Dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hướng tiếp cận lịch sử phát triển của toán học

Mặc dù một kiến thức toán học khi đ-a vào ch-ơng trình phổ thông không nhất thiết phải giống đúc sự hình thành và phát triển của kiến thức đó trong lịch sử toán học nh-ng trong một số tr

Khoa Toán -

Nguyễn Thị Tố Nga

Dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo h-ớng tiếp cận lịch

sử phát triển của toán học

KHóa luận tốt nghiệp đại học

Ngành Cử nhân S- phạm Toán

Cán bộ h-ớng dẫn khoá luận

TS Chu Trọng Thanh

Vinh 2006

Phần mở đầu

1- Lý do chọn đề tài

Luật Gi²o dúc 1998, chương I, điều 24 nhấn m³nh: “Phương ph²p gi²o dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t- duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác

đống đến tình c°m, đem l³i niềm vui, hững thũ hóc tập cho hóc sinh”

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một hình thức phát huy tính tích cực t- duy của học sinh có hiệu quả cao Mặc dù một kiến thức toán học khi đ-a vào ch-ơng trình phổ thông không nhất thiết phải giống đúc sự hình thành và phát triển của kiến thức đó trong lịch sử toán học nh-ng trong một số tr-ờng hợp có thể, nếu sử dụng t- liệu lịch sử toán để gợi động cơ hình thành một chủ đề nào đó, đặc biệt là khái niệm toán học thì sẽ đạt đ-ợc kết quả rất tốt Sử dụng lịch sử toán khi gợi vấn đề để tiến tới một khái niệm sẽ hình thành biểu t-ợng đúng đắn cho học sinh Vì rằng ấn t-ợng ban đầu giữ vai trò quan trọng đối với quá trình học tập, nó quyết định tính chất đúng đắn hay sai lầm của việc ghi nhớ tài liệu học Điều quan trọng nhất đối với học sinh là tri thức mà các em thu nhận có thể vận dụng vào trong thực tế, vào sự phát triển của xã hội hay lợi ích của chính bản thân các em Đ-a ra những tình huống

mà lịch sử toán học đã trải qua để tiến tới một kiến thức nào đó là làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, nó có tác dụng kích thích các em hoạt động học tập

Với việc dạy học nh- vậy học sinh sẽ tiếp cận kiến thức toán học, xét

về mặt nào đó, gần giống với việc nghiên cứu của các nhà toán học Các em sẽ biết đ-ợc từ đâu mà xuất hiện kiến thức ấy, tạo cho các em không khí học tập nh- là tập d-ợt nghiên cứu khoa học, từ đó lĩnh hội đ-ợc kinh nghiệm lịch sử của xã hội Vì vậy sử dụng t- liệu lịch sử toán để gợi động cơ không những giúp học sinh nắm chắc kiến thức mà còn bồi d-ỡng nhân cách cho các em,

theo nh- ngôn ngữ của Grigôri Vinxki - nhà tâm lý học Nga, đó là sự giáo dục chứ không chỉ đơn thuần là việc dạy học

Với những lý do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài khoá luận là

“Dạy học chủ đề Giới hạn,Đạo hàm,Tích phân theo h-ớng tiếp cận lịch sử

phát triển của toán học”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một h-ớng tiếp cận lịch sử toán để dạy học một số nội dung toán học nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận: vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh; khai thác các kiến thức lịch sử toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt

5 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học môn Toán nếu giáo viên biết khai thác các t- liệu lịch sử một cách hợp lý sẽ làm cho hoạt động học tập của học sinh tích cực, gây đ-ợc hứng thú, hiệu quả dạy học nhờ thế để nâng cao

6 Đóng góp của khoá luận

Tổng hợp một số t- liệu lịch sử toán liên quan đến nội dung môn toán phổ thông, đề xuất một định h-ớng khai thác các t- liệu đó trong quá trình dạy học một số nội dung môn toán phổ thông

7 Cấu trúc của khoá luận

Ch-ơng 1 Cơ sở lí luận của vấn đề dạy học Toán theo h-ớng tiếp cận lịch sử phát triển của Toán học

1.1 Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

1.2 Khai thác các kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt

động nhận thức của học sinh

1.3 Đặc điểm kiến thữc chð đề “Giới h³n”, “Đ³o h¯m”, “Tích phân”

Ch-ơng 2 Dạy học chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân theo h-ớng tiếp cận lịch sử phát triển của Toán học

2.1 Một số t- liệu lịch sử liên quan đến các kiến thức Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân

2.2 Một số l-u ý khi sử dụng t- liệu lịch sử Toán trong dạy học môn Toán phổ thông

2.3 Một số định h-ớng khai thác kiến thức lịch sử Toán vào dạy học chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân

2.4 Minh hoạ bằng một số nội dung

Ch-ơng 3 Kiểm nghiệm th-c tiễn một số nội dung

Ch-ơng 1

Cơ sở lí luận của vấn đề dạy học Toán theo h-ớng tiếp

cận lịch sử phát triển của Toán học

1.1 Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh 1.1.1 Tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phải chỉ là ở chỗ tri giác và giữ lại thông tin mà còn ở chỗ cải biến có kết quả thông tin ấy Điều này đòi hỏi chủ thể phải hoạt động tích cực, tìm tòi, khám phá những khâu còn thiếu trong thông tin đã tiếp thu đ-ợc, cải biến nó thành cái có nghĩa đối với mình

Đổi mới ph-ơng pháp dạy học ở nhà tr-ờng phổ thông phải tiến hành theo h-ớng ngày càng phát huy tính tích cực của học sinh và tăng c-ờng hoạt động trí tuệ độc lập của các em trong quá trình thu nhận tri thức, rèn luyện kĩ năng, kỹ xảo

Tích cực hoá việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục mà còn đặc biệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh h-ởng đến nhân cách của học sinh Phát huy tính tích cực học tập của học sinh có tác dụng phát triển những đức tính quý giá nh-: tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính kiên trì, óc phê phán,… Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kích thích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh, đó là những điều kiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt

Khoa học s- phạm đã tìm ra đ-ợc nhiều thủ thuật phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học sinh Trong số đó, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đặc biệt có giá trị quan trọng Đó là một hình thức có hiệu quả để

tổ chức sự tìm tòi sáng tạo của học sinh khi tiếp thu tri thức thông qua việc phát hiện và giải quyết các vấn đề Ngày nay có nhiều lí thuyết nghiên cứu hoạt động học của học sinh, trên cơ sở đó có nhiều mô hình dạy học đ-ợc đề xuất Tất cả các mô hình đó đều h-ớng vào việc phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập

1.1.2 Tâm lí học hoạt động

Động cơ là yếu tố thúc đẩy con ng-ời hoạt động, đó là sự gặp gỡ giữa nhu cầu của chủ thể và đối t-ợng của hoạt động Khi đối t-ợng có khả năng thoả mãn một nhu cầu nào đó của con ng-ời, nó kích thích con ng-ời hoạt động, nó trở thành động cơ Tức là động cơ của hoạt động hiện thân ở đối t-ợng của nó khi chủ thể ý thức đ-ợc nó

Trong hoạt động học tập, tri thức khoa học, kỹ năng, kỹ xảo là đối t-ợng của hoạt động học và cũng là hiện thân của động cơ ở học sinh có hai

động cơ học tập chủ yếu: động cơ bên trong và động cơ bên ngoài

Những động cơ bên trong là những động cơ mà đối t-ợng học gắn liền với nhu cầu, hứng thú phát triển, tìm kiếm tri thức mới, lòng ham hiểu biết (gọi là động cơ hoàn thiện tri thức) hoặc sự say mê với việc giải quyết các nhiệm vụ học, nhu cầu vận dụng tri thức (gọi là nhu cầu về chính bản thân hoạt động học) Các em sẽ cảm thấy thoả mãn khi lĩnh hội đ-ợc một tri thức,

kỹ năng, kỹ xảo hay khi hoàn thành một nhiệm vụ học Hoạt động học đ-ợc thúc đẩy bởi động cơ bên trong th-ờng không gây ra sự căng thẳng tâm lí

Động cơ bên ngoài (hay động cơ quan hệ xã hội) là loại động cơ mà đối t-ợng của nó không gắn với đối t-ợng của hoạt động học Khi đó, sự lĩnh hội tri thức, kỹ năng, kỹ xảo… chỉ là điều kiện, là ph-ơng tiện để đạt tới một mục

đích khác, một đối t-ợng khác có khả năng thoả mãn những nhu cầu của quan

hệ xã hội ở học sinh nh- nhu cầu tự khẳng định, đ-ợc thừa nhận hay vì nghề nghiệp t-ơng lai,… Loại động cơ này thúc đẩy hoạt động học nh- là sự c-ỡng bách từ bên ngoài, điều đó gây ra ở học sinh sự xung đột nội tâm, sự căng thẳng tâm lí

Hoạt động học tập của học sinh th-ờng đ-ợc thúc đẩy bởi cả hai động cơ trên Nếu giáo viên luôn đ-a đ-ợc học sinh vào những tình huống đòi hỏi n phải giải quyết một vấn đề nhận thức và h-ớng dẫn học sinh giải quyết tình huống để phát hiện ra cái mới (tri thức, ph-ơng pháp,…) sẽ hình thành ở các

em nhu cầu, hứng thú đối với tri thức khoa học và với chính bản thân hoạt

động học Trong tr-ờng hợp này, động cơ bên trong sẽ đóng vai trò chủ đạo, chiếm -u thế trong hệ động cơ, giúp học sinh v-ợt qua khó khăn, trở ngại, từ

đó các em sẽ học tập một cách tự giác, tích cực

Nh- vậy, trong dạy học để tích cực hoá hoạt động nhận thức ở học sinh,

điều quan trọng là phải hình thành ở các em nhu cầu nhận thức, hiểu biết, qua

đó xây dựng một hệ động cơ mà những động cơ bên trong đóng vai trò chủ

đạo trong hoạt động học tập của học sinh

Theo A.N.Leonchiep trong bất cứ hoàn cảnh nào, một tri thức trở thành cái gì đó đối với trẻ và đứa trẻ lĩnh hội nó nh- thế nào đ-ợc quy định bởi những động cơ cụ thể Động cơ khác nhau, tất nhiên kết quả học tập cũng khác nhau; sự khác nhau ở đây không chỉ ở mức độ thành công của sự lĩnh hội

ấy Vậy, động cơ nh- thế nào thì đứa trẻ hoạt động tích cực, tự giác? Nhiệm

vụ của chúng ta là phải làm cho các em nhận thấy những tri thức mà các em cần lĩnh hội trở thành một cái có ý nghĩa đối với chúng, có vị trí nh- thế nào trong đời sống cá nhân của chúng và có ý nghĩa đối với cộng đồng

ý của một tri thức đối với bản thân các em là gì? Đó không phải thuần tuý là lĩnh hội đ-ợc nó mà còn mang sắc thái tình cảm, cảm xúc của chính bản thân các em đối với tri thức ấy Đứng tr-ớc một kiến thức, bằng cách gợi động cơ chúng ta sẽ xây dựng nên ở học sinh một xúc cảm tốt, giúp các em tích cực hoạt động

Đối với đứa trẻ, tài liệu học tập càng hứng thú bao nhiêu thì nó lĩnh hội

và ghi nhớ dễ dàng bấy nhiêu Hứng thú lại gắn với các cảm xúc, các nhu cầu

Để kích thích hứng thú, không phải là chúng ta đề ra mục đích, rồi cố gắng biện

hộ về mặt động cơ cho hành động h-ớng vào mục đích xác định, mà ng-ợc lại, cần phải tạo nên động cơ và sau đó vạch ra khả năng tìm mục đích bằng cách sử dụng một hệ thống các động cơ trung gian và động cơ h-ớng đích

Nh- vậy, nội dung nhận thức của ý thức phụ thuộc vào thái độ đối với cái đ-ợc nhận thức Giáo viên cần phải làm sao cho học sinh có thái độ học tập thích hợp; chỉ trong điều kiện đó thì những tri thức mới trở nên sinh động

đối với các em, từ đó quy định thái độ của các em đối với thế giới, vì thế giáo dục động cơ học tập phải đặt trong mối quan hệ với sự phát triển của cuộc sống, với sự phát triển của nội dung của các quan hệ sống thực của trẻ em

1.2 Khai thác các kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc

tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh.

Yêu cầu đổi mới ph-ơng pháp dạy học đang là vấn đề nổi bật nhất đặt

ra cho ngành Giáo dục n-ớc ta hiện nay Hẳn chúng ta đã đ-ợc nghe không ít lần những cúm tụ “hóc tập trong ho³t đống v¯ b´ng ho³t đống” hay “ho³t

đống ho² ngưội hóc” C²c gi²o viên trước khi lên lớp đều suy nghĩ l¯ l¯m sao cho giờ dạy của mình học sinh hoạt động sôi nổi, tích cực giơ tay phát biểu, nh-ng điều đó hoàn toàn ch-a đủ Nhiệm vụ của chúng ta không chỉ là truyền tải kiến thức mà còn là giáo dục, nghĩa là từ dạy học mà chúng ta rèn luyện nhân cách cho các em

Tri thức khoa học có đơn vị cơ bản, nền tảng là các khái niệm khoa học Tri thức của mỗi khoa học là một hệ thống khái niệm trong một mói quan hệ logic với nhau.Vì vậy sự hình thành khái niệm khoa học có vai trò rất quan trọng trong hoạt động học của học sinh Mỗi khái niệm khoa học chứa đựng trong đó quá trình lịch sử hình thành nó, vì vậy lĩnh hội khái niệm có nghĩa là lĩnh hội cả lịch sử của nó Hơn nữa, khái niệm chứa đựng lôgic phát triển của

đối t-ợng, cấu trúc lôgic thao tác mà loài ng-ời đã sử dụng để phát hiện ra nó

D³y hóc truyền thỗng lấy trình đố “hiểu” l¯m múc đích; gi²o viên cỗ gắng trình bày, giảng giải, mô tả lôgíc khái niệm Với ph-ơng pháp này, học sinh có thể hiểu đ-ợc, có biểu t-ợng về khái niệm, hình dung đ-ợc cấu trúc lôgic hình thức, giải thích và vận dụng đ-ợc vào tình huống quen thuộc nh-ng các em lại không có đ-ợc một năng lực hành động mới thực sự, có tính tổng quát

Tâm lí học hoạt động thì có quan niệm khác hẳn Theo nó, lĩnh hội một khái niệm là học sinh nắm vững, thực hiện đ-ợc lôgic thao tác của nó, do đó,

có thêm một năng lực hành động mới Nh- vậy, để hình thành khái niệm ở

học sinh, giáo viên phải tổ chức cho học sinh hành động tác động vào khách thể theo đúng lôgic của khái niệm mà loài ng-ời đã tìm ra Điều đầu tiên là phải làm nảy sinh ở học sinh nhu cầu nhận thức, nhu cầu lĩnh hội khái niệm

mà nó cần chiếm lĩnh Sử dụng t- liệu lịch sử Toán trong việc gợi động cơ hình thành khái niệm là ph-ơng pháp có rất nhiều -u điểm Thứ nhất, nó định h-ớng đúng đắn để các em khám phá tri thức, các nhà toán học cũng đã tìm ra kiến thức bắt đầu từ đó Thứ hai, từ động cơ ban đầu đó đến khi có khái niệm, quá trình này chứa đựng cả lịch sử hình thành, cấu trúc lôgic của khái niệm

đó Thứ ba, ph-ơng pháp này đem lại hứng thú cho học sinh vì rằng các em sẽ cảm thấy tự mình đã khám phá ra tri thức đó, tất nhiên d-ới sự h-ớng dẫn của giáo viên, thành quả này giúp các em hăng say học tập, tích cực, tự giác, định h-ớng cho các em ph-ơng pháp tự nghiên cứu các vấn đề khác, từ đó rèn luyện t- duy độc lập, sáng tạo cho các em Thứ t-, quá trình học tập đi từ động cơ ban đầu để tìm ra tri thức, các em sẽ trải qua những khó khăn, những mâu thuẫn và học đ-ợc cách giải quyết mâu thuẫn, bồi d-ỡng t- duy biện chứng Mốt sỗ tư liệu l¯m rỏ mỗi liên hệ giửa to²n hóc v¯ thức tiễn, “tụ thức tiễn đến tư duy trụu tượng, tụ tư duy trụu tượng l³i trờ về thức tiễn”, nõ giũp c²c em cõ cái nhìn đúng đắn về thế giới, góp phần hoàn thiện nhân cách của các em

Mặc dù ph-ơng pháp này đòi hỏi khá nhiều thời gian, nh-ng nếu điều chỉnh hợp lí trong giảng dạy nó sẽ đem lại kết quả tốt

1.3 Đặc điểm kiến thức chủ đề “Giới hạn”, “Đạo hàm”, “Tích phân” 1.2.1 Giới hạn

Khái niệm Giới hạn là cơ sở của Giải tích toán học Các khái niệm giới hạn và liên tục đã đ-ợc các nhà toán học nhận thức và sử dụng một cách trực giác ngay từ thời cổ đại Archimède (thế kỷ III TCN) đã biết xem chu vi của một đ-ờng tròn là giới hạn của chu vi các đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp trong

đ-ờng tròn đó Hai nhà toán học ở thế kỷ XVII là Newton và Leibniz đã xây dựng và phát triển phép tính vi tích phân trên cơ sở vận dụng một cách trực

giác khái niệm giới hạn Đến thế kỷ XVIII, nhà toán học Pháp Cauchy mới

đ-a ra định nghĩa chính xác về giới hạn, liên tục

Tr-ớc khi b-ớc vào học về giới hạn, học sinh lớp 11 chỉ t- duy theo kiểu “hửu h³n, rội r³c” cða Đ³i sỗ, nay được l¯m quen với kiểu tư duy “vô h³n, giới h³n, liên túc” của Giải tích Có thể nói đây là b-ớc chuyển biến về chất trong nhận thức, t- duy của học sinh Vì vậy, nội dung của ch-ơng này chiếm một vị trí rất quan trọng

Theo cách xây dựng của sách giáo khoa lớp 11 hiện hành, giới hạn của dãy số là cơ sở để xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số và cuối cùng là đi

đến hàm số liên tục Ngay từ bài đầu tiên học sinh đã gặp khó khăn với định nghĩa giới hạn của dãy số

“Ta nói rằng dãy số (U n ) có giới hạn là a nếu với mọi số d-ơng  cho tr-ớc (nhỏ bao nhiêu tuỳ ý), tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì

U n - a  < 

Định nghĩa khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lần

đầu tiên học sinh tiếp cận với kí hiệu Hi lạp .Học sinh khá thì thắc mắc là tại sao đ± nõi l¯ “với mói sỗ dương  cho trước” còn sừ dúng cúm tụ “nhà bao nhiêu tuự ý” l¯m gì? Thức ra, nếu không cõ lội gi°i thích đõ c²c em sẽ ít chũ tróng đến tính chất “vô cùng bé”, đặc trưng cơ b°n cða Gi°i tích v¯ c²c em cõ thể cảm thấy dễ hiểu hơn nh-ng khi nghĩ đến giá trị  thì t- duy lại theo kiểu

“rội r³c” cða Đ³i sỗ Lội gi°i thích n¯y hướng v¯o kiểu tư duy “liên túc”, tr²nh nhận thức sai lầm ngay từ lần tiếp xúc ban đầu Học sinh kém thì cho rằng lời giải thích này chẳng thể hiểu nổi Trong khi dạy, giáo viên phải l-u ý tới học sinh kí hiệu limUn là sự đơn giản hoá của kí hiệu





n Unlim và các em phải thống

nhất kí hiệu này trong cùng một bài toán bởi đa số học sinh trong khi giải toán th-ờng trình bày kí hiệu một cách rất lộn xộn

Sang phần Giới hạn của hàm số, trong một số tr-ờng hợp học sinh có thể dễ dàng tìm đ-ợc

a x

)x(flim

 nh-ng lại gặp khó khăn với bài toán chứng minh

a

x

)x(

f

lim

 = L bằng định nghĩa Định nghĩa Giới hạn của hàm số đ-ợc

ph²t biểu như sau: “Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K, có thể trừ điểm

a  K Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (x n ) (x n  K, x n  K,  n  N*) sao cho khi limx n = a thì limf(x n ) = L”

Nh- vậy a  K và f(x) xác định trên khoảng K hoặc chỉ cần xác định trên K \ {a}

Đa số bài toán tìm

a x

)x(flim

 bằng định nghĩa đều rơi vào tr-ờng hợp f(x) không xác định tại x = a, khi đó mọi dãy (xn) thoả mãn: xn  K, xn  a là để f(xn) xác định trên K

Một trong những giới hạn quan trọng nhất trong phần giới hạn hàm số

là dạng

0

0

Giáo viên nên đ-a ra ph-ơng pháp cụ thể đối với dạng toán này:

nếu gặp bài toán tìm

a x

)x(flim

 , tr-ớc hết ta thay giá trị a và hàm f(x), nếu f(a)

)x(A)x(B)ax(

)x(A)ax

đ-ợc những phần còn lại của Giải tích

* Các quan điểm định nghĩa sự liên tục - gián đoạn của hàm số tại 1

điểm

Có nhiều điểm khác nhau về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm trong các sách giáo khoa, từ đó có nhiều tranh cãi về điểm gián đoạn Sau đây chúng ta nhìn nhận điểm khác nhau đó trong các sách giao khoa Toán phổ thông của n-ớc ta trong những năm qua

Sách Đại số và Giải tích 11, Ban Khoa học t- nhiên(1996), Phan Đức Chính - Trần Văn Hạo - Ngô Xuân Sơn và sách Đại số và Giải tích 11(1996), Phan Đức Chính - Ngô Hữu Dũng đ-a ra định nghĩa sau:

“Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x = x 0 nếu

i) f(x) xác định tại x = x 0

ii)

0

x x

xf

( ) lim = f(x 0 )”

Hàm số không liên tục tại điểm x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0 Nh- vậy, theo sách này, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu xảy ra ít nhất một trong ba điều kiện sau:

1 f(x) không xác định tại x = x0

2 Không tồn tại

0

x x)x(flim

3 Tồn tại

0

x x)x(flim

 nh-ng

0

x x)x(flim

( ) lim = f(x 0 )”

Nếu tại điểm x0 hàm số f(x) không liên tục thì nó đ-ợc gọi là gián đoạn tại x0

Theo sách chỉnh lý hợp nhất, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu xảy

ra một trong hai điều kiện:

1 Không tồn tại

x x)x(flim

2 Tồn tại

0

x x)x(flim

 nh-ng

0

x x)x(flim

  f(x0)

Nh- vậy, nếu tại điểm x0 hàm số không xác định thì chúng ta không xét tính liên tục cũng nh- tính gián đoạn tại điểm đó Điều này cũng đ-ợc khẳng

định trong Tài liệu H-ớng dẫn giảng dạy Toán 11(trang 74) nh- sau:

” Ta không đặt vấn đề xét tính liên tục hay gián đoạn của các điểm không thuộc tập xác định của hàm số”

Nh-ng đến phần bài tập, ngay từ bài tập 1 đã đ-a ra yêu cầu: Xét xem các hàm số sau đây có liên tục tại mọi x không, Nếu chúng không liên tục thì

chỉ ra các điểm không liên tục, trong đó có xét đến hàm y =

x2x

6x5x

Sách Đại số và Giải tích 11, Ngô Thúc Lanh - Vũ Tuấn - Ngô Xuân Sơn, định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm t-ơng tự nh- sách chỉnh lý hợp nhất 2000:

“Một hàm số f(x) xác định trên tập số D, gọi là liên tục tại điểm x 0  D nếu

Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0

Tuy nhiên sau đõ s²ch đ± đưa ra chũ ý: “Nh- vậy một hàm số f(x) là liên tục tại điểm x 0 nếu và chỉ nếu ba điều kiện sau đ-ợc thỏa mãn đồng thời:

1 f(x) xác định tại x = x 0

2

0

x x

xf

( ) lim tồn tại

3

x x

xf

( ) lim = f(x 0 )

Một hàm số là gián đoạn tại x 0 khi và chỉ khi một trong ba điều kiện không đ-ợc thoả mãn”

Lại có một sự không thống nhất trong quan niệm định nghĩa các khái niệm

1.3.2 Đạo hàm

Ch-ơng Đạo hàm là cơ sở cho phần khảo sát hàm số và có liên quan mật thiết tới ch-ơng Tích phân Nó có vị trí rất quan trọng không những chỉ trong khoa học toán học mà còn cả các ngành khoa học khác Vì vậy, đạo hàm của hàm số là kiến thức quan trọng của Giải tích 12

Tuy đa số học sinh đều tính đ-ợc đạo hàm của các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm l-ợng giác, hàm luỹ thừa, hàm logarit,… nh-ng các em gặp khó khăn khi lần đầu tiên tiếp xúc với đạo hàm hàm số hợp, giáo viên nên cho học sinh luyện tập dạng toán này nhiều Đối với bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa, học sinh thực hiện theo các b-ớc và cho kết quả chính xác Tuy nhiên, yêu cầu các em phát biểu định nghĩa là một trong những bài toán khó nhất trong ch-ơng này

“Cho h¯m sỗ y = f(x) x²c định trên (a, b), x0  (a, b) giới hạn, nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối

số dẫn tới 0, đ-ợc gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0”

Định nghĩa khá phức tạp và dài dòng, vì vậy không thể thuộc nó nếu không hiểu thật kĩ nội dung Học sinh th-ờng phát biểu định nghĩa bằng công

thữc f’(x0) =

x

)x(f)xx

(f

Do vậy, không ít em không nhận ra đ-ợc

0

0 x

x x x

)x(f)x(flim

Mục đích chính của giáo viên khi dạy định nghĩa là làm sao cho học sinh nắm đ-ợc nội dung của nó Chính vì vậy hình thành khái niệm đạo hàm

là một b-ớc rất quan trọng Nếu giáo viên không dạy bài toán mở đầu kĩ càng

mà vội vàng đi ngay vào định nghĩa và các quy tắc tính thì coi nh- không dạy gì cả Nh-ng vấn đề là dạy bài toán mở đầu nh- thế nào thì đem lại hiệu quả

cao nhất?

1.3.3 Tích phân

Sách giáo khoa lớp 12 hiện hành định nghĩa Tích phân dựa vào Định lý Newton - Leibniz Cách xây dựng tích phân nh- vậy tuy không đi theo lịch sử phát triển của tích phân nh-ng nó rất dễ hiểu đối với học sinh và phù hợp với quy định giảm tải của Bộ Giáo dục Kiến thức toán học khi đ-a vào ch-ơng trình phổ thông không nhất thiết phải giống đúc sự hình thành và phát triển của kiến thức đó trong lịch sử toán học; định nghĩa tích phân nh- hiện nay làm cho học sinh dễ tiếp thu và dễ vận dụng vào giải toán Tuy nhiên, khi học xong ch-ơng này rất ít học sinh nhận thấy đ-ợc nguồn gốc thực tiễn của tích phân: khái niệm tích phân ra đời là do bài toán tìm diện tích và thể tích Mặc

dù các bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng, thể tích các hình tròn xoay

đ-ợc học sinh thực hiện khá thành thạo nh-ng là một cách máy móc và chúng không có ấn t-ợng đặc biệt gì đối với các em Đa số học sinh đều cho rằng d-ờng nh- học ch-ơng Tích phân là để tính tích phân, nhiều ng-ời còn đặt câu hài: “Cõ cần thiết ph°i đưa tích phân v¯o chương trình lớp 12 hay không vì cõ nguyên h¯m l¯ qu² đð rọi?”

Học sinh th-ờng mắc sai lầm đối với những bài toán đổi biến dạng 1,

định lý đổi biến nh- sau:

Nếu: 1 Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên []

2 Hàm số hợp f(u(t)) đ-ợc xác định trên []

3 u() = a, u() = b khi đó f(x)dx f(u(t)).u'(t).dt

Trong khi giải các bài toán, học sinh th-ờng không chú ý đến điều kiện

2, vì thế th-ờng mắc phải sai lầm, đặc biệt là những bài toán đổi biến đ-a về hàm l-ợng giác có chứa tg và cotg…

Kết luận ch-ơng 1

- Đổi mới ph-ơng pháp dạy học ở nhà tr-ờng phổ thông theo h-ớng tích cực hoá đ-ợc nhận thức của học sinh, dạy học gợi vấn đề là ph-ơng pháp đem lại hiệu quả cao nhất

- Động cơ là yếu tố định h-ớng, thúc đẩy con ng-ời hoạt động ở học sinh có hai loại động cơ học tập chủ yếu: động cơ bên trong và động cơ bên ngoài Trong dạy học, để tích cực hoá hoạt động nhận thức ở học sinh cần phải hình thành ở các em nhu cầu nhận thức, hiểu biết tức là xây dựng một hệ động cơ mà những động cơ bên trong đóng vai trò chủ đạo trong hoạt động học tập

- Tri thức Toán học có đơn vị cơ bản, nền tảng là các khái niệm Toán học Sử dụng t- liệu lịch sử Toán để gợi động cơ hình thành khái niệm sẽ đem lại hiệu quả học tập rất cao

Ch-ơng 2

dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo h-ớng

tiếp cận lịch sử phát triển của Toán học

2.1 một số t- liệu Lịch sử về các kiến thức giới hạn, đạo hàm, tích phân

Ng-ợc với trình tự trình bày quen thuộc trong các giáo trình Đại học cũng nh- sách giáo khoa phổ thông trong đó bắt đầu bằng phép lấy vi phân rồi sau đó mới nói tiếp phép lấy tích phân trong khi t- t-ởng về phép tính tích phân, xét về mặt lịch sử, lại phát triển tr-ớc t- t-ởng về phép tính vi phân

ý nghĩ về việc lấy tích phân nảy sinh lần đầu tiên trong một quá trình lấy tổng khi tìm một số diện tích, thể tích và các chiều dài cung ít lâu sau, phép tính vi phân mới đ-ợc nghĩ tới cùng với những bài toán về tiếp tuyến của các đ-ờng, những vấn đề về cực đại, cực tiểu của các hàm Về sau nữa mới thấy phép tính tích phân và phép tính vi phân có liên hệ với nhau nh- là các phép toán ng-ợc

1 Nghịch lý của Zénon và ph-ơng pháp vét kiệt của Eudoxus

Trong thời kỳ Hi lạp cổ đại, các tr-ờng phái lập luận toán học khi phát triển đều có dùng đến một trong hai giả định: một đại l-ợng là có thể chia nhỏ

đ-ợc vô hạn hay đại l-ợng đó hợp thành bởi một số rất lớn các nguyên tử nhỏ

bé không thể chia nhỏ đ-ợc Đối với đa số chúng ta thì giả định đầu có vẻ hợp hơn, nh-ng cái lợi ích của giả định thứ hai trong việc tìm tòi khám phá lại làm cho nó mất đi cái vẻ mà t-ởng chừng phi lí của nó

Một số những khó khăn về mặt lôgic trong những giả định đó đã đ-ợc nêu bật lên từ thế kỷ V tr-ớc công nguyên qua bốn điều nghịch lý do Zénon nghĩ ra Các nghịch lý này đã khẳng định rằng chuyển động là không thể có đ-ợc nếu ta

giả định một độ lớn có thể chia nhỏ vô hạn hoặc đ-ợc tạo bởi một số lớn các nguyên tử Ta minh hoạ bản chất các nghịch lý bằng hai điều sau đây:

điểm

8

1

tr-ớc, và cứ thế tiếp tục đến vô hạn Suy ra rằng chuyển động đó

không bao giờ có thể đ-ợc, kể cả ngay từ lúc bắt đầu

2 Mũi tên

Nếu thời gian đ-ợc tạo bởi các khoảng nguyên tử không chia nhỏ đ-ợc thì một mũi tên chuyển động luôn luôn bị đứng yên vì ở bất kỳ khoảng thời gian nào mũi tên cũng ở một vị trí cố định Điều này đúng với mỗi khoảng thời gian nên suy ra mũi tên không bao giờ chuyển động cả

Những nghịch lý của Zénon dựa vào trực giác là: tổng của một số vô hạn các đại l-ợng d-ơng thì lớn vô hạn, kể cả khi mỗi đại l-ợng đó là vô cùng nhỏ và tổng của một số hữu hạn hoặc vô hạn các đại l-ợng có kích th-ớc bằng

0 đều bằng 0 Các nghịch lý này đã loại bỏ các vô cùng bé khỏi phép chứng minh Hi lạp về hình học

Một trong những đóng góp quan trọng sớm nhất cho bài toán cầu ph-ơng hình tròn là của Antiphon, nhà ngụy biện, cùng thời với Socrates Antiphon đã đ-a ra một ý nghĩ cho rằng bằng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh của một đa giác đều nội tiếp trong một vòng tròn, thì hiệu số giữa diện tích của vòng tròn với diện tích của đa giác cuối cùng sẽ bị vét kiệt Vì một hình vuông có thể dựng đ-ợc bằng về diện tích bất kỳ đa giác nào nên nh- vậy

là có thể dựng đ-ợc một hình vuông có diện tích bằng với một hình tròn - lập luận này đã tức thì bị phê phán về mặt căn cứ, cho rằng nó đã vi phạm nguyên

lý các đại l-ợng là chia đ-ợc vô giới hạn, quá trình của Antiphon không bao

giờ có thể sử dụng đ-ợc cho tới toàn bộ diện tích của vòng tròn Tuy vậy, suy nghĩ của Antiphon chứa đựng mầm mống của ph-ơng pháp vét kiệt của ng-ời

Hi lạp

Ph-ơng pháp vét kiệt đ-ợc thừa nhận là của Eudoxus (khoảng 370 TCN), nó đ-ợc coi là câu trả lời của tr-ờng phái Plato đối với những nghịch lý của Zénon Ph-ơng pháp này thừa nhận tính chia hết vô hạn của các độ lớn và

có mệnh đề cơ bản sau: “Nếu tụ bất kì mốt đ³i lượng n¯o bà đi mốt phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác không nhỏ hơn của nó,… thì cuối cùng sẽ còn lại một đại l-ợng nhỏ hơn bất kì đại lượng n¯o được ấn định trước cùng lo³i”

Ta dùng ph-ơng pháp vét kiệt để chứng minh rằng nếu A1 và A2 là diện tích của hai vòng tròn có đ-ờng kính là d1 và d2 thì:

A1 : A1 = d12 : d22Tr-ớc hết, từ mệnh đề cơ bản, ta chứng minh rằng hiệu diện tích giữa một vòng tròn và một đa giác đều nội tiếp có thể làm cho nhỏ bao nhiêu cũng

đ-ợc

Gọi AB là cạnh của một đa giác đều

nội tiếp, M là điểm giữa của cung AB Diện

tích của tam giác AMB bằng nửa diện tích

của hình chữ nhật ABSR, nên lớn hơn diện

tích của nửa hình viên phân AMB

Suy ra rằng: Bằng cách tăng đôi số cạnh của một đa giác đều nội tiếp ta

sẽ làm tăng diện tích của đa giác hơn một nửa hiệu diện tích giữa đa giác và vòng tròn Do đó, bằng cách tăng đôi số các cạnh cho đủ thì ta có thể làm cho hiệu về diện tích giữa đa giác và hình tròn nhỏ hơn bất kỳ một diện tích nào

Trở lại bài toán, giả sử thay vì đẳng thức ta có:

A1 : A2 > d12 : d22Nh- vậy, ta có thể cho nội tiếp vòng tròn thứ nhất một đa giác đều có diện tích P1 khác rất ít so với A1 để P1 : A1 > d12 : d22

Gọi P2 là đa giác đ-ờng dạng với P1, nh-ng nội tiếp trong vòng tròn thứ hai Nh- vậy, từ một định lý đã biết về các đa giác đều đ-ờng dạng thì:

P1 : P2 > d12 : d22 Suy ra: P1 : P2 < P1 : A2 hoặc P2 > A2 , vô lý

Bằng cách t-ơng tự ta chứng minh không thể có bất đẳng thức:

A1 : A2 > d12 : d22 Nh- vậy, nếu A là diện tích và d là đ-ờng kính của một đ-ờng tròn thì

A = k.d2, trong đó k là hằng số

Trong số những ng-ời cổ đại thì Archimède là ng-ời đã có những ứng dụng đẹp nhất về ph-ơng pháp vét kiệt, và ông đã trở thành ng-ời gần gũi nhất với phép tính tích phân hiện nay Ta xét cách cầu ph-ơng của ông một Segment parabol (S)

A, B thuộc cung (S)

L là trung điểm của dây AB

vẽ LC song song với trục của parabol,

C  (S)

M, N là trung điểm các dây AC, BC

Dựng MD, NE song song với

ABC4

ABC

3 2

4

3 )4

14

14

Archimède không sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn nh- trên mà

dùng công cú hai lần “đưa đến vô lý” cða phương ph²p vét kiệt

2 Ph-ơng pháp cân bằng của Archimède

Ph-ơng pháp vét kiệt là một dụng cụ tốt để xác lập nó nh-ng ph-ơng pháp đó lại không dùng đ-ợc để khám phá ra kết quả ngay từ đầu Nh- vậy, làm thế nào mà Archimède đã khám phá ra các công thức mà ông đã xác lập một cách ngắn gọn, rõ ràng bằng ph-ơng pháp vét kiệt? Ng-ời ta đã tìm thấy mốt b°n sao cða luận văn “phương ph²p” cða Archimède gừi cho Eratosthene

đã trả lời cho câu hỏi này

T- t-ởng chính của ph-ơng pháp Archimède là nh- sau:

Để tìm một diện tích hoặc

một thể tích thì cắt nó ra thành một

số rất lớn của dải phẳng mỏng song

song, hoặc các lớp mỏng song

song Archimède đã dùng ph-ơng

pháp này đã tìm ra công thức cho

thể tích hình cầu

Gọi r là bán kính của hình cầu

Đặt hình cầu cùng với đ-ờng

kính cực của nó dọc theo trục x

nằm ngang

Dựng hình trụ tròn xoay và hình nón tròn xoay bằng cách cho quay hình chữ nhật NABS và hình tam giác NCS quanh trục x

Ta cắt từ ba hình khối đó thành 3 lát mỏng thẳng đứng (chúng đều là các hình trụ dẹt), cách N một đoạn bằng x, có chiều dày x

đ-ợc hình thành một cách còn thiếu chặt chẽ Ph-ơng pháp cân bằng của Archimède hoàn toàn chặt chẽ đối với ph-ơng pháp hiện đại về giới hạn và nó cũng sẽ trở thành về mặt cơ bản giống nh- phép tính tích phân hiện nay

3 Phép tính tích phân

Hai tác giả ban đầu của thời cận đại đã dùng những ph-ơng pháp có thể

so sánh đ-ợc với các ph-ơng pháp của Archimède là kĩ s- Simon Stevin (1548

- 1620), ng-ời Plander và nhà toán học Italia Luca Valerio (khoảng 1552 - 1618) Mổi ngưội đều cỗ gắng tr²nh việc “hai lần đưa đến vô lý” cða phương pháp vét kiệt bằng cách trực tiếp cho qua giới hạn khi xét diện tích của một Segment parabol Stevin đã dùng ph-ơng pháp nh- vậy trong công trình của

ông về thuỷ tĩnh học, trong đó ông đã tìm ra áp lực của chất lỏng lên mặt đập

hình chữ nhật thẳng đứng bằng cách chia đập đó ra thành những dải mỏng nằm ngang, rồi cho quay các dải đó quanh các cạnh trên và cạnh d-ới cho tới khi chúng song song với một mặt phẳng nằm ngang Đây chủ yếu là ph-ơng pháp mà hiện chúng ta đang dùng trong các sách giáo khoa sơ cấp về phép tính tích phân

Trong số những ng-ời châu Âu cận đại sớm phát triển t- t-ởng về các vô cùng bé liên quan tới phép tính tích phân phải đặc biệt nhắc tới Johann Kepler Ông đã phải cần đến một thủ tục lấy tích phân để tính những diện tích

có liên quan đến định luật thứ hai của ông về chuyển động của hành tinh và các thể tích nói đến trong luận văn của ông về dung tích của các thùng r-ợu vang Nh-ng Kepler ít kiên tâm bền bỉ với sự khắc khe chu đáo của ph-ơng pháp vét kiệt, và cũng do muốn khỏi mất nhiều thời gian, Kepler coi chu vi của một đ-ờng tròn nh- một đa giác đều có số cạnh vô hạn Nếu mỗi cạnh đó dùng làm đáy của một tam giác có đỉnh tại tâm của hình tròn thì diện tích của hình tròn đó chia đ-ợc thành một số vô hạn các tam giác rất mảnh có chiều cao bằng với bán kính của đ-ờng tròn Vì diện tích của mỗi tam giác đó bằng một nửa diện tích của đáy nhân với chiều cao nên suy ra diện tích của vòng tròn bằng nửa tích chu vi của nó nhân với bán kính Theo quan điểm về tính chặt chẽ của toán học thì những ph-ơng pháp nh- vậy là đáng phê phán, song

nó lại đ-a ra đ-ợc những kết quả đúng hết sức đơn giản Tuy nhiên, những cố gắng của Kepler về tính tích phân đã khiến Cavalieri phát triển ph-ơng pháp những cái không chia đ-ợc của mình

“C²i không chia được” cða Cavalieri l¯ như thế n¯o? Dưộng như c²i không chia đ-ợc của mẩu phẳng là một dây của mẩu đó, cái không chia đ-ợc của một hình khối là một thiết diện phẳng của khối đó Một mẩu phẳng đ-ợc coi là tạo bởi một tập hợp vô hạn các dây song song, và một hình khối tạo bởi một tập hợp vô hạn các thiết diện phẳng song song Cavalieri lập luận rằng nếu ta tr-ợt một phần tử của tập hợp các dây song song của một mẩu phẳng cho tr-ớc dọc theo trục chính của nó sao cho các điểm cuối của dây vẽ nên

một biên liên tục thì diện tích của mẩu phẳng mới đ-ợc hình thành sẽ giống nh- diện tích của mẩu phẳng ban đầu T-ơng tự các thiết diện phẳng của một hình khối cho tr-ớc sẽ cho một hình khối mới có cùng thể tích nh- hình khối lúc đầu Từ đó ta có một nguyên lý gọi là nguyên lý Cavalieri

1) Nếu hai mẩu phẳng A và B đ-ợc chứa giữa hai đ-ờng thẳng song song d1 và d2 Đ-ờng thẳng d bất kỳ song song với d1 và d2 cắt A, B lần l-ợt thành hai đoạn thẳng có độ dài a, b Nếu a = b thì diện tích của mẩu phẳng A bằng diện tích mẩu phẳng B

2) Nếu hai hình khối K1 và K2 đ-ợc chứa giữa 2 mặt phẳng song song () và () Nếu có một mặt phẳng () bất kỳ song song với () và () tạo với K1 và K2 các thiết diện k1, k2 có diện tích bằng nhau thì K1 và K2 có thể tích bằng nhau

Ví dụ, để tính thể tích hình cầu ta xét hai khối sau đây: hình bán cầu bán kính r và hình trụ bán kính r, chiều cao r, bị khoét ra hình nón có đáy trùng với đáy trên của hình trụ, đỉnh trùng với tâm của đáy d-ới hình trụ Nh- vậy cả hai hình khối này đều chứa giữa hai mặt phẳng song song, cách một khoảng r

Ta cắt hai hình khối này bởi một mặt phẳng cách đáy một khoảng h, tạo

ra hai thiết diện cùng có diện tích là  (r2 - h2) Theo nguyên lí Cavalieri, suy

ra hai hình khối đó có thể tích bằng nhau Do đó, thể tích hình cầu đ-ợc cho bởi:

V = 2(thể tích khối trụ - thể tích khối nón) =

= 2 (r3-

3

r3

) = 3

Ph-ơng pháp những cái không chia đ-ợc hoặc một quá trình t-ơng tự nh- vậy đã đ-ợc Torricelli, Fermod, Pascal, Saint - Vincent, Barrow,… sử dụng có hiệu quả Trong quá trình làm việc, họ đã đạt đ-ợc những kết quả t-ơng đ-ơng với việc lấy tích phân các biểu thức nh- xn, sinx, sin2x, 2sinx,…

Năm 1637, Réne Descartes đã xây dựng hệ toạ độ phẳng Thành tựu của R.Descartes đã làm cho việc sáng lập vi - tích phân tiến nhanh Năm 1656 John Wallis cho ra đời cuốn Arithmetica infinitorum Trong cuốn này các ph-ơng pháp của Descartes và Cavalieri đã đ-ợc hệ thống hoá và mở rộng J.Wallis đã vận dụng hình thức đại số, ph-ơng pháp giải tích và lí luận giới hạn hàm số để nêu lên khái niệm tích phân xác định

Tìm diện tích của hình đ-ợc bao bởi đ-ờng parabol đ-ợc thực hiện nh- sau:

Cho đ-ờng parabol xác định bởi ph-ơng trình y = cx2

Đặt ba đỉnh của tam giác cạnh cong là O(0; 0); A(a, 0); B(a, ca2)

Chia OA thành n phần bằng nhau bởi (n+1) điểm chia

Qua các điểm chia, kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với OA, các đ-ờng thẳng này cắt đ-ờng parabol và tạo thành n hình chữ nhật hẹp Khi n tăng đến vô hạn thì tổng diện tích các hình chữ nhật hẹp sẽ tiến đến trị số hữu hạn, đó chính là diện tích S của tam giác cạnh cong

Xét hình chữ nhật hẹp thứ k, chiều rộng

n

a, chiều cao c

3

n

ca

n

11(6

n

11(6

ca3

= 3

1dx

mà Willis không thể làm trực tiếp đ-ợc vì ông ch-a biết tới định lý nhị thức tổng quát

Sau Wallis, nhà bác học Geleigli, ng-ời Anh, đã hoàn thiện ph-ơng pháp tính toán thêm một b-ớc Geleigli đi sâu nghiên cứu cấp số khiến ông trở thành ng-ời tiên phong quan trọng của sự phát triển vi - tích phân

4 Phép tính vi phân

Phép lấy vi phân có thể nói là bắt nguồn từ việc giải bài toán về các tiếp tuyến của đ-ờng cong và tìm các giá trị cực đại, cực tiểu của các hàm số Mặc dầu việc xem xét các vấn đề nh- vậy có thể thấy từ những ng-ời Hi lạp cổ đại, nh-ng có lẽ phải thừa nhận rằng tiền thân của ph-ơng pháp tính vi phân thực

sự bắt nguồn từ những t- t-ởng mà Fermat đã hình thành vào năm 1629

Kepler đã có nhận xét là số gia của một hàm số sẽ trở nên nhỏ tới mức triệt tiêu tại lân cận của một giá trị cực đại hoặc cực tiểu th-ờng Fermat đã chuyển sự kiện này thành một quá trình xác định một cực đại hoặc cực tiểu, ph-ơng pháp nh- sau:

Nếu f(x) có cực đại hoặc một cực tiểu th-ờng tại x, và nếu e rất nhỏ thì giá trị của f(x - e) hầu nh- bằng với giá trị của f(x) Ta sẽ cố tình đặt f(x) - e)

= f(x) và làm cho đẳng thức này trở thành đúng bằng cách cho e nhận giá trị là

số 0 Các nghiệm của ph-ơng trình này sẽ cho những giá trị của x mà f(x) sẽ

là một cực đại hoặc một cực tiểu

Ta xét một ví dụ của Fermat: chia một đại l-ợng thành hai phần sao cho tích của chúng là một cực đại

Fermat dùng cách kí hiệu của Viét, các hằng số thì đ-ợc kí hiệu bằng các chữ cái phụ âm lớn, các biến là các chữ cái nguyên âm nhỏ Cách giải nh- sau:

Gọi B là đại l-ơng cho tr-ớc và kí hiệu các phần phải tìm là A và B-A

Ta viết:

(A - e) [(B- (A- e)] và cho nó bằng với A(B - A), ta sẽ có:

A(B - A) = (A - e) (B - A + e)

 2Ae - Be - e2 = 0

Sau khi chia cho e ta đ-ợc: 2A - B - e = 0

Bây giờ đặt e = 0, ta đ-ợc 2A = B, và nh- vậy là đã tìm ra cách chia cần có

Mặc dầu lôgic trong cách trình bày của Fermat còn thiếu nhiều cái cần

có song ng-ời ta thấy rằng ph-ơng pháp của ông là t-ơng đ-ơng với việc đặt:

e

)x(f)ex(flim0 e

Tuy nhiên, Fermat không biết rằng cho đạo hàm triệt tiêu chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ cho một cực đại hoặc một cực tiểu thông th-ờng Ngoài ra, ph-ơng pháp của Fermat cũng không phân biệt đ-ợc giá trị cực đại và giá trị cực tiểu

Fermat cũng đã nghĩ ra một thủ tục chung để tìm tiếp tuyến tại một

điểm của một đ-ờng cong khi biết ph-ơng trình trong hệ toạ độ Descartes của

nó T- t-ởng của ông là tìm tiếp ảnh của điểm đó, tức là đoạn thẳng AB Ph-ơng pháp này dựa vào một ý nghĩ cho rằng tiếp tuyến là vị trí giới hạn của một cát tuyến khi 2 điểm nó cắt đ-ờng cong tiến tới chỗ trùng nhau Dùng kí hiệu nh- hiện nay thì ph-ơng pháp đó nh- sau:

Cho đ-ờng cong có ph-ơng trình f(x, y) = 0, tìm tiếp ảnh a của đ-ờng cong tại điểm (x, y)

Bằng các tam giác đồng dạng, ta tìm đ-ợc điểm M của tiếp tuyến gần với tiếp điểm nh- sau [x + e, y (1+

a

e

)] Điểm này có ý định đ-ợc coi nh-

cùng nằm trên đ-ờng cong cho nên: f[x + e, y (1+

Đẳng thức này đ-ợc làm cho đúng bằng cách cho giá trị e bằng 0 Rồi ta giải ph-ơng trình để tìm a theo các toạ độ x và y Việc này t-ơng đ-ơng với việc đặt:

a = -y

xfyf

Cho đ-ờng cong ( Giả sử cần tìm tiếp tuyến tại một điểm P nằm trên ( Gọi Q là một điểm trên đ-ờng cong đó Nh- vậy, các tam giác PTM và PQR là rất gần đồng dạng với nhau, do đó:

TM

MPQR

Barrow đã áp dụng ph-ơng pháp này để dựng tiếp tuyến cho các đ-ờng (x2 + y2)x2 = r2y2 (đ-ờng Kappa), x3+ y3 = r3 (đ-ờng Lamé đặc biệt), x3 + y3 =

rxy (Lá Descartes),… Tất nhiên, tỉ số

ngày nay, thủ tục còn đáng ngờ

của Barrow có thể dễ dàng làm cho chặt chẽ bằng cách dùng lý thuyết các giới hạn

5 Mối quan hệ giữa tích phân và vi phân

Trong khi những đóng góp chủ yếu của J.Wallis cho sự phát triển của phép tính vi - tích phân là ở lý thuyết tích phân thì những đóng góp quan trọng nhất của I.Barrow đ-ợc thừa nhận chung là ng-ời đầu tiên đã thấy đ-ợc đầy

đủ một nét khái quát là phép tính vi phân và phép tính tích phân là hai phép toán ng-ợc nhau Khám ph² n¯y được gói l¯ “định lý cơ b°n cða phép tính vi tích phân” v¯ đ± được ph²t biểu củng như chững minh trong Lectiones cða Barrow

Nhiều tích phân đã đ-ợc thực hiện, nhiều việc tìm thể tích, cầu ph-ơng

và cầu tr-ờng đã tỏ ra là có kết quả, quá trình lấy vi phân đã tiến triển và đã dựng đ-ợc tiếp tuyến cho nhiều đ-ờng, t- t-ởng về giới hạn đã chín muồi và

định lý cơ bản đã đ-ợc nhận thức ra, vậy thì còn gì phải làm nữa? Đó là việc cần phải tạo ra một hệ kí hiệu tổng quát cùng với một tập hợp, hệ thống các quy tắc giải tích hình thức cũng nh- phát triển lại cho nhất quán và chặt chẽ những vấn đề cơ bản của chủ đề này Một phép tính vi tích phân thích hợp và tiện dụng đã đ-ợc hai nhà toán học Newton và Leibniz cùng cống hiến nh-ng hoàn toàn độc lập với nhau

Trong quá trình nghiên cứu cơ học, Newton đã dùng toán học làm công

cú v¯ đ± s²ng t³o ra mốt phương ph²p gói l¯ “lý thuyết thông lượng” Trong lý thuyết này, Newton nghiên cứu những đại l-ợng biến thiên đ-ợc đ-a vào nh-

là sự trừu t-ợng hoá các chuyển động cơ học liên tục thuộc các dạng khác nhau Chũng được gói l¯ nhửng “thông vận”, mói “thông vận” đều l¯ c²c biến

số phụ thuộc vào đối số là thời gian Sau đó Newton đ-a vào khái niệm tốc độ

chảy của các thông vận, tức là đạo hàm theo thời gian, chúng đ-ợc gọi là những thông l-ợng Vì thông l-ợng là những đại l-ợng biến thiên nên ta có thể tìm thông l-ợng của thông l-ợng,… Nếu kí hiệu thông vận là y, thì kí hiệu thông l-ợng thứ nhất, thông l-ợng thứ hai,… là y0, y00,… Muốn tính các tốc độ tức thời, tức là các thông lượng, cần nhửng thay đồi “vô cùng bé” c²c thông vận, gọi là moment Kí hiệu moment của thời gian là O, moment của thông vận x đ-ợc cho bởi tích xO

Trong lý thuyết thông l-ợng, Newton đã giải quyết hai bài toán chính: 1- Xác định tốc độ của chuyển động ở một thời điểm đã cho theo một con đ-ờng đã cho, tức là xác định hệ thức giữa các thông l-ợng từ hệ thức đã cho giữa các thông vận

Đây là bài toán vi phân hàm số ẩn, Newton đã tìm ra quy tắc cho mọi thuật tính vi phân các hàm số trong quá trình giải quyết bài toán trên

Ví dụ nh- ông xét đ-ờng bậc ba x3 - ax2 - axy - y3 = 0

2- Bài toán ng-ợc của lý thuyết thông l-ợng:

Xác định đoạn đ-ờng đi đ-ợc trong thời gian đã cho theo tốc độ cho tr-ớc, tức là tìm hệ thức giữa các thông vận theo hệ thức đã biết giữa các thông l-ợng

Đây là bài toán tổng quá về tích phân các ph-ơng trình vi phân bất kì Tr-ờng hợp riêng của bài toán này đề cập tới việc tìm các nguyên hàm Nh- vậy, phép tính tích phân đ-ợc nêu ra, tr-ớc hết, d-ới dạng tích phân không

định hạn

Khác hẳn với Newton, xây dựng phép tính vi tích phân phục vụ cho các bài toán cơ học, Leibniz lại xuất phát từ nội bộ toán học Leibniz đã phát minh phép tính vi tích phân của mình và khoảng giữa những năm 1673 và 1676 Tháng 10 năm 1675, lần đầu tiên ông dùng dấu tích phân hiện đại coi nh- một chữ S dài lấy từ chữ đầu tiên trong từ Latin summa (tổng) để chỉ tổng những cái không chia đ-ợc của Cavalieri Một vài tuần sau, ông đã viết tích phân và

đạo hàm nh- chúng ta viết ngày nay cũng nh- viết tích phân là ydy và

ydx Leibniz đã ứng dụng tam giác Pascal vào việc giải toán dựng tiếp tuyến với đ-ờng cong, dần dần ông nghĩ tới khả năng cộng các hiệu dx và dy là cạnh của tam giác đặc tr-ng Những bài toán về cầu ph-ơng cũng dẫn tới tổng những hiệu nhỏ đó Leibniz đã nêu giả thiết rằng việc giải các bài toán ng-ợc với bài toán tiếp tuyến có thể dẫn hoàn toàn hoặc phần lớn tới các phép cầu ph-ơng Xuất phát từ các bài toán ng-ợc với bài toán tiếp tuyến, Leibniz đã tìm thấy mối liên hệ t-ơng hỗ giữa các ph-ơng pháp dựng tiếp tuyến (phép toán của vi phân) và các phép cầu ph-ơng (phép tính tích phân)

Leibniz đã cố gắng rất nhiều trong việc xây dựng kí hiệu Vì vậy, về sự tiện lợi, kí hiệu của Leibniz đã v-ợt xa kí hiệu của Newton và còn đ-ợc dùng

đến ng¯y nay Năm 1704, trong b¯i viết “B¯n về tìm tích phân đưộng cong”, Newton đã mô tả định lý cơ bản nh- sau:

Giả sử diện tích ABC và

ABDE là do trục CD (BC và BD)

chuyển động trên đ-ờng chuẩn AB

với tốc độ đều tạo thành

Vậy, tỉ sỗ cða “lưu sỗ” (tỉ sỗ

biến đổi) của hai diện tích này

giống nh- tỉ số của hai đại l-ợng