăngsông Nếu một hình 6 cạnh nội tiếp một cônic (tức là các cạnh của nó cùng tiếp xúc với một cônic) thì 3 đ-ờng thẳng nối 3 cặp cạnh đỉnh

đối diện của nó đồng quy tại một điểm (gọi là điểm Briăngsông của hình 6 cạnh ấy)

2.5.3 Các tr-ờng hợp đặc biệt của định lý Briăngsông

Ta có thể gọi hình 6 cạnh theo cạnh hoặc theo đỉnh của nó T-ơng tự các khái niệm hình 6 cạnh, ta đi xây dựng khái niệm hình 5 cạnh, hình 4 cạnh, hình

3 cạnh Ký hiệu tiếp điểm thuộc cạnh A1A5 là A6

Coi A1A2A3A4A5A6 là hình 6 cạnh suy biến.Từ đó ta có các tr-ờng hợp

đặc biệt của hình 5 cạnh, 4 cạnh, 3 cạnh nh- sau

2.5.3.1 Định lý a ) Nếu một hình 5 cạnh A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ngoại tiếp đ-ợc một hình cônic, thì các đ-ờng thẳng A 1 A 4 , A 2 A 5 , đ-ờng thẳng qua A 3 và tiếp điểm của cạnh A 1 A 5 với cônic đồng quy tại một điểm (hình a)

b) Nếu một hình 4 cạnh ngoại tiếp đ-ợc một cônic thì các đ-ờng thẳng qua các đỉnh đối diện, các đ-ờng thẳng qua các tiếp điểm trên các cạnh

đối diện đồng quy tại một điểm (hình b)

c) Nếu một hình 3 cạnh ngoại tiếp đ-ợc một hình cônic thì các đ-ờng thẳng qua mỗi một đỉnh và tiếp điểm của cạnh đối diện đồng quy tại một điểm (hình c)

(Hình b)

(Hình a)