135 bài tập về giá trị lớn nhất nhỏ nhất (Có lời giải chi tiết)

135 bài tập trắc nghiệm toán học về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ở mức độ nhận biết và thông hiểu được sưu tập từ các đề thi thử THPTQG, giúp HS làm quen với các bài tập về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và các bài toán liên quan cơ bản liên quan đến về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, sử dụng thành thạo các công thức liên quan, tạo cho HS một tiền đề tốt để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Giúp giáo viên tham khảo trong giảng dạy và ôn thi THPTQG.

135 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

Ở CÁC MỨC ĐỘ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

20 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1: Xét hàm số y 4 3 x trên đoạn [-1;1] Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có cực trị trên khoảng (-1;1)

B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1]

C. Hàm số đồng biến trên đoạn [-1;1]

D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = -1

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y x 33x2 trên đoạn [-1;1]

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4

Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 2 x2 trên 1;1

 



trên đoạn [0;2] Giá trị a + A bằng

11-A 12-A 13-B 14-B 15-D 16-B 17-A 18-D 19-B 20-B

Hàm số đã cho nghịch biến và liên tục trên đoạn [–1;1]

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và đạt giá trị lớn nhất tại x = -1

Cách 2: Sử dụng máy tính để giải nhanh:

+) Bước 1: Nhấn MODE 7, nhập hàm số y f x   vào máy tính với Start: -3; End : 2; Step:

+) Bước 2: Với các giá trị trên đoạn đó nhận xét và kết luận giá trị lớn nhất của hàm số

+ Tính y’và tìm các nghiệm của y’ = 0 trong đoạn [1;3].

+ Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các điểm trên và so sánh các giá trị

Cách giải:

Tập xác định: D �

 22 x ' 2 2 x  22 x 2 4 2 4 4 x 2 2  x

y x e �y  x e  x e  x x  x e  x  x e

 

0 1;3' 0

Phương pháp tìm GTLN (GTNN) của hàm số y f x   trên [a;b].

Bước 1: Giải phương trình f x'   � các nghiệm 0 x1� a b;

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 40; m = -41.

Câu 8: Chọn C.

Phương pháp:

+) Giải phương trình ' 0 y  để tìm các nghiệm x = xi

+) Ta tính các giá trị y a y x y b và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].     ; i ;

Cách giải:

Hàm số đã xác định và liên tục trên [-3;-1] Ta có:

2 2

+) Tìm các nghiệm xi của phương trình ' 0 y 

+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x   trên đoạn [a;b] thì ta tính các giá trị

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 9

Cách 1 : Khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất

Cách 2 : Giải phương trình ' 0 y  tìm các nghiệm xi.

Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là -5 Xảy ra khi x = 1.

Câu 16: Chọn B.

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên [a;b].

+) Giải phương trình ' 0 y  � các nghiệm x i� a b;

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [1;2]

- Đánh giá GTNN của hàm số trên đoạn [1;2].

Cách giải:

y x  x �y  x  x

 

1

x

x



�

Bảng biến thiên

x -1 0 1 2

' y + 0 + 0 +

y 1

0

-7 -16 Vậy, GTNN của hàm số trên đoạn [-1;2] là -16

30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

-CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU – ĐỀ SỐ 1

Câu 1: Tìm tập giá trị T của hàm số y x 3 5 x

A T � � � 0; 2 � B T[3;5] C T � � � 2;2 � D.

 3;5

T

Câu 2: Tìm gác trị lớn nhất của hàm số y 1 2cosxcos 2x

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất yminycos2x8cosx là:9

A ymin  9 B ymin -1 C ymin -16 D.

Câu 7: Cho hàm số

1

x m y

A 0 B 2 C 25

41.8

Câu 10: Cho hàm số y x 3,3mx2 giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0;3] bằng 2 khi6

.27

.2

2

y

1min

Câu 17: Giá trị lớn nhất của hàm số   6 82

Câu 20: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x 42x2 trên đoạn3[0;2]

2

[0;1]

1max

Câu 26: Cho hàm số y x 33x Kết luận nào sau đây là đúng?3.

A.max 3[0;2] B [0;2]min 1 C [0;2]min  1 D.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

+ Tìm GTLN của biểu thức, áp dụng bất đẳng thức Côsi: y2�a b    x a b x 2 a b 

Hàm số đạt cực trị tại điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu) hoặc

từ dương sang âm (điểm cực đại)

Cách giải:

Hàm số đã cho chỉ có điểm x0 = 3 là đạo hàm đổi dấu (từ âm sang dương) khi đi qua x0, do đó x0

là điểm cực tiểu và f x là GTNN của hàm số trên đoạn  0 0;7

+ Tính ' y Tìm các nghiệm x x1 2, , thuộc (a;b) của phương trình ' 0. y 

+ Tính y a y b y x y x       , , 1 , 2 ,

+ So sánh các giá trị đó, giá trị nào lớn nhất là GTLN, giá trị nào nhỏ nhất là GTNN của hàm

số trên đoạn [a;b].

TH1: m = 1 ta có y = 1 là hàm hằng và không có giá trị nhỏ nhất (loại)

TH2: m > 1 thì 1 – m < 0 khi đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm sốđạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;1] tại x = 1 Khi đó ta có:  1 1 0 5

- Tính đạo hàm và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0

- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu mút và tại các nghiệm của đạo hàm

- Giá trị lớn nhất trong số những giá trị vừa tìm được là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Câu 10: Chọn D.

Phương pháp:

+ Tính y’ và tìm nghiệm y’ = 0.

+ Biện luận các trường hợp điểm x = 3 nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy luận.

Xét tính đơn điệu của hàm số y f x   trên (-1;0), từ đó kết luận GTLN, GTNN của hàm số trên [-1;0].

  2 [0;1]

Phương pháp tìm max,min của hàm số y f x   trên đoạn [a;b].

+ Tính y’, tìm các giá trị x x1 2, , ,x làm cho ' 0 n y  và a x�1x2  x n � b

Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên đoạn [a;b].

+ Tính y’, tìm các giá trị x x1 2, , ,x làm cho ' 0 n y  và a x�1x2  x n � b

+ Tính các giá trị f a f x     , 1 ,f x2 , ,f x   n ,f b và so sánh các giá trị, chọn ra GTLN,

GTNN từ tập giá trị tìm được.

Cách giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên đoạn [a;b].

+ Tính y’, tìm các giá trị x x1 2, , ,x làm cho ' 0 n y  và a x�1x2  x n � b

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y tương ứng là 2

Câu 24: Chọn D.

Phương pháp:

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn theo cách làm đã nêu ở câu 13

+) Biện luận theo tham số m (nếu cần) để có đầy đủ các trường hợp

Phương pháp tìm GTLN (GTNN) của hàm số y f x   trên [a;b].

- Bước 1: Tính y’, giải phương trình ' 0 y  � Các nghiệm x x1 2, , x n

Câu 26: Chọn B.

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN (GTNN) của hàm số y f x   trên [a;b].

- Bước 1: Tính y’, giải phương trình ' 0 y  � Các nghiệm x x1 2, , x n

Phương pháp tìm GTLN (GTNN) của hàm số y f x   trên (a;b].

Bước 1: Tính y’, giải phương trình ' 0 y  và suy ra các nghiệm x x1 2, , x n�a b; 

Bước 2: Tính các giá trị f a f x     , 1 ,f x2 , ,f x   n ,f b

Bước 3: So sánh các giá trị tính ở bước 2 và kết luận:

+) Tính y’, đánh giá y’ trên đoạn cần xét để suy ra được tính đơn điệu của hàm số trên đoạn đó.

+) Xác định giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất theo yêu cầu bài toán

+) Tính đạo hàm y' và giải phương trình y’ = 0.

+) Sau đó tính giá trị hàm số tại các nghiệm của phương trình y’ = 0 và các điểm -1;1 và kết

luận GTNN của hàm số.

Cách giải:

35 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

-CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU – ĐỀ SỐ 2 Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x44x2 trên đoạn [-2;3] bằng5

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

3

x y

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 36x2 trên [1;20]1

A.[1;20]miny  4 B [1;20]min y 1 C [1;20]min y -31 D [1;20]min y 5601

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x  sinx cos2x trên  0; là

A.5

9

Câu 6: Gọi m là giá trị để hàm số 2

8

x m y

Câu 20: Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số y2x33x212x trên đoạn 2[-1;2] Tỉ số M

Câu 29: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 16

x

  trên đoạn [-4;-1] Tính T = M + m

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

31.C 32.A 33.B 34.B 35.A

Câu 1: Chọn A.

Phương pháp:

+) Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình ' 0. y 

+) Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn [-2;3] và các nghiệm của phương trình

+) Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình ' 0. y 

+) Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn [1;4] và các nghiệm của phương trình

Câu 4: Chọn C.

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN (GTNN) của hàm số y f x   trên [a;b].

Bước 1: Tính y’, giải phương trình ' 0 y  � các nghiệm x i�[ ; ]a b

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về khảo sát hàm số tìm max – min

Cách giải:

Ta có f x  sinx cos2x sinx 1 2sin    2x 2sin2xsinx 1.

Đặt tsinx, với x� 0; � �t [0;1], khi đó y g t    2t2  t 1

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên [a;b].

Bước 1: Tính y’, giải phương trình ' 0 y  � các nghiệm x i�[ ; ]a b

Câu 10: Chọn A.

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên [a;b].

Bước 1: Tính y’, giải phương trình ' 0 y  � các nghiệm x i�[ ; ]a b

8

x � ��� �� �

Sử dụng MTCT ta tính được  

5 0;

Bước 2: Tìm GTLN của hàm số y f x   trên [a;b].

- Tính y’, giải phương trình ' 0 y  � các nghiệm x i�[ ; ]a b

Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên [a;b].

Bước 1: Tính f x , giải phương trình '  f x'   tìm các nghiệm 0, x i�[ ; ]a b

+) Tính đạo hàm y’ và giải phương trình ' 0 y  tìm các nghiệm x i

+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x   trên đoạn [a;b], ta tính các giá trị

     ; i ;

y a y x y b và đưa ra kết luận đúng.

Cách giải:

23

Khi đó ta có    

  

2 2

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên [a;b].

Bước 1: Tính y’ , giải phương trình ' 0 y  và suy ra các nghiệm x i�[ ; ]a b

Để tìm GTNN của hàm số y f x   trên [a;b] ta làm các bước sau:

+) Giải phương trình ' 0 y  tìm các giá trị x i

Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên [a;b].

+) Giải phương trình ' 0 y  � các nghiệm x i�[ ; ]a b

Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x   trên [a;b].

+) Giải phương trình f x'   � các nghiệm 0 x i�[ ; ]a b

1 39

1

x x

+) So sánh các giá trị vừa tính và kết luận:

Câu 35: Chọn A.

Phương pháp:

Ta thấy hàm số y  x2 mx  có hệ số a = -1 < 0 nên hàm số có đồ thị là parabol có bề lõm 1

quay xuống nên giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại đỉnh của parabol

Cách giải:

Ta thấy hàm số y  x2 mx có hệ số a = -1 < 0 nên hàm số có đồ thị là parabol có bề lõm 1quay xuống nên giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại đỉnh của parabol

50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO

Câu 1 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để

được khối hộp chữ nhật không nắp Tìm x sao cho thể tích khối hộp lớn nhất?

A x2 B x6 C x4 D x3

Câu 2 Xét các tam giác ABC cân tại A, ngoại tiếp đường tròn có bán kính r = 1 Tìm giá trị nhỏ

nhất Smin của diện tích tam giác ABC?

A Smin 2 B Smin 3 3 C Smin 3 2 D Smin  4

Câu 3 Cho , ,a b c là các số thực thuộc đoạn  1; 2 thỏa mãn 3 3 3

Câu 4 Cho hàm số

1

x m y

A 10 B 2

Câu 11 Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy.

Ngọn tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600 mét, �ASB15 0 Do sự cố đường dâyđiện tại điểm Q (là trung điểm của SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồmbốn đoạn thẳng: AM, MN, NP, PQ (hình vẽ) Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và nóđược chiều dài con đường từ A đến Q ngắn nhất Tính tỷ số k AM MN

max y  Khi đó mệnh đề nào sauđây đúng?

Câu 16 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y mx 12

m m

m m

Câu 23 Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều có độ dài bằng 1 Tìm

diện tích lớn nhất Smax của hình thang

Câu 27 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm

  D Không tồn tại GTNN g x trên    3;3

Câu 31 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos tan cot 1 1

max y Mệnh đề nào dưới đayđúng?

A 1� �m 3 B 3 �m 4 C m�2 D m4

Câu 33 Cho ;x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

2

3 0

Câu 36 Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho GTLN của hàm số

x





 Khẳng định nàosau đây là đúng

A M 9m0 B 9M m 0 C 9M m 0 D M m 0

Câu 44 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ

2 2

Câu 45 Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện logx y x2 y2� Giá trị lớn nhất của1.

Câu 46 Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp hai trên R Biết f� 0 3; f� 2  2018 vàbảng xét dấu của như sau:

x � 0 2 �

 

f x� + 0  0 +Hàm số y f x 20172018x đạt GTNN tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây?0

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Ta tính giá trị của V(x) tại các giá trị x0;x2;x ta được 6 V 0 0;V 2 128;V 6  0Vậy V(x) lớn nhất khi x2

Câu 2 Chọn B

Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích tam giác S  pr trong đó p là nửa chu vi và r

là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Xấp xỉ

Câu 3 Chọn C.

Phương pháp: Ta sử dụng Bổ đề: Cho a b c� � là các số thực không âm và P a b c là hàm ; ; 

đối xứng theo các biến , , a b c Giả sử f x là hàm sao cho   f x� là một hàm lồi ( tức là 

Do  � �3,x  1; 2 nên hàm số ở vế trái và vế phải của (2) đều là các hàm số nghịch biến

Mặt khác ta lại có x   là một nghiệm của (2) do đó (2) có nghiệm duy nhất x  trên R

Do x  1;2 , 3 nên (2) vô nghiệm

2

2 ln 23

Với mỗi trường hợp ta tính trực tiếp min ; 1;2 y max y  1;2

Sử dụng kết quả này để tìm giá trị m

Cách giải: Với m = 1 thì y = 1 do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kéo theo

   

1;2 1;2

+ Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên R y ��0x�� 

+ Dựa vào điều kiện đó để tìm GTNN của P

08

Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức

Sử dụng kết quả A2B2 � để tìm minF và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra C C

Dấu “=” xảy ra�  a b;  1;1 hoặc   a b;   1; 1

Vậy Miny = 2 tại   a b;  1;1 hoặc   a b;  1; 1

Câu 11 Chọn A.

Phương pháp:

Trải 4 mặt của hình chóp ra mặt phẳng và tìm điều kiện để AM+MN+NP+PQ là nhỏ nhất

Cách giải: Ta “xếp” 4 mặt của hình chóp lên một mặt phẳng, được như hình bên: Như hình vẽ ta

thấy, để tiết kiệm dây nhất thì các đoạn AM, MN, NP, PQ phải tạo thành một đoạn thẳng AQ

Lúc này, xét SAQ có �ASM MSN� �NSP PSQ � 150

NQ  SQ do tính chất của đường phân giác SN)

Câu 12 Chọn C.

Phương pháp: Giải BPT   2 2

x  y  xy � với ẩn x y  để tìm điều kiện x y

Biến đổi biểu thức A thành đa thức bậc ba ẩn x y  đặt ẩn phụ t = x y rồi xét hàm số, chú ý

điều kiện x y tìm được ở trên

Đặt u xy , ta có  2

10

23;

y f  0 f  5

f  3

f  2

Từ BBT ta thấy giá trị nhỏ nhất của y f x  trên đoạn [0;5] là f  2

Theo giả thiết f  0  f  3  f  2  f  5 mà f  2  f  3 � f  0  f  5

Vậy GTLN của y f x  trên đoạn [0;5] là f  5

Phương pháp: Dựng hình và tính diện tích hình thang cân đưa về khảo sát hàm số tìm max –

Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng a.sinx + b.cosx = c và sử dụng điều

kiện có nghiệm của phương trình a2 � b2 c2

Khi đó max y max t m 0;2  20;6  m 20 ;m 6 13 m 7 20 0 m 14

Bảng xét dấu của g x� 

x  1 33

 

g x� 0 + 0  0Dựa vài bảng xét dấu, ta được max g x 3;3   g 1

Câu 31 Chọn A.

Phương pháp: Đặt sinx a , cosx b

Cách giải: Đặt sinx a , cosx b , ta có: a2b2  1

TH1: Hàm số đồng biến trên  2; 4 �max y 2;4  y 4

TH2: Hàm số nghịch biến trên  2; 4 �max y 2;4  y 2