Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Từ những lý do đã nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất ợng dạy và học toán, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: l-"Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông q

Trờng Đại học Vinh khoa toán

- -Nguyễn nh đức

rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua việc trình bày một số phơng pháp giải phơng trình vô

1.3 C¸ch thøc d¹y häc t×m lêi gi¶i c¸c bµi to¸n 12

Ch¬ng II X©y dùng mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v«

tû nh»m rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh 14

A KiÕn thøc c¬ së vµ kiÕn thøc phôc vô gi¶i ph¬ng tr×nh v« tû 14

Mở đầu

I Lý do chọn đề tài

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trògiá mang hoạt động của học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thựchiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện địnhnghĩa, định lý, quy tắc, phơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp,những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệchung và những hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toáncho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, nó phải đợc tiến hành

có kế hoạch, thờng xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục qua tất cả các lớp

Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trênhiểu biết của ngời giải toán Có ngời phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này

đến cách khác, trong khi có ngời lại có thể tìm đợc cách giải rất nhanh Vậy

đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rènluyện chúng nh thế nào? Những con đờng mà ngời giải toán có thể trải qua

để đi đến các lời giải thoả đáng là gì?

Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phơng pháp dạy học chủ yếutheo hớng hoạt động hoá ngời học với phơng châm "Học tập trong hoạt

động và bằng hoạt động" Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là mộtyêu cầu của việc đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay

Trong chơng trình môn toán, phơng trình vô tỷ đợc đa vào từ lớp 9 vàxuyên suốt trong chơng trình môn toán trờng phổ thông Nó có vai trò quantrọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan

Trong chơng trình toán THPT, phơng trình vô tỷ đợc thể hiện dới cáchình thức chủ yếu: Các phơng trình vô tỷ thông thờng, các phơng trình vô

tỷ chứa các hàm lợng giác, các phơng trình vô tỷ chứa hàm lôgarit Việcgiải thành thạo các phơng trình vô tỷ thể hiện khả năng lựa chọn công cụ,

sự linh hoạt và sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán

Từ những lý do đã nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất ợng dạy và học toán, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

l-"Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một

số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ"

II Mục đích nghiên cứu

Xác định nội dung và phơng pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chohọc sinh trên cơ sở trình bày các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ, nhằmgóp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán.

III Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng

giải toán cho học sinh

3.2 Xây dựng các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ theo hớng rèn luyện

kỹ năng giải toán cho học sinh

3.3 Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải

toán cho học sinh

IV Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng đợc một hệ thống các phơng pháp giải phơng trình vô

tỷ theo hớng rèn luyện kỹ năng giải toán và sử dụng có hiệu quả hệ thốngcác phơng pháp đó thì có thể phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh,

đồng thời góp phần nâng cao chất lợng dạy và học toán ở trờng phổ thông

V phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phơng

pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán

Nghiên cứu về SGK, sách tham khảo về phơng trình vô tỷ để thấy đợc

vị trí và tầm quan trọng của phơng trình vô tỷ, những vấn đề về nội dung vàphơng pháp giảng dạy phơng trình vô tỷ

5.2 Điều tra quan sát

+ Thực tiễn dạy học giải phơng trình vô tỷ ở trờng THPT

+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải phơng trình vô tỷ

VI Cấu trúc luận văn

- Mở đầu

- Chơng I: Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

- Chơng II: Xây dựng các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ nhằm rèn

luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

- Chơng III: Kiểm chứng s phạm.

Chơng I Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho

học sinh 1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán

* Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Kháiniệm, cách thức, phơng pháp …) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thựcchất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một

hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thôngtin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với nhữnghành động cụ thể

Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) chohọc sinh cần:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phảitìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết cácbài tập, các đối tợng cùng loại

- Xác lập đợc mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và cáckiến thức tơng ứng

* Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bao gồm hai nộidung chủ yếu đó là: Rèn luyện việc tìm lời giải bài toán và rèn luyện việcgiải bài toán Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung này có khi tiến hành

đồng thời nhng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt Tuy vậy vềmặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độclập với nhau nhng chúng có mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau Mỗi nội dung

đảm nhận một yêu cầu riêng biệt trong công việc rèn luyện kỹ năng giảitoán cho học sinh

Trong quá trình dạy học ngời giáo viên cần làm cho học sinh nhậnthức rõ ý nghĩa, tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nộidung đó

1.1.1 Vấn đề giải bài toán

Đây là vấn đề quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán.Vì rằng, từ chỗ tìm ra đợc phơng hớng giải bài toán đến việc giải hoànchỉnh bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việcnắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phơng pháp

thực hành đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tínhchất kỹ thuật Nói một cách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt Điều này

đòi hỏi ngời giải toán phải học tập nghiêm túc, chăm chỉ và hiệu quả

Để phát huy tác dụng của việc giải bài toán trớc hết cần nắm vữngcác yêu cầu của lời giải Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiệncho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánhgiá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau:

(i) Kết quả đúng, kể cả các bớc trung gian;

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng thoả mãn yêu cầu đề ra.Kết quả các bớc trung gian cũng phải đúng Nh vậy, lời giải không thể chứanhững sai lầm tính toán, suy luận, biến đổi biểu thức …) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực

(ii) Lập luận chặt chẽ;

(iii) Lời giải đầy đủ;

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không đợc bỏ sót một trờng hợp nào,một khả năng, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phơng trình không

đợc thiếu nghiệm, phân chia trờng hợp không đợc thiếu một khả năng nào

…) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực

(iv) Ngôn ngữ chính xác;

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộmôn Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật;

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếpcác yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực) trong lời giải

(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất;Ngoài các yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiềucách giải cho cùng một bài toán, phân tích, so sánh những cách giải khácnhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong số các lời giải đã tìm đ-

ợc hay nói cách khác là nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ

(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợcvấn đề

Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu

về mặt trình bày còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao

Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng trong việc rènluỵện giải bài toán (khi đã có đờng lối giải) Nhng dù sao vẫn phải xem

việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết

định trong toàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

1.1.2 Vấn đề rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán

Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rènluyện kỹ năng giải toán cho học sinh Vì vậy, trong quá trình dạy học giảibài tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹlỡng, làm cho họ ý thức đợc vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thểhiện ở chỗ:

- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thựchiện các thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhng khi cha có ph-

ơng hớng giải hoặc cha có phơng hớng giải tốt thì cha thể có lời giải hoặclời giải tốt

- Khi đã có phơng hớng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trìnhbày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phântích quan trọng lớn nh khi tìm phơng hớng giải

- Mặt khác, ý thức đợc tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phơngpháp tìm lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyệnkhả năng làm việc độc lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu đợc đốivới ngời giải toán

Nh vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quátrình rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rấtquan trọng nhng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán

1.2 Phơng pháp tìm lời giải các bài toán

Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán.Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trờng hợp có, có tr-ờng hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hớng dẫn chung,gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cầnthiết

Sau đây ta có thể nêu phơng pháp chung để tìm lời giải các bài toán:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài

Với một bài toán công việc của ngời giải toán cần đặt ra là tìm hiểunội dung bài toán: phân biệt cái đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện

cho trong bài toán để từ đó xác định đợc dạng bài toán, tìm đợc phơng hớnggiải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp

Bớc 1 là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giảibài toán Năng lực của ngời giải toán thể hiện rõ ở bớc này Nhiều ngời khigiải toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiếthay tìm ra mối liên hệ quan trọng trong bài toán mà cứ ghi chép, nháp lialịa, mặc dù cha biết mình giải quyết cái gì Đó là cách tìm lời giải máy móc

và không hiệu quả Có thể nói bớc này là thớc đo năng lực của ngời giảitoán, vì rằng không thể đánh giá kỹ năng giải toán tốt mà chỉ thể hiện ởkhâu tiếp thu và vận dụng tốt

Bớc 2: Tìm cách giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm

đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hayliên hệ các giả thiết, các điều kiện đã cho với những tri thức đã biết, liên hệbài toán cần giải với một bài toán cũ tơng tự, một trờng hợp riêng, một bàitoán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan

Bớc này nhằm rèn luyện những kỹ năng đi sâu vào mỗi bài toán: Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và cả kết quả của

nó giúp cho ngời giải toán hiểu rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọibài toán Nghĩa là, ngời giải toán sẽ biết đợc với các giả thiết, các điều kiện

đã cho nh vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra nh thế nào?

Làm tốt bớc này ngời giải toán có đủ lòng tin vào đờng lối mình đãtiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác, biến đổi Ngoài ra,

nó còn giúp ích nhiều cho ngời giải toán trong việc tìm kiếm các bài toánliên quan, sáng tạo ra các bài toán mới

Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giảinhững bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài

toán mới Để làm tốt việc này trớc hết ngời giải toán phải phân tích kỹ đểnắm đợc đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó.

Nh thế mới có thể thấy đợc mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng mộtloại bài toán và giữa các loại bài toán khác nhau

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài

Phơng trình có vẻ khá phức tạp, nếu bình phơng hai vế của (1) thì sẽthu đợc một phơng trình phức tạp và không có hớng giải tiếp Tuy nhiên cóthể biến đổi phơng trình về dạng tơng đơng:

Do x  5 nên x + 4 > 0, chia hai vế cho (x + 4) ta đợc:

 4x2 - 25x - 56 = 0

 x = 8 hoặc x= -7

4Chỉ có x = 8 thoả mãn ĐKXĐ

Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 8 và x = 5 61

2



Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Từ ví dụ này ta có thể đa ra một phơng pháp chung để giải những

ph-ơng trình tph-ơng tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểuthức trong dấu căn

1.3 Các thức dạy học phơng pháp tìm lời giải bài toán

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu đợc và vận dụng

đợc phơng pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà

họ gặp trong chơng trình Học phơng pháp tìm lời giải không phải là họcmột thuật giải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi,phát hiện Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phơng pháp

để tìm lời giải bài toán nh sau:

- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để họcsinh nắm đợc phơng pháp tìm lời giải các bài toán và có ý thức vận dụng 4bớc của phơng pháp này trong quá trình giải toán

- Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho họcsinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụngnhững câu hỏi này nh những phơng tiện kích thích, tìm tòi, dự đoán, pháthiện để thực hiện từng bớc của phơng pháp tìm lời giải bài toán

Nh vậy, quá trình học sinh học phơng pháp tìm lời giải bài toán làmột quá trình biến những tri thức phơng pháp tổng quát thành kinh nghiệmgiải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể

Từ phơng pháp tìm lời giải bài toán đi tới cách giải một bài toán cụthể còn là cả một chặng đờng đòi hỏi lao động tích cực của ngời học sinh,trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

Chơng II Xây dựng một số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng

giải toán cho học sinh

Nội dung của chơng này trình bày hệ thống các phơng pháp giải

ph-ơng trình vô tỷ Mỗi phph-ơng pháp đợc trình bày trên cơ sở xét các ví dụ điểnhình để làm nổi rõ đặc điểm phơng pháp cũng nh sự minh hoạ các quá trìnhphân tích bài toán để đi đến lời giải

Trớc khi trình bày các phơng pháp chính, luận văn đã trình bày mộtnội dung quan trọng: Kiến thức cơ sở và kiến thức phục vụ việc giải phơngtrình vô tỷ

- Kiến thức cơ sở chủ yếu đề cập một số sai lầm thờng gặp khi giảiphơng trình vô tỷ

- Kiến thức phục vụ việc giải phơng trình vô tỷ mà chúng tôi đa rabao gồm: Phơng trình thuần nhất và cách giải, hệ phơng trình đối xứng,biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác

A Kiến thức cơ sở và kiến thức phục vụ việc giải

ph-ơng trình vô tỷ

I Kiến thức cơ sở

1 Khi giải các phơng trình vô tỷ, việc đầu tiên là phải xác định điều

kiện cho ẩn số (khoảng xác định) Chú ý đến các căn thức bậc chẵn chứa

ẩn Cần đặt điều kiện không âm cho các biểu thức trong căn bậc chẵn này

2 Khi giải các phơng trình vô tỷ điều kiện cần lu ý nhất là tính không

thuận nghịch của các phép toán Chẳng hạn nếu trong một phơng trình nào

đó, ta thay A B (với A, B là các biểu thức có chứa x) bởi AB thì điềukiện xác định của phơng trình có thể bị mở rộng, bởi vì A B có điềukiện xác định là A  0 và B  0, trong khi đó AB xác định ngay cả khi

A < 0 và B < 0 Nh vậy, sau phép biến đổi đó ta chỉ thu đợc một phơngtrình hệ quả Ngợc lại, nếu ta thay thế AB bởi A B thì điều kiện xác

định rất có thể bị thu hẹp lại, do đó ta có thể làm mất nghiệm của ph ơngtrình

Nh vậy, lời giải trên đã làm mất nghiệm x = -3.

* Nguyên nhân: Các phép biến đổi trên có nhiều bớc không cho taphơng trình tơng đơng Sau các phép biến đổi đó ta đã làm thu hẹp điềukiện xác định của phơng trình nên đã vô tình làm mất nghiệm x = -3

* Ví dụ trên cảnh báo rằng, khi thực hiện các phép tính về căn thức

để biến đổi một phơng trình thì nói chung không đợc một phơng trình tơng

đơng

Để tránh đợc những sai lầm nh trên, ở trờng phổ thông, ta thờng dựavào hai căn cứ sau đây để biến đổi phơng trình:

+ Căn cứ 1: Nếu phép biến đổi cho ta thu đợc phơng trình hệ quả thì

ở kết quả cuối cùng, ta thử trực tiếp vào phơng trình để loại bỏ nghiệmngoại lai

Thử trực tiếp kết quả thu đợc vào phơng trình đầu ta thấy x = 2 lànghiệm đúng, còn x = 34 không thoả mãn Vậy phơng trình chỉ có mộtnghiệm x = 2.

+ Căn cứ 2:

Dựa vào những định lý biến đổi phơng trình mà học sinh đã học Cụthể là hai định lý cho phép biến đổi một phơng trình thành một phơng trìnhtơng đơng với nó (học từ lớp 8, đợc khái quát ở lớp 10) và ba định lý vềbiến đổi tơng đơng một hệ phơng trình (học ở lớp 9) Nếu dựa vào căn cứnày để giải phơng trình, hãy tìm điều kiện xác định của phơng trình, các

điều kiện để thực hiện đợc các phép biến đổi đồng nhất hay biến đổi tơng

đơng phơng trình và đặt điều kiện xác định đó cùng với phơng trình trongmột hệ Hệ này chắc chắn sẽ tơng đơng với phơng trình đã cho Khi sửdụng căn cứ này thì ta phải chú ý đến những điều kiện phát sinh trong quátrình biến đổi phơng trình, sự phát sinh thờng gặp nhất là sự thay đổi tậpxác định của phơng trình

Sau đây là một số đồng nhất thức có điều kiện:

2

A B A B nếu A  0; B  0

2

A B A B nếu A  0; B  0A



1x

II Kiến thức phục vụ việc giải phơng trình vô tỷ

1 Phơng trình thuần nhất

a) Đa thức thuần nhất

Đa thức hai biến p(u, v) gọi là đa thức thuần nhất bậc n nếu tất cả cáchạng tử của nó đều có bậc n

- Chia hai vế cho hạng tử chứa ẩn có bậc cao nhất của ph ơng trình Giả sử

ẩn v có bậc cao nhất là n, ta chia hai vế cho vn

Giải (*) theo một trong hai cách.

 x2 - 6x + 8 = 0  x1 = 2; x2 = 4

Với u = -2v, ta có: x - 1 = -2(x2 + x + 1)  x3 = 1 4

, x 12

Chú ý: Để giải phơng trình thuần nhất hai biến bậc hai thì ta có thể xem nó

là một phơng trình bậc hai với ẩn là v (hoặc u) và tính đợc v theo u bằngcông thức nghiệm của phơng trình bậc hai

2 Hệ phơng trình đối xứng

a) Hệ phơng trình đối xứng kiểu 1

Một phơng trình hai ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phơngtrình không thay đổi.

Một hệ phơng trình gồm những phơng trình đối xứng gọi là hệ phơngtrình đối xứng kiểu 1

(x y)(x y xy) 19

x y 1(x y) (x y) 3xy) 19

3x 4y 5y 63y 4x 5x 6

3 Biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác

a) Biểu diễn đa thức f(x) theo đa thức g(x) có bậc thấp hơn bậc của f(x)

* Cách thực hiện: Chia đa thức f(x) cho g(x), giả sử thơng là h(x) và d r(x)

+ Nếu bậc của h(x) không thấp hơn bậc của g(x), thì ta chia tiếp h(x)cho g(x) Giả sử thơng là h1(x) và d ra là r1(x)

+ Quá trình chia tiếp tục cho đến khi bậc của đa thức thơng hn(x) thấphơn bậc của g(x) Khi đó hn(x) = rn(x)

* Cách thực hiện : (Giả sử bậc của g(x) cao hơn bậc của h(x))

Ta lấy đa thức f(x) chia cho đa thức g(x) Sau đó lấy số d của phép chia trênchia tiếp cho đa thức h(x)

Ví dụ: Biểu diễn đa thức x2 + x + 70 theo x2 - 6x - 7 và x + 11

2 2

8x 8x 18x 16x

8x 18x 1615





+ Cho đa thức f(x) bằng tổng của hai tích này.

+ Đồng nhất hệ số ta thu đợc hệ phơng trình hai ẩn

x x 70

x 6x 77x 777x 77



* Để áp dụng đợc phơng pháp này thì các phơng trình vô tỷ thờng có

đặc điểm là bình phơng biểu thức trong căn một vế của phơng trình bằngtích của hai biểu thức trong căn của hai căn thức vế kia với cùng chỉ số cănthức

1.2 Các ví dụ minh họa

giá trị này thoả mãn trờng hợp x  -1 nên là nghiệm.

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm

* Chú ý 1: Ví dụ trên ta có thể lập luận bằng cách khác nh sau:

Dễ thấy rằng, nếu x = x0 là nghiệm, thì x = -x0 cũng là nghiệm củaphơng trình đã cho

Nh vậy, ta viết phơng trình đã cho dới dạng tơng đơng sau:

6 x 1  6 x 1  x 1 với x   1 (*)

Từ mối liên hệ giữa các biểu thức trong dấu căn:

(x2 - 1)2 = (x +1)2 (x - 1)2

cho phép ta đa (*) về phơng trình bậc hai

Do x  = 1 không là nghiệm của (*) nên chia cả 2 vế của (*) cho

* Chú ý 2: Các phơng trình (2) trong trờng hợp 1, hoặc phơng trình

(3) trong trờng hợp 2, nếu ta đặt u = 6 x 1  0, v = 6 x 1  0 hoặc u =

6 (x 1)  0, v = 6 (x 1)  0 thì sẽ chuyển về các phơng trình thuầnnhất hai ẩn Ta sẽ gặp lại phơng trình này ở phơng pháp 4.

* Khi giải phơng trình vô tỷ, trớc hết cần phải xác định điều kiện cho

ẩn Từ việc làm đó, ta nghĩ đến việc chia thành các trờng hợp của n, đó là nchẵn hoặc n lẻ

* Các biểu thức trong dấu căn có mối liên hệ dễ thấy:

(x2 - 1)2 = (x + 1)2 (x - 1)2

Điều đó cho phép ta nghĩ đến việc đa về phơng trình bậc hai

+ Trờng hợp 1: Nếu n chẵn, thì phơng trình tơng đơng với hệ sau:

2 2 2

 



n n

1 2x

1 2





+ KÕt luËn: - NÕu n ch½n: ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

- NÕu n lÎ: ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0; x =

n n



b) 2 (x 1)n  2 3 x 13  2 n (1 x) 2 0

Víi n nguyªn d¬ng vµ n  2

§S:  n ch½n: v« nghiÖm

 n lÎ: nghiÖm duy nhÊt x =

n n

1 2

1 2



* Sau khi tìm hiểu về phơng pháp này, ta có thể nhận dạng phơngpháp một cách máy móc, đó là những phơng trình mà biểu thức dới dấu căn

có vẻ khá phức tạp, nhng nếu để ý kỹ ta sẽ phát hiện ra điều đặc biệt nằmsau sự phức tạp đó Điều đặc biệt đó chính là các bình phơng đúng hay qua

sự biến đổi đa về đợc các bình phơng đúng

2.2 Các ví dụ minh hoạ

VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 5 vµ x =1.

Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm.

* Nhận xét: ở Ví dụ 1 và Ví dụ 2, nếu ta bình phơng hai vế cũng thu

đợc phơng trình chứa giá trị tuyệt đối khá đơn giản Ta sẽ tìm hiểu cách giảinày ở Phơng pháp 11

Ví dụ 3 Giải phơng trình

x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2  Nhận xét và lời giải

Ta thấy rằng các biểu thức dới dấu căn không phải là các bình phơng

* Nhận xét: ở ví dụ 3, nếu giải thông thờng bằng cách bình phơng hai

vế để đa về phơng trình tơng đơng thì ta sẽ thu đợc một PT phức tạp, giải rấtkhó khăn Vì vậy, việc đa về phơng trình chứa giá trị tuyệt đối là hợp lý và

nó khẳng định tính hiệu quả của phơng pháp này đối với các dạng PT tơngtự

2.3 Bài tập vận dụng: Giải phơng trình:

ĐS: x = 2

7; x =1; x =

659d) x 3 4 x 1    x 8 6 x 1 1    ĐS: 5  x  10

3 Phơng pháp 3

Luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức trong dấu căn

3.1 Kiến thức chuẩn bị đối với học sinh

Học sinh biết cách biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác.

Cụ thể: - Biết cách biểu diễn đa thức f(x) theo hai đa thức g(x) và h(x)

có bậc không cao hơn bậc của f(x)

- Biết cách biểu diễn đa thức f(x) theo hai đa thức g(x) và h(x), trong

đó ba đa thức này có bậc bằng nhau

3.2 Đặc điểm phơng pháp

Phơng pháp này có thể áp dụng đợc với những phơng trình mà các biểuthức trong dấu căn có mối quan hệ theo phơng thức: Sau khi luỹ thừa hai vếcủa phơng trình thì ta thu đợc một phơng trình mà biểu thức ngoài dấu căncủa phơng trình đó phân tích đợc theo các biểu thức trong dấu căn

3.3 Các ví dụ minh hoạ

Chuyển vế Luỹ thừa bậc hai hai vế Rút gọn ta đợc:

2x2 - 6x + 7 = 2 x2  2x 2 x 2  4x 5 (*)Phân tích biểu thức không chứa căn thành tổng của hai biểu thức trongcăn (mối liên hệ giữa các biểu thức trong các căn thức và biểu thức khôngchứa căn)

2x2 - 6x + 7 = (x2 - 2x + 2) + (x2 - 4x + 5)Khi đó, ta có:

(x2 - 2x + 2) + (x2 - 4x + 5) = 2 x2  2x 2 x 2  4x 5 (**)Chia hai vế cho một trong hai biểu thức trong căn Đặt ẩn phụ đa về ph-

- Sau khi đa ra nhận xét về mối liên hệ đó, thì ta có thể giải (*) bằngcách sử dụng BĐT Côsi Điều này đợc trình bày ở Phơng pháp 5.

Đối chiếu ĐKXĐ, thì x = 9 và x = -2 là hai nghiệm của PT.

* Nhận xét: ở Ví dụ 1, thì việc nhận ra mối liên hệ giữa biểu thứckhông chứa căn với các biểu thức trong căn là dễ dàng Nhng ở Ví dụ 2,

điều này lại không đơn giản Vì vậy, đứng trớc một bài toán nào đó, ngoàinắm vững các phơng pháp giải, nhiều khi dựa vào kinh nghiệm giải toán,nhiều khi phải thử một cách mò mẫm mới đa ra hớng giải đúng

2(x2 + 2) = 2x2 + 4 = 2(x2 - x + 1) + 2(x + 1)

Khi đó: 5 (x 1)(x 2  x 1) = 2(x2 - x + 1) + 2(x + 1) (**)

Chia 2 vế của (**) cho x2 - x + 1  0 ta đợc:

Đa về phơng trình thuần nhất

4.1 Kiến thức chuẩn bị đối với học sinh

- Học sinh nắm vững thế nào là phơng trình thuần nhất và cách giải

* Để dùng phơng pháp này ta đặt hai ẩn phụ và phơng trình thu đợcthờng là phơng trình thuần nhất bậc hai đối với hai ẩn phụ đó.

4.3 Các ví dụ minh hoạ

 64(-x - 1) = -x + 1  -63x = 65  x = 65

63

 (thoả mãn trờng hợp x  -1)

 Với u = v = 0 thì x + 1 = x - 1 phơng trình này vô nghiệm

Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x = 65