Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trung học phổ thông nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán đại số và giải tích

Rèn luyện thao tác t duy cho học sinh trong dạy học giải Toán cóvai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng t duy của học sinh, để từ đó có khả năng thích ứng khi đứng trớc một vấn

Bộ giáo dục và đào tạotrờng đại học vinh

Mở đầu 1

Chơng 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 7

1.1 Một số khái niệm 7

1.1.1 Trí tuệ 7

1.1.2 Năng lực 8

1.1.3 Một số khái niệm của Lý thuyết hoạt động 9

1.2 Dạy học giải bài tập 11

1.2.1 Các chức năng của bài tập toán học 11

1.2.2 Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán 13

1.3 Rèn luyện năng lực t duy toán học cho học sinh qua việc giải bài tập toán 15

1.3.1 Bài tập toán và dạy học giải bài tập toán 15

1.3.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình giải bài tập toán 16

1.3.3 Rèn luyện năng lực t duy toán học cho học sinh thông qua giải bài tập toán 18

1.3.4 ý nghĩa của việc rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh trong dạy học giải Toán 19

1.4 Kết luận Chơng 1 21

Chơng 2 Rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh THPT nhằm góp phần bồi dỡng năng lực giải Toán Đại số và Giải tích 22

2.1 Một số thao tác t duy phổ biến của học sinh THPT trong giải toán .22

2.1.1 Phân tích và tổng hợp 23

2.1.2 Khái quát hoá và trừu tợng hoá 30

2.1.3 Đặc biệt hoá 36

2.1.4 So sánh và tơng tự 37

2.2 Một số định hớng s phạm rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh

THPT nhằm phát triển năng lực giải toán 43

2.2.1 Một số định hớng s phạm rèn luyện khả năng thực hiện thao tác phân tích và tổng hợp 43

Định hớng 1 Khi hớng dẫn học sinh giải toán cần quan tâm tập luyện cho học sinh khả năng phân tích để tìm hiểu đề toán tìm hớng giải và tổng hợp để đa ra lời giải bài toán 44

Định hớng 2 Tập luyên cho học sinh biết phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn để giải quyết trớc khi đi giải quyết bài toán ban đầu 63

Định hớng 3 Rèn luyện cách nhìn bài toán theo nhiều góc độ khác nhau, để tìm đợc nhiều cách giải; phân tích khai thác sâu lời giải của các bài toán 67

2.2.2 Một số định hớng s phạm rèn luyện khả năng khái quát hoá, trừu tợng hoá, đặc biệt hoá, so sánh và xét tơng tự 76

Định hớng 1 Tận dụng mọi cơ hội rèn luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá nhằm hớng tới một tri thức mang tính khái quát 77

Định hớng 2 Trong khi dạy bài tập, giáo viên cần chọn các bài toán có tác dụng giúp học sinh nâng dần khả năng trừu t-ợng hoá và khái quát hoá các quan hệ Toán học 89

Định hớng 3 Khi hớng dẫn học sinh giải toán cần quan tâm tập luyện khả năng suy đoán trớc khi thực hiện việc giải và đề xuất bài toán mới 95

2.3 Kết luận Chơng 2 103

Chơng 3 Thực nghiệm s phạm 105

3.1 Mục đích thực nghiệm 105

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 105

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 108

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 110

kết luận 111

tài liệu tham khảo 112

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 ở trờng phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A.A Stôliar),trong đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải Toán Bài tập toán mang nhiềuchức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dỡng, chức năng phát triển tduy và chức năng kiểm tra đánh giá Dạy học giải bài tập toán đợc xem là mộttrong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán Khối lợng bài tậpToán ở trờng phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng Có những lớp bài toán

có thuật giải, nhng phần lớn là những bài toán cha có hoặc không có thuậtgiải Đứng trớc những bài toán đó, giáo viên gợi ý và hớng dẫn học sinh nh thếnào để giúp họ giải quyết đợc bài toán là một vấn đề hết sức quan trọng Tuynhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra đợc những gợi ý hợp lí,

đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật s phạm của chính ngời giáo viên

Trong nhà trờng phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị chohọc sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩnăng và phơng pháp Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng

lí thuyết mà còn có trong bài tập tơng ứng Dạy học giải toán có vai trò đặcbiệt trong dạy học toán ở trờng phổ thông Các bài toán là phơng tiện có hiệuquả không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, pháttriển t duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo Hoạt động giải toán là điều kiện

để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán Do đó tổ chức có hiệuquả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học Toán

Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trờng phổ thông cho thấy năng lựcgiải Toán của học sinh còn hạn chế Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phơng phápdạy học chủ yếu dựa trên quan điểm Giáo viên là trung tâm của quá trình dạyhọc, trong đó Giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội trithức của học sinh mang tính thụ động cao Phơng pháp thuyết trình của Giáoviên đợc sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực củahọc sinh, việc sử dụng các phơng pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực

và sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình huống thựctiễn cha đợc chú trọng Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế hệtrẻ đợc đào tạo trong trờng phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khảnăng sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tìnhhuống thực tiễn cuộc sống

Trong th gửi các bạn trẻ yêu Toán, ngày 10 tháng 10 năm 1967 Cố thủtớng Phạm Văn Đồng đã viết: “ Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toánhọc giữ một vai trò nổi bật Nó các tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa họckhác, đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu Nó còn là môn thể thaocủa trí tụê, giúp chúng ta nhiều trong việc phơng pháp suy nghĩ, phơng phápsuy luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng

ta rèn trí thông minh sáng tạo ” Hớng đổi mới trong việc dạy toán ở trờngphổ thông là phải thay thế lối truyền thụ tri thức một chiều bởi dạy cho họcsinh kiến tạo kiến thức, dạy cách suy nghĩ giải quyết vấn đề, phát triển t duy

Định hớng đó nhằm đáp ứng đợc yêu cầu ngày càng cao của xã hội Nhiệm vụtrọng tâm của ngành giáo dục là phải đào tạo ra những con ngời năng động,sáng tạo, có khả năng giải quyết vấn đề Điều này đã đợc Luật Giáo dục quy

định: “Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, t duy sáng tạo của ngời học , bồi dỡng phơng pháp tự học, rènluyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”

1.2 Rèn luyện thao tác t duy cho học sinh trong dạy học giải Toán cóvai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng t duy của học sinh, để từ đó

có khả năng thích ứng khi đứng trớc một vấn đề cần giải quyết Học sinh cũngthấy đợc mỗi lời giải bài toán nh là một quá trình suy luận, t duy của học sinh

mà phơng pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà cònphụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân ngời giải Mối liên hệ, dấu hiệu trongbài Toán chỉ có thể đợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp,khái quát hoá, so sánh, Đồng thời, qua việc rèn luyện thao tác t duy cho họcsinh trong dạy học giải Toán làm cho học sinh biết đợc tính thực tiễn của Toánhọc: Xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn Nguồn gốc sức mạnhcủa Toán học là ở tính chất trừu tợng cao độ của nó Nhờ trừu tợng hoá màToán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tợng và có ứng dụng rộngrãi Nhờ có khái quát hoá, xét tơng tự mà khả năng suy đoán và tởng tợng củahọc sinh đợc phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứdựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác t duy.Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừ tợng hoá mà t duy độc lập, t duy sángtạo, t duy phê phán của học sinh cũng đợc hình thành và phát triển Bởi quacác thao tác t duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định đợcphơng hớng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kếtquả đạt đợc của bản thân cũng nh những ý nghĩ và t tởng của ngời khác Một

2

mặt các em cũng phát hiện ra đợc những vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo

ra kết quả mới

Rèn luyện thao tác t duy trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọngtrong quá trình phát triển t duy học sinh Nhng trong thực tế, nó cha đợc u tiênthích đáng xứng với vị trí của nó Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phảichăng do giáo viên cha chú ý đợc tầm quan trọng của nó hoặc cha xây dựng đ-

ợc các biện pháp s phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực giải Toán cho họcsinh

1.3 Chơng trình Đại số và Giải tích ở trờng trung học phổ thông cónhiều tiềm năng thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ năng thực hiện một số thaotác t duy Bài tập Đại số và Giải tích có nhiều nhiều dạng thuộc về nhiều chủ

đề kiến thức khác nhau Khi giải các bài tập Đại số và Giải tích đòi hỏi ngờihọc sinh phải biết định hớng, phải sử dụng một cách tổng hợp kiến thức liênquan đến nhiều lĩnh vực khác nhau Hệ thống bài tập Đại số, Giải tích kháphong phú về chủng loại với các mức độ khó khác nhau phù hợp với các đốitợng học sinh có trình độ nhận thức rèn luyên kỹ năng, phát triển t duy vàbồi dỡng năng lực giải toán Vì vậy đây là một trong số lĩnh vực có thể khaithác để rèn luyện kĩ năng, phát triển t duy cho học sinh trong quá trình dạyhọc

1.4 Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện thao tác t duy,

nhng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác t duy của học sinh khi giảiToán Đại số và Giải tích vẫn là vấn đề cần đợc tiếp tục nghiên cứu cả về ph-

ơng diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học

Từ những lý do trên đây, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu

của luận văn là: Rèn luyện các thao tác t“ duy cho học sinh trung học phổ thông nhằm góp phần bồi dỡng năng lực giải Toán Đại số và Giải tích”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho họcsinh các thao tác t duy trong dạy học giải bài tập toán Đại số và Giải tíchnhằm bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lợngdạy học môn Toán ở trờng phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề bồi dỡng trí tuệ

và phát triển năng lực giải toán cho học sinh

3.2 Điều tra, đánh giá thực trạng dạy học giải bài tập Toán ở trờngTHPT; lựa chọn ra một số thao tác t duy cần rèn luyện cho học sinh trong giảiToán.

3.3 Nghiên cứu và đề xuất một số định hớng s phạm về việc rèn luyệnthao tác t duy cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán

3.4 Thực nghiệm s phạm để đánh giá tính khả thi của các định hớng sphạm đã đề xuất

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở nội dung chơng trình SGK hiện hành nếu trong dạy học toán giáo viên chú ý rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác t duy thì sẽ phát triển

đợc năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán ở trờng phổthông

5.2 Điều tra quan sát:

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trongquá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa

4

Luận văn có thể đợc sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toánnhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trờng THPT

7 Cấu trúc của luận văn

Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có 3 chơng:

Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số khái niệm

1.2 Dạy học giải bài tập

1.3 Rèn luyện năng lực t duy toán học cho học sinh qua việc giải

bài tập toán1.4 Kết luận chơng 1

Chơng 2: Rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh THPT nhằm góp phần bồi dỡng năng lực giải Toán Đại số và Giải tích

2.1 Một số thao tác t duy phổ biến của học sinh THPT trong giải toán2.2 Một số định hớng s phạm rèn luyện các thao tác t duy cho học

sinh nhằm phát triển năng lực giải toán

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức thực nghiệm

3.3 Nội dung thực nghiệm

3.4 Đánh giá các kết quả thực nghiệm

Kết luận.

Chơng 1Cơ sở lý luận và thực tiễn

trình tâm lí học, sinh học và giáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các khảnăng ban đầu, trẻ em bớc vào hoạt động Qua quá trình hoạt động và thích

nghi mà dần hình thành cho mình những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết và

thiết lập đợc trạng thái cân bằng giữa chủ thể với môi trờng Tuy nhiên sự cânbằng này nhanh chóng bị phá vỡ do sự biến động của các yếu tố bên ngoài,

mà cơ thể không đáp ứng đợc, buộc cơ thể phải thay đổi tạo ra trạng thái cânbằng mới, dẫn đến sự thích nghi mới với mức độ mới cao hơn Cứ nh vậy cânbằng thờng xuyên đợc thiết lập và bị phá vỡ Với cơ chế đó, trẻ em dần dầnhình thành khả năng bên trong để hoạt động một cách có suy nghĩ, t duy hợp

lí, giải quyết vấn đề nhanh chóng, thích nghi với tình huống mới và chế ngự

đ-ợc môi trờng xung quanh, nhờ thế có đđ-ợc sự phát triển trí tuệ ngày càng cao.Tuy nhiên, giống nh nhiều lĩnh vực khác trong tâm lí học, có bao nhiêu nhànghiên cứu trí tuệ thì có bấy nhiêu định nghĩa về nó Vì vậy, khó có thể áp đặtmột định nghĩa chung cho mọi ngời Dới đây là một số cách hiểu về trí tuệ

- Định nghĩa 1: Trí tuệ là đặc điểm tâm lí phức tạp của con ngời mà kết

quả của công việc học tập và lao động phụ thuộc vào nó (Theo 38)

- Định nghĩa 2: Trí tuệ là khả năng xử lí thông tin để giải quyết vấn đề

và nhanh chóng thích nghi với tình huống mới (Theo 38)

- Định nghĩa 3: Trí tuệ là sự thích nghi tiêu biểu nhất, sự cân đối giữa

đồng hoá liên tục các sự vật vào hoạt động riêng và sự điều ứng những sơ cấu

đồng hoá ấy vào bản thân những đồ vật (Theo 46)

- Định nghĩa 4: Trí tuệ là khả năng tổng thể để hoạt động một cách có

suy nghĩ, t duy hợp lí, chế ngự đợc môi trờng xung quanh (Theo 38)

Nh vậy, cả bốn định nghĩa trên không có định nghĩa nào chỉ chú ý duynhất đến một khía cạnh năng lực t duy hay khả năng thích ứng mà thờng đềcập tới hầu hết các nội dung đã nêu Sự khác biệt giữa các định nghĩa trên chỉ

là ở chỗ khía cạnh nào đợc nhấn mạnh và nghiên cứu sâu hơn

Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học, dới ánh sáng của lýluận nhận thức Mác - Lênin, khi nói về bản chất của quá trình nhận thức, V I.Lênin đã chỉ rõ: “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng và từ t duy trừu t-ợng đến thực tiễn Đó là con đờng biện chứng của sự nhận thức chân lý, nhậnthức thực tế khách quan” [36, tr 153]

Nh vậy, muốn nhận thức đợc bản chất và quy luật của một hiện tợng nào

đó, con ngời trớc hết phải thu thập đợc những sự kiện, nghiên cứu các tài liệu(giai đoạn trực quan sinh động) Sau đó là quá trình khái quát hoá những sựkiện để nêu lên những dấu hiệu bản chất và kém bản chất hơn Từ đó phát hiện

ra các quy luật (t duy trừu tợng) Tính chân thực của kiến thức đó lại đợc kiểmnghiệm trong thực tiễn, đợc những sự kiện mới tiếp tục xác nhận.

1.1.2 Năng lực

Năng lực là một vấn đề khá trừu tợng của tâm lý học Khái niệm nàycho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, dới

đây là một số cách hiểu về năng lực:

- Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con ngời khả

năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lợng cao (Theo 57)

- Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con

ngời, đáp ứng đợc yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cầnthiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó (Dẫn theo 29)

- Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con ngời đáp

ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoànthành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo 29)

Nh vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy

sinh và quan sát đợc trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và do

đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con ngời đợc biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản nh tính

dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo

và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

1.1.3 Một số khái niệm của Lý thuyết hoạt động

Hoạt động: Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hoá lẫn

nhau giũa hai cực: chủ thể - khách thể Theo nghĩa rộng, nó là đơn vị phân tử,chứ không phải là đơn vị cộng thành của đời sống chủ thể nhục thể Đời sốngcủa con ngời là một hệ thống (một dòng) các hoạt động thay thế nhau

Hoạt động theo nghĩa hẹp hơn, tức là ở cấp độ tâm lý học, là đơn vị của

đời sống, mà khâu trung gian là phản ánh tâm lý, các chức năng hớng dẫn chủthể trong thế giới đối tợng [38, tr 579]

Hành động: Hành động đợc A N Lêônchev định nghĩa là quá trình bị

chi phối bởi biểu tợng về kết quả phải đạt đợc, nghĩa là quá trình nhằm một

đối tợng đợc ý thức cần phải chiếm lĩnh [38, tr 592]

Thao tác: Thao tác là cơ cấu kỹ thuật của hành động, là phơng thức

triển khai của hành động [38, tr 579]

8

Đối tợng của thao tác không phải là những sự vật có thực, mà là nhữnghình ảnh, biểu tợng, kí hiệu Thao tác không phải là đơn vị tâm lí độc lập, nókhông có mục đích riêng, chỉ là phơng tiện để thực hiện mục đích của mộthành động nào đó Thao tác có 3 đặc trng cơ bản sau: Tính chất thuận nghịch,bảo tồn, tính liên kết.

+) Tính chất thuận nghịch: Là khả năng đảo ngợc các thao tác thành

phần Tính chất thuận nghịch đợc thể hiện ở khả năng đảo và nghịch

+) Bảo tồn: Là khả năng duy trì cái bất biến của sự vật trong sự biến

đổi của các hình ảnh tri giác về sự vật đó Đây là đặc trng quan trọng để tạo rakhả năng xây dựng hiện thực của trẻ em và để hình thành các sơ đồ trí tuệ.Khả năng bảo tồn là do tính thuận nghịch đem lại Nhờ tính thuận nghịch và

bảo tồn, trẻ em khắc phục đợc tính tự kỷ trung tâm và tính trung tâm trong

nhận thức của mình

+) Liên kết: Là sự kết hợp các thao tác thành sơ đồ thao tác J Piaget

cho rằng không có thao tác tồn tại độc lập, riêng lẻ mà bao giờ cũng ở dạng

các thao tác, sự kết hợp giữa các thao tác để tạo ra sơ đồ thao tác

Dới hình thức tồn tại của đối tợng tác động, J Piaget phân thành hailoại thao tác:

- Thao tác cụ thể: là thao tác đợc tiến hành trên các vật liệu cụ thể.

- Thao tác hình thức: là thao tác đợc tiến hành trên vật liệu là các mệnh

đề

Trong quá trình rèn luyện thao tác t duy cho học sinh thì giáo viên cầnquan tâm đến thao tác hình thức hơn là thao tác cụ thể Bởi lẽ, bản thân cácmệnh đề là sản phẩm của sự hình thức hoá, nên khi tiến hành các thao táccũng nh thể hiện sản phẩm của chúng, đều đợc thể hiện qua các mệnh đề ngônngữ Điều này tạo cho các em cơ hội hình thành khả năng suy luận và diễn đạtkết quả bằng các mệnh đề Bởi t duy mệnh đề (T duy hình thức) là mức caonhất của t duy và cũng là mức cao nhất của trí tuệ

Nh vậy qua cách định nghĩa trên, thoạt tiên ta có cảm giác nh hoạt động

và hành động là hoàn toàn rạch ròi Nhng trong thực tế có những "động tác" ởng chừng nh là hoạt động nhng lại dùng thuật ngữ là hành động Chẳng hạn:

t-"Động tác vẽ tranh của ngời hoạ sỹ là hoạt động hay hành động? Điều nàyphải căn cứ vào chức năng của đối tợng (tranh vẽ) Nếu bức tranh đó đợc vẽvới t cách là thoả mãn nhu cầu sáng tạo nghệ thuật thì đó là hoạt động Lúc đóhàng loạt các hành động bộ phận nh tìm phong cảnh mẫu, quan sát Còn nếuviệc vẽ tranh nhằm mục đích trả bài thi tốt nghiệp hoặc nhằm phục vụ cho việc

quảng cáo mua bán v.v , thì nó là hành động, nhằm hớng tới động cơ khôngcùng mục đích vẽ bức tranh (điểm thi, kiếm tiền)" [38, tr 591].

Nh vậy trong tình huống trên, nếu có một ngời cho việc vẽ tranh là thoảmãn nhu cầu sáng tạo nghệ thuật, để rồi khẳng định là hoạt động Nhng ngờikhác lại cho việc vẽ tranh là phục vụ cho việc quảng cáo mua bán v.v , đểkhẳng định là hành động thì cũng chẳng sao

Khi đó chúng ta liên tởng đến việc giải Toán cũng vậy, sẽ có ngời quanniệm giải bài toán để tập "thể thao" cho "trí não" và để thấy đợc “vẻ đẹp” của

"nữ hoàng của các khoa học", có ngời lại quan niệm giải Toán để giải quyếtnhu cầu khách quan nào đó

1.2 Dạy học giải bài tập

1.2.1 Các chức năng của bài tập toán học

ở trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,trong đó giải Toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán cótầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phơng phápdạy học toán ở trờng phổ thông Đối với học sinh có thể coi việc giải bài toán

là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập Toán có những chứcnăng sau:

1) Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lýthuyết đã học Trong nhiều trờng hợp giải Toán là một hình thức rất tốt để dẫndắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý,

mà vì một lí do nào đó không đa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập

mà học sinh mở rộng đợc tầm hiểu biết của mình

2) Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới.Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn vềtính chất thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nớc thông qua các bàitoán từ cuộc sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc Đồng thời, học sinhphải thể hiện một số phẩm chất đạo đức của ngời lao động mới qua hoạt độngToán mà rèn luyện đợc: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kếhoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm trungthực khiêm tốn, tiết kiệm, biết đợc đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn

3) Chức năng phát triển:

10

Giải bài tập Toán nhằm phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặcbiệt là rèn luyện những thao tác t duy, hình hình những phẩm chất t duy khoahọc.

4) Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng họcToán và trình độ phát triển của học sinh và vận dụng kiến thức đã học Trongviệc lựa chọn bài toán và hớng dẫn học sinh giải Toán, giáo viên cần phải chú

ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của bài toán

Thực tiễn s phạm cho thấy, giáo viên thờng cha chú ý đến phát huy tácdụng giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thờng chú trọng cho họcsinh làm nhiều bài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năngcủa bài tập toán là cha đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tậptoán Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thờng do ba nguyênnhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phơng pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

1.2.2 Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán

Trong dạy học giải Toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹnăng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác t duy là một thành phầnkhông thể thiếu trong dạy học giải Toán Trong tác phẩm của G Pôlya ông đã

đa ra 4 bớc để đi đến lời giải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải cóhứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên ngời giáo viên cần chú ý hớngdẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán củacác em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích giảthiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện

Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dới

một hình thức khác đợc không? Nh vậy, ngay ở bớc “Hiểu rõ đề Toán” ta đã

thấy đợc vai trò của các thao tác t duy trong việc định hớng lời giải

2) Xây dựng chơng trình giải:

Trong bớc thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác t duy thể hiện rõnét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn,biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trờng hợp đặcbiệt, xét các bài toán tơng tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹnăng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào cha Em

có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đợc không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tơng tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?.

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một

bài toán tổng quát hơn? Một trờng hợp riêng? Một bài toán tơng tự? Em có thể giải một phần của bài toán?.

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện cha? Đã sử dụng hết điều kiện cha? Đã

để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán cha?.

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn đợc xác

định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hớng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đợc những gợi

ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho cácbài toán Tuy nhiên để đạt đợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tấtcả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải đợc tự mình áp dụng vào hoạt

động giải Toán của mình

3) Thực hiện chơng trình giải:

Khi thực hiện chơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bớc Em đã thấy rõ

ràng là mỗi bớc đều đúng cha? Em có thể chứng minh là nó đúng không?.

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm đợc:

Học sinh phổ thông thờng có thói quen khi đã tìm đợc lời giải của bàitoán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gìkhông, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì

12

vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thờng xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thờng có nhiều cáchgiải, học sinh thờng có những suy nghĩ khác nhau trớc một bài toán nhiều khi

độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lu ý để phát huy tính sáng tạo củahọc sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên cũngkhông nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kém chánnản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phơng pháp giải bài toán này cho một bàitoán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với họcsinh yếu kém, nhng có thể coi là một phơng hớng bồi dỡng học sinh giỏi Tuynhiên, trong một số trờng hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể cho học sinhtoàn lớp thấy đợc việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bàitoán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.3 Rèn luyện năng lực t duy toán học cho học sinh

qua việc giải bài tập toán

1.3.1 Bài tập toán và dạy học giải bài tập toán

Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếmmột cách có ý thức phơng tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõràng nhng không thể đạt đợc ngay Giải toán tức là tìm ra phơng tiện đó

Thế nào là nắm vững môn toán? Đó là phải biết giải toán không nhữngchỉ những bài toán thông thờng mà cả những bài toán đòi hỏi t duy độc lậpnhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo nữa Đối với học sinh,

có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ yếu của một hoạt động toán học.Vì vậy, việc tổ chức ứng dụng có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán có vaitrò quyết định đối với chất lợng dạy học toán

Một trong những chức năng của bài tập toán mà ta phải quan tâm đó làchức năng phát triển: Bài tập phát triển năng lực t duy cho học sinh, đặc biệt

là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất t duy khoahọc ngoài ra nó còn chức năng dạy học và chức năng kiểm tra

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuầncung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quantrọng bằng làm thế nào giải đợc bài toán Để tăng hứng thú học tập cho họcsinh, phát triển t duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho

họ, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, các ph ơng pháptìm tòi lời giải một bài toán.

Mỗi bài toán mà học sinh đã giải, dạy cho họ kỹ năng hớng về nhữngtình huống có vần đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn mộthoạt động, một hớng đi để giải quyết vấn đề Khi làm toán, trí tuệ của conngời đợc huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp đợc rènluyện, các thao tác t duy từ đó t duy trở nên nhanh nhạy Có thể nói kỹ nănggiải toán là tài sản đặc trng của t duy toán học

1.3.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong quá trình giải bài tập toán

Theo G Pôlia, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệtrong khi giải toán, ngay sau khi đã đọc kỹ một đầu bài toán, ng ời giải cốgắng dự đoán phạm vi đi tìm lời giải

Hoạt động trí tuệ trong quá trình giải bài tập toán bao gồm:

a) Tổ chức và động viên kiến thức:

Trong t duy, đã diễn ra hai hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổchức kiến thức Động viên kiến thức là lấy ra, là tách ra từ trí nhớ những yếu

tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố

ấy lại với nhau Hai hành động ấy bổ sung cho nhau nh hai mặt của một quátrình hoạt dộng trí tuệ rất phức tạp mà mục đích cuối cùng là giải đ ợc bàitoán Thao tác phân tích- tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức và độngviên, nhận biết và nhớ lại

Hành động trí tuệ động viên kiến thức thờng bắt đầu từ thao tác nhậnbiết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán, sau đó là thao tác nhớ lạinhững yếu tố khác đã quen thuộc và có liên quan đến yếu tố vừa đ ợc nhận

biết.

Hành động trí tuệ tổ chức kiến thức bao hàm trong nó các thao tác bổsung và nhóm lại Thao tác bổ sung là một thao tác quan trọng trong hành

động tổ chức kiến thức, vì với thao tác này ng ời giải có quan niệm ngày càng

đầy đủ hơn về bài toán Đôi khi, việc thay đổi cách nhìn nhận các yếu tố củabài toán, nghĩa là thôi không xem xét những mối quan hệ giữa các yếu tố màlại xem xét đến các mối liên hệ khác giữa các yếu tố ấy, cũng có thể làm choquan niệm về bài toán của ngời giải thay đổi Theo hớng có khả năng thíchhợp hơn đối với bài toán Đó là thao tác nhóm lại

b) Tách biệt và kết hợp:

14

Hành động trí tuệ tách biệt là tách một chi tiết, một bộ phận cụ thểkhỏi cái toàn thể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào chi tiết bộ phận này.Hành động trí tuệ tách biệt không thể diễn ra bên ngoài thao tác đối lập với

nó - hành động trí tuệ kết hợp sau khi đã nghiên cứu một loạt chi tiết, mộtloạt bộ phận hành động kết hợp liên kết những chi tiết, những bộ phận dã đ -

ợc xem xét lại với nhau trong một cái toán thể, cái toàn thể này đ ợc phản ánh

đầy đủ hơn trớc, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn

c) Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải bài tập toán.

Hành động trí tuệ dự đoán đợc đặt tại trung tâm của hình thoi, các cặphành động trí tuệ đối lập nhng thống nhất: Động viên tổ chức, tách biệt kếthợp đợc đặt ở các đỉnh đối nhau của hình thoi, các thao tác trí tuệ đợc đặttrên các cạnh của hình thoi và khi đọc từ trái qua phải chúng ta tóm tắt quátrình hoạt động trí tuệ nh sau:

Từ những chi tiết đợc động viên đó đi đến cái toàn thể có tổ chức, mộtchi tiết vừa mới đợc phân biệt đợc tách ra, đợc tập trung nghiên cứu, có thểdẫn tới việc thay đổi quan niệm của ngời giải về bài toán

Tập hợp các hành động trí tuệ, tác thao tác trí tuệ và mối liên hệ giữachúng mà ở sơ đồ trên gợi cho ta một ý niệm về cở chế của hoạt động trí tuệkhi giải toán

1.3.3 Rèn luyện năng lực t duy toán học cho học sinh thông qua giải bài tập toán

a) Rèn luyện và phát triển khả năng phân tích bài toán:

Đó là việc xem xét, nghiên cứu bài toán đã cho ở đây vấn đề quantrọng là cách nhìn bài toán Phải biết nhìn bài toán dới dạng chính quy mẫumực Đây là cách nhìn trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của bài toán Phải biếtnhìn bài toán trong bối cảnh chung nhng lại phải biết nhìn bài toán trongtừng bối cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài toán trong mối t ơng quan với các loạibài toán khác Phải biết liên tởng gữa các phạm vi khác nhau trong khi nhìn

Nhớ lại

bài toán Là bài toán Đại nhng lại phải liên tởng đến chẳng hạn phạm vi lợnggiác, hình học và ngợc lại Nói chung trong việc rèn luyện cách nhìn một bàitoán, phải có những cái nhìn và cách nhìn đúng Đây là chìa khoá mở đ ờngcho việc tìm kiếm các đờng lối giải.

b) Rèn luyện và phát triển khả năng định hớng và xác định đờng lối giải toán

Việc xác định đờng lối giải một bài toán trớc hết và chủ yếu là phảixác định đúng đắn thể loại bài toán Để làm tốt điểm này cần nghiên cứu kỹbài toán đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi đểxác định đúng thể loại bài toán Tuy nhiên cái khó khăn về mặt này th ờnggặp là mỗi bài toán tuy nằm trong một thể loại nào đó nhng lại có những vẻriêng biệt của nó Vì thế ngời giải bài toán phải nắm vững các đờng lốichung, lại phải phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán để chọn đ ờng lốithích hợp

c) Rèn luyện và phát triển khả năng chọn lựa phơng pháp và công cụ Công việc này cũng nh các phép biến đổi mang tính kỹ thuật Tuy

nhiên trớc hết phải đợc chỉ dẫn bởi đờng lối đã vạch ra và xem xét lựa chọnphơng pháp và công cụ nào cho thích hợp Nói một cách cụ thể hơn là do bàitoán có những đặc điểm nào mà từ đó dẫn ta tới lựa chọn ph ơng pháp vàcông cụ tơng ứng với đặc điểm đó

d) Rèn luyện và phát triển khả năng kiểm tra lời giải:

Quá trình này thờng đợc tiến hành theo hai bớc:

- Kiểm tra kết quả về mặt định tính: Là việc xác định lại tính đúng đắncủa việc chọn lực lợng và phơng hớng giải và công cụ thích hợp hay cha?

- Kiểm tra kết quả về mặt định lợng: Là việc rà soát lại quá trình thaotác đã dùng khi giải bài toán

Công việc này nếu đợc tiến hành thờng xuyên và có chất lợng thì sẽgiúp ích nhiều cho ngời giải toán

e) Rèn luyện và phát triển khả năng tìm các bài toán liên quan và sáng tạo bài toán mới

Đây là một yêu cầu cần thiết và bổ ích Việc nghiên cứu vấn đề rènluyện và phát triển t duy toán học cho học sinh đang đợc nhiều ngời quantâm và nghiên cứu Đây cũng là một vấn đề khó khăn và phức tạp Trongluận văn này chúng tôi chủ yếu đề cập đến việc rèn luyện các thao tác t duychủ yếu cho học sinh khi giải bài toán Đại số và Giải tích

16

Các bài toán Đại số và Giải tích có tiềm năng to lớn trong việc rènluyện và phát triển cho các em năng lực t duy giải toán, phơng pháp suynghĩ, trí thông minh, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệthoá, tơng tự

Hơn nữa các bài toán còn có đặc thù riêng, chúng có điều kiện thuậnlợi để rèn luyện và phát triển cho học sinh những loại hình t duy toán học

1.3.4 ý nghĩa của việc rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh trong dạy học giải Toán

Rèn luyện thao tác t duy cho học sinh trong dạy học giải Toán, khôngchỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động Toán học của học sinh,

nó còn là thành phần mà thiếu nó thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việctruyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh

Rèn luyện thao tác t duy cho học sinh, làm cho trí tuệ học sinh pháttriển, hình thành môt sự kích thích bên trong đối với việc học tập, bởi các emcảm thấy hài lòng vì lao động trí tuệ căng thẳng, sung sớng vì hoàn thành đợcbài tập khó Từ đó các em có tình cảm với Toán học, bị Toán học hấp dẫn

Thông qua rèn luyện các thao tác t duy mà các phẩm chất t duy của họcsinh đợc hình thành và phát triển, giúp học sinh có thể độc lập và sáng tạotrong học tập Đồng thời, học sinh thấy đợc Toán học là khoa học suy diễn, làkhoa học mẫu mực về sự chính xác, về suy luận chặt chẽ

Rèn luyện thao tác t duy cho học sinh trong dạy học giải Toán giúp họcsinh rèn luyện khả năng t duy của mình, để từ đó có khả năng thích ứng khi

đứng trớc một vấn đề cần giải quyết Học sinh cũng thấy đợc mỗi lời giải bàiToán nh là một quá trình suy luận, t duy của học sinh mà phơng pháp giải thìphụ thuộc hoàn toàn vào đặc điểm của bài Toán Mà mối liên hệ, dấu hiệutrong bài Toán chỉ có thể đợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổnghợp

Rèn luyện thao tác t duy cho học sinh trong dạy học giải Toán làm chohọc sinh biết đợc tính thực tiễn của Toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay

về phục vụ thực tiễn Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu ợng cao độ của nó Nhờ trừu tợng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất củanhiều sự vật, hiện tợng và có ứng dụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét t-

t-ơng tự mà khả năng suy đoán và tởng tợng của học sinh đợc phát triển, và cónhững suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinhnghiệm qua việc rèn luyện các thao tác t duy Cũng qua thao tác khái quát hoá

và trừu tợng hoá mà t duy độc lập, t duy sáng tạo, t duy phê phán của học sinhcũng đợc hình thành và phát triển Bởi qua các thao tác t duy đó học sinh tựmình phát hiện vấn đề, tự mình xác định đợc phơng hớng, tìm ra cách giảiquyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt đợc của bản thân cũng

nh những ý nghĩ và t tởng của ngời khác Một mặt các em cũng phát hiện ra

đ-ợc những vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới Tuy nhiên, nhấnmạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ Bởi cái mới thờng nảy sinh,bắt nguồn từ cái cũ Việc thờng xuyên tập luyện cho học sinh khả năng phântích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy các đối tợng dới nhiều khía cạnhkhác nhau, với nhiều tính chất khác nhau, trong những mối liên hệ khác nhau

là điều rất quan trọng để phát triển t duy logic cho học sinh trung học phổthông

1.4 Kết luận chơng 1

Trong chơng 1, Luận văn đã nêu đợc một số khái niệm về trí tuệ, nănglực và một số khái niệm về lý thuyết hoạt động, Luận văn cũng đã nêu lên cáchoạt động trí tuệ chủ yếu của học sinh trong hoạt động giải bài tập toán cũng

nh việc dạy học sinh các phơng pháp giải bài tập toán

Luận văn đã làm sáng tỏ quan điểm của một số tác giả về cơ chế nhậnthức qua rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác t duy cũng nh ý nghĩa củacác thao tác t duy trong hoạt động giải bài tập toán và thực trạng của việc vậndụng rèn luyện thao tác t duy trong dạy học bài tập Toán ở trờng trung họcphổ thông

18

Chơng 2 Rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh THPT nhằm góp phần bồi dỡng năng lực giải Toán

điều kiện

tiềm ẩn Tức là điều kiện có liên quan đến bài toán sẽ biểu hiện sau những

biến đổi nhất định Bộ phận thứ hai là yêu cầu“ ” gồm những thông tin mà bàitoán đòi hỏi phải tìm Quá trình giải bài toán là hoạt động trí óc gồm nhữngthao tác đa dạng, phức tạp nhng xét đến cùng luôn là sự phân tích, tổng hợp,

so sánh, đối chiếu các điều kiện với các yêu cầu của bài toán; phân tích, lýgiải các mối liên hệ đã có để giải quyết những mâu thuẫn giữa điều kiện vàyêu cầu Quá trình phân tích, lý giải này sẽ dẫn t duy đến những mối liên hệmới Cứ nh thế mà dần dần làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt của bài toán

Thông tin cần cho việc giải bài toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc

lý giải thông qua các thao tác t duy, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện ờng minh hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán Việc khám phá dần dầncác điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnhhoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ các hoạt động đó mà t duy có thểnhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêu cầu Nó sẽ giúp tathấy đợc con đờng đi tới mục đích mà yêu cầu đặt ra là đúng hớng

t-“Tiêu biểu cho t duy là quá trình phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đềxuất những giả thuyết, những ý niệm, kết quả của quá trình t duy bao giờcũng là một ý nghĩ nào đó Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của

t duy đợc biểu hiện ở khả năng suy lý, kết luận lôgic chứng minh của con ời” Hoạt động t duy của con ngời luôn hớng vào giải quyết một vấn đề, hoặclàm sáng tỏ điều nào đó mà họ có mong muốn cần hiểu biết

ng-Trong quá trình dạy học, việc rèn các hoạt động trí tuệ cho học sinh cầntập trung chú ý tới việc rèn luyện một số thao tác t duy cơ bản Đó là nhữnghoạt động trí tuệ thờng gặp trong dạy học Toán ở nhà trờng phổ thông.

Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đi sâu vào việc tìm hiểu việc rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cơ bản sau:

2.1.1 Phân tích và tổng hợp

Theo tâm lí học các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác t

duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng

khác nhau của các quá trình đó Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh qua

bộ môn Toán, giáo viên cần phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh khả

năng phân tích và tổng hợp.

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là nhìn

bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các

bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trờng xung quanh.Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phơng h-ớng cho sự phân tích tiếp theo [53, tr 122]

Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán họccủa học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúphọc sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [8, tr 15]

Theo M N Sácđacốp thì: Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ

phận của những sự vật hoặc hiện tợng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộctính của chúng, cũng nh các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hớngnhất định Theo ông, thì quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng

đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính nh vậy mới nhận thức đợc một cách trọn vẹn

các sự vật và hiện tợng Tổng hợp (cộng) là sự tổng hợp sơ đẳng, nhờ đó mà

các bộ phận của một toàn thể kết hợp với nhau làm thành một tổng số của các

bộ phận đó Ông cho rằng; sự tổng hợp chân chính không phải là sự liên kếtmáy móc các bộ phận thành một chỉnh thể, không phải đơn thuần là sự tổngcộng các bộ phận của một toàn thể Sự tổng hợp chân chính là một hoạt động

t duy xác định, đặc biệt đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biếtmới nào đó về hiện thực

Nh vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngợc nhng lại

là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bảncủa quá trình t duy Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảngcủa phân tích và tổng hợp Có thể nói không một vấn đề tổng hợp (không tầm

20

thờng) nào lại chẳng cần dùng đến phân tích trong quá trình phát hiện và giảiquyết vấn đề.

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau Chúng là hai

mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì trong phân tích đã có tổnghợp, phân tích cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó Vì phântích cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên

hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích một cái toàn thể là con đờng đểnhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn Sự thống nhất của quá trình phân tích-tổng hợp còn đợc thể hiện ở chỗ: Cái toàn thể ban đầu (tổng hợp 1) định hớngcho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào, kết quả của phântích là cái toàn thể ban đầu đợc nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp 2) Nh vậy,

phân tích và tổng hợp theo con đờng: tổng hợp 1 - phân tích - tổng hợp 2 Các

thao tác phân tích - tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ của con ngời

Trong giải toán, học sinh thờng phải thực hiện các thao tác phân tích,

tổng hợp xen kẽ với nhau Bẳng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm Giải“

bài toán nh thế nào” đã đa ra quy trình 4 bớc để giải bài toán Trong mỗi bớc

tác giả đã đa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liêntiếp, đan xen nhau để thực hiện đợc 4 bớc của quá trình giải toán Có thể thấytrong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thờng gắn bó khăng khít vớinhau Trong phân tích có sự tổng hợp (Tổng hợp thành phần) và trong quátrình tổng hợp phải có sự phân tích (Để đảm bảo tính lôgic và tính định hớngcủa quá trình tổng hợp) Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cầnphải giải (Bài tập này do thầy giáo đặt ra, do chơng trình học tập yêu cầu, dohọc sinh biết đợc trong quá trình tự học vv ) chỉ có hữu hạn các phơng phápgiải, các phơng pháp giải ấy tất nhiên phải sử dụng các kiến thức đã có (kiếnthức đã đợc học, kiến thức tự tích luỹ ) của học sinh vì thế bản chất của thaotác giải một bài tập toán của học sinh thờng là:

Định h ớng tìm tòi lời giải bài tập

Nội dung và hình

thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học, kĩ năng và kinh nghiệm giải Toán

Nhận thức đềPhân tích k chọn lựa hoặc

bác bỏ

H ớng thứ k

Chọn lựa đ ợc h ớng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đ a ra lời

giải của bài tập

Do vậy việc rèn luyện các thao tác t duy cho học sinh qua việc giải bàitập nhất thiết phải đợc tiến hành thông qua sự phân loại học sinh Không có

một cách rèn luyện“ ” nào phù hợp cho mọi đối tợng, thậm chí có những quátrình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh

này nhng lại vô nghĩa “ ” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tợng, nghiêncứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trớckhi hớng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán làrất quan trọng Dới đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:

cosA + cosB + cosC

B C

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức

cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos

2

a bcos2

a b

2

B C =2

A

2

B C = sin

- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:

2

B C

Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng

Theo G Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là 2 động tác quan trọng của trí

óc Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều vàquá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩ, không tập trung vào điểm căn bản Đó là tr-ờng hợp của một ngời chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trớc hết, phải hiểubài toán nh một cái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xemxét những điểm chi tiết nào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và phân

chia bài toán thành từng bớc và chú ý, không đi quá xa khi cha cần thiết” [44,

tr 74]

Khi bài toán cần giải đã đợc hiểu trên toàn bộ (theo nghĩa xác định rõgiả thiết kết luận), đã tìm hiểu đợc mục đích, ý chủ đạo, thì cần phải đi vào chitiết Đặc biệt nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xahơn nữa việc phân chia và khảo sát chi tiết nhỏ hơn

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

Đây là bài toán giải phơng trình không dễ dàng với học sinh mới học, mà nó

đòi hỏi một khả năng vận dụng thành thạo kỹ năng phân tích để có thể đi tới

đích bằng cách dùng nhiều lần phép rút gọn Bên cạnh đó nó còn đòi hỏi họcsinh phải có kiến thức về một số dạng phơng trình đơn giản, một suy nghĩ

đúng hớng thì mới phát hiện ra: x9 = (3 ) và -xx 2 9 = (3 ) Từ đó cho phép ta-x 2

đặt: x3 = y > 0 ta đợc phơng trình mới theo y.

23(y  2) 10( y ) 9 0 

Đối với một bài toán trong đó có giả thiết và kết luận thì sự phân tíchphải hớng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giả thiết với kếtluận Trong Toán học, thờng đợc sử dụng hai phép phân tích:

* Phép phân tích đi lên (suy ngợc lùi): Tức là muốn chứng minh A thì ta

chỉ cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta chỉ cần chứng minh A2,…,,cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta chỉ cần chứng minh An Khi A n là điều

đã biết (tiên đề, định nghĩa, định lí…,) thì dừng lại Theo tam đoạn luận có

24

điều kiện vì An đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy tam đoạn luận có điềukiện).

Ta có sơ đồ sau:

Phép phân tích đi lên thờng đợc dùng để tìm lời giải

Về phép phân tích đi lên, loài ngời đã biết từ cách đây từ 300 năm trớc

Công nguyên, bắt đầu từ Hy lạp, với phát biểu của Pappus trong cuốn “Nghệ

thuật giải toán”, Pappus nói: “Ta muốn đạt đợc kết quả mong muốn thì phải

đi từ kết quả đó, rồi muốn đạt đợc kết quả này thì phải đi từ kết quả trớc nữa … cho đến cuối cùng ta tìm đ cho đến cuối cùng ta tìm đ ợc một điều đã biết hay đã đợc công nhận là

đúng” Ta gọi đó là quá trình phân tích đi lên hay lí luận giật lùi (suy ngợc

lùi) Để vận dụng phép phân tích đi lên, Platon đề ra bài toán: Làm thế nào“

để mang 6 lít nớc từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 loại thùng, một thùng 4 lít

Trong A còn

6 lít mang về

Trong giải Toán, phân tích là một bớc hết sức quan trọng Qua phân tích

ta tìm đợc phơng án giải bài toán Trong bớc phân tích, ta cần xác định đợcmối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm

* Phép phân tích đi xuống (suy ngợc tiến): Đợc diễn đạt nh sau:

Giả sử có A, từ A ta suy ra A1, tức là A  A1, từ A1 ta suy ra A2 tức là

A1  A2, , An  An-1  An Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại vì khi

đó chắc chắn là A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện Còn An

đúng thì cha có thể kết luận gì đợc vì A có thể sai hoặc đúng Chỉ khi nàobảo đảm rằng An  An-1  An-2   A là đúng thì mới kết luận đợc A là

Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a3 + b3 suy

ra nó lớn hơn a2b + ab2 là điều không dễ Do đó giáo viên có thể hớng dẫn họcsinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải:

a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) = (a+b)[(a - b)2 + ab]

= (a+b)(a - b)2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a2b +ab2 (đpcm)Khi giải Toán trớc tiên phải nhìn bao quát xem bài toán thuộc loại gì,phải phân tích cái đã cho, cái phải tìm Đó là việc xem xét, nghiên cứu bàitoán đã cho Mấu chốt vấn đề ở đây là cách nhìn bài toán Phải biết cách nhìnbài toán dới dạng chính quy mẫu mực Đây là cách nhìn chủ yếu vào đặc điểmchủ yếu của bài toán Cách nhìn này giúp ta phát hiện đợc các điểm cơ bản,

đơn giản nếu không bị che khuất bởi những hình thức rắc rối Tuy nhiên, lạiphải biết cách nhìn bài toán dới dạng đặc thù riêng lẻ Đồng thời cũng phảiluyện tập thờng xuyên, ngời giải mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnhbiểu hiện tinh vi của bài toán, mới có đợc những điều muốn nói của các con

số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán Với bài toán đại

số nhng lại phải liên tởng đến chẳng hạn phạm vi lợng giác, hình học, và

ng-ợc lại

2.1.2 Khái quát hoá và trừu tợng hoá

2.1.2.1 Khái quát hoá: Theo G Pôlia, “Khái quát hoá là chuyển từ

việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợplớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” [43, tr 21]

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp

đối tợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một

số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [31, tr 55].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đếnphơng pháp t duy khái quát Đúng nh Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói:

“Chỉ khi trí tuệ của con ngời tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì conngời mới có thể hiểu đợc nó” Không có khái quát thì không có khoa học;không biết khái quát là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng

26

học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặcbiệt” [56, tr.170].

Ví dụ, khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việcnghiên cứu những đa thức bậc tuỳ ý Hoặc khái quát hoá khi chuyển từ việcnghiên cứu hệ thức lợng trong tam giác vuông sang việc nghiên cứu những hệthức lợng trong tam giác thờng

Trong 2 ví dụ trên khái quát hoá đợc thực hiện theo 2 hớng có tính chấtkhác nhau ở ví dụ thứ nhất, khái quát hoá đợc thực hiện bằng cách thay hằng

số 2 bởi biến số n (n  N) ở ví dụ thứ 2, khái quát hoá đợc thực hiện bằngcách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu nhữngtam giác với góc tuỳ ý

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì

những dạng khái quát hoá thờng gặp trong môn Toán đợc biểu diễn bằng sơ

đồ sau:

(Dẫn theo 33, tr 6)Với sự biểu diễn nh trên, ta thấy rằng có 2 con đờng khái quát: Con đ-ờng thứ nhất trên cơ sở so sánh những trờng hợp riêng lẻ, con đờng thứ 2không dựa trên so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tợng trong mộtloạt hiện tợng giống nhau Có thể nói rằng, khái quát hoá là một thông sốquan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của t duy, là cơ sở duy nhất để phânbiệt giữa t duy lý luận và t duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hoá ở mỗi conngời luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, nghiên cứu; khi đợcphát triển đến mức độ cao chính năng lực này sẽ giúp mỗi con ngời tách đợccái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu,học tập bằng con đờng phân tích chỉ một sự kiện điển hình mà thôi Bằng con

Khái quát hoá

Khái quát hóa từ cái riêng

lẻ đến cái tổng quát quát đến cái tổng quát hơnKhái quát hoá từ cái tổng

Khái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát ch a biết

đờng đó con ngời sẽ tiết kiệm thời gian sức lực của mình, biết cách khám phácác tri thức khoa học bằng những phơng pháp tối u.

Nh vậy, khái quát hoá là thao tác t duy nhằm phát hiện những quy luậtphổ biến của một lớp các đối tợng hoặc hiện tợng từ một số các trờng hợpriêng lẻ Với nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lý nên cáckết luận đợc rút ra từ khái quát hoá thờng mang tính chất giả thuyết, dự đoán.Bởi nếu khẳng định chắc chắn thì đã là chứng minh rồi

Chúng ta thờng khái quát hoá bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đốitợng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tợng đó Tổng quát hoámột bài toán thông thờng là sự mở rộng bài toán đó

Trở lại ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của

một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

Ví dụ:

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán Toán học;

- Khái quát hoá để hình thành phơng pháp giải lớp các bài toán;

- Khái quát hoá hớng suy nghĩ giải bài tập toán.

2.1.2.2 Trừu tợng hoá

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trừu tợng hoá là sự nêu bật và tách những đặc

điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất” Chẳng hạn trừu tợnghoá mệnh đề: “Bình phơng của một số âm là một số dơng” học sinh phải tách

đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2 để đợc mệnh đề: “luỹ thừabậc chẵn của một số âm là một số dơng”

Hoàng Chúng cho rằng: Trừu tợng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽvới nhau Nhờ trừu tợng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sựvật sâu sắc hơn Và ngợc lại khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách đ-

ợc những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã

trừu tợng hoá Trừu tợng hoá là một hoạt động của t“ duy”, hoạt động này của

bộ não con ngời có thể hớng tới bất kì vấn đề gì của khoa học nói chung vànói riêng là của Toán học ở đây chúng ta chỉ bàn đến việc trừu tợng hoá mộtbài tập Đại số và Giải tích trong quá trình rèn luyện các thao tác t duy thôngqua việc giải bài tập nh thế nào mà thôi

Không có khái quát hoá và trừu tợng hoá thì không thể có kiến thức và tri thức lí thuyết đợc Khi trừu tợng hoá, chúng ta tách ra cái chung trong các

đối tợng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cáiriêng phân biệt đối tợng này với đối tợng khác, không chú ý tới những cáiriêng này Chẳng hạn từ những kết quả cụ thể: Hình chữ nhật có giao của 2 đ-ờng chéo là trung điểm của mỗi đờng Hình vuông cũng có 2 dờng chéo giaonhau tại trung điểm của mỗi đờng Hình thoi cũng có kết quả tơng tự Tất cả 3

hình kể trên đều là hình bình hành Từ đó ta có thể tách một đặc điểm chung

của các hình trên và có mệnh đề khái quát sau: “Trong một hình bình hành

các đờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đờng”.

Học sinh cũng thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào những

điều kiện cụ thể mới, thờng là do phải chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu ợng, tìm cái chung trong cái riêng, mà cái cụ thể, cái không bản chất làm mờnhạt, che lấp cái chung, tạo ra cái hố ngăn cánh giữa cái cụ thể và cái trừu t-ợng Có thể giúp học sinh khắc phục khó khăn đó bằng cách dùng sơ đồ, hình

t-vẽ Nhờ sự kết hợp đợc cả hai mặt cụ thể và trừu tợng trong bản thân nó, sơ đồ

có thể giúp làm cầu nối“ ” khi chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu tợng vàngợc lại

Chẳng hạn ta xét bài toán: Một con cá nặng bao nhiêu, nếu đuôi của“

nó nặng 4kg, đầu nặng bằng đuôi cộng với một nửa thân, thân nặng bằng đầu cộng với đuôi?”.

Mối quan hệ giữa khối lợng của đuôi, đầu và thân cá khá rối đối với họcsinh Tuy nhiên bài toán có thể giải khá gọn bằng cách dùng sơ đồ đoạn thẳng

Gọi Đ, đ và T lần lợt là khối lợng của đầu cá, đuôi cá và thân cá, ta có:

Để giúp học sinh phát triển t duy trừu tợng trong sự tác động qua lại với

t duy cụ thể, lại cần phải kết hợp với việc sử dụng hình vẽ, kí hiệu với pháttriển ngôn ngữ, giúp cho kiến thức của học sinh đợc chính xác mà không hìnhthức

Trong khi đòi hỏi học sinh khái quát hoá những mệnh đề để đợc nhữngmệnh đề tổng quát hơn Chẳng hạn khi học về luỹ thừa, yêu cầu học sinh làmbài tập sau:

1) Tính giá trị các luỹ thừa và so sánh:

2) Lấy một ví dụ cùng loại với ba ví dụ đầu, một ví dụ cùng loại với ba ví

dụ sau

3) Từ các ví dụ trên hãy nêu quy tắc so sánh hai luỹ thừa

Với bài tập này, học sinh đợc khuyến khích thực hiện phép tơng tự coi

nh sự biểu hiện của khái quát hoá Tuy nhiên, trớc đó học sinh phải so sánhtìm đặc điểm chung của từng nhóm ví dụ

Ba ví dụ đầu: Luỹ thừa, cùng cơ số, cơ số chẵn, số mũ lẻ.

Ba ví dụ sau: Luỹ thừa, cùng số mũ, cơ số lẻ, số mũ chẵn.

Khi khái quát hoá theo yêu cầu 3), học sinh phải tách những đặc điểmbản chất (hai đặc điểm đầu) khỏi những đặc điểm không bản chất (đặc điểmcuối), tức là tiến hành trừu tợng hoá

Một ví dụ khác: Từ mệnh đề: “Tích (m+1)(m+2)(m+3)…,(3m-1)3m với

mN* chia hết cho 3m nhng không chia hết cho 3m+1”, muốn khái quát hoáthành mệnh đề tổng quát hơn: “Tích (m+1)(m+2)(m+3)…,(pm-1)pm với

mN* chia hết cho 3p nhng không chia hết cho 3p+1”, học sinh phải tách đặc

điểm số nguyên tố (đặc điểm bản chất) ra khỏi đặc điểm số lẻ (đặc điểmkhông bản chất), tức là tiến hành trừu tợng hoá

2.1.3 Đặc biệt hoá

Theo G Pôlia: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tậphợp đối tợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tậphợp đã cho”

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giácsang việc nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi chuyển từ việcnghiên cứu đa giác đều n cạnh (n3) sang việc nghiên cứu tam giác đều (n=3)

Những dạng đặc biệt hoá thờng gặp trong môn Toán có thể đợc biểudiễn bằng sơ đồ sau:

Đặc biệt hoá có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích nhữngkhái niệm, định lý tổng quát bằng những trờng hợp riêng lẻ, cụ thể

Đặc biệt hoá

Đặc biệt hoá từ cái tổng

quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hoá từ cái riêng

đến cái riêng hơn

Đặc biệt hoá tới cái

riêng lẻ đã biết Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ ch a biết

Trong hoạt động giải Toán đặc biệt hoá là chuyển việc nghiên cứu từ trờnghợp chung sang trờng hợp riêng Chẳng hạn, ở ví dụ 1 từ bài toán xuất phát:

“CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC

Một bài toán khó thờng dễ giải hơn nếu ta xét nó trong một trờng hợp

đặc biệt vì khi đó ta đã bổ sung thêm giả thiết, tăng thêm dữ kiện cho bài toán.Sau khi giải quyết các bài toán đặc biệt chúng ta có thể rút ra đợc các kết luận,

tìm đợc cái chốt“ ” giúp cho việc giải quyết các bài toán tổng quát Các trờnghợp riêng đôi lúc gợi ý cho các chứng minh tổng quát Chẳng hạn, trớc khihọc sinh đợc học khảo sát hàm số y = ax2 + bx + c (a  0), họ đã đợc nghiêncứu về hàm số y = ax2 (a  0) Do đó, để khảo sát hàm số bậc hai đầy đủ, tatìm cách đa về trờng hợp đặc biệt Y = aX2 (bằng phép đổi trục tọa độ)

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x a  x b (a<b)

Đề bài toán cho toàn bằng chữ, đối với học sinh quả là quá trừu tợng,học sinh sẽ rất khó tìm ra mối liên quan gỉa giả thiết và kết luận

Ta đặc biệt hoá bài toán trên với a=1; b=2 Lúc này ta tìm giá trị nhỏnhất của hàm số: y = x 1  x 2

2.1.4 So sánh, tơng tự

2.1.4.1 So sánh

32

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiệntợng Muốn so sánh hai sự vật (hiện tợng) ta phải phân tích các dấu hiệu, cácthuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các thuộc tính đó với nhau rồitổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tợng) có cái gì giống và khác nhau.

Trong hoạt động Toán học, so sánh giữ một vai trò quan trọng.Usinxki chỉ ra: “Nếu anh muốn hiểu rõ một sự vật nào đó của thiên nhiênbên ngoài thì anh hãy phân biệt nó với các sự vật giống nó nhất và tìm trong

nó những dấu hiệu giống với sự vật xa lạ với nó nhất; chỉ khi ấy anh mớihiểu rõ tất cả các dấu hiệu bản chất của sự vật, chính điều đó mới có nghĩa làhiểu sự vật” [51, tr 111]

Sự so sánh các sự vật và hiện tợng của hiện thực khách quan diễn ratheo một góc độ nhất định, xuất phát từ một quan điểm nào đó, nhằm giảiquyết một vần đề nhất định I M Xêtsênốp viết: “Ngời ta đối chiếu và so sánhcác sự vật, nhằm đánh giá sự giống nhau và khác nhau của chúng trong tất cảcác mối quan hệ có thể có” [51, tr 111]

Trong giảng dạy và học tập, so sánh luôn luôn phục vụ một nhận thứcnào đó, nó luôn luôn có mục đích Do đó các sự vật và hiện tợng có thể giốngnhau theo quan điểm này và khác nhau theo quan điểm khác Chẳng hạn khidạy cho học sinh tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dơng ta đa ra yêucầu học sinh tính và so sánh:

(2.5)4 và 24.54;

3

1 3

sánh để rút ra đặc điểm chung: Các đẳng thức luỹ thừa, vế trái là luỹ thừa của

một tích, vế phải là tích các luỹ thừa Từ những đặc điểm chung tìm đợc, trên

cơ sở khái quát hoá ta có công thức tổng quát: (x.y)n = xn.yn

Rõ ràng trong quá trình giảng dạy nếu ta để ý, sử dụng thao tác so sánhmột cách đúng lúc, thích hợp sẽ giúp học sinh nắm chắc kiến thức mới tiếpthu, củng cố đợc kiến thức cũ đã học và giúp học sinh vận dụng kiến thức cũtốt hơn Hay khi dạy về các phép biến đổi tơng đơng của bất phơng trình,

chúng ta có định lý: Cho bất ph“ ơng trình f(x) > g(x) (1) có tập xác định D, y=h(x) là một hàm số xác định trên D Khi đó, trên D bất phơng trình (1) tơng

đơng với bất phơng trình f(x)+h(x) > g(x)+ h(x) (2)”.

Để học sinh nắm chắc định lí này giáo viên có thể cho học sinh so sánh

với một định lí tơng tự trong phần phơng trình đó là: Cho ph“ ơng trình f(x) = g(x) (1) có tập xác định D, y=h(x) là một hàm số xác định trên D Khi đó, trên

D phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình f(x)+h(x) = g(x)+ h(x) (2)” Giáo

viên có thể chỉ cho học sinh thấy:

Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng và hai bất phơng trình tơng đơng giống nhau ở chỗ: Chúng tơng đơng khi tập nghiệm trùng nhau.

Từ tính chất này của phơng trình và bất phơng trình đều suy ra đợc một

hệ quả cho phép có một phép biến đổi tơng đơng rất hay dùng trong biến đổi

phơng trình và bất phơng trình đó là: có thể chuyển một biểu thức từ vế này

sang vế kia và khi đã đổi dấu của nó.

Việc chứng minh hai định lí đều sử dụng định nghĩa: Nghĩa là lấy

x 0  D là nghiệm của phơng trình (1) chứng minh đợc x 0 là nghiệm của (2) và ngợc lại.

Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ hơn: Việc tìm nghiệm của

phơng trình f(x) = g(x) là tìm các giá trị của x 0 để giá trị của hàm f(x) tại x 0 bằng giá trị của hàm g(x) tại x 0 Còn tìm nghiệm của bất phơng trình f(x) > g(x) là tìm các giá trị x 0 để f(x 0 ) > g(x 0 ) (Tức các giá trị của x để giá trị của hàm f(x) lớn hơn giá trị của hàm g(x)).

Hoặc có thể dùng đồ thị để giải thích: Nghiệm của phơng trình

f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y 1 =f(x) và y 2 = g(x) Còn nghiệm của bất phơng trình f(x)> g(x) là tập hợp các giá trị của x để đồ thị của hàm

số y 1 =f(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y 2 = g(x).

Bằng cách so sánh nh vậy sẽ làm cho học sinh nắm chắc bản chất về

định nghĩa các nghiệm của phơng trình và bất phơng trình hơn Chỉ khi nắmvững kiến thức cơ bản học sinh mới có thể t duy một cách linh hoạt, sáng tạokhi giải quyết vấn đề

2.1.4.2 Tơng tự

Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thể nói tơng tự là giốngnhau nhng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đợc phản ánh bằng kháiniệm [43, tr 22]

Trong lôgic học“ ”, D Gorki viết: “Tơng tự là phép suy luận trong đó từchỗ hai đối tợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đốitợng này giống nhau ở các dấu hiệu khác Nếu đối tợng A có dấu hiệu là a, b,

c, d và đối tợng B cũng có dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng

đối tợng B cũng có tính chất d Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận

t-ơng tự nh sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b,c -

34

Kết luận B cũng có tính chất d” (Theo 20).

Chúng ta đã nghiên cứu đặc biệt hóa và thấy không có gì đáng để nghingờ cả Nhng khi bớc vào nghiên cứu sự tơng tự thì chúng ta có một cơ sở kémvững chắc hơn

Trong Toán học, ngời ta thờng xét vấn đề tơng tự trên các khía cạnhsau:

- Hai phép chứng minh là tơng tự, nếu đờng lối, phơng pháp chứngminh là giống nhau;

- Hai hình là tơng tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau Nếu vaitrò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tửtơng ứng của chúng có quan hệ giống nhau Chẳng hạn đờng thẳng trong mặtphẳng tơng tự với mặt phẳng (trong Hình học không gian), vì trong Hình họcphẳng đờng thẳng là đờng đơn giản nhất có vai trò giống mặt phẳng là mặt

đơn giản nhất trong Hình học không gian Ngoài ra, có nhiều định lý vẫn còn

đúng nếu chúng ta thay từ “đờng thẳng” bởi từ mặt phẳng“ ”, ví dụ định lý

trong Toán học cao cấp, phép tơng tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh Trong

một số phát minh, phép tơng tự đóng vai trò quan trọng hơn cả”; còn đối vớinhà Thiên văn học tài ba Kepler (ngời Đức), ngời đã phát minh ra ba định luậtnổi tiếng trong Thiên văn học thì: “Tôi vô cùng biết ơn các phép tơng tự,

những ngời thầy đáng tin cậy nhất của tôi, các phép tơng tự đã giúp tôi khám

phá ra các bí mật của tự nhiên, đã giúp tôi vợt qua mọi trở ngại” (dẫn theo 44,

tr 148)

ở đây, chúng ta chỉ xét những phép tơng tự theo nghĩa là chuyển từ mộttrờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêng khác của cùng một cái tổngquát

lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng) (b); Trung bình cộng của n số

không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của nó (c)"

Việc chuyển từ mệnh đề (a) hay (b) sang (c) là khái quát hoá; việcchuyển từ (a) sang (b) là một phép tơng tự Phép tơng tự ở đây rất gần với kháiquát hoá; phép tơng tự có thể xem là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì, việcchuyển từ một trờng hợp riêng này sang một trờng hợp riêng khác của cùngmột cái tổng quát là một bớc để đi tới những trờng hợp riêng bất kỳ của cáitổng quát đó

Đối với học sinh, tơng tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tduy sáng tạo của ngời học Để giải một bài toán, chúng ta thờng nghĩ về mộtbài toán tơng tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy Sau đó, để giải bài toánban đầu, ta lại dùng bài toán tơng tự dễ hơn đó làm mô hình

Ví dụ 6: Tính tổng: S(n) = 1.2 + 2.3+ +n(n+1).

Để tính tổng trên ta liên hệ nó với một tổng tơng tự đơn giản hơn

S1(n) = 1 + 2 + 3 + + n Để cho tổng S1(n) có dạng gần gũi với tổngS(n) hơn ta nhân S1(n) với 2 ta có:

2 S1(n) = 1.2 + 2.2 + 2.3 + + 2.n

Do đó: S(n) -2 S1(n) = 1.2 + 2.3 + + (n-1).n Vế phải của đẳng thứcnày chính là: S(n)-n(n+1)

Vì vậy: S(n) - 2 S(n) = S(n) - n(n+1)

 S (n) =1 n(n +1)

Vậy S(n) cha tính đợc, nhng ta lại tính đợc S1(n) nhờ liên hệ với S(n)

Điều đó gợi cho ta suy nghĩ rằng muốn tính S(n) lại phải liên hệ với một tổng

xét tổng tơng tự.

36