Lý do lựa chọn đề tài
Với sự phát triển nhanh chóng của nền văn minh nhân loại, vật lý học cũng không ngừng tiến bộ, trải qua nhiều giai đoạn và đạt được nhiều thành tựu khoa học quan trọng Vật lý thống kê là một lĩnh vực trong vật lý hiện đại, bao gồm vật lý thống kê cổ điển và vật lý thống kê lượng tử, trong đó vật lý thống kê lượng tử tổng quát và chặt chẽ hơn so với vật lý thống kê cổ điển.
Nhắc đến vật lí hiện đại chúng ta nghĩ ngay đến nhà bác học Anh-xtanh (1879-
1955) là nhà vật lý lý thuyết người Đức, người đã phát triển thuyết tương đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại
Vật lý thống kê là lĩnh vực nghiên cứu hệ nhiều hạt, tập trung vào mối quan hệ giữa các đặc tính vĩ mô và các định luật chuyển động của hạt vi mô thông qua các phương pháp thống kê Các phương pháp này hiện đang được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của vật lý hiện đại, từ vật ngưng tụ đến lý thuyết các hạt cơ bản Việc nghiên cứu thống kê lượng tử cho phép khám phá các tính chất và ứng dụng trong hệ nhiều hạt Do đó, tôi đã chọn đề tài “Thống kê Bose – Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” để có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về hệ nhiều hạt, đồng thời khơi dậy niềm đam mê với bộ môn Vật lý và nhận thức được những ứng dụng quan trọng của nó trong các ngành khoa học khác.
Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu, hệ thống lí thuyết thống kê Bose – Einstein
- Tìm hiểu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt
- Áp dụng thống kê Bose –Einstein để nghiên cứu một số hiện tƣợng vật lí mới.
Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Các hạt đồng nhất Boson.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệlƣợng tử
- Nghiên cứu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt.
Phương pháp nghiên cứ u
- Đọc và nghiên cứu các tài liệu tham khảo
- Phương pháp vật lí lí thuyết
T Ổ NG QUAN V Ề TH Ố NG KÊ BOSE – EINSTEIN
H ệ nhi ề u h ạ t và phương pháp nghiên cứ u h ệ nhi ề u h ạ t
1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt
Hệ nhiều hạt bao gồm hai hạt trở lên, có thể là nguyên tử, phân tử, ion, electron, photon, hoặc neutron trong các hạt nhân lớn Khi số lượng hạt trong hệ tăng lên, tính chất của hệ sẽ thay đổi, tạo ra những đặc điểm mới cho hệ nhiều hạt Bài toán hệ nhiều hạt thực chất liên quan đến hệ phương trình Hamilton trong cơ học cổ điển hoặc phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử.
Khảo sát theo quan điểm cơ học cổđiển
Xét 1 hệ gồm có N hạt tự do, khảo sát không gian pha tức không gian 2Nf chiều đối với hệ có f bậc tự do
Trong trường hợp đơn giản với f = 3, trạng thái của hệ được mô tả bằng 3N tọa độ và 3N vận tốc Cụ thể, trạng thái này có thể diễn tả thông qua 3N tọa độ suy rộng (q1, q2, q3, …, q3N) và 3N xung lượng suy rộng (p1, p2, p3, …, p3N).
Chúng ta sẽ giải các phương trình Hamilton để xác định tọa độ và xung lượng của các hạt trong hệ tại thời điểm bất kỳ, với hệ gồm 6N phương trình và 6N ẩn.
Trong đó H là hamilton của hệ, ̇ và ̇ lần lƣợt là đạo hàm theo thời gian của tọa độ và xung lƣợng
Để xác định trạng thái của hệ N hạt tại một thời điểm cụ thể, chúng ta cần biết 6N điều kiện ban đầu, trong đó T(q,p) và U(q,p) lần lượt đại diện cho động năng và thế năng của hệ.
Khi t = 0, tọa độ suy rộng và xung lƣợng của hệ có dạng: q1(t, q(0), p(0)), q2(t,q(0),p(0)),…, q3N(t,q(0),p(0)) (1.5) p1 (t, q(0), p(0)), p2(t,q(0),p(0)),…, p3N(t,q(0),p(0)) (1.6)
Mỗi trạng thái của hệ được biểu thị bằng một điểm pha (q,p) Sự chuyển động liên tục của các hạt trong hệ dẫn đến sự thay đổi không ngừng về tọa độ và xung lượng theo thời gian, khiến điểm pha di chuyển và tạo ra quỹ đạo pha.
1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt Đối với hệ nhiều hạt (N ≥ 2), một trong những khó khăn khi nghiên cứu đó là có biến số lớn(3N) Vì vậy, ta dựa vào các đặc trƣng khác nhau của hệ để có thể lựa chọn các phương pháp giải bài toán phù hợp Về nguyên tắc, ta chỉ cần giải một sốphương trình nhất định, tìm 6N điều kiện ban đầu của hệ là bài toán sẽ đƣợc giải quyết Tuy nhiên, trong thực tế ta còn gặp phải rất nhiều khó khăn.Vì vậy,đơn giản nhất, căn bản nhất là áp dụng các phương pháp thống kê
1.2 Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson
1.2.1 Giới thiệu về hệ hạt Boson
Boson, được đặt theo tên nhà vật lý Satyendra Nath Bose, là các loại hạt có spin nguyên (0, ±1, ±2…) và không tuân theo nguyên lý Pauli, cho phép chúng nằm cùng một trạng thái lượng tử Tất cả các hạt trong tự nhiên được chia thành hai loại: boson và fermion Boson tuân theo thống kê Bose – Einstein, với các giá trị spin nguyên, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết thống kê spin.
1.2.2 Đặc trưng của hệ hạt Boson
Trong tự nhiên, các hạt được hình thành từ các hạt cơ bản như proton và hạt nhân nguyên tử được phân loại thành hai nhóm chính: Boson và Fermion, dựa trên tổng spin của chúng.
Boson là nhóm hạt sơ cấp có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose-Einstein Nhóm này bao gồm các hạt chịu trách nhiệm cho các tương tác cơ bản trong vũ trụ, như photon cho tương tác điện từ, boson W và Z cho tương tác yếu, gluon cho tương tác mạnh, graviton cho tương tác hấp dẫn, và hạt Higgs.
Charge(e) spin Khối lƣợng(GeV/c 2 )
Hạt photon Y Tự nó 0 1 0 Điện từ
Gluon g Tự nó 0 1 0 Lực tương tác mạnh
Graviton G Tự nó 0 2 0 Lực Chƣa
Boson W, hay còn gọi là hạt W, là một hạt cơ bản có khối lượng gấp 160.000 lần khối lượng của electron, tương đương khoảng 80 lần khối lượng của proton hoặc neutron Khối lượng của hạt W tương đương với khối lượng của nguyên tử Brôm.
Boson W là một hạt mang điện tích, có thể là -1 hoặc +1, và là phản hạt của nhau, nhưng không phải là hạt vật chất Chúng đóng vai trò là hạt truyền tương tác trong tương tác yếu và tồn tại trong một khoảng thời gian rất ngắn, chỉ khoảng 3.10^-25 giây trước khi phân rã thành các dạng khác.
Boson W phân rã tạo thành hoặc là một quark, hoặc là 1 phản quark có điện tích khác hoặc là một lepton điện tích hay phản neutrino.
Biểu đồ Feynman minh họa sự trao đổi cặp Boson W, là một ví dụ điển hình cho sự dao động của hạt trung hòa điện Kaon.
Boson Z, hay còn gọi là hạt Z, là một hạt cơ bản có khối lượng khoảng 91 GeV/c², tương đương với khối lượng của nguyên tử Zirconium Hạt này là trung hòa và không có sự khác biệt trong số lượng tử, do đó phản hạt của boson Z cũng chính là boson Z.
Boson Z là hạt trung gian trong tương tác yếu, không ảnh hưởng đến điện tích do khối lượng lớn hơn nhiều so với photon Trong các lớp năng lượng thấp, hiệu ứng trao đổi boson Z nhỏ hơn so với sự trao đổi photon Boson Z được tạo ra từ quá trình va chạm giữa electron và positron, với năng lượng va chạm đủ để sinh ra boson Z, đã được nghiên cứu tại máy va chạm tuyến tính SLAC.
Theo lý thuyết Gauge, lực giữa các fermion được mô hình hóa thông qua việc tạo ra các boson, đóng vai trò như các thành phần trung gian Hệ Lagrange của các hạt boson này không thay đổi dưới biến đổi gauge, do đó chúng được gọi là Gauge boson Các Gauge boson là những hạt cơ bản chịu trách nhiệm cho các tương tác cơ bản, bao gồm W boson cho lực hạt nhân yếu, gluon cho lực hạt nhân mạnh, photon cho lực điện từ, và graviton cho lực hấp dẫn.
1.3 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein
I M Ộ T VÀI Ứ NG D Ụ NG C Ủ A TH Ố NG KÊ BOSE – EINSTEIN
Áp d ụ ng th ố ng kê Bose – Einstein nghiên c ứ u b ứ c x ạ nhi ệ t cân b ằ ng
2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng
Bức xạ là hiện tượng vật thể phát ra sóng điện từ, thể hiện quá trình lan truyền năng lượng trong không gian Con người có thể kích thích các vật chất phát sóng điện từ thông qua việc truyền năng lượng bằng các tác động hóa học hoặc cơ học.
Phương pháp đơn giản nhất để truyền năng lượng cho vật thể là truyền nhiệt trực tiếp cho vật
Bức xạ nhiệt là loại bức xạ điện từ phát sinh từ chuyển động nhiệt của các hạt điện tích trong vật chất Tất cả các vật thể đều phát ra sóng điện từ vào môi trường xung quanh.
Khi vật có nhiệt độ cao hơn độ không tuyệt đối, sự va chạm giữa các nguyên tử làm thay đổi động năng, dẫn đến tăng tốc độ điện tích và tạo ra dao động lưỡng cực, từ đó phát sinh bức xạ điện từ Ở nhiệt độ thấp, bức xạ điện từ có tần số trong vùng hồng ngoại, và khi nhiệt độ tăng, tần số cũng tăng theo Nếu nhiệt độ giữ nguyên, bức xạ này được gọi là bức xạ nhiệt cân bằng.
Năng lượng bức xạ có khả năng truyền đi mà không cần môi trường trung gian, mặc dù nó có thể bị hấp thụ và phản xạ khi đi qua các môi trường khác nhau Cường độ bức xạ, phụ thuộc vào tần số hoặc bước sóng, là đặc trưng quan trọng của bức xạ Năng lượng này được phát ra qua các vùng bước sóng tương ứng.
Công suất bức xạ là lượng năng lượng mà một vật phát ra trong một đơn vị thời gian, và nó phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối của vật đó Khi nhiệt độ tuyệt đối của vật tăng, công suất bức xạ cũng tăng theo, và ngược lại, nhiệt độ thấp hơn sẽ dẫn đến công suất bức xạ giảm.
Bức xạ vật đen là bức xạ phát ra từ một vật khi nó đáp ứng các đặc tính vật lý của vật đen trong trạng thái cân bằng nhiệt động lực học Công thức nổi tiếng của Planck về mật độ năng lượng bức xạ mô tả quang phổ của bức xạ này, và nó chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật.
Hình 2: Đường cong bức xạ Planck khi nhiệt độ tăng dần.(Ảnh Internet).
Vật đen là một vật có hệsố đặc trƣng cho bức xạ hoặc hấp thụ bằng một.
Vật đen đƣợc xem nhƣ là khí photon có spin S = do đó chúng là các hạt boson.
Chúng ta sẽ khám phá công thức Planck bằng cách áp dụng thống kê Bose – Einstein cho khí photon Trong trạng thái cân bằng nhiệt động, các photon liên tục được bức xạ và hấp thụ, trong khi năng lượng của trường bức xạ giữ nguyên Mỗi photon mang năng lượng tương ứng với tần số của nó, do đó, khí photon có thế hóa bằng không.
Ta đƣợc hàm phân bố photon theo các trạng thái lƣợng tử:
13 f(E) ( ) ( ) = f( (2.1) kí hiệu là năng lượng của photon tương ứng với tần số ; N( là số photon có năng lƣợng
Xét trong không gian vector tổng số trạng thái photon đƣợc xác định bởi ⃗ nằm trong khoảng (k, k+dk) trên một đơn vị thể tích là:
Trong phương trình (2.2), hệ số 2 xuất hiện do trạng thái lượng tử có hai bội suy biến g2, tương ứng với hai phân cực độc lập của photon Khi thay k vào (2.2), ta có số trạng thái photon cho cả hai phân cực với tần số nằm trong khoảng ( : d (2.3).
Vậy ta có thể tính trung bình tổng số photon trong khoảng tần số khảo sát:
( ) (2.4) Tiếp tục ta chia năng lƣợng trung bình nhận đƣợc cho khoảng tần số d ta sẽ thu đƣợc năng lƣợng bức xạ của vật đen:
Công thức phân bố cường độ bức xạ theo tần số (2.5) được gọi là công thức Planck 2.1.2 Các định luật bức xạ a, Định luật Stefan – Boltzmann về bức xạ
Năm 1879, Josef Stefan đã phát triển định lý Stefan – Boltzmann sau khi thực hiện nhiều thí nghiệm về bức xạ nhiệt, dựa trên các đo đạc thực nghiệm của John Tyndall và lý thuyết do Ludwig Boltzmann suy luận vào năm 1884, sử dụng các nguyên lý của nhiệt động lực học.
14 Định lý Stefan – Boltzmann mô tả năng lượng bức xạ từ một vật đen tương ứng với nhiệt độ cụ thể.
Công suất bức xạ nhiệt của một vật tỷ lệ thuận với lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt đối và diện tích bề mặt của vật đó.
Theo công thức Planck (2.5) lượng năng lượng bức xạ vật đen tuyệt đối dưới dạng sóng điện từ có tần số nằm trong khoảng ( có dạng: dE( = =
Từ công thức (2.1.6) ta xác định năng lƣợng toàn phần của bức xạ cân bằng trong thể tích V có dạng:
) (2.7) Đặt x = rồi tính tích phân:
Khi đó (2.1.7) đƣợc viết lại bằng:
Công thức (2.9) là biểu thức của định luật Stefan – Boltzmann
Trong đó: k là hằng số Boltzmann, h là hằng số Planck, c là vận tốc ánh sáng trong chân không
Các thí nghiệm đã chỉ ra rằng những vật thể hấp thụ mạnh bức xạ thường phát xạ tốt, trong khi những vật thể phát xạ mạnh bức xạ lại có khả năng hấp thụ kém.
Mọi vật đều phát ra và hấp thụ bức xạ nhiệt từ môi trường xung quanh, với các vật có mật độ phân tử cao tương tự như vật đen tuyệt đối Định luật Stefan – Boltzmann liên quan chặt chẽ đến quá trình nóng lên và phát sáng của vật rắn, cũng như các thiên thể khí đậm đặc như mặt trời và các ngôi sao.
Ví dụ tính công suất bức xạ: Cho biết công suất bức xạ của Mặt Trời gần bằng
4 W, bán kính Mặt Trời là 6,5 Tính nhiệt độ tuyệt đối ở bề mặt Mặt Trời nếu có thể xem Mặt Trời là vật đen tuyệt đối Tính nhiệt lƣợng của một diện tích là 1 trên bề mặt Trái Đất đƣợc hấp thụ ánh sáng mặt trời trong một giây Cho biết hệ số hấp thụ của Trái Đất là bán kính quỹ đạo của chuyển động Trái Đất quanh Mặt Trời là 1,5 km Tính nhiệt lƣợng đó bằng Cal và eV
Lời giải: Áp dụng công thức tính công suất bức xạ(đối với Mặt Trời) ta đƣợc:
Công suất hấp thụ trên 1 trên bề mặt trái đất:
Năng lượng Mặt Trời phân bố trên một hình cầu có bán kính tương ứng với khoảng cách đến Trái Đất, với năng lượng đạt khoảng 0,0109J mỗi giây Điều này liên quan đến định luật dịch chuyển Wien.
Vào năm 1896, nhà vật lý Wilhelm Wien đã phát triển định luật Wien để mô tả quang phổ bức xạ nhiệt Mặc dù phương trình của ông mô tả chính xác các bước sóng ngắn (cao tần) trong phổ phát xạ nhiệt của vật thể, nhưng lại không phù hợp với thực nghiệm đối với các bước sóng dài (tần số thấp).
Hi ện tƣợng ngƣng tụ Bose – Einstein 18
2.2.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein
Ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là một trạng thái vật chất đặc biệt của khí boson loãng, trong đó các nguyên tử được làm lạnh gần đến nhiệt độ tuyệt đối Ở điều kiện này, một lượng lớn boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, khi chúng giảm đến trạng thái không vận tốc Tại điểm này, các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức vĩ mô, được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô.
Vào những năm 1924 – 1925, hai nhà vật lý Satyendra Nath Bose và Albert Einstein đã tiên đoán sự tồn tại của một trạng thái vật chất mới Dự đoán này dựa trên ý tưởng về phân bố lượng tử cho các photon mà Bose đưa ra để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của vật đen tuyệt đối Einstein sau đó đã mở rộng ý tưởng này cho hệ hạt vật chất.
Trong quá trình nghiên cứu, các thí nghiệm đã chỉ ra sự phức tạp của hệ thống Những nỗ lực không ngừng của Bose và Einstein đã dẫn đến khái niệm khí Bose trong lý thuyết thống kê Bose – Einstein, mô tả phân bố thống kê cho các hạt đồng nhất với spin nguyên Các hạt boson, bao gồm photon và nguyên tử heli-4, có khả năng tồn tại ở cùng một trạng thái lượng tử.
Einstein đã chứng minh rằng khi các nguyên tử Boson được làm lạnh đến nhiệt độ thấp, chúng sẽ tích tụ lại trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể, từ đó hình thành một trạng thái vật chất mới.
Sau khi phát hiện tính siêu lỏng của heli-4 vào năm 1938, Fritz London đã đề xuất các phương pháp gần đúng đầu tiên dựa trên đặc tính siêu chảy của heli-4.
Đến nay, trên toàn cầu đã có 13 nguyên tố được làm cho ngưng tụ, trong đó 10 nguyên tố được phát triển từ 10 nhóm nghiên cứu khác nhau Lí thuyết này mở ra nhiều triển vọng mới trong lĩnh vực khoa học vật liệu.
19 đầu tiên của tương tác khí Bose trong lĩnh vực BEC được xây dựng vào năm 1947 bởi Bogoliubov
Năm 1995, nhóm nghiên cứu của Eric Cornell và Carl Wieman tại phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ tiêu chuẩn quốc gia (NIST) ở đại học Colorado, Boulder, đã tạo ra khí ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên bằng cách làm lạnh nguyên tử khí Rubidi xuống 170 nanoKelvin.
Vào cùng thời điểm, Wolfgang Ketterle tại Học viện Công nghệ Massachusetts đã tạo ra ngưng tụ Einstein cho nguyên tử Natri, duy trì hệ thống 2000 nguyên tử trong thời gian dài, cho phép nghiên cứu các tính chất của hệ Thành tựu này đã giúp Cornell, Wieman và Ketterle giành giải Nobel Vật Lý năm 2001.
Nguyên tử Hydro đã được ngưng tụ thành công vào năm 1998, đánh dấu một bước tiến quan trọng trong nghiên cứu Hai kỹ thuật làm lạnh được sử dụng để tạo ra các nguyên tử BEC loãng trong phòng thí nghiệm bao gồm kết hợp tia laser làm lạnh và làm lạnh bay hơi Kỹ thuật đầu tiên sử dụng bẫy từ-quang với sự dịch chuyển Zeeman để giữ các nguyên tử và làm lạnh chúng xuống khoảng 10 K, sau đó bắn phá bằng các photon từ chùm tia laser phản lan truyền trong không gian ba chiều Kỹ thuật thứ hai loại bỏ đuôi năng lượng cao của phân bố nhiệt từ bẫy, giúp giảm nhiệt độ hiệu quả.
Trong vật lý, hạt được phân chia thành hai loại chính: boson và fermion Boson là các hạt có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose – Einstein Khi nhiệt độ đạt đến độ không tuyệt đối, tất cả các hạt boson có thể đồng thời tồn tại ở trạng thái lượng tử với năng lượng thấp nhất, hiện tượng này được gọi là ngưng tụ Bose – Einstein Trong một hệ khí lý tưởng ba chiều, có sự chuyển động pha mà hệ khí sẽ ngưng tụ ở nhiệt độ thấp hơn một ngưỡng nhất định Sau khi phát hiện hiện tượng ngưng tụ Bose, các nhà vật lý thực nghiệm đã đạt được nhiều thành công trong việc làm lạnh khí fermion, mặc dù quá trình này khó khăn hơn so với boson.
20 Áp dụng thống kê Bose –Einstein cho hệ các hạt có spin nguyên hay spin bằng không (photon, mezon, ) đƣợc gọi là các hạt Boson hay khí Bose.
Hình 4 minh họa trạng thái ngưng tụ của nguyên tử Rubidi, cho thấy sự phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử qua màu sắc Màu đỏ biểu thị nguyên tử chuyển động nhanh, trong khi màu xanh và trắng chỉ ra nguyên tử chuyển động chậm Phía bên trái là trạng thái trước khi ngưng tụ Bose – Einstein, giữa là ngay sau khi ngưng tụ, và bên phải thể hiện trạng thái ngưng tụ rõ ràng hơn Tại đỉnh màu trắng, các nguyên tử có cùng vận tốc, vị trí và trạng thái năng lượng Đối với khí Bose lý tưởng, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng được xác định theo công thức thống kê Bose – Einstein.
Theo lý thuyết lượng tử, các hạt Bose trong thể tích V có thể được mô tả như các sóng đứng De Broglie Do đó, chúng ta có thể xác định dN(k) bằng công thức liên quan đến số sóng đứng với chiều dài vector sóng ⃗ (k, k+dk): dN(k) =
(2.14) theo hệ thức De Broglie giữa xung lƣợng và vector sóng ⃗ :
Ta có thể viết lại (2.14) dưới dạng: dN(p) =
(2.16) Đối với hạt phi tương đối tính (v ):
Do các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với một giá trị spin s của hạt là g = 2s+1 Khiđó: dN( √ √ (2.19)
Nhƣ vậy theo công thức (2.2.1) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng ( là: dn( √ ( √ ) bởi vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình:
∫ √ ∫ ( √ ) (2.20) Đầu tiên ta có thể chứng minh thế hóa học tiếp theo đó ta có thể chứng minh rằng giảm dần khi nhiệt độ tăng lên (
) = ∫ √ (2.21) Hàm dưới dấu tích phân có giá trị bằng 2,31.
Khi hạ nhiệt độ xuống, giá trị có thể tăng từ âm đến một giá trị lớn hơn (nhưng vẫn âm) và cuối cùng đạt đến giá trị cực đại bằng không ở một nhiệt độ nhất định Đối với tất cả các khí Bose, nhiệt độ này rất nhỏ, đặc biệt là đối với Heli-4 Khi nhiệt độ khác không, sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ thấp hơn cả nhiệt độ tới hạn: 0.
Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên Khi đó đối với điều kiện: chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt N’ nhỏhơn N Khi và điều kiện (2.19)
Do số hạt trong hệ là không đổi, kết quả thu được cần được hiểu theo cách đặc biệt Khi xác định số hạt toàn phần N, chỉ một phần số hạt N’ có thể phân bố theo mức năng lượng tương ứng Ở nhiệt độ thấp, một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất, trong khi các hạt còn lại sẽ phân bố trên các mức năng lượng khác theo định luật nhất định.
Sự ngưng tụ Bose là hiện tượng trong đó một số hạt của khí Bose chuyển xuống mức năng lượng không, dẫn đến sự phân bố khác nhau theo năng lượng giữa hai phần của khí Ở nhiệt độ không tuyệt đối, tất cả các hạt trong khí Bose sẽ nằm ở mức năng lượng không.
2.2.2 Đột phá mới trong vật lý với việc tạo ra siêu ánh sáng photon
Lý thuy ế t nhi ệ t dung c ủ a v ậ t r ắ n 25 1 Lý thuy ế t nhi ệ t dung c ủ a Einstein
Lý thuyết cổđiển cho rằng nhiệt dung của vật rắn không phụ thuộc vào nhiệt độ
Nếu xét với 1mol vật rắn, có số nguyên tử bằng số Avogradro thì nhiệt dung của nó đƣợc xác định bằng nhiệt dung mol của vật rắn:
Hằng số chất khí R = 3.18 là một phần quan trọng trong định luật Dulong – Petit, được xác định thông qua các thí nghiệm Việc áp dụng thống kê cổ điển trong điều kiện nhiệt độ cao là hoàn toàn hợp lý và dễ hiểu.
26 khi ở nhiệt độ thấp thì sao? Để giải thích đƣợc thì chúng ta phải đi áp dụng các thống kê lƣợng tử
2.3.1 Lý thuyết nhiệt dung của Einstein
Năm 1907, Einstein phát triển lý thuyết nhiệt dung dựa trên quan điểm lượng tử để khắc phục những hạn chế của lý thuyết nhiệt dung cổ điển, giúp giải thích hiệu quả sự giảm nhiệt dung riêng theo nhiệt độ.
Einstein cho rằng chuyển động của các nguyên tử trong vật rắn là các dao động tử điều hòa ba chiều với tần số được gọi là tần số Einstein Các dao động này có tần số một chiều với phổ năng lượng gián đoạn Năng lượng trung bình của dao động tử được xác định bằng công thức: ̅ = k lnZ, trong đó Z = ∑.
Năng lƣợng trung bình trong hệ là tổng năng lƣợng của 3N dao động tử (mỗi nguyên tử có ba bậc tự do) có giá trị là:
Ta tính nhiệt dung theo định lý Einstein:
Qua đó, ta thấy rằng theo lý thuyết Einstein thì nhiệt dung của vật rắn phụ thuộc vào các nhiệt độ khác nhau Ở nhiệt độ cao
Kết quả này phù hợp với thực nghiệm Ở nhiệt độ thấp
Khi T 0 thì giảm theo định luật hàm mũ, thực nghiệm chỉ ra rằng khi T thấp
2.3.2 Lý thuyết nhiệt dung Debye
Vào năm 1912, Debye đã đƣa ra lý thuyết mới về nhiệt dung chất rắn, lý thuyết này phù hợp nhất, đúng đắn nhất cho nhiệt dung ở nhiệt độ thấp
Debye cho rằng các nguyên tử trong vật rắn dao động với tần số khác nhau, và khi coi vật rắn như một môi trường liên tục, sự truyền dao động trong vật rắn có thể được hiểu là sự truyền sóng âm.
Sóng âm truyền trong vật rắn có thể có3 loại là sóng dọc với vận tốc và sóng ngang phân cực, sóng ngang độc lập với vận tốc
Trong nghiên cứu hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết, ta có thể thay thế nó bằng tập hợp 3N dao động chuẩn, hay còn gọi là “mốt” Đối với sóng dọc, công thức được biểu diễn là d( ) = d (2.30), trong khi đối với sóng ngang, do có hai phân cực, công thức là d(2.31).
Khi đó vận tốc âm trung bình có dạng đơn giản là:
Sốdao động trong vật rắn có tần số trong khoảng từ đến đƣợc xác định: dn( ) = (2.33)
Hệ3N dao động với tần số khác nhau ta lấy tích phân theo tần số :
Tần số cực đại đƣợc gọi là tần số Debye
Năng lương trung bình của mỗi dao động chuẩn là ̅̅̅̅
Nội năng của vật rắn đƣợc xác định:
Số hạng thứ nhất của vế phải không phụ thuộc vào nhiệt độ T nên nhiệt dung đƣợc xác định nhƣ sau:
Ta đặt x = và kí hiệu ; đƣợc gọi là nhiệt độ Debye
Viết dưới dạng ngắn gọn:
Trong đó ∫ đƣợc gọi là hàm Debye Ở vùng nhiệt độ cao:
Xét điều kiện T (thỏa mãn) th ì có giá trị nhỏ
Nếu x rất nhỏ ta lấy xấp xỉ: