Bài giảng Khoa học dịch vụ: Chương 5 - PGS.TS. Hà Quang Thụy

Chương 5 - Hàng đợi. Những nội dung chính được trình bày trong chương gồm có: Lý thuyết hàng đợi là gì, độ đo hiệu năng cốt lõi, một khung cho hàng đợi Markov, kết quả quan trọng ở, giải mô hình hàng đợi số, khi các điều kiện thay đổi theo thời gian. Mời các bạn cùng tham khảo.

NHẬP MÔN KHOA HỌC DỊCH VỤ

CHƯƠNG 5 HÀNG ĐỢI

PGS TS HÀ QUANG THỤY

HÀ NỘI 09-2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

1

➢Giới thiệu

➢ Lý thuyết hàng đợi là gì

➢ Độ đo hiệu năng cốt lõi

➢Giải mô hình hàng đợi số

➢Khi các điều kiện thay đổi theo thời gian

Nội dung chương

➢ Giới thiệu

cứu hỏa !, dịch vụ trên Internet v.v

❖ Đợi: nảy sinh cả khi tình huống tài nguyên được cho là đủ

➢ Một số phân loại hàng đợi

1 Giới thiệu

➢Ví dụ: Phân tích hàng đợi khám bệnh bác sỹ

2’ nghỉ ngơi cho bác sỹ, lên lịch hẹn theo lịch 20’ từ 8h00tới 16h40 Hy vọng không ai phải đợi

ngày theo trung bình thời gian bệnh nhân phải đợi ?

❖ “Đợi” bác sỹ trong hàng đợi, lý do:

❖ Bác sỹ không khám đúng 18’ với mọi bệnh nhân

❖ Bệnh nhân đến sớm hơn lịch

❖ Dùng mô phỏng Excel: xuất hiện hàng đợi tới bác sỹ.

Phân tích một số hàng đợi dịch vụ

➢Hai phân bố thời gian dịch vụ khám một bệnh nhân

đều bằng hai lần thời gian kéo dài với xác suất 0.1 mỗiphút

về sau và một lần kéo dài về trước

Thời gian bác sỹ khám: hai phân bố

➢Biến động thời gian bận trung bình: mô phỏng

bận 97,5%

khám; thời gian đợi trung bình cho người phải đợi; tỷ lệbệnh nhân phải đợi

❖ tác động của biến thiên và thay đổi thời gian dịch vụ theo thờigian phục vụ bình quân trên thời gian đợi trải nghiệm một

Thời gian bận rộn bác sỹ khám: pb đều

➢Biến đổi thời gian bận trung bình

❖ Trái: Ảnh hưởng thời gian phục vụ trung bình và biến đổi thời gian dịch vụ theo tỷ lệ bệnh nhân những ai phải đợi cho dịch vụ với các bệnh nhân đến đúng như dự kiến

❖ Phải: Ảnh hưởng của thời gian dịch vụ trung bình và độ biến đổi thời

gian theo % bệnh nhân phải đợi khi bệnh nhân đến đúng hẹn

❖ “Trung bình” → biến ngầu nhiên thời gian bác sỹ khám Bệnh nhân phải đợi ngay khi (a) thời gian phục vụ bình quân là ít hơn so khoảng cách xuất hiện các bệnh nhân và (b) các khách hàng đến đúng hẹn.

Thời gian bận của bác sỹ khám: pb đều

➢Bệnh nhân trễ hẹn

Bệnh nhân trễ hẹn: theo phân bố đều

➢Tác động biến thiên tăng phân bố thời gian phục vụ

tam giác

31,5’ với trung bình 19’ với kéo dài 6’

❖ Phải: Thời gian đợi trung bình đối với bệnh nhân phải đợi.

Ít hài lòng nhất

Phân bố thời gian phục vụ tam giác

➢ Xác định số chỗ đậu xe ở một trung tâm mua sắm

(trung bình 20 xe/phút)

❖ Mỗi người ở lại trung tâm mua sắm 3 giờ

❖ Nên xây bao nhiêu lô đậu xe để 98% chắc chắn đủ ?

giờ Nếu chỉ có 3600 chỗ: 50% trường hợp không đủ chỗ

❖ Nếu xe xuất hiện phân bố Poisson và ở lại 3 giờ thì có giátrình trung bình 3600 xe

Ví dụ 2: Xác định số chỗ đậu xe

➢ Số lượng chỗ đậu xe cho một trung tâm mua sắm

❖ Xe xuất hiện phân bố Poisson và ở lại 3 giờ thì có giá trịtrung bình 3600 xe Tương đương phân bố chuẩn với trungbình 3600 và độ lệch b/phương trung bình 60

➢Biến ngẫu nhiên

❖ Biến ngẫu nhiên là biến nhận giá trị về biến đổi cơ hội/từkết quả một thực nghiệm thống kê; dùng chữ cái in hoa

❖ Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên có một xác suất cơ hội

➢Biến ngẫu nhiên rời rạc

nhiên rời rạc

trên khi tung đồng xu: biến ngẫu nhiên rời rạc (S N).Tung liền hai lần (SS, SN, NS, NN)

❖ Tung viên xúc sắc sáu mặt có 6 giá trị …

➢ Biến ngẫu nhiên liên tục

❖ X nhận giá trị liên tục

không gian hai chiều là biến liên tục

Biến ngẫu nhiên rời rạc/liên tục

➢Phân bố hình học

Một số phân bố xác suất thông dụng

➢Phân bố mũ

❖ Tính chất “quên” (không nhớ “memoryless property”):

x>0, t>0:

có nghĩa là kỳ vọng phía sau t vẫn là 1/

độc lập thì min (X1, X2, …, Xn) một biến ngẫu nhiên phân

Phân bố mũ

➢Phân bố Erlang

❖ Cho X là biến ngẫu nhiên liên lục trong miền t>0

như X là tổng của k biến ngẫu nhiên độc lập có cùng

➢Sơ đồ “pha” của biến ngẫu nhiên Erlang

phương sai k

Phân bố Erlang

➢Các đặc trưng

phối Ek-1 và Ek với cùng tham số cỡ: Ek-1,k

với xác suất p (tương ứng, 1-p) tổng của k-1 (tương ứng

❖ với 0  p  1

kết hợp chạy từ 1/k tới 1/(k-1)

Phân bố Erlang

➢Khái niệm

bố kiểu pha (phase-type distribution)

❖ Phân bố Coxi: Biến ngẫu nhiên X có phân bố Coxi bậc knếu nó đi qua hầu hết k pha phân bố mũ Độ dài kỳ vọng

pha n nó kết thúc với xác suất 1-pn và nó đi tới pha tiếptheo với xác suất pn Rõ ràng pk=0 Với phân bố Cosi-2thì hệ số biến thiên  0.5

nó với xác suất pn là tổng của n phân bố mũ với cùng một

kỳ vọng 1/

Biến ngẫu nhiên phân bố kiểu pha

➢Phân bố Hyperexponential distribution

❖ X là biến ngẫu nhiên liên tục t>0

❖ X có phân bố siêu mũ với các xác suất pi (i=1,2, …, k) làbiến ngẫu nhiên có phân bố mũ với kỳ vọng 1/i

➢ Mở đầu

❖ Sử dụng mô phỏng: (i) tốn kém thời gian lập trình viên + thời gian máy tính; (ii) đầu ra mô phỏng là thời gian đợi trung bình, tỷ lệ khách hàng đợi – biến ngẫu nhiên phụ thuộc sự không chắc chắn Câu hỏi cốt lõi nên là: cần bao nhiều dòng ? Cái gì nên cắt cho cỡ dự kiến đạt chất lượng dòng ? Bao nhiêu dòng dịch vụ đầy đủ nên khởi tạo; (iii) Nếu chạy ít mô phỏng không đủ minh họa xu thể !

 Lý thuyết hàng đợi là sự thay thế tốt !

❖ Kết nối toán học với hàng đợi/dòng chờ (waiting lines)

❖ Có hai tiếp cận cơ bản: (i) Mô hình dựa trên xấp xỉ dòng lỏng

(Newell, 1971): khung xác định hàng đợi, đặc biệt hữu ích trong

phân tích hàng đợi mà tỷ lệ đến trung bình vượt tốc độ phục vụ bình quân trong thời gian dài gian; (ii) phân tích hàng đợi xác suất: một

khung ngẫu nhiên hàng đợi, hữu ích nhất trong phân tích hàng đợi

mà tỷ lệ xuất hiện ít hơn tỷ lệ dịch vụ trong thời gian dài.

3 Lý thuyết hàng đợi

➢ Mở đầu

❖ Lý thuyết hàng đợi (xác định/ngẫu nhiên) đòi hỏi các đầu vào

Quá trình dịch vụ

trình xuất hiện (arrival process) Chú ý đặc biệt: phân bố

xuất hiện khách hang theo thời gian

phục vụ (service process) Chú ý đặc biệt: (i) ước lượng

cần để phục vụ một khách hàng; (ii) phân bố xác suấtthực sự của thời gian cần để phục vụ khách hàng

Lý thuyết hàng đợi

➢Đầu vào cho mô hình hang đợi

Quy tắc phục vụ (service discipline)

➢Giải thích

chuẩn cho các đầu vào này X/Y/Z:

❖ X và Y là các chữ cái được dung để mô tả quá trình xuất hiện và quá trình phục vụ tương ứng,

❖ Z là sơ nguyên (có thể ) chỉ số lượng phục vụ

➢Phân bố xác suất được sử dụng

hạn GI thường dung cho xuất hiện và ghi chú độc lậptổng quát, G thường được dung cho thời gian dịch vụ.Trong cả hai trường hợp thì giả thiết : thời gian xuất hiện

và thời gian phục vụ là các biến ngẫu nhiên độc lập

Poisson, phân bố thời gian phục vụ phân tán lũy thừa

❖ M/G/: M, phân bố thời gian phục vụ tổng quát, vô hạn

Đầu vào hang đợi

➢Giới thiệu

thừa)

❖ Phục vụ: thời gian xuất hiện phân bố lũy thừa

cần biết khách hang cuối đến là bao lâu

➢ Tập tối thiểu các output

vụ)

ở hang đợi/hệ thống, phân bố thời gian giữa xuất phát từ

Hàng đợi Markov

➢Định nghĩa các độ đo

❖ L: Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống,

❖ Lq: số trung bình khách hàng đợi để được phục vụ,

❖ W: thời gian trung bình trong hệ thống,

❖ Wq: thời gian trung bình trong hàng đợi để được phục vụ,

❖ : tốc độ xuất hiện trung bình,

❖ : tốc độ phục vụ trung bình,

❖ 1/: thời gian phục vụ trung bình

4 Độ đo hiệu năng cốt lõi

➢Độ đo bổ sung

gian [0, t],

t Lưu ý rằng N (t) = a (t) - d (t)

Độ đo bổ sung

➢Tích lũy và trung bình

❖ Tổng số tích lũy phút-người trong khoảng [0,t]

❖ Thời gian đợi trung bình trong khoảng [0,t]: l(t)/(a(t)=W (t)

và số trung bình trong hệ thống là l(t)/t = L (t)

Các độ đo bổ sung

➢Luật nhỏ

Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống bằng tích của tốc

độ xuất hiện trung bình với thời gian trung bình trong hệthống

Luật nhỏ và liên quan

➢Khái niệm quá trình Markov

❖ Quá trình Markov: một QT ngẫu nhiên mà xác suất có điều kiện

thuộc một trạng thái bất kỳ tại một thời điểm tương lai “khi

cho trạng thái hiện tại và trạng thái quá khứ” bằng xác suất ở trạng thái đó trong tương lai khi cho “chỉ trạng thái hiện tại”.

❖ lịch sử quá khứ của hệ thống không cung cấp thông tin bất kỳ

mà cần thiết để dự đoán trạng thái tương lai.

❖ trạng thái hệ thống thường được mô tả: số lượng khách hàng trong hàng đợi (mặc dù ở một số hệ thống tiên tiến hơn: mô

tả khác nhau trạng thái hệ thống cần thiết)

5 Khung đối với hang đợi Markov

➢Đặt vấn đề

khách hàng hiện tại đã được phục vụ 12 phút (thậm chí

trong dịch vụ: giá trị trung bình vẫn là 15 phút

❖ Quá trình xuất hiện và quá trình dịch vụ đều không nhớ

Khung hàng đợi Markov

➢Một số tính chất bổ sung phân bố mũ

❖ Quá trình xuất hiện Poisson với tốc độ xuất hiện 

o((t)2) là các số hạng bậc (t)2 hoặc nhỏ hơn

❖ Với t nhỏ, ta có:

ngắn về cơ bản là 0 và có thể bỏ qua

xác suất không hoàn thành là 1-t

H/đợi Markov: Tính chất phân bố mũ

➢ Giả thiết tốc độ xuất hiện, tốc độ dịch vụ

❖ n(t): (Poisson) tỷ lệ xuất hiện n người trong hệ thống tại thờiđiểm t

❖ μn(t): tỷ lệ phục vụ với n người trong hệ thống tại thời điểm t

❖ Pi(t) là xác suất ở trạng thái i tại thời điểm t:

Phát triển các phương trình

❖ Xác suất mà hệ thống hiện có một khách và người đó hoàn thành dịch

vụ trong thời gian rất ngắn

❖ Xác suất ở trạng thái i với thời gian ngắn hiện tại là tổng:

❖ xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i-1 và có 1 khách hàng xuất hiện trong một thời gian ngắn

❖ xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i và không có khách xuất hiện

hoặc hoàn tất dịch vụ trong khoảng thời gian ngắn.

H/đợi Markov: Thiết lập phương trình

➢Biến đổi (3.5) và (3.6)

❖ Đưa Pi(t) về bên trái và chia cho t

❖ Lấy giới hạn khi cho t → 0:

➢  trạng thái của một hàng đợi Markov

❖ Cung cấp các tỷ lệ về các xác suất thay đổi trạng thái nhưhàm theo thời gian

Phương trình Chapman-Kolmogorov

➢ Mối quan tâm chính từ lý thuyết hàng đợi

thuộc thời gian: i(t)=i và μi(t) = μi : t.

tương đối hợp lý trong thực tế

❖ “hệ thống loại trừ việc “ngừng dịch vụ” vào cuối ngày”: khi

đó tốc độ xuất hiện giảm tới 0

❖ Cho thêm Pi(t)= Pi và dPi(t)/dt=0

❖ Viết lại (3.8) và (3.9) theo các giả định trên

❖ Giải (3.9) với P1 theo Po , có

P/trình cân bằng trạng thái ổn định

P/trình cân bằng trạng thái ổn định

➢ Kết hợp phương trình

cho phép tính xác suất mọi trạng thái

➢ Tính toán các độ đo cốt lõi

❖ và

Trong đó s là số lượng các phục vụ

P/trình cân bằng trạng thái ổn định

số người đợi để được phục vụ

số người trong hệ thống

➢Hình 3.9

➢ Hai phương trình (3.9), (3.10) trạng thái ổn định

❖ i , i là các tỷ lệ thông lượng chuyển trạng thái lên/xuống

❖ Tại trạng thái ổn định tỷ lệ ra khỏi vòng tròn = tỷ lệ vàonhư phương trình trên đây

Cân bằng trạng thái ổn định

➢Hình trái: Cô lập trạng thái: xác suất dòng vào, ra như nhau ( xung quanh trạng thái j )

➢ Hình phải: Ở mọi điểm cắt

❖ Công thức (3.14) tỷ lệ trái = tỷ lệ phải

❖ Tính P theo P lại trở về (3.12)

Cô lập trạng thái

➢Công thức (3.11): trình bày mô hình cơ bản

❖ dòng xuất hiện: quá trình Poisson (có nghĩa là lần liên đoạnliên xuất hiện được phân bố mũ) với tốc độ  cho mỗi đơn vịthời gian

❖ thời gian phục vụ: các biến ngẫu nhiên độc lập, phân bốgiống nhau, hàm mũ với tham số μ, hoặc thời gian phục vụ1/μ

Ứng dụng của mô hình cơ bản

(3.11)

❖ Trường hợp t/gian dịch vụ trung bình là 15 phút = 0,25

giờ Tốc độ sử dụng = 0,75 = 3 *0,25 Với bệnh nhânxuất hiện mỗi 20 phút (3/giờ) và thời gian phục vụtrung bình 15 phút: bác sĩ bận 75 % thời gian, tốc độ

sử dụng

Mô hình M/M/1

 <1, chúng ta có

(3.16) xác suất trạng thái hàng đợi M/M/1

(3.17) (3.18)

(3.19)

(3.20)

M/M/1: Thảo luận

➢Thảo luận

❖ Điều kiện  <1 để có (3.16)-(3.20) “điều kiện trạng thái

ổn định” ~ “tỷ lệ xuất hiện phải nhỏ thua thực sự tỷ lệ

dịch vụ”

❖ Các phương trình (3.17)-(3.20) tỷ lệ 1/(1- )

❖ Khi  tiếp cận 1 thì thi hành rất tồi: đường cong tại

hình vẽ Hệ thống dịch vụ tốt <0.8, dịch vụ giảm dần0.8<<0.9, giảm rất nhanh khi 0.9<

M/M/1: Ví dụ

➢Trạm thu phí

❖ Tốc độ trung bình 360 xe (người)/giờ hoặc 1 xe/10 giây

❖ 300 xe/giờ (=5/6~0.833): trung bình 60 giây qua trạm

Công dân khiếu nại?

M/M/1: Tính toán phương sai

➢Phương sai Var(N)

❖ Độ lêch chuẩn (cột 5) cao hơn đôi chút số khách trung

bình trong hệ thống (cột 3)

M/M/1: Xác suất lượng khách ở hệ thống

Hàm tạo thời điểm (Moment Generating Function: MGF)

M/M/1: Thời gian hệ thống

➢Hàm tạo thời điểm vô điều kiện của thời gian chờ

Hàng đợi M/M/1 FCFS, thời gian là phân bố siêu mũ

Ví dụ

➢Ví dụ trạm thu phí nhỏ (tiếp)

❖ 300 xe/giờ hay 5 xe/phút

❖ Bảng trước cho biết thời gian đợi 60 giây

thống (phải đợi)  2 phút và 1/200.050 (1/25 0.041)

xe ở hệ thống (phải đợi)  3 phút;

M/M/1: Thời gian chờ

M/M/1: Thời gian rời khỏi

➢Ví dụ trạm thu phí nhỏ

3 phút

❖ Nếu hệ thống rỗng: t/gian rời khỏi tiếp = t/gian xuất

hiện tiếp theo (biến n/nhiên mũ kỳ vọng 1/)+ t/giandịch vụ (biến n/nhiên mũ có kỳ vọng 1/ → MGF chobắt đầu dịch vụ tiếp theo

❖ Hệ thống : tiếp 1/ và MGF là

❖ (Bảng 3.3) Xác suất thời gian trong hệ thống và thời

M/M/1: Rời khỏi tiếp (2)

➢MGF vô điều kiện thời gian rời khỏi tiếp

khỏi là Poison với kỳ vọng  tương tự như xuất hiện

độ rời trung bình “cái gì vào hàng đợi sau thời gian dàiphải đi ra”

trình vào hàng đợi

M/M/1: Hàng đợi hữu hạn

➢Nhận xét

❖ Công thức L rất lộn xộn: L biến đổi quá theo M và  (tốc độ sử dụng)

❖ Bảng cho một số điểm quan trọng:

❖ Khi M tăng thì L tiếp cận như một M/M/1 vô hạn

❖ Không yêu cầu <1; khi >1 thì không áp dụng M/M/1 song vẫn tính được cho hàng đợi hữu hạn

❖ Khi <1: tác động M không lớn; khi >1 ảnh hưởng M lớn

M/M/1 hữu hạn: 1

➢Tính W

❖ Tính W:cần tốc độ xuất hiện hiệu quả (effective arrival)

❖ Lưu ý: Khi số khách = M, mọi khách hàng mới bị bỏ đi

M/M/1 hữu hạn với =1

❖ Độ dài hàng đơi là M

M/M/1 hàng đợi hữu hạn: Nhận xét

➢Nhận xét hàng đợi cỡ hữu hạn

được phục vụ (giảm số khách xuất hiện song khôngthấy cơ hội được phục vụ), và (ii) giảm t/gian đợi trungbình trong hệ thống

sỹ: coi là M/M/1 với hàng đợi hữu hạn

❖ ví dụ tiếp tân có 3 đường điện thoại: Tiếp tân thoại với

một người và hai người có thể chờ

❖ Nếu có người thứ tư thì người đó nhận tín hiệu bận:

không thể vào hàng đợi

M/M/1 hữu hạn : minh họa cân bằng

Hàng đợi M/M/s

➢Giới thiệu

vụ và ở đó từ xuất hiện tới hoàn tất Các quầy thanh

toán ở các siêu thị Tập s hàng đợi với xuất hiện /s

ở đầu hàng được phục vụ khi có phục vụ rỗi tiếp theo

Cách hoạt động check-in của hãng hàng không

M/M/s: Sơ đồ chuyển trạng thái

M/M/s: các tham số đầu ra

➢Nhận xét

❖ (3.24): tg đợi trung bình Lq dễ nhận hơn so với L

❖ L yêu cầu hai dạng xác suất trạng thái (3.23): 0-s và

s+1…

❖ Lq : chỉ cần sử dụng dạng thứ hai

❖ Có Lq: theo (3.2)-(3.4):

để tính ba tham số còn lại

❖ Giả sử cho s=1, có

→

→

(3.16)

M/M/s: Minh họa

➢Hàng đợi check-in hàng không

(1/= 2 phút): mỗi quầy phục vụ trung bình 30khách trong một giờ

❖ Với 6 phục vụ: đòi hỏi <1:   <180=30*6

bình và t/gian đợi trung bình là hàm của tốc độ

phục vụ /(s)

M/M/s: Minh họa

M/M/s ví dụ: nhận xét

➢Một số nhận xét

đợi (Lq) 2 phút

❖ Tỷ lệ sử dụng  0.8: t/gian đợi là rất nhỏ

❖ Khi tăng tỷ lệ lên quá 0.8 thì t/gian đợi tăng đột biến

❖ =0.8: t/gian đợi < 1 phút

❖ =0.9 (thêm 18 người/giờ): t/gian đợi thêm 2.5 phút

❖ =0.95 (+ 9 người nữa/giờ): t/gian đợi thêm 5.75 phút

❖ =0.99: thời gian đợi xấp xỉ nửa tiếng

M/M/s: thêm quầy check-in (tăng s)

➢ Giả sử tốc độ vào 175 người giờ

cần bổ sung một quầy (s=7)

M/M/s: Xác suất đợi

➢Tính toán

❖ Nếu một khách xuất hiện nhìn thấy n+s người trong hệ thống:

khách phải đợi n+1 người hoàn tất dịch vụ (có 01 phục vụ rỗi)

❖ T/gian giữa các thời điểm hoàn tất dịch vụ là phân bố mũ theo

tham số s, hàm tạo thời điểm khách hàng được phục vụ khi khách hàng xuất hiện có n+s người ở hệ thống Tạo thời điểm