TÀI LIỆU ÔN TẬP HÈ TOÁN LỚP 7 LÊN LỚP 8

Trong một tam giác, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là A.giao điểm ba đường trung tuyến.. Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là C.giao điểm ba đường ph

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ LỚP 7 LÊN LỚP 8

−

3 4

Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

x x

++

Câu 8

( ) ( )

Câu 9.Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi x= thì 6 y= 2

a) Hãy biểu diễn y theo x

b) Tìm ykhi x = Tìm x khi 15 y= − 6?

c) Nếu đại lượng ztỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ bằng 1

2 thì y và z là hai đại lượng

tỉ lệ như thế nào với nhau và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu? Tính z khi y= 8

Câu 10. Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 120 cây Tính số cây trồng được ở mỗi lớp, biết rằng

số cây trồng được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với 3 : 4 : 5

Câu 11. Số học sinh của ba khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8 Tính số học sinh của mỗi khối biết

số học sinh của khối 8 ít hơn số học sinh của khối 6 là 20 em

Câu 12. Một cửa hàng có ba tấm vải, sau khi bán đi 1

Câu 14. Ba đơn vị kinh doanh A B C, , góp vốn theo tỉ lệ 2; 4; 6 và sau một năm thu được

tổng 1 tỉ 800 triệu đồng tiền lãi Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi, biết tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đã góp

Câu 15. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 65km h/ , cùng lúc đó một xe máy chạy từ B

đến A với vận tốc 40km h/ Biết quãng đường AB dài 540km và C là điểm chính giữa của

AB Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách C một khoảng bằng nửa khoảng cách từ xe

a) Tính số đo của các góc BAC ,  ADH ,  HAD

b) Kẻ DE AB E// ( ∈AC EK), là phân giác của góc AED Chứng minh EK ⊥AD

Bài 2: Cho ∆ABC có AB=AC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA=MD

a) Chứng minh : ABM∆ = ∆DCM b) AB DC //

c) AM ⊥MC

d) Tìm điều kiện ABC∆ để  30ADC= °

Bài 5: Cho ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối MA lấy điểm E sao cho MA=ME

a) Chứng minh: AC BE//

b) Trên AC lấy điểm I , trên BE lấy điểm K sao cho AI EK= Chứng minh:

, ,

I M K thẳng hàng

Bài 6: Cho ABC có AB< AC Trên tia đối của tia CB lấy điẻm D sao cho CD=AB Trên

nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm Akẻ DxAB lấy điểm E thuộc tia Dx sao cho

DE=BC

b) Lấy P DE∈ sao cho DP =AB Chứng minh : AD BP

c) Tìm điều kiện của ABC để EP⊥BD

d) Gọi O là trung điểm của DB Chứng minh O là trung điểm của AP

Bài 7: Cho ∆ABC có AB< AC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho BD=BC Tia

phân giác của góc ABC cắt AC, DC tại E và F Chứng minh:

a Chứng minh: ∆DBE = ∆CBE

c Từ A kẻ AH ⊥CD H( ∈CD) Chứng minh: AH //BF

Bài 8 Cho ∆ABC(AB=AC), phân giác của góc BAC cắt BC tại M

a) Chứng minh: M là trung điểm của BC

b) Trên tia đối của tia AB AC, lấy điểm E F, sao cho AE=AF Chứng minh:

Câu 10 Đa thức ( ) 3

P x =x – 4x có nghiệm là

A. x = 0 B. x = 0; x= 2 C. x = 0; x= − 2 D. x= 0 ; x= ± 2

Câu 11 Cho tam giác ABC cân tạiA, kẻ AH vuông góc với BC tại H, (H∈BC) Khẳng

định nào sau đây là sai?

A. H là trung điểm của cạnh BC

B. AH là tia phân giác của BAC

C. ∆AHB = AHC∆ (cạnh huyền – góc vuông)

Câu 14 Cho tam giác ABC cân tại Acó BAC =40°, tia phân giác của ACB cắt cạnh AB

tạiD Số đo ADC là

Câu 15 Cho tam giác XYZ vuông tại Y có X  = 60 , YZ ° = 4cm , YH ⊥ ZX (H ∈ ZX) Khẳng

định nào sau đây là sai ?

A.  Z = ° 30 B. XZ = 8cm C. ZH = 6cm D. YH = 2cm

Câu 16 Trong một tam giác, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là

A.giao điểm ba đường trung tuyến B.giao điểm ba đường trung trực

C.giao điểm ba đường phân giác D.giao điểm ba đường cao

Câu 17 Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là

C.giao điểm ba đường phân giác D.giao điểm ba đường cao

Câu 18 Nếu AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì

Câu 19 Cho góc vuông xOy và A B, là hai điểm lần lượt thuộc hai tiaOx Oy, Đường

trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tạiI Gọi H K, lần lượt

là trung điểm củaOA OB, Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. IH = IK B. AIB 180= ° C. OI AB

2

= D. IA = IB

Câu 20 Cho ∆ABC có H là giao điểm của hai đường cao BB' và CC'; A= °50 Phát biểu

nào sau đây là sai ?

Câu 8 Thu gọn các đa thức và sắp xếp theo lũy thừa tăng của biến, Tìm hệ số cao nhất và

hệ số tự do của mỗi đa thức:

nguyên thì a b c; ; đều là các số nguyên

( )

f x =x +ax +bx c+ với a b c; ; là các số nguyên.Chứng minh rằng

Nếu

là một nghiệm nguyên của f(x) thì c x 0

Bài 9 Cho tam giác ABC đều,AB=4cm Trên cạnh AC và cạnh BC lần lượt lấy các

điểm M N, (M và N không trùng với các đỉnh của ∆ABC) sao choCM =BN

Gọi G là giao điểm của AN và BM

a)Kẻ CH vuông góc với AB tại H Tính CH ;

Bài 11 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H Trên cạnh BC

lấy điểm sao cho CM = CA, trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN= AH Biết

AB = 3cm, BC = 6cm

a) Tính độ dài cạnh AC;

c) Chứng minh MAH=MAN và MN⊥AB

Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H, AHcắt BC tại M,

Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với BC;BAM =ECB

b) Lấy điểm K sao cho AB là trung trực củaHK.Chứng minh rằng KAB=KCB

Bài 13 Cho tam giác ABC có AB< AC Hai đường cao AD và BEcắt nhau tại H và

AD=BE (D∈BC E; ∈AC) Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC cân tại C;

c) DE song song với AB

Bài 14 Cho tam giác ABC vuông tại A, ABC>,ACB trung tuyến AM Trên tia đối của tia

CB lấy

Bài 15 điểm D sao cho Clà trung điểm của MD Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao

cho BE=BA Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN =MA

b) Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh ba điểm A M I, , thẳng hàng;

13)

8 4

=Trường hợp 2: 2

5 x − = 0 2

x 1 12

3 3 5

− = +

2 11 x

15 3

= +

7 x 5

15 3

−

1 x 15

− =+ với (x≠ − 2)

3

x

4 3.2.3x− 3.5.3 = 3x

5 6.3x− 5.3 = 3x

5 6.3x− 3x = 5.3

5

3 (6 1)x − = 5.3

5

3 5x = 5.3 5

3x= 35

x=

Vậy x=5

13)

8 4

2 3

x

x = 4 4

5 1

7 6

5 1

7

x x

7

x= − − 13 5

7

x= − 13 : 5 7

x= − 13 35

x= −

7

x+ =

7

x= − 1 5 7

x= − 1 : 5 7

x= − 1 35

− =



⇒  + =

2

x x

=



⇒  = −

232

x x

x x x

k k

6 4

x =

5 4

6 3

x= 10 9

x =

2 10 9

x  

=   100 81

• 2

12y = −5

−

24 5

20 5 4

y

= ⇒ =

4 4

z

= ⇒ =

Ta có x2−y2+2z2 =108

− + là số nguyên thì 7

2n 1

− + là số nguyên

−

− là số nguyên thì 5 2( n− ⇒3) 2n− ∈ ± ±3 { 1; 5}

Ta có bảng giá trị sau :

x x

++

( )2

, 2

2 5 6

x x

( ) ( )

Tính giá trị bằng số của biểu thức (a b b c c)( )( a)

Câu 9.Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi x= thì 6 y= 2

a) Hãy biểu diễn y theo x

b) Tìm ykhi x = Tìm x khi 15 y= − 6?

c) Nếu đại lượng z tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ bằng 1

2 thì y và z là hai đại lượng tỉ

lệ như thế nào với nhau và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu? Tính z khi y= 8

Câu 10 Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 120 cây Tính số cây trồng được ở mỗi lớp, biết

rằng số cây trồng được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với 3 : 4 : 5

L ời giải

Gọi số cây trồng được của lớp 7A là 3x ( x > , x cây) 0

⇒ Số cây trồng được của lớp 7B và 7C lần lượt là 4 , 5x x (cây)

Tổng số cây của 3 lớp là: 3x+4x+5x=12x (cây) Theo giả thiết: 12x=120⇔ =x 10 (cây)

Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 30 cây, 40 cây, 50 cây

Câu 11 Số học sinh của ba khối 6, 7, 8 tỉ lệ với 10, 9, 8 Tính số học sinh của mỗi khối biết

số học sinh của khối 8 ít hơn số học sinh của khối 6 là 20 em

L ời giải

Gọi số học sinh của 3 khối 6, 7, 8 lần lượt là 10 , 9 ,8x x x (x∈  *,x học sinh)

Số học sinh khối 8 ít hơn số học sinh của khối 6 là 20 em nên ta có: 10x−8x=20

2x 20

⇔ = ⇔ =x 10 (học sinh)

Vậy số học sinh của 3 khối 6, 7, 8 lần lượt là 100, 90, 80 học sinh

Câu 12 Một cửa hàng có ba tấm vải, sau khi bán đi 1

2 tấm thứ nhất, 2

3 tấm thứ hai và 3

4

vải lúc ban đầu Biết chiều dài tổng cộng của ba tấm vải là 126 m

L ời giải

Vì sau khi bán đi 1

2 tấm thứ nhất, 2

3 tấm thứ hai và 3

4 tấm thứ ba thì số vải còn lại của ba

tấm là bằng nhau nên số vải ban đầu của 3 tấm tỉ lệ với 2, 3, 4

Gọi số vải của 3 tấm lần lượt là 2 , 3 , 4x x x (x> 0,x m)

Vì chiều dài tổng cộng của ba tấm vải là 126 m nên ta có: 2x+3x+4x=126 ⇔9x=126

Câu 14 Ba đơn vị kinh doanh A B C, , góp vốn theo tỉ lệ 2; 4; 6 và sau một năm thu được

tổng 1 tỉ 800 triệu đồng tiền lãi Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền lãi, biết

tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đã góp

Vậy số tiền lãi mỗi đơn vị nhận được lần lượt là 300 , 600 , 900 triệu đồng

Câu 15 Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 65km h/ , cùng lúc đó một xe máy chạy từ B

đến A với vận tốc 40km h/ Biết quãng đường AB dài 540km và C là điểm chính

giữa của AB Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách C một khoảng bằng nửa

L ời giải

Gọi x y km, ( ) lần lượt là quãng đường ô tô và xe máy đã đi được

Vì quãng đường và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên theo đề ta có :

65 = giờ thì hai xe đến vị trí thỏa mãn yêu cầu bài toán Khoảng cách hai xe khi đó là 540 − − =x y 540 195 120 − − = 225km

b) Kẻ DE AB E// ( ∈AC EK), là phân giác của góc AED Chứng minh

A A

BAH BAH

Bài 2 Cho ∆ABC có AB= AC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA lấy

điểm D sao cho MA=MD

a) Chứng minh : ABM∆ = ∆DCM b) AB DC //

⇒ = = ° = ° tam giác ABC cân có góc 60° nên ∆ABC đều

Bài 5: Cho ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối MA lấy điểm E sao cho MA=ME

b) Trên AC lấy điểm I , trên BE lấy điểm K sao cho AI EK= Chứng minh:

⇒ ∆ = ∆ (c – g – c )⇒CAM =BEM (2 góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong⇒ACBE.

⇒ = ( c – g – c ) ⇒ IMA=KME (2 góc tương ứng)

Lại có, ME MA, là hai tia đối nhau nên    0

Bài 6: Cho ABC có AB<AC Trên tia đối của tia CB lấy điẻm D sao cho CD=AB Trên

nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm Akẻ DxAB lấy điểm E thuộc tia Dx sao cho

DE=BC

a) Chứng minh: AC=CE

b) Lấy P DE∈ sao cho DP =AB Chứng minh : AD BP

c) Tìm điều kiện của ABC để EP⊥BD

d) Gọi O là trung điểm của DB Chứng minh O là trung điểm của AP

Hay AB⊥BD⇔AB⊥BC⇔ABC vuông tại B

Vậy, nếu ABC vuông tại B thì EP⊥BD

ABP

⇒ là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình

bình hành)⇒BD AP, là hai đường chéo của hình bình hành

Mà O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của AP ( Trong hình bình

hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Bài 6: Cho ∆ABC có AB< AC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho BD=BC Tia

phân giác của góc ABC cắt AC, DC tại E và F Chứng minh:

a Chứng minh: ∆DBE = ∆CBE

Hay BF ⊥CD (3)

Ta có: AH ⊥CD (gt) (4)

Từ (3) và (4) suy ra BF // AH (Tính chất từ vuông góc đến song song)

Bài 8 Cho ∆ABC(AB=AC), phân giác của góc BAC cắt BC tại M

a) Chứng minh: Mlà trung điểm của BC

H

F

E D

C A

B

b) Trên tia đối của tia AB AC, lấy điểm E F, sao cho AE= AF Chứng minh:

( ) 3 ( 2 )

2

0 0

4 0

2

x x

Câu 11 Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H, (H∈BC) Khẳng

định nào sau đây là sai?

A.H là trung điểm của cạnh BC

B. AH là tia phân giác của BAC

C. ∆AHB = AHC∆ (cạnh huyền – góc vuông)

D. AB2 = AH2+ HC2

L ời giải Chọn C

Vì ∆MNPcân tại N nên   M = P =2 M 

Suy ra  N + 2 M  =180°(định lý tổng ba góc trong một tam giác) mà  2M− = ° (gt) N 20

N 180 20 : 2 80

Câu 14 Cho tam giác ABC cân tại A có BAC= °40 , tia phân giác của ACB cắt cạnh AB

tại D Số đo ADC là

L ời giải

Ch ọn C

Vì∆ABCcân tại A (gt) ⇒ ABC  = ACB  =(180 ° − ° 40 ): 2 = 70 °(tính chất tam giác cân)

Vì CD là phân giác của  ACB nên  ACD = °70 : 2= ° 35

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác ACD ta có  ADC =180° − ° − ° =35 40 105 °

Câu 15 Cho tam giác XYZ vuông tại Y có X  = 60 , YZ ° = 4cm , YH ⊥ ZX (H ∈ ZX) Khẳng

định nào sau đây là sai ?

A.  Z = ° 30 B. XZ = 8cm C. ZH = 6cm D. YH = 2cm

L ời giải Chọn C

Tam giác XYZ vuông ở Y có   X + Z = ° ⇒90 Z  = ° − ° = ° 90 60 30

Trong ∆ YHZvuông tại H có  Z = ° nên cạnh YH đối diện với 30 Z = ° sẽ bằng nửa 30

cạnh huyền YZ, hay YH = 2cm

Áp dụng định lý Pytago trong ∆ YHZvuông tại H có

H 60°

Y X

Vậy chọn đáp án C

Câu 16 Trong một tam giác, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là

A.giao điểm ba đường trung tuyến B.giao điểm ba đường trung trực

C.giao điểm ba đường phân giác D.giao điểm ba đường cao

L ời giải

Ch ọn C

Câu 17 Trong một tam giác, tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là

C.giao điểm ba đường phân giác D.giao điểm ba đường cao

Câu 19 Cho góc vuông xOy và A, B là hai điểm lần lượt thuộc hai tia Ox, Oy Đường

trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I Gọi H, K lần lượt là

y x

O

Câu 20 Cho ∆ABC có H là giao điểm của hai đường cao BB' và CC'; A= °50 Phát biểu

nào sau đây là sai ?

Trong ∆ABC có A= °50 nên ABC ACB 180 + = ° − ° =50 130°(định lý tổng ba góc)

Suy ra HBC HCB + <130°

V ậy chọn đáp án D

II PH ẦN TỰ LUẬN

Bài 1 Thu gọn các đa thức và sắp xếp theo lũy thừa tăng của biến, Tìm hệ số cao nhất và

hệ số tự do của mỗi đa thức:

CB

A

50°

x= là hai nghiệm của đa thức f x( )

Bài 5 Tìm nghiệm của đa thức f(x) biết

= + + ≥ > Với ∀ ∈x R.Vậy f(x) vô nghiệm

Bài 7 Cho đa thức 2

Vì f(1); ( 1)f − nguyên⇒ f(1) + f( 1) − = 2a+ 2 nguyênc ⇒a nguyên Vì nguyênc

Vậy a b c; ; đều là các số nguyên

Vậy x0 ≠0là một nghiệm nguyên của f(x) thì c x 0

Bài 9 Cho tam giác ABC đều,AB=4cm Trên cạnh ACvà cạnh BClần lượt lấy các

điểm M N, (M và N không trùng với các đỉnh của ∆ABC) sao choCM =BN Gọi

Glà giao điểm của ANvàBM

a) Kẻ CH vuông góc với AB tại H TínhCH;

Và ∆ABN = ∆BCM ⇒BAN=MBC(2 góc tương ứng)

Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:

Bài 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, Mlà trung điểm của BC

Bài 11 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H Trên cạnh BC

lấy điểm M sao cho CM = CA, trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN= AH Biết

Vậy CB=CD = BDvậy tam giác BCDlà tam giác đều

c) Chứng minh MAH=MAN và MN⊥AB

MAH=180o−90o−75o =15o

Xét tam giác AHBta có HAB 180= o−AHB HBA − = 180o− 90o− 60o = 30o

Mặt khác MAN =MAB MAH − = 30o − 15o = 15o Vậy MAH=MAN=15o

ra

Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H, AHcắt BC tại M,

Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với BC;BAM=ECB

b) Lấy điểm K sao cho AB là trung trực củaHK.Chứng minh rằng KAB=KCB

Lời giải

a) Chứng minh AM vuông góc với BC;BAM =ECB

Theo gải thiết ta có CH ⊥ AB; BH ⊥ AC nên Hlà trực tâm tam giác ABC Suy ra

BAM=180o−AMB MBA− 180o−90o−MBA =90o −MBA (1)

Xét tam giác BCEta có

ECB 180= o−CEB MBE− =180o−90o−MBA=90o −MBA (2)

Từ (1), (2) ta suy ra BAM =ECB

b) Lấy điểm K sao cho AB là trung trực củaHK.Chứng minh rằngKAB=KCB

Bài 13 Cho tam giác ABC có AB< AC Hai đường cao AD và BEcắt nhau tại H và

AD=BE (D∈BC E; ∈AC) Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC cân tại C;

c) DE song song với AB

c) Tam giác ABC cân tại C(cma)

⇒ Tam giác CED cân tại C

Bài 14 Cho tam giác ABC vuông tại A, ABC>,ACB trung tuyến AM Trên tia đối của tia

điểm E sao cho BE=BA Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN =MA

b) Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh ba điểm A M I, , thẳng hàng;

b) B là trung điểm của AE

I N

;

3

DC=CM CM =MB⇒DM = DB

⇒M là trọng tâm của ∆DAE

AMC= ABC+BAM =2ABC

2

b BE+CF > BC

3 )