Bài giảng Khoa học dịch vụ: Chương 4 - PGS.TS. Hà Quang Thụy

Bài giảng Khoa học dịch vụ - Chương 4: Tối ưu hóa trong dịch vụ. Những nội dung chính được trình bày trong chương gồm có: Năm yêu tố quan trọng trong tối ưu hóa, phân loại bài toán tối ưu hóa, bài toán tối ưu hóa từng gặp, quy hoạch tuyến tính, dạng mạng đặc biệt, giải bài toán nguyên, mười quy tắc hình thức hóa bài toán.

NHẬP MÔN KHOA HỌC DỊCH VỤ

CHƯƠNG 4 TỐI ƯU HÓA TRONG DỊCH VỤ

PGS TS HÀ QUANG THỤY

HÀ NỘI 09-2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

1

➢Giới thiệu

➢Năm yêu tố quan trọng trong tối ưu hóa

➢Phân loại bài toán tối ưu hóa

➢Bài toán tối ưu hóa từng gặp

➢Quy hoạch tuyến tính

➢Dạng mạng đặc biệt

➢ Giải bài toán nguyên

➢Mười quy tắc hình thức hóa bài toán

Nội dung chương

❖ “Tối đa” là kết quả giải bài toán “tối ưu hóa”

❖ Tối ưu hóa phát sinh trong nhiều dịch vụ

❖ “Con người được đặt lên hàng đầu”

1 Giới thiệu

➢ Ví dụ 1 Đặt trạm xe cấp cứu (105) ở Austin (Texas)

❖ Cho:

❖ Dân số 350 nghìn người, 358 cụm dân cư, hệ thống giao thông

❖ Có 10 chục xe cứu thương, “hiện thời” ở chung cư

❖ Xe không được bảo vệ → Thuốc/thiết bị đắt tiền ở phòng

❖ Khi nhận cuộc gọi đưa thuốc, dụng cụ ra xe → chậm trễ  cấp cứu tính phút, giây

❖ Cần:

❖ tổ chức lại vị trí đặt đội cứu thương, xe được bảo vệ → tối đa lượng người được phục vụ theo thời gian quy định: tối ưu hóa

❖ Tiến hành sơ bộ:

❖ Phân tích lịch sử mọi cuộc gọi dịch vụ 105

❖ Dữ liệu nhân khẩu học trong thành phố (và 358 cụm dân cư)

Ví dụ: đặt trạm xe cấp cứu

➢ Ví dụ 2 Phân phối sinh viên vào lớp-môn học

❖ Cho:

❖ Có 1000 sinh viên năm thứ nhất cần phải học một môn chung

❖ Có 70 lớp - môn học, mỗi lớp – môn học  15 sinh viên

❖ Mỗi sinh viên được đăng ký 3 lớp-môn học với ưu tiên 1,2,3

❖ Cần xếp:

❖ Mỗi sinh viên vào một lớp-môn học

❖ Xếp theo ưu tiên theo yêu cầu đăng ký

❖ Mọi sinh viên được học môn học chung

❖ Mỗi lớp-môn học không quá 15 sinh viên

❖ Yêu cầu:

❖ Giảm thiểu sinh viên xếp ngoài 3 đăng ký → tối ưu hóa

Ví dụ: Phân sinh viên vào lớp-môn học

➢ Ví dụ 3 Cần tiến hành một dịch vụ (bác sỹ - y tá –

hộ lý trực phục vụ bệnh nhân trong một khoa)

thời gian (ngày)?

khoảng thời gian trong đơn vị thời gian ? Ca làm việctrong ngày

❖ Yêu cầu: Tối ưu hóa  cực đại chi phí nhân viên cân

Ví dụ: lập lịch nhân viên phục vụ

➢ Ví dụ 4 Lập lịch ca trực vận hành nhà máy điện Sơn La và Lai Châu.

❖ Một số quy định: Số lượng nhân viên/ca trực; thời gian

nghỉ tối thiểu mỗi ca (8 giờ); đảm bảo số ngày công/mỗi nhân viên; bố trí công việc từng ca trực; lịch vệ sinh ca trực VS1, VS2; nghỉ bù của nhân viên

❖ Lịch trình: Bố trí bao nhiêu nhân viên trong một ngày?

❖ Lịch trình chi tiết: Bố trí bao nhiêu nhân viên ở mỗi ca trực.

❖ Lịch chi tiết ca trực: Nhân viên nào đảm nhận việc nào

trong mỗi ca trực ?

❖ Yêu cầu: Tối ưu hóa  cực đại giá trị vận hành cân bằng

với hài lòng nhân viên

Ví dụ: Lập lịch vận hành nhà máy điện

nhom-nghien-cuu-truong-dai-hoc-cong-nghe-thuc-hien-tai-hai-nha-may-thuy-dien-son-

➢ Đặt vấn đề

❖ 5 yếu tố cốt yếu dưới dạng 5 câu hỏi

❖ Giải đáp 5 yếu tố này → dịch vụ hiệu quả

➢Yếu tố 1: Ta đã biết (có) được gì ? Cho INPUT

❖ Đây là bước đầu tiên cho mọi trường hợp nghiên cứu

❖ Ví dụ 1: Đặt trạm cấp cứu

❖ Vị trí, thời gian, loại cấp cứu của khoảng 4000 cuộc gọi cấp cứu,

❖ 358 khu vực dân cư trong thành phố,

❖ Thời gian xe cấp cứu di chuyển theo mỗi cặp khu vực

❖ Ví dụ 2: Xếp lịch hội thảo

❖ Số lượng hội thảo, quy mô từng hội thảo

❖ Số lượng sinh viên, đăng ký hội thảo của từng sinh viên

❖ Ví dụ 3: lập lịch nhân viên

❖ Số lượng tối thiểu nhân viên trong mỗi đơn vị thời gian

❖ Số lượng tối thiểu nhân viên trong ca làm việc

❖ Sở thích nhân viên trong từng đơn vị thời gian …

❖ Mối quan hệ số lượng nhân viên từng thời điểm với chất lượng

2 Tối ưu hóa: Năm yếu tố cốt yếu

➢ Nội dung

❖ Điều gì thực sự cần phải quyết định

❖ Biến quyết định, Đầu ra (Output)

❖ Quan trọng: Phân biệt biến đầu ra và biến đầu vào

➢Trường hợp khá dễ xác định

❖ Ví dụ 1 Vị trí cần đặt xe cứu thương an toàn

❖ Ví dụ 2 Sinh viên nào cho mỗi buổi hội thảo

➢Trường hợp khá dễ xác định

❖ Ví dụ 3 Bài toán lập lịch nhân viên: Thoạt nghĩ: phân nhân viên theo ca (sáng, chiều, đêm) và các ca không chồng nhau Tuy nhiên, phân nhân viên theo ca chồng nhau lại là mục tiêu cần được xác định (y tá theo dõi bệnh nhân …)

❖ Ví dụ khác: chẳng hạn bài toán xây dựng mô hình dự báo trong thực tế “biến dự báo”, “biến phân lớp” v.v.

Yếu tố 2: Cần quyết định điều gì ?

➢ Nội dung

❖ Cố tìm gì trong không gian lời giải ?

❖ Cái gì cần cực đại hoặc cực tiếu ?

❖ Ví dụ 2 Tối thiếu tổng xếp hạng ưu tiên của các sinh viên Giảm tối thiểu phân công tồi nhất.

❖ Ví dụ 3 Giảm chi phí nhân viên Tăng hài lòng khách hàng.

❖ Ví dụ “dự báo, phân lớp”: Các độ đo sai số nhỏ nhất, các độ đo chính xác là cao nhất.

Yếu tố 3: Cái gì cố gắng để đạt được

❖ Ví dụ “dự báo, phân lớp”: theo tập dữ liệu mẫu có được.

Yếu tố 4: Cái gì cản trở tối ưu

➢ Nội dung

❖ 4 câu hỏi trên cho xây dựng mô hình

❖ Phân tích bối cảnh mô hình rộng hơn: nâng cao ý nghĩacủa mô hình Các khía cạnh phi mô hình

➢Ví dụ

❖ Ví dụ 1 Bao nhiêu % dân số được phủ sau khi định vị ?Tăng, giảm xe thì % dân số được hưởng dịch vụ tăng-giảm ra sao?

❖ Ví dụ 2 Nếu tăng dung lượng một lớp – môn học lên 20sinh viên thì tổng xếp hạng giảm bao nhiều?

❖ Ví dụ 3 Nếu yêu cầu số nhân viên từng thời điểm tăngthêm thì cần thêm bao nhiêu nhân viên, lịch trình và lịchtrình chi tiết thay đổi ra sao ?

Yếu tố 5: Cái gì tìm hiểu thêm được

❖ The NEOS (Network-Enabled Optimization System)

❖ Wisconsin Institute for Discovery (University of Wisconsin

in Madison)

❖ 60+ công cụ hiện đại giải 10+ loại bài toán tối ưu hóa

❖ Bốn cặp “đối ngẫu”: Liên tục – rời rạc, Không ràng buộc –ràng buộc, Không - một – đa mục tiêu, tất định – xác suất

3 Phân loại bài toán tối ưu

➢ Liên tục – rời rạc: giá trị các biến quyết định

❖ Liên tục  giá trị thực, rời rạc – giá trị nguyên

❖ Vị dụ: “quy hoạch”  “quy hoạch nguyên”

❖ “Liên lục” có tiềm năng dễ giải hơn “rời rạc”

❖ Có tính phổ biến: bài toán tối ưu hóa rời rạc quy thànhmột dãy bài toán tối ưu hóa liên tục

➢Ràng buộc – Không ràng buộc: các biến

❖ Không ràng buộc: Không hạn chế không gian giá trị cácbiến (không gian trạng thái)

❖ Ràng buộc: hạn chế không gian giá trị các biến/trạng thái.Được phân loại thành các loại con: (i) “bản chất của ràngbuộc/hàm mục tiêu”: tuyến tính, phi tuyến, lồi; (ii) “độ mịncủa hàm mục tiêu”: phân biệt được/không phân biệtđược

Liên tục – rời rạc, Ràng buộc – không RB

➢Không – một – đa mục tiêu

❖ Hầu hết là một hàm mục tiêu duy nhất: “tối đa hài lòngdân cư”, “tối đa độ ưu tiên phân lớp – môn học”, v.v

❖ “Không mục tiêu”  “tính khả thi” : Tìm tập các biến thỏamãn mọi ràng buộc bài toán

❖ Đa mục tiêu: “cân bằng” giữa hai/nhiều mục tiêu xung đột

“giảm chi phí nhân viên”  “tăng độ hài lòng người bệnh”,v.v

“Cây phân loại” tối ưu hóa

16

guide.org/content/optimization- taxonomy

https://neos-➢Phân loại [Daskin10]

❖ Đơn/đa mục tiêu (single/multiple objective) Hầu hết đa mục tiêu (phân lớp), nghiên cứu hai mục tiêu.

❖ Tuyến tính (linear): Hàm mục tiêu và hàm ràng buộc tuyến tinh Phi tuyến (non-linear): Vi phạm tuyến tính.

❖ Mạng (network), tổng quát (general), nguyên (integer)

Phân loại bài toán tối ưu hóa [Daskin10]

❖ Thuật toán tuyến tính khá phổ biến

❖ Thuật toán phi tuyến hiếm hơn: đang ngày càng tăng

➢Về kích thước

❖ Tuyến tính đòi hỏi nhiều biến hơn so với phi tuyến

❖ Công thức phi tuyến nhiều khi cần thiết

➢Liên hệ

❖ Thuật toán SVM yêu cầu khả tách tuyến tính để tìm siêuphẳng tuyến tính Dùng hàm nhân để biến đổi

❖ Quy hoạch tuyến tính Dùng hàm phạt

Lưu ý tối ưu tuyến tính và phi tuyến

Tập lồi và tập không lồi

• Tập tuyến tính - trái

▪ Được xác định: một tập các ràng buộc tuyến tính.

▪ Ví dụ: Phần mặt phẳng giới hạn bởi năm đường thẳng

▪ Tập lồi (convex set)

▪ x,yB → t[0,1], z=t*x+(1-t)*yB: Đoạn thẳng nối x, y bất kỳ thuộc B cũng thuộc B Tập tuyến tính → lồi

▪ Tập không lồi

▪ x,yB → t[0,1], z=t*x+(1-t)*yB: Tồn tại x,y thuộc B: đoạn thẳng nối chúng không nằm trọn trong B

19

Hàm tuyến tính và hàm lồi

• Hàm tuyến tính

▪ Cho tập tuyến tính A: Hàm tuyến tính f biểu diễn tuyến tính theo các biến

▪ "f xác định trên tập tuyến tính B: f là hàm tuyến tính 

x,yB,t[0,1] → f(t*x+(1-t)*y) = t*f(x) + (1-t)*f(y)"

➢ Tối ưu mạng: Tìm đường đi ngắn nhất

❖ Các đỉnh: trạng thái, cung có trọng số: giá thành

❖ Đường đi ngắn nhất: tối ưu từ trạng thái ban đầu tới trạngthái kết

➢Biểu diễn tối ưu tuyến tính dạng mạng

❖ Tối ưu tuyến tính biểu diễn thành mạng

❖ Bố trí cấp cứu: điểm dân cư là nút, đoạn các điểm dân cư làcung có trọng số

❖ Lịch hội thảo: sinh viên và hội thảo là nút, kết nối là cung vớigiá trị 1,2,3, 

Tối ưu tuyến tính  Tối ưu mạng

4 Tối ưu hóa: Bài toán từng gặp

➢ Z làm hàm theo hai biến a và b

❖ Đạo hàm bậc 1 theo a và b và gán giá trị 0

❖ Giải hệ hai phương trình hai biến theo a và b

❖ Gọi , là trung bình cộng các giá trị xi và yi, nhận đượccác giá trị

Sai số bình phương tối thiểu

Sai số bình phương tối thiểu

➢Giới thiệu

❖ Bài toán tối ưu tuyến tính

❖ Làm tối đa hoặc tối thiếu một hàm (biến) mục tiêu tuyếntính trong miền ràng buộc tuyến tính các biến độc lập

➢Ví dụ

❖ Z = 3x1+5x2 → max

2x2  123x1 + 2x2  18và

x1  0, x2  0,

5 Quy hoạch tuyến tính

➢ Ví dụ

❖ Phân bổ ngân sách xe dịch vụ đô thị cảnh sát, cứu hỏa

❖ Xe cảnh sát: 200.000 $, xe cứu hỏa: 1 triệu $

❖ Ràng buộc: Tổng ngân sách 5.350.000 $

❖ Ràng buộc: xe cảnh sát ít nhất 1,5 lần xe và nhỏ hơn 7,5lần cứu hỏa

❖ Kỳ vọng mục tiêu: cứu sống người Cứu 0,2 người cho 1

xe cảnh sát và 0.65 người cho một xe cứu hỏa

Quy hoạch tuyến tính: Trình diễn đồ thị

Bài toán phân bổ ngân sách

➢Biểu diễn đồ thị

❖ Ba đường viền: Ngân sách, cực đại Police/Fire, cực tiểu

Police/Fire (theo các ràng buộc)

❖ Bốn đường thẳng // tương ứng giá hàm mục tiêu: 1,400, 2,800,

4,200, 4,601 (đỉnh C của tam giác) với 16,05 xe cảnh sát

(3.210.000) và 2.14 xe cứu hỏa (2.140.000) Điểm tối ưu đạt tại một đỉnh ở vùng biên !

Vùng khả thi và đường viền mục tiêu

➢Bổ sung ràng buộc

❖ Hội đồng thành phố không muốn có quá 11 xe cảnh sát:

Police  11 Vùng khả thi có các đỉnh A, E, D, B

❖ Điểm tối ưu cũ C không còn, vẽ đường mục tiêu có vị trí tối ưu

ở D với giá trị mục tiêu 4,2475 < 4,601

Bổ sung ràng buộc

➢Dạng kinh điển (Canonical Form)

xuất; Xj biến quyết định thứ j  số lượng sản phẩm/dịch

vụ j, cj lợi ích đơn vị SP/DV thứ j; I là tập đầu vào (tàinguyên) với bi tối đa tài nguyên i và aij là số đơn vị tàinguyên i để tạo ra một đơn vị SP/DV j

❖ Bài toán min: đổi dấu hàm mục tiêu ra max,

❖ Tính tiến biến nếu giới hạn  0

❖ Biến trong miền âm: đổi ngược dấu biến

Quy hoạch tuyến tính: Dạng kinh điển

➢Dạng chuẩn (standard form) quy hoạch tuyến tính

❖ Biến “lỏng” Si : hiệu vế phải so với vế trái “phần dư tàinguyên khi thứ i tại phương án tối ưu”,

❖ Dạng chuẩn: thích hợp khi bàn luận các điều kiện lỏng

Quy hoạch tuyến tính: Dạng chuẩn

➢Đối ngẫu (dual)

❖ A bài toán quy hoạch tuyến tính   B bài toán quy

hoạch tuyến tính đối ngẫu

❖ Ví dụ: Dạng kinh điển (phải), đối ngẫu (trái)

❖ Ràng buộc tài nguyên: “”  “” và trao đổi số lượng

❖ Biến wi đối ngẫu với biến Xi , tương ứng

❖ bi : giới hạn tài nguyên  hệ số mục tiêu ở đối ngẫu

❖ ci : hệ số mục tiêu  giới hạn tài nguyên ở đối ngẫu

❖ Hệ số ma trận ràng buộc aij  aji

Quy hoạch tuyến tính: kinh điển đối ngẫu



➢Đối ngẫu dạng chuẩn

➢Tính chất đối ngẫu

❖ Nếu bài toán gốc không khả thi (vùng khả thi rỗng) thì

❖ (a) Bài toán đỗi ngẫu cũng không khả thi

❖ (b) bài toán đỗi ngẫu là không giới hạn, có nghĩa là hàm mục tiêu đối ngẫu có thể được làm nhỏ tùy ý

❖ Nếu bài toán gốc là không giới hạn, thì

❖ (a) Bài toán đỗi ngẫu cũng không khả thi

❖ Quan tâm trường hợp bài toán gốc và bài toán đỗi ngẫu khả

thi.

Đối ngẫu dạng chuẩn và tính chất đối ngẫu

➢ Giả thiết hai bài toán khả thi

❖  tập khả thi biến quyết định Xj, tập khả thi biến quyết địnhđối ngẫu Wi:

❖ Được gọi là điều kiện đối ngẫu yếu (weak dualitycondition)

❖  giải pháp khả thi cho bài toán gôc,  giải pháp khả thi cho bài toán đối ngẫu, giá trị hàm mục tiêu nguyên thủy cần tối đa hoá luôn  giá trị hàm mục tiêu đối ngẫu cần được cực tiểu hóa.

❖ Đối với lời giải tối ưu cho bài toán gốc và đỗi ngẫu, ký hiệutương ứng là X* và S* cho gốc và W* và T * cho đỗi ngẫu thì

Hàm mục tiêu gốc và đối ngẫu

là chính xác bằng nhau

Biện luận lời giải: Phân tách và kết nối

➢Tính chất đối ngẫu: giả thiết hai bài toán khả thi

❖ Tại giải pháp tối ưu, X*T* = 0 cho mọi sản phẩm j, và W*S* = 0cho mọi đầu vào hoặc tài nguyên i Đây chính điều kiện lỏng bổsung

 i:

❖ Chứng tỏ rằng nếu không dùng hết tài nguyên i thì giá trị

bổ sung cho nguồn tài nguyên này là 0 hoặc W*=0 Nếutrả số tiền dương cho tài nguyên I (W*>0) thì phải sửdụng hết tài nguyên đang có S*=0 hay

❖ Ít nhất một giải pháp tối ưu tại điểm góc của vùng khả thi,

có nghĩa là nơi giao nhau một số ràng buộc

Biện luận: Phương trình lời giải

➢Tính chất đối ngẫu: giả thiết hai bài toán khả thi (2)

❖ Đối ngẫu của đối ngẫu là gốc: nếu tìm được bài toán đối ngẫucủa bài toán đối ngẫu thì đấy chính là gốc

❖ Và bài toán đối ngẫu với các biến Total, MaxPolice,MinPolice

Phương trình lời giải

Giải bài toán đối ngẫu

➢ Phát biểu bài toán

❖ STUDENT là tập sinh viên, SEM là tập lớp giảng đường.Mỗi sinh viên j một tập con SEMj,  kSEMj: rankjktrong đó rank càng nhỏ thì giá trị càng lớn; k SEM:capk là dung lượng k Có |STUDENT|*|SEM| các biếnASSIGNjk

Ví dụ 1 Gán sinh viên – lớp môn học

➢ Giải thích

❖ Hàm mục tiêu: Cực tiểu gán lớp MH cho sinh viên

❖ Ràng buộc 1: mỗi sinh viên được gán vào một lớp-mônhọc, ASSIGNjk nhận giá trị 0,1

❖ Ràng buộc 2: số sinh viên gán cho một lớp-môn họckhông vượt quá dung lượng

❖ Ràng buộc 3: giá trị gán không âm

➢Lưu ý

❖ Trong định nghĩa QHTT: các biến thực, dương

❖ Ở đây các biến nguyên (0,1)

❖ Bài toán có thể không có lời giải khả thi:

❖ Việc lựa chọn của sinh viên không thừa nhận lời giải khả thi: 5 sinh viên và ba lớp-môn học, mỗi lớp-môn học chứa 2 sinh viên;

cả 5 sinh viên không chọn lớp-môn học 3 Không thể gán sinh viên tới lớp-môn học mà họ không đăng ký Tổng số sinh viên vượt qua dung lượng lớp-môn học

Ví dụ 1: Giải thích

➢Vấn đề không khả thi: Phương pháp

❖ Tạo một lớp-môn học “ảo” có dung lượng bằng tổng sốsinh viên Sinh viên được gán vào lớp-môn học này:không thể gán vào lớp-môn học ‘thực’

❖ Với mỗi đăng ký của sinh viên j: bổ sung rankjảo = giá trịlớn (10*|STUDENT|*|SEMjk)

❖ Số sinh viên không được phân công sẽ rơi vào lớp-mônhọc ảo

❖ 7 sinh viên, 3 lớp-môn học dung lượng 2  sinh viên rơivào lớp-môn học ảo cho bất kỳ sự lựa chọn của sinh viên

Ví dụ 1: Vấn đề không khả thi

➢ Với bài toán tối ưu (và quy hoạch tuyến tính)

❖ cần đảm bảo rằng mô hình đối phó được với

tính bất khả thi do các yếu tố đầu vào.

❖ cần phòng ngừa tính bất khả thi do dư thừa

ràng buộc

❖ Nếu thêm ràng buộc tỷ lệ sinh viên nam/nữ không quá gấp đôi nhau thì sẽ dẫn tới không khả thi

Ví dụ 1: Lưu ý

➢ Các điều kiện đầu bài

❖ N tập các nút trên mạng

❖ Hai nút đặc biệt: nút xuất phát o và nút đích d

❖ L NN tập các cung: kết nối hai nút liền kề (j,k)

❖ jN: O(j) tập nút có cung từ j đi tới, I(j) tập nút có

cung đi tới j

❖ Giá (trọng số) cung t(j,k) độ dài, thời gian, tiền xe …

❖ X(j,k) là biến quyết định, X(j,k) =1 nếu có trên đường

đi tối ưu, = 0 nếu không có

Ví dụ 2: Bài toán đường đi ngắn nhất

➢ Giải thích

❖ Hàm mục tiêu (2.36) giảm thiểu tổng thời gian

❖ Ràng buộc (2.38): biến quyết định là không âm

❖ Số hạng đầu vế trái (2.37), nO(j) Χ(j,n): tổng số lần rời

➢ Giới thiệu

❖ Một tập bài toán QHTT có dạng mạng

❖ Bài toán QHTT : dạng mạng với nút và cung

❖ Nút: thời điểm, vị trí, người, lớp học, công việc

❖ Biến quyết định liên quan tới cung:

❖ Phân công: sinh viên →hội thảo, hang tồn kho → thời điểm tiếp theo, nhân viên → thời điểm ca tiếp theo v.v.

❖ Ba ràng buộc điển hình

❖ Đường đi tối thiểu đi qua cung

❖ Đường đi cho phép cực đại qua cung

❖ Đơn vị giá tương ứng với đường đi qua cung

❖ Mục tiêu của bài toán đường đi mạng

❖ Cực tiểu tổng giá tương ứng đường đi tối ưu cần tìm

❖ Giá cung là tổng số giá số lần đi theo cung

6 Quy hoạch tuyến tính: Dạng mạng