Các dạng bài tập góc và khoảng cách có đáp án chi tiết

Các dạng bài tập góc và khoảng cách file word, có đáp án chi tiết tách ra từ các đề thi thử THPT Quốc gia Dạng 1. Góc giữa hai đường thẳng Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Dạng 3. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Dạng 5. Khoảng cách giữa hai đối tượng song song Dạng 6. Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

Dạng 1 Góc giữa hai đường thẳng

Câu 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng a Góc giữa hai đường thẳng A B và AC

Vậy góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng 90o

Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, chuẩn hóa a  sao cho 1 B0;0;0, A1;0;0

Câu 2. Cho hình chóp đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M , N lần lượt là trung điểm

của AD và SD Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC là

Lời giải

Chọn C

a P M

N

D A

Câu 3. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C.    có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2 Gọi C là trung điểm1

của CC Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng BC và 1 A B 

IJ a

(I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD)

Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

Lời giải

Chọn C

J M

C A

Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC

22

a IO

a MI

.

Mà: AB CD,   IM IN,  MIN 60.

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD

Biết tam giác BCD vuông tại C

và

62

Lời giải

Chọn A

K E

B

C

D A

Gọi K là trung điểm AB AB MK//  AB CM;  KM CM;  KMC 

Ta có

22

a

BC 

,

62

a

BD 

,

64

a

MK 

,

64

a

CK 

,

32

Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ

Xét tam giác IOJ có

Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ

bằng góc IJ O 600.

Câu 8. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA a Gọi M là trung điểm của SB Góc giữa AM và BD bằng

Lời giải

Chọn B

N M

D A

S

Gọi N là trung điểm của SD khi đó ta có MN //BD  AM BD,   AM MN, 

Theo giả thiết ta có

Q O

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SB , AC Khi đó MP, NQ, MQ , PN lần lượt là đường trung bình của tam giác SAB , SAC , ABC , SBC nên MP// NQ//SA; PN // MQ // BC và

MP NQ  SA a

;

12

Câu 10. Cho hình chóp S ABC có SA SB SC AB AC a     , BC a 2 Tính số đo của góc giữa hai

đường thẳng AB và SC ta được kết quả:

Lời giải

Chọn D

N M

H A

B

C S

* Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC

, theo đầu bài SA SB SC  và

tam giác ABC vuông cân tại A ta có H là trung điểm của BC Gọi M , N lần lượt là trung

 tam giác MNH là tam giác đều  MNH   Vậy góc cần tìm là 60  60

Câu 11. Tứ diện đều ABCD số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

Gọi I là trung điểm của CD và H là tâm của tam giác đều BCD

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên AH (BCD )

Ta có                .                               .  . 0

AB CD AH CD HB CD suy ra AB CD hay góc giữa AB và CD bằng 90

Câu 12. Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a Gọi ' ' ' ' M N, lần lượt là trung điểm của

cạnh AA' và A B' ' Tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD

a

MN NP PM   MN BD MN NP ,  , 60

Câu 13. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD Số đo của góc MN SC,  bằng

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD

Câu 14. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BCD

Biết tam giác BCD vuông tại C và

62

a



,

62

a

BD 

Gọi M là trung điểm BD  ME // AB,

Câu 15. Cho lăng trụ ABC A B C.    có tất cả các cạnh đáy bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là

60 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng A B C   ,  H trùng với trung điểm của cạnh

B C   Góc giữa BC và AC là  Giá trị của tan là:

A.

13

a AB 

Câu 16. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a Gọi M là trung điểm CD ,  là góc giữa AC và BM

Chọn khẳng định đúng?

A.

3cos

4

 

B.

1cos

3

 

C.

3cos

Gọi O là trọng tâm của BCD  AOBCD

Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ

đó suy ra:



AC BM,  AC CN,  ACNCó:

32

AC a Biết rằng A C a  7 và N là trung điểm của AA Góc giữa 2 đường thẳng A C và

BN là  Khẳng định nào sau đây là đúng.

A.

14cos

14

 

14cos

7

 

14cos

28

 

3cos

 

Câu 18. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 45 Gọi I là trung điểm của cạnh CD

Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng.

  IB SD,  51

Cách 2 Gọi K là trung điểm của AB

Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , SD SAB  ,   45

SA AD a

Gọi K là trung điểm của AB Vì KD BI// nên góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng góc

giữa hai đường thẳng KD và SD và là góc SDK Ta có

52

cos

552

a HD SDK

.Vậy góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng 51 

Câu 19. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh SAABCD

, và3

SA a Gọi M là trung điểm của SC , góc tạo bởi hai đường thẳng AM và CD là  Giá trị

của biểu thức P tan cos 2

Gọi N là trung điểm của SD Khi đó MN/ /SD



Câu 20. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , SA vuông góc với mặt

phẳng đáy Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD DC a  , AB2a, và

2 33

Gọi M là trung điểm của AB Ta có AM AD DC a 

Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh#A

Do đó DM song song với BC Suy ra SD BC,  SD DM,  SDM

Câu 22. Cho hình chóp S ABC. có SA vuông góc với mặt phẳngABC

, SA2a, tam giác ABC vuông

tại B , AB a 3 và BCa (minh họa như hình vẽ bên) Góc giữa đường thẳng SC và mặt

phẳngABC

bằng

B

C S

B

C S

a

Tính tang củagóc giữa cạnh bên và mặt đáy

14

72

a SA

SAO

Vậy tanSA ABCD ,   7

Câu 24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 3a Gọi là góc giữa

cạnh bên và mặt phẳng đáy Tính tan

A

3tan

2

 

2tan

3



2 3tan

 2 3

tan

3

SH SMH

7

1

1.5

Câu 26. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung điểm SD Tang

của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD

Ta có MH song song với SO và

12

;

34

BH



24

3 24

a a



13



Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Cosin của góc tạo bởi cạnh

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có SABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu của S trên

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a BC a ,  3,SA a và SA vuông

góc với đáy ABCD Tính sin , với  là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng SBC

A

7sin

8

 

B

3sin

2

 

C

2sin

4

 

D

3sin

với AH SB Tam giác SAB vuông cân tại A nên H là trung

điểm của SB suy ra

22

 hay B là hình chiếu của A lên BCC B 

Suy ra, BB là hình chiếu của A B lên BCC B 

Nên góc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng

bằng 30

Câu 30. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B AB BC a AD  , 2a Biết SA

vuông góc với đáy (ABCD)và SA a Gọi M N, lần lượt là trung điểm SB CD, Tính sin góc

giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)

Lời giải

Chọn C

Ta gọi E F, lần lượt là trung điểm của SC AB

Ta có ME NF ( do cùng song song với BC Nên tứ giác MENF là hình thang,/ /

 hay E là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)

Từ đó ta có được, góc giữa MN và (SAC)là góc giữa MN và CI

Suy ra, gọi Q là góc giữa MN và (SAC)thì sin

CN IN

10

CN IN

  

Câu 31. Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA= và vuông góc với mặta

đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh BC SD, , a là góc giữa đường thẳng MN và

(SAC) Giá trị tana là

A

6

6

3

2.3

Lời giải

Chọn A

y z

x

N

M C A

22

      

Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a BC a ,  3,SA a  và SA vuông

góc với đáy ABCD Tính sin với  là góc tạo bởi đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC).

A

2sin

4

 

B

3sin

5

 

C

3sin

2

 

D

7sin

BD và hình chiếu của nó trên (SBC).

- Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở lớp dưới tìm sin

Cách giải:

Qua B,C,D lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với đáy.

Dựng hình hộp chữ nhật SB'C'D'.ABCD như hình vẽ.

Dễ thấy mặt phẳng (SBC) được mở rộng thành mặt phẳng (SBCD').

Tam giác D'DC có D'D = DC = a và D = 900 nên vuông cân tại D

Gọi J là trung điểm của CD' thì DJ  CD'

6

 

3tan

 

Cách giải

Gọi H là trung điểm của AB SH AB

Ta có: SAB  ABCD SH, AB SH ABCD

14

6

6.3

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và ' ' ' ' ' ' B C

Gọi  là góc hợp giữa đường thẳng MN và mặt phẳng A B C D' ' ' '

Tính giá trị của sin

A

1sin

2

 

B

2sin

2

 

C

5sin

5

 

D

2sin

1 2 5sin

552

OM MNO

MN

Vậy

2 5sin

Câu 38. Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh#a Điểm M thuộc tia ' ' ' ' DD' thỏa mãn DM a 6

Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD

AB (ADD'A') AB A'H

A'H (ABC'D')A'H AD'

 HO là hình chiếu của A’O trên (ABC’D’)

 (A'C;(ABC'D'))(A'O;HO)A'OH

Không mất tính tổng quát, ta đặt cạnh của hình lập phương bằng 1

Xét tam giác vuông A'OH vuông tại H có:

AHtan A 'OH tan

Câu 40. Cho hình chóp đều.S ABCD có SA a 5,AB a Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của SA,

SB,SC,SD Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP) ?

Dễ dàng chứng minh được MNPQ đồng phẳng và MNPQ / / ABCD

dựa vào tính chất đườngtrung bình của tam giác

 DN MQP,   d DN MNP ,  d DN ABCD ,  

Gọi O AC BD SOABCD

Gọi H là trung điểm của OB

Xét tam giác SOB có NH là đường trung bình  NH / /SO NH ABCD

cos

2

a DH NDH

a ND

Dạng 3 Góc giữa hai mặt phẳng

Câu 41. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a 2, AD a và SAABCD Gọi M

là trung điểm của đoạn thẳng AB (tham khảo hình vẽ)

A

B M

Lời giải

Chọn A

N

H A

B M

S

Gọi N ACDM Ta có

22

BC AB  , do đó hai tam giác ABC và DAM đồng dạng, suy

ra AMN MAN 90 Vậy ACDM  DM SAC

22

a SO

Câu 43. Cho tứ diện ABCD có BAC CAD DAB  90 , AB 1, AC  , 2 AD  Cosin của góc giữa3

Câu 44. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có AB a ,BC2a,AA 3a Gọi  là góc giữa hai

mặt phẳng ACD và ABCD (tham khảo hình vẽ bên) Giá trị tan bằng

a AC

các

cạnh bên

32

Lời giải

Chọn B

Vì

32

a

SA SB SC  

nên hình chiếu của S trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC Nhận xét H là trung điểm BC

M H A

B

C S

Gọi M là trung điểm AB, nhận xét ABSMH

nên góc tạo bởi mặt bên SAB và mặt phẳng

66

a SH M

D

A

S

Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S ABCD có đường cao SH

Ta có: SCD  ABCD CD Gọi M là trung điểm CD

Dễ chứng minh được SM CD và HM CD   SCD , ABCD  SM HM,  SMH  

Từ giả thiết suy ra SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến

32

a SM

.1

2cos

2

a HM



Câu 47. Cho hình chóp S ABC. có SA(ABC SA), 2 a Tam giácABCvuông tại B AB a ,

BC=a √ 3 Tính cosin của góc  tạo bởi hai mặt phẳng (SAC và () SBC)

A.

1cos

3

 

1cos

5

 

2cos

3

 

3cos

B A

và DA C 

bằng 60o

Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB72cm CA, 58cm BC, 50cm CD, 40cm và CDABC Khi đó,

góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD bằng

Câu 50. Hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB a , AC2a , SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, SA2 a Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAC , SBC

Tính cos ?

A.

1

15

3

3.2

a HK

Vậy

15cos

5

HK AKH

AK

Câu 51. Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai tia Bx Dy, vuông góc với mặt phẳng ABCD và cùng

chiều lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho 4;

Tacó: AMN CMN c.c.c  nên kẻ CH MN tại H thì AH MN.

Mà AMN  CMN MN

nên góc  giữa hai mặt phẳng AMN

và CMN

là góc giữa haiđường thẳng HA HC,

D A

AMD

S  a a

232

a



2S ADM AH

MD

23132

a a



613

a



Xét SAH vuông tại A, ta có: SH  SA2AH2

a



cosSHA AH

SH

.713

a a

7



Vậy cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD

và SDM

là

6

7.

Câu 54. Đáy của một lăng trụ tam giác đều là tam giác ABC có cạnh bằng a Trên các cạnh bên lấy các

điểm A , 1 B , 1 C lần lượt cách đáy một khoảng bằng 21

a , a ,

32

Gọi D là trung điểm BB Gọi E , F là hai điểm trên đoạn 1 CC sao cho 1 CE EF FC1

a

CE EF FC BD DB 

Suy ra :

52

A B C

a S

264

a a

Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có AB AC a  , góc BAC 120 , AA  Gọi a M , N lần

lượt là trung điểm của B C   và CC Số đo góc giữa mặt phẳngAMN và mặt phẳng ABC

bằng

A.

3arccos

3arcsin

a A 

  ,

30; ;02

4



Câu 57. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật thỏa

32

Mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính góc giữa hai mặtphẳng (SAB) và (SCD)

Lời giải

Chọn D

Đặt

32

a

AB a  AD

.Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AB CD,

Nhận xét: (SAB) ( SCD)d với giao tuyến d là

đường thẳng đi qua điểm chung S và // d AB CD (1)//

Trong mp(SAB) có: SI d tại S (vì SI AB AB d, // ) (2)

32

a IJ

SI a

Câu 58. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác cân tại A, BAC  120 ,

AB BB  Gọi a I là trung điểm của CC Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ' ABC và

AB I

I B

A 

  ,

3

;0;12

B 

  ,

3

;0;02

y z

n n ABC AB I

Câu 59. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , đường thẳng SO vuông góc với mặt

phẳng ABCD

Biết

6,

Gọi M là trung điểm của SC , do tam giác SBC cân tại B nên ta có SCBM

Theo giả thiết ta có BDSAC SCBD Do đó SCBCM suy ra SCDM

Từ và suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC

Câu 60. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA

vuông góc với mặt phẳng ABCD

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBD

và ABCD

Nếutan  2 thì góc giữa hai mặt phẳng SAC

.Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Ta có A0;0;0

, B a ;0;0

, C a a ; ;0

, S0;0;a

.Khi đó SA 0;0; a

; SC a a; ; a



; SB a;0; a

.Mặt phẳng SAC

có vectơ pháp tuyến n  1  1;1;0

.Mặt phẳng SBC

Dạng 4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Câu 61. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC a 3,ABC30 , góc giữa SC

và mặt phẳng ABC bằng 60° Cạnh bên S vuông góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

a

C

335

a

D

35



Tính SA, AE:

Xét hai tam giác vuông ABC và SAC: AB SA 3a

Xét tam giác vuông ABC:

32

Câu 62. Cho hình chóp tam giác đều S ABC. cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 Tính khoảng

cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:

a √

2 33

a

D

310

a

Tam giác SAO vuông tại A có

Câu 64. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a , BC a 3 Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết SB a 2 Tính theo a khoảng

Câu 65. Cho hình chóp S.ABC có AB a AC , 2 ,a BAC 120 Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy

và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60° Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

bằng: