TÀI LIỆU ÔN TẬP HÈ TOÁN LỚP 8 LÊN LỚP 9

nên CE = AD mà AD//CE do AD//BC Vậy tứ giác ACED là hình bình hành f Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi Xét 2 tam giác ABM và FCM có: F MˆCB Mˆ A = đối đỉ

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ LỚP 8 LÊN LỚP 9

ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I PHẦN 1 ĐẠI SỐ

Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 b/(x2 - 2x + 1):(1 -x)

3/ Thế nào là phân thức đại số? Cho ví dụ?

4/Định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Áp dụng: Hai phân thức sau

x

x− và 3

x x

x x

−

+

−2

2

34

có bằng nhau không?

5/Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số?

Áp dụng: Hai phân thức sau bằng nhau đúng hay sai?

)8(2

)8

)8( −x 2

6/ Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số Áp dụng : Rút gọn

18

48

3 −

−

x x

7/ Muốn qui đồng mẫu thức các phân thức đại số ta làm thế nào ?

B/ BÀI TẬP:

I / NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

x y xy+ x − xy Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

II/ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

2

10x a−2b − x +2 2b−a g) 2( )2 2( )2

(x +6x+5)(x +10x+21) 15+III/ CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC , CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN

Bài 3: Xác định số hữu tỉ sao cho:

a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3

b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3

c) Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a

Bài 4 Chứng minh rằng:

a a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho 6 với a ∈ Z

b a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho 5 với a ∈Z

x

43

169

+

=+

a/ Tìm điều kiện của x để phân thức được xác định

b/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng -1

x

3

32

2 ++ ; b)

62

3+

x

62

64

3 2

x x x

−

2

102

2

x

x x

a Tìm điều kiện xác định của M

b Rút gọn M

c Tính giá trị của M khi x =

2

1

Bài 3: Cho biểu thức N = 1 3 2 1 : 21

c Tìm giá trị của y để N luôn có giá trị dương

Bài 4: Cho biểu thức :

12

1

2 3 4

3 4

+

−+

−

+++

=

x x x x

x x x

3 Định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang

4 Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

5 Diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, tam giác

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao M là trung điểm AB Gọi D là

điểm đối xứng của H qua M

a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật

b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H Chứng minh: Tứ giác AENB là hình thoi

d) MN cắt BH tại K Chứng minh: BE = 3BK

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng của B qua C

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành

b) Gọi M là trung điểm của BC Tia AM cắt tia DC tại F Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC Tia BI cắt DE tại K Chứng minh KI =

6

1 AE

Kẻ HD ⊥ AB tại D và HE ⊥AC tại E

a) Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

b) Gọi F là điểm đối xứng của điểm H qua điểm E

Chứng minh: Tứ giác ADEF là hình bình hành

d) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: AM ⊥ AF

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) Gọi M là trung điểm của BC Trên tia đối

của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I Vẽ IH ⊥ AB (H ∈ AB) Chứng minh ∆IKB cân

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi G, H và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và

BC

a) Chứng minh tứ giác BCHG là hình thang

b) Gọi O là điểm đối xứng với E qua H Chứng minh tứ giác EAOC là hình bình hành c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM

Vẽ HD ⊥ AB, HE ⊥ AC (D ∈ AB, E ∈ AC)

a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AB AC = AH BC

b) Gọi P là điểm đối xứng của A qua E Tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi V là giao điểm của DE và AH Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng MV Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy

Bài 8 Cho ∆ABC cân tại A Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC

a/ Cho BC = 10 cm Tính độ dài DE

b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân

c/ Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE Chứng minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật

d/ Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM Gọi D là trung điểm của

AB

a/ Chứng minh: MD ⊥ AB

b/ Gọi E là điểm đối xứng với M qua D Chứng minh tứ giác EACM là hình bình hành c/ Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi

d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Gọi M, N, K thứ tự là trung điểm của

AB, AC và BC

a) Chứng minh KN 1AB

2

 và ABKN là hình thang vuông

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN và cắt tia KN tại Q.Chứng minh AKCQ là hình thoi

c) MN cắt BQ tại O và AK cắt BN tại I Biết BC = 24cm, tính độ dài OI

Bài 11 Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm Gọi M là trung điểm của cạnh

AB, N là trung điểm của cạnh AC

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành

c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật

Gọi E là điểm đối xứng của D qua M Chứng minh tứ giác BDAE là hình thoi

Bài 12: Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC Gọi M là trung điểm BC Từ M kẻ MN vuông

góc với AC tại N, kẻ ME vuông góc với AB tại E

a) Chứng minh tứ giác ANME là hình chữ nhật và tứ giác NMBE là hình bình hành

b) Vẽ D đối xứng M qua E Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi

c) Vẽ đường cao AH của ∆ABC Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân

Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB bằng 2 lần đáy nhỏ CD Gọi I là

trung điểm AB Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E

a) Chứng minh AICD và BCDI là các hình bình hành

b) Chứng minh AD = DE

c) Giả sử A = D = 900 và AD = CD Chứng minh BC ⊥AC

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A AB( < AC) và M N P , , lần lượt là trung điểm của AB AC BC , ,

a) Chứng minh: Tứ giác BMNP là hình bình hành

b) Vẽ Q đối xứng với P qua N Chứng minh: Tứ giác APCQ là hình thoi

c) Vẽ R đối xứng với P qua M Chứng minh: R A Q , , thẳng hàng

Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm

của AB, BC và AC

a) Chứng minh tứ giác AMNK là hình bình hành

b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC Tứ giác MKNH là hình gì? Vì sao?

c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua M AH và IC lần lượt cắt MK tại E và F Chứng minh HC – HB = 2EF

ÔN T ẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ II

D ẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

b) Tính giá trị của Q biết 2

2x +6x= 0c) Tìm x để Q= − x

d) Tìm x để Q< 1

e) Tìm điều kiện của m để luôn có giá trị của x thỏa mãn Q m=

Câu 5 Cho biểu thức 2 2 2 : 2 1 62 2

Câu 7 Cho biểu thức 2 42 2 2 : 22 3 3

+ + − − với x≠ −3;x≠ 2a) Chứng minh 4

2

x M x

−

=

− b) Tìm x biết M = −3

c) Tính giá trị của M biết 2 ( )2

x + x+ = x− d) Tìm giá trị của tham số m để phương trình M =m có nghiệm duy nhất

Câu 9 Cho biểu thức 1 23 8 2 4

x P

x

−

=+ với x≠ −1; x≠1; 1

2

x≠ − a) Tính giá trị của biểu thức B khi 4x2= 1

Câu 13 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 45km h/ Lúc về người đó đi với vận tốc

40km h/ nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 10 phút Tính quãng đường AB

Câu 14 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km h/ Khi đến B người đó

nghỉ 20 phút rồi quay về A với vận tốc trung bình 25km h/ Tính quãng đường AB,

biết rằng thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút

Câu 15 Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km h/ Sau đó 30 phút, một xe con

xuất phát từ B để đi đến A với vận tốc 60km h/ Biết quãng đường AB dài 80km Hỏi sau bao lâu kể từ khi xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau?

Câu 16 Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30 km/h Trên quãng đường

từ Đền Hùng về Hà Nôi, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 36 phút Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng

Câu 17 Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm trong một ngày Do cải tiến kỹ thuật, anh đã

làm được 80 sản phẩm một ngày Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày và còn làm thêm được 40 sản phẩm nữa Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế

hoạch

Câu 18 Một tổ dự định mỗi giờ dệt 28m vải Nhưng thực tế mỗi giờ, tổ đó đã dệt ít hơn 4m vải

Do vậy, tổ đã làm quá thời gian dự định 2 giờ mà còn thiếu 5m vải nữa mới hoàn thành

kế hoạch Tính số vải tổ đó phải dệt theo kế hoạch

Câu 19 Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm trong một thời gian nhất định Trước khi thực

hiện, xí nghiệp giao thêm cho người đó 29 sản phẩm nữa Do đó mặc dù mỗi giờ người

đó đã làm thêm 3 sản phẩm nhưng vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút Tính năng suất dự kiến

Câu 20 Hai công nhân cùng làm một công việc trong 4 ngày thì xong Biết rằng nếu làm một

mình xong công việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc

Câu 21 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 48m Nếu tăng chiều rộng lên 4lần và chiều dài

lên 3 lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu

Câu 22 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do áp dụng

kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18%và tổ II vượt mức 21% Vì

vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu?

Câu 23 Một đội xe tải vận chuyển 28tấn hàng đến một địa điểm quy định Vì trong đội có 2 xe

bị điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa Tính số xe của đội lúc đầu

Câu 24 Một hình chữ nhật có chu vi là 78 cm Nếu giảm chiều dài đi 3 cm và tăng chiều rộng

thêm 4 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu

Câu 25 Hai giá sách có 140 quyển sách, nếu chuyển 10 quyển từ giá sách thứ nhất sang giá sách

thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất bằng 2

5 số sách ở giá thứ hai Tìm số sách ở mỗi giá

Câu 26 Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 Nếu đổi

chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới nhỏ hơn số đã cho 36

D ẠNG 3: GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 27 Giải các phương trình sau:

x x

−

≤

−9)

2

3

13

x x

+ ≥+11) ( 2 )

Câu 31 Cho góc xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA=3cm, OB=8cm Trên

Oy lấy hai điểm C và D sao cho OC=4cm, OD=6cm

a) Chứng minh ∆OAD∆OCB

b) Gọi I là giao điểm của AD và BC Chứng minh IA ID =IB IC

c) Tính tỉ số diện tích của ∆IAB và ∆ICD

Câu 32 Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CE cắt nhau tại H Chứng minh rằng:

a) A E AB =AD AC

b) AED=ACB

c) Tính diện tích tam giác ABC biết AC=6cm, BC=5cm, CD=3cm

d) MAI =BDI , từ đó suy ra AB là tia phân giác của MAK

Câu 35 Cho hình vuông ABCDvà một điểm E bất kì trên cạnh BC kẻ tia Ax vuông góc với

AE cắt CD tại F Kẻ trung tuyến AI của tam giác AFE và kéo dài cắt CD tại K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AK tại G Chứng minh rằng:

a) AE= AF

b) Tứ giác EGKFlà hình thoi

c) Tam giác FIK đồng dạng tam giác FCE

d) EK =BE+DKvà khi E chuyển động trên BC thì chu vi tam giác ECK không thay đổi

Câu 36 Cho tam giác đều ABC Gọi O là trung điểm của BC Tại O dựng góc  60xOy = ° Tia

Oxcắt cạnh AB tại M , tia Oy cắt cạnh AC tại N

a) Chứng minh tam giác BOMvà CNO đồng dạng

b) Chứng minh rằng 2

4

BC = BM CN c) Chứng mỉnh rằng BOM và ONM đồng dạng và OMlà phân giác của BMN

c) Cho AH =6cm BC, =9cm Tính diện tích tam giác AMN

d) Gọi P là điểm đối xứng với H qua AB, đường thẳng qua B và vuông góc với BC

cắt AP tại I Chứng minh MN AH CI đồng quy , ,

Câu 38 Cho tam giác ABC AB AC( < ) có đường phân giác AD Hạ BH, CK vuông góc với AD

a) Chứng minh ∆BHD đồng dạng với ∆CKD

b) Chứng minh AB AK =AC AH

c) Chứng minh DH BH AB

DK = CK = AC

d) Qua trung điểm M của cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AD và cắt cạnh AC

tại E, cắt tia BA tại F Chứng minh BF =CE

Câu 39 Cho hình chữ nhật ABCD M là hình chiếu của A trên BD

a) Chứng minh: ∆ABD đồng dạng với ∆MAD

Câu 40 Cho ∆ABC vuông tại Ađường caoAH

a) Chứng minh: ∆ABH ∽∆CAHvà AH2 =BH CH

b) Cho BH =4cm CH, =9cm Tính AH AB ,

c) Gọi Elà điểm tùy ý trên AB Đường thẳng qua Hvuông góc với HEcắt ACtại F

Chứng minh rằng: AE CH =AH FC

d) Tìm vị trí của điểm Etrên ABđể diện tích ∆EHFnhỏ nhất

Câu 41 Cho ∆ABC vuông tại (A AB< AC), Dlà trung điểm của BC Đường thẳng qua Dvà

vuông góc với BCcắt AC AB lần lượt tại , Evà F

a) Chứng minh: ∆AEF∽∆DECvà EA EC =ED E.F

b) Chứng minh:  ADE=ECF

CA CE+BA BF =BC

d) Trên tia đối của tia CBlấy điểm Kbất kì, đường thẳng dtùy ý đi qua Kcắt FC FB,

lần lượt tại M và N Chứng minh rằng: BK CK

BN −CM không phụ thuộc vào vị trí của Kvà đường thẳng d

D ẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN KHÁC Câu 42 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các hiểu thức

x G x

+

=+ ;

x

− +

=+ có nghiệm nhỏ hơn 1

Câu 44 Chứng minh với mọi x phương trình: 2

x+ + − = −x x + x− vô nghiệm

Câu 45 Tìm các giá trị nguyên của x để 10 2 7 5

Bài 1 Cho hai biểu thứcA x 2

=+ c) Cho P=A B Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình P=m có nghiệm duy nhất

Bài 2 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 50km/h, sau đó 30 phút, một ô tô cũng xuất

phát từ A đến B với vận tốc60kkm/h Tính độ dài quãng đường AB biết cả hai xe đến B cùng lúc

Bài 3 Giải các phương trình và bất phương trình sau

Bài 4 (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại ,A ( AB< AC), đường cao AH

a) Chứng minh ∆BHA∽∆BAC Từ đó suy ra 2

BA =BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng đi qua B và vuông góc với CI tại K

Chứng minh rằng CH CB =CI CK

c) Tia BK cắt tia HA tại D Chứng minh rằng  BHK=BDC

d) Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho BM =BA Chứng minh rằng

ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 2

Câu 1 (2 điểm) Cho hai biểu thức 2 2

1

x A x

=

− c) Đặt P= A B Tìm x để P≤1

Câu 2 (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Hai lớp 8A và 8B của một trường có tổng 95 học sinh Trong đợt quyên góp sách vở tặng các em học sinh vùng lũ lụt mỗi học sinh lớp 8A ủng hộ 5 quyển, mỗi học sinh lớp 8B ủng hộc 3 quyển Tính số học sinh của mỗi lớp, biết rằng cả hai lớp ủng hộ được 379 quyển vở

Câu 3 (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

Câu 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) Kẻ đường cao AH, phân giác

BD Gọi I là giao điểm của AH và BD

a) Chứng minh : ∆ABD ∽ ∆HBI

b) Chứng minh : 2

AB =BH BC Tính AH khi BH =9cm, HC=16cm

c) Chứng minh : ∆AID cân và DA2 =DC IH

d) Gọi K là hình chiếu của C trên BD, P là hình chiếu của K trên AC, Q là trung

điểm của BC Chứng minh K, P, Q thẳng hàng

Câu 5 (0,5 điểm) Cho x, y, z là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

x y z+ y z x+z x y ≥ + +x y z

81a x y – 36x y – 18ax y – 18ax y : −9x y =

Để đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3 thì 18

3

a x

++ = 0

b) Phân thức E bằng -1 khi:s

( )( )2

3

2

x x x

−

2

102

2(

1

c )Tính giá trị của M khi x =

1

23

1 =3

1

25

1

=5

2

1

2 2 3 4

3 4

2 3 4

3 4

+

−++

−

+++

=+

−+

−

+++

=

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

1

11

11

111

1

11

2 2 2

2

2 2

2 2

3 2

−

+

−+

=

++

−

++

=+

−++

−

+++

=

x

x x

x

x

x x x

x x x

x x x

x x

x

x

x x

x

F là trung điểm của AC (gt)

K là trung điểm của CD (gt)

KF là đường trung bình của tam giác ACD

E là trung điểm của BD (gt)

M là trung điểm của AB (gt)

EM là đường trung bình của tam giác ABD

Gọi I là trung điểm của AD

HS chứng minh được: IE // AB và IF // CD (sử dụng đường trung bình)

K

M

F I

c) Chứng minh: tam giác HCD là tam giác cân

Ta có: AD // KF và EH  AD suy ra: KF  EH

EK // BC và FH  BC suy ra: EK  FH

Nên H là trực tâm tam giác EFK

KH  EF mà EF // CD nên KH  CD

HK là đường cao tam giác HCD

Mà HK là đường trung tuyến tam giác HCD (KC = KD)

Nên Tam giác HCD cân tại H

.3

23

BH

Vậy BE = 3BK

Bài 3:

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng của B qua C

e) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành

Ta có BC = CE (E là điểm đối xứng của B qua C)

nên CE = AD

mà AD//CE (do AD//BC)

Vậy tứ giác ACED là hình bình hành

f) Gọi M là trung điểm của BC Tia AM cắt tia DC tại F Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi

Xét 2 tam giác ABM và FCM có:

F

MˆCB

Mˆ

A = (đối đỉnh)

BM = CM

090M

CˆFM

Gọi N là giao điểm của AC và BI

Ta có tứ giác ACED là hình bình hành, I là giao điểm của AE và CD

nên I là trung điểm của AE

Tam giác ABE có 2 đường trung tuyến AC và BI cắt nhau tại N

nên N là trọng tâm của ∆ABE

Vậy IK =

6

1AE

Bài 4:

a) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) b) Ta có AD//HE và AD = HE (cạnh đối HCN)

Có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác ABC ⇒AM = MC = BC/2

⇒∆AMC cân tại M ⇒  MAC=C ⇒MAC =AFE(= C = AHE)

b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A

Chứng minh tứ giác ADBE là hình

C M

H B

CM: HK = BH

CM: ∆IKB cân

Bài 6:

a) Xét tam giác ABC có

G là trung điểm của AB (gt)

H là trung điểm của AC (gt)

Vậy GH là đường trung bình của tam giác ABC

H là trung điểm của AC (gt)

H là trung điểm của OE (O đối xứng với E qua H)

Vậy tứ giác AECO là hình bình hành

c) Chứng minh được tứ giác AGEH là hình bình hành

=> Hai đường chéo AE và GH cắt nhau tại trung điểm của AE và GH

Chứng minh được tứ giác ABEO là hình bình hành

=> AE cắt BO tại trung điểm của AE và BO

Điều phải chứng minh

Bài 7

O

E

H G

A

EAD= ( ∆ ABC vuông tại A)

Vậy tứ giác AEHD là hình chữ nhật

1 21 2

Vậy tứ giác DHPE là hình bình hành Giải thích

c) Gọi F là giao điểm của Ax và BC

V là trực tâm tam giác AMF (MV⊥Ax; AV⊥BC)

Đồng thời EAV +ACM =900(tam giác ACH vuông tại H)

D là trung điểm của AB (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

Suy ra DE là đường trung bình của ∆ABC

(do ∆ABC cân tại A)

Nên tứ giác BDEC là hình thang cân

c) Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE Chứng minh

tứ giác DHKF là hình chữ nhật

• Xét ∆ABK có:

D là trung điểm của AB (gt) (1)

DH // BK (do DE // BC)

Nên H là trung điểm AK (H ∈ AK) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DH là đường trung bình của ∆ABK

d) Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

- Chứng minh tứ giác DEKB là hình bình hành

- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật DHKF

Nên O là trung điểm của DK và HF (*)

- Hình bình hành DEKB có O là trung điểm của đường chéo DK (cmt)

Nên O cũng là trung điểm của đường chéo BE (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

Bài 9:

a/ Tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của AC (gt)

⇒ MD là đường trung bình của ∆ABC

⇒ MD // AB

Mà AC ⊥ AB (vì tam giác ABC vuông tại A)

⇒ MD ⊥ AB

b/ Ta có:

MD = AC : 2 (vì MD là đường trung bình của tam giác ABC)

MD = ME : 2 (vì E đối xứng với M qua D)

⇒ AC = ME

Mà AC // ME (vì AC // MD)

⇒ Tứ giác EACM là hình bình hành

c/ Xét tứ giác EAMB có:

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của EM

B

⇒ Tứ giác EAMB là hình bình hành

Mà EM ⊥ AB (vì MD ⊥ AB)

⇒ Tứ giác EAMB là hình thoi

d/ Ta lại có: tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

Nên T/g ABKN hthang vuông

b) C/m được BNQM là hình bình hành.N là trung điểm của QK

C/m được AKCQ là hình bình hành.KQ⊥AC

Hình bình hành AKCQ là hình thoi

c) Chứng minh được I là trọng tâm của tam giác ABC, C, I, M thẳng hàng Gọi V sao cho I

là trung điểm của MV OI=1/2NV=1/2.1/2AI=1/4.2/3AK=1/6AK; OI=2cm

N

M là trung điểm ED (E và D đối xứng qua M)

⇒Tứ giác BDAE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Nên tứ giác BDAE là hình bình hành

Mà ED ⊥ AB (do AMDN là hình chữ nhật)

⇒Tứ giác BDAE là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc)

Bài 12:

a) Chứng minh đúng tứ giác ANME là hình chữ nhật

Chứng minh được E là trung điểm của AB

33

b) Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình bình hành

Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình thoi

c) Chứng minh được NH = NA

Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân

Bài 13:

a/ AICD, BCDI là các hình bình hành (đúng dấu hiệu: 2

cạnh đối song song và bằng nhau)

a)Ta có M là trung điểm củaAB(gt)

N là trung điểm của AC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

=>MN//BC và MN = 12 BC

=>MP//BPvà MN = BP

=>Tứ giác MBPN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Tứ giác APCQ là hình bình hành( Vì NA=NC ; NP = NQ (gt) mà AP là trung tuyến ứng

với cạnh huyền trong ∆ ABC vuông tại A (gt) nên AP = PC

E

D

C

B I

A

TÀI LIỆU ÔN TẬP HÈ NĂM 2021

Do đó hình bình hành APCQ là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau) c) Chứng minh tứ giác ARBP là hình thoi =>đường chéo AB là phân giác của RAP� =>𝐴̂1= 𝐴̂2(1)

Tứ giác APCQ là hình thoi (cmt) =>đường chéo AC là phân giác của PAQ� =>𝐴̂3= 𝐴̂4(2)

b) Chứng minh MKNH là hình thang cân

c) chứng minh ME là đường trung bình của tam giác ABH → ME = BH/2

chứng minh KF là đường trung bình của tam giác CIA → KF = AI/2

b) Tính giá trị của Q biết 2

2x +6x= 0c) Tìm x để Q= − x

−

=+ với x≠ 3; x≠ − 3

b) Tính giá trị của Q biết 2

Với x= − 3 không thỏa mãn điều kiện

Với x= 0 thỏa mãn điều kiện 0 3 3



⇔ + − + = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔  =

Vậy x= 1 thì Q= − x

d) Tìm x để Q< 1

Vậy m≠ 0 hoặc m≠ 3 thì luôn có giá trị của x để Q m=

Câu 51 Cho biểu thức 2 2 2 : 2 1 62 2

b) Tính giá trị của A biết 2x+ =1 3

Với x= − 2 không thỏa mãn điều kiện xác định

Với x= 1 thỏa mãn điều kiện xác định 12 1 1

d) Tìm x để 3

4

B=−e) Tìm x để B< 0

f) Tìm GTLN của biểu thức M biết 2 :

L ời giải

2

x x B

x

+ +

=

−

x x B

x x B