THUYẾT TRÌNH CHỨNG MINH ĐỊNH ĐỀ V CỦA EUCLIDE

1.4 Định đề V của Euclide 1.4.1 Định đề V trong chương trình hình học ở phổ thông: - Sau khi đưa ra các khái niệm cơ bản và dựa trên khái niệm dời hình hoặc khái niệm khoảng cách của h

Come in!

1.4 Định đề V của Euclide

1.4.1 Định đề V trong chương trình hình học ở phổ thông:

- Sau khi đưa ra các khái niệm cơ bản

và dựa trên khái niệm dời hình hoặc khái niệm khoảng cách của hai điểm và độ

lớn của góc người ta so sánh các đoạn

thẳng và các góc.

Sau đó ta có các định lí sau:

• i) Các định lí về sự bằng nhau của các

tam giác thường và tam giác vuông.

• ii) Định lí về sự bằng nhau của hai góc ở đáy trong một tam giác cân.

• iii) Định lí về góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

• iv) Định lí về mối quan hệ giữa độ lớn

của cạnh và góc đối diện trong một tam giác.

• v) Các định lí về việc so sánh độ dài các đoạn vuông góc và đoạn xiên.

• vi) Các định lí về sự so sánh độ lớn của một cạnh với một tổng hoặc hiệu của hai cạnh còn lại trong một tam giác.

1.4.2 Sự tương đương của định đề V với tiên

đề Euclide

• Định đề V của Euclide: Nếu một đường thẳng cắt

hai đường thẳng khác tạo nên hai góc trong cùng phía

có tổng nhỏ hơn hai góc vuông thì hai đường thẳng

đó phải cắt nhau về phía có hai góc nói trên đối với

đường thẳng cắt.

•Tiên đề Euclide về đường song song: Trong mặt

phẳng qua một điểm ở ngoài một đường thẳng cho

trước có không quá một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

1.4.2.1 Nếu công nhận Định đề V

ta chứng minh được tiên đề Euclide

1.4.2.2 Nếu công nhận tiên đề Euclide thì ta

chứng minh được Định đề V

1.4.4 Các công trình nghiên cứu về Định đề

V

1.4.4.1 Công trình của Proclus (410-485)

• - Proclus là nhà toán học kiêm triết học của Hy Lạp Ông đã trực tiếp chứng minh Định đề V như sau:

• Cho đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a,b hai góc trong

cùng phía là và có tổng nhỏ hơn hai vuông Cần chứng

minh rằng a và b cắt nhau tai điểm C khi kéo dài chúng về phía

có hai góc nói trên

• - Điều thiếu sót của chứng minh định lí trên đây là đã sử dụng

tính chất về khoảng cách không đổi giữa hai đường thẳng song song và mệnh đề tương đương với Định đề V của Euclide.

1.4.4.4 Công trình của Legendre (1752-1833)

Chân dung của Legendre

Legendre đã tìm cách chứng minh tổng các góc trong một tam

giác bằng hai vuông.Ông xét ba trường hợp

• TH1:Tổng các góc trong một tam giác lớn hơn hai vuông

• TH2:Tổng các góc trong một tam giác bằng hai vuông

• TH3:Tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hai vuông

•  Ông đã chứng minh được Mệnh đề V của Euclide

- Do tam giác A'BC bằng tam giác ABC nên tam giác A'BC có tổng các góc cũng bằng hai vuông – p

- Giả sử tam giác BB'A có tổng các góc bằng hai vuông – q với q > 0 và tam giác CC'A' có tổng các góc

bằng hai vuông – r, r > 0

- Để tính tổng các góc của tam giác AB'C' ta lấy tổng các góc của 4 tam giác ABC, A'BC , BB'A , CC'A cộng lại rồi trừ đi các góc tại 3 đỉnh B, C, A’ ( tại mỗi đỉnh này có 3 góc và tổng của 3 góc đó là một góc bẹt)1.4.3: Tổng các góc trong một tam giác không thể

nhỏ hơn 2 vuông

- Do đó tổng của 3 góc này bằng 3.2 vuông Như vậy tổng các góc của một tam giác là:

( 2 vuông – p) + ( 2 vuông – q ) +( 2 vuông –r ) - ( 3.2 vuông )

The end

Nhóm 3: