Nghiên cứu một số bài toán quang học lượng tử bằng lí thuyết nhiễu loạn

Đề tài mà chúng tôi đặt ra cho luận văn là: "Nghiên cứu một số bài toán quang học lợng tử bằng lý thuyết nhiễu loạn " Với đề tài đó nội dung luận văn đợc trình bày trong ba chơng nh sau

Mục lục

Trang

Mở đầu 2

Chơng I Tổng quan về nhiễu loạn 4

1.1 Bài toán nhiễu loạn dừng 4

1.1.1 Bài toán nhiễu loạn dừng khi không suy biến 7

1.1.2 Bài toán nhiễu loạn dừng khi có suy biến 9

1.2 Bài toán nhiễu loạn không dừng 12

Chơng II ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn trong một số hiệu ứng lợng tử 2.1 Bài toán dao động tử phi điều hoà 16

2.2 Bài toán về sự tách vạch quang phổ 23

2.2.1 Hiệu ứng Zeemann 23

2.2.2 Hiệu ứng Stark trong nguyên tử hiđro 27

Chơng III ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn trong một số bài toán quang học cơ bản 34

3.1 Nghiên cứu sự tơng tác giữa ánh sáng với vật chất 34

3.2 Bài toán nguyên tử hai mức 43

Kết luận chung .48

Tài liệu tham khảo 50

Mở đầu

Nhiễu loạn là một trong những phơng pháp tính gần đúng, đợc sử dụng rộng rãi nh là một công cụ toán học trong các vấn đề vật lý Đặc biệt trong quang học lợng tử, lý thuyết nhiễu loạn càng tỏ ra hữu hiệu khi nghiên cứu các

vấn đề trừu tợng, tổng quát xẩy ra trong quá trình tơng tác giữa ánh sáng và vậtchất.

Để làm rõ điều đó luận văn đã đặt vấn đề nghiên cứu, tìm hiểu một sốhiệu ứng xẩy ra trong quang học lợng tử trên cơ sở sử dụng nhiễu loạn nh mộtcông cụ, một phơng pháp nghiên cứu, từ đó giải thích và làm sáng tỏ bản chấtvật lý của các vấn đề đặt ra

Do phạm vi đề tài liên quan đến những vấn đề cập nhật, hiện đại quanghọc lợng tử mang tính tổng quát cao, nên nội dung nghiên cứu chỉ giới hạntrong một số hiệu ứng, hiện tợng quang học cơ bản và đã chỉ ra đợc sự thànhcông bớc đầu của lý thuyết nhiễu loạn trong nghiên cứu vật lý nói chung vàquang học lợng tử nói riêng Đề tài mà chúng tôi đặt ra cho luận văn là:

"Nghiên cứu một số bài toán quang học lợng tử bằng lý thuyết nhiễu loạn "

Với đề tài đó nội dung luận văn đợc trình bày trong ba chơng nh sau:

Chơng I Tổng quan về nhiễu loạn

Trong chơng này trình bày hai bài toán: bài toán nhiễu loạn dừng và bàitoán nhiễu loạn không dừng Bài toán nhiễu loạn dừng đợc xét cho hai trờng hợpsuy biến và không suy biến

Chơng này là cơ sở lý thuyết của phơng pháp nhiễu loạn, làm công cụnghiên cứu tìm hiểu một số bài toán quang học cơ bản ở chơng II và III

Chơng II ứng dụng nhiễu loạn trong một số hiệu ứng lợng tử

Nội dung của chơng II là bàn đến những ứng dụng của lý thuyết nhiễuloạn dừng trong các bài toán dao động tử phi điều hoà và bài toán về sự táchvạch quang phổ Từ đó đa ra lời giải thích và ý nghĩa vật lý về bản chất các quátrình xẩy ra trong các hiện tợng lợng tử

Chơng III ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn trong một số bài toán quang học cơ bản

ở đây đã sử dụng lý thuyết nhiễu loạn không dừng để tìm hiểu một số bàitoán quang học cơ bản nh sự tơng tác giữa ánh sáng và vật chất, bài toán nguyên

tử hai mức, và đa ra lời giải thích, làm rõ bản chất vật lý của các bài toán đặt ra

Do khuôn khổ của luận văn tốt nghiệp nên luận văn chỉ dừng lại nghiêncứu, tìm hiểu một số bài toán quang học lợng tử bằng lý thuyết nhiễu loạn, đây

là lĩnh vực hiện đại của vật lý học trong vài thập kỷ gần đây

Vì nhiều lý do khác nhau nên bản luận văn này không thể tránh khỏinhững sai sót Vậy rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, cácanh chị và các bạn sinh viên để bản luận văn này ngày càng hoàn thiện hơn

ơng I

Tổng quan về nhiễu loạn

Nghiệm chính xác của phơng trình Schrodinger chỉ có thể giải đợc một sốbài toán đơn giản nh dao động tử điều hòa, nguyên tử Hiđrô Nhng ngay cảnhững bài toàn này cũng đòi hỏi một phơng pháp tính toán rất phức tạp

Những bài toán phức tạp hơn trên thực tế ta không giải đợc Tuy nhiêntrong nhiều trờng hợp các bài toán đó có thể đợc giải một cách gần đúng bằngcách đa chúng về những bài toán đơn giản hơn, có thể giải nghiệm chặt chẽ vàchính xác sau đó tìm những số hiệu chỉnh tơng ứng

Việc nghiên cứu các phơng pháp giải gần đúng các bài toán bằng cách đachúng về các bài toán tơng ứng đơn giản hơn, kèm theo tính các số hiệu chỉnhcần thiết là nội dung của lý thuyết nhiễu loạn

Lý thuyết nhiễu loạn đợc áp dụng cho hai loại bài toán: Bài toán dừng vàbài toán không dừng

Trong loại bài toán dừng ta phân thành hai tuỳ thuộc vào sự suy biến haykhông suy biến

Sau đây ta xét cụ thể đối với từng bài toán

1.1 Bài toán nhiễu loạn dừng

Xét hệ lợng tử có toán tử năng lợng Ĥ (Ĥ không phụ thuộc rõ vào thờigian) phơng trình Schrodinger đối với hệ có dạng:

Ĥψ =EEψ (1.1)

Ta đã giải phơng trình (1.1) trong một số trờng hợp đơn giản và lời giảinhận đợc không phải sử dụng một phơng pháp gần đúng nào Tuy nhiên khidạng thế năng của trờng ngoài trong biểu thức toán tử năng lợng trở nên phứctạp hơn thì nói chung là không thể cho lời giải chính xác Nên ta sử dụng phơngpháp nhiễu loạn

Giả thiết rằng toán tử Hamintơn của hệ lợng có thể đợc tách thành hai sốhạng Ĥ =E Ĥo + (1.2)

Trong đó Ĥo là Hamintơn của bài toán đã lý tởng hóa có nghiệm chínhxác, còn là một số hạng phụ thuộc nào đó mà ngời ta gọi là toán tử nhiễu loạn,toán tử nhiễu loạn có thể là một phần của toán tử Hamintơn đã không đợc xét

đến trong bài toán lý tởng hóa, hay thế năng của tác động bên ngoài

Bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là tìm ra các công thức xác định năng ợng và các hàm sóng của các trạng thái dừng qua các giá trị năng lợng đã biết

l-En và các giá trị của những hàm sóng ψn của hệ “ Không nhiễu loạn” đợc mô tảbởi Hamintơn Ĥo

Ψ(x) =E

Tập các giá trị {Cn} là hàm sóng Ψ trong Eo – bd và phơng trình (1.3) códạng:

Cn(Ĥo+ ) ψn(o) =E E Cn ψn(o)

Nhân hai vế với ψm(o)* về bên trái và lấy tích phân theo x ta có:

CnEn(o) ψm(o)*ψn(o)dx + Cn ψm(o)* ψn(o)dx =E E ψm(o)*ψn(o)dx

CmEm(o) + CnVmn =E CmE  CmEm(o) + CnVnm + CmVmn =E CmE



m n



m n



m n

Vˆ

Vˆ

Vˆ Vˆ Vˆ

Xét trờng hợp khi không có suy biến, phơng trình

(Ĥo+ ) ψ(x) =E Eψ(x)ứng với một trị riêng chỉ có một hàm riêng ψn0 và do đó chỉ có một hệ số Cn(o)

thay các giá rị E, Cm từ phơng trình (1.11) và phơng trình (1.12) vào phơng trình(1.7) và nhóm các hệ số cùng bậc , ta có:

[Em(o) + vmn – (E(o) + E(1) + 2E(2) + )](Cm(o) + Cm(1) + ) +  vmnCn =E 0

 (Em(o) – E(o))Cm(o) + [(vmn – E(1))Cm(o) + (Em(0) – E(o)) Cm(1) + vmnCm(0)]+ 2[(vmn – E(1))Cm(1) + (Em(o) – E(o))Cm(2) - E(2)Cm(o) + vmnCn(1)] + =E 0

(1.13) Giải bằng phơng pháp gần đúng liên tiếp

Trong gần đúng bậc không bỏ qua  , có nghĩa  =E 0

Trong gần đúng bậc một, ta thay các giá trị E(o) và Cm(o) ở trên vào phơngtrình (1.13) và bỏ qua các số hạng luỹ thừa bậc 2 trở lên ta thu đợc phơng trìnhgần đúng bậc một:

[(vmn – E(1)) mk + (Em(o) – Ek(o))Cm(1) + vmn nk ] =E 0(1.17)

Do  =E 0 nên thành phần trong dấu ngoặc vuông bằng không

[(vmn – E(1)) mk + (Em(o) – Ek(o))Cm(1) + vmn nk ] =E 0 (1.18)

Khi m =E k thì (vmm – E(1)) kk =E 0

 Vkk =E E(1) (1.19)Khi m ≠ k thì

(Em(o) – Ek(o))Cm(1) + vmn =E 0

Do mk =E 0



m n



m n



m n



m n

V

mk

E (o) - E (o)

Vˆ

nk =E 1  Cm(1) =E (m ≠ k) (1.20)Trong gần đúng bậc hai, ta thay (1.19) và (1.20) vào (1.13), bỏ qua số hạng từbậc ba của  ta có:

[(vmn – E(1))Cm(1) – E(2) Cm(o) + (Em(o) – E(o))Cm(2) + vmnCn(1)] =E 0

[(vmn - vkk) - E(2)Cm(0) + (Em(0) – Ek(0))Cm(2) + vmnCn(1)] =E 0

(1.21)Khi k =E m ta có (vmn - vkk) =E 

Quá trình cứ tiếp tục ta sẽ tính đợc nghiệm gần đúng bậc cao hơn

Trở lại bài toán ban đầu, và tính đến gần đúng bậc nhất, thay (1.19) vào (1.11);(1.12) ta có:

Ek =E Ek(0) + vkk =E Ek(0) + Ek(1) (1.24)

Ψk = CnΨn(0) = Ck(0)Ψk(0) + Ck(1)Ψk(0)

= Ψk(0) + Ψk(0) (1.25)

Để phép tính có nghĩa thì lợng bổ chính phải rất nhỏ, hay

Cm(1) =E =E << 1

Hay

Vmk << Ek(0) – Em(0) (m ≠ k) (1.26)Nhận xét:

Khi ứng dụng thực tiễn phơng pháp nhiễu loạn, ngời ta thờng dùng phépgần đúng cấp một cho hàm sóng, và phép gần đúng cấp hai cho năng lợng, tuynhiên trong một số trờng hợp cần phải dùng gần đúng cấp cao hơn

Phơng pháp nêu trên của lý thuyết nhiễu loạn chỉ đúng trong trờng hợpnếu nh các phép gần đúng kế tiếp hội tụ Điều kiện để cho điều đó xảy ra là số

Luận văn tốt nghiệp Ngô Thị Hoài An



m n

V mk

VmkE

k

(o)

- E

m (o)



n k

k

(o)

- E

m (o)



k m

V mk

hiệu chỉnh sau phải nhỏ so với số hiệu chỉnh trớc Nh vậy điều kiện để ứng dụng

đợc lý thuyết nhiễu loạn có thể đợc viết dới dạng biểu thức (1.26) Do đó, điềukiện để ứng dụng đợc lý thuyết nhiễu loạn quy về việc đòi hỏi các phần tử matrận không chéo của toán tử nhiễu loạn phải nhỏ hơn so với giá trị tuyệt đốicủa hiệu các giá trị tơng ứng của năng lợng không nhiễu loạn

1.1.2 Bài toán nhiễu loạn dừng khi có suy biến

Phơng pháp của lý thuyết nhiễu loạn đã trình bày ở trên cho phép ta tính

Với phơng trình của hệ không nhiễu loạn:

Ĥn Ψn(0) =E En(0) Ψn(0) (1.29)

Có tập hợp các hàm riêng Ψ1(0), Ψ2(0),Ψ3(0) ,Ψg(0), ở đây mỗi hàmriêng cùng ứng với một trị riêng, có nghĩa trị riêng này suy biến bội g, còn tậphợp các hàm riêng Ψg+1(0), Ψg+2(0)…ở đây mỗi hàm riêng ứng với một trịriêng

Tìm nghiệm của phơng trình ĤΨn(0) = EΨ trong gần đúng bậc một theonăng lợng bằng cách sau:

Ψ = Cm Ψm(0) + CΨ (0) (1.30)Trong đó C là đại lợng bé bậc nhất

Cm là đại lợng lớn vì các mức năng lợng là sát nhau

Thay (1.30) vào phơng trình ĤΨ = EΨ, ta có :

Cm(Ĥ - E) Ψm(0) + C( Ĥ - E)Ψ (0) =E 0 (1.31)Trong đó Ĥ - E =E (Ĥ0 - E) + Û =E (Ĥ0 - E0) + (Û – E1) (1.32)

Trong phép gần đúng bậc nhất ta coi U – E1 =E 0, có nghĩa là ta chỉ xét

đến mức năng lợng nào đó là đáng kể, còn các mức năng lợng khác ta xem làkhông đổi, phơng trình có thể viết lại

Hlm =E  Ψl (0)*ĤΨm (0)dv (1.36)Phơng trình (1.35) đợc gọi là phơng trình thế kỉ, dới dạng khai triển(1.35) ta có

(H11-E)C1 + H12C2 + + H1gCg =E 0

H21C1 + (H22-E)C2 + +H2gCg =E 0 (1.37)

Hg1 Hg2 Hgg- E =E 0

Det(E) =E | H - Elm | =E 0Khai triển định thức (1.38) chúng ta thu đợc phơng trình bậc g đối với giátrị cha biết E Nếu tất cả các nghiệm của phơng trình (1.38) khác nhau thì mứcnăng lợng E0 suy biến bội g của bài toán không nhiễu loạn sẽ tách thành g mức

Ek khác nhau, ứng với mỗi mức sẽ có một hàm sóng

Ψk =E Cm Ψkg(0) (1.39)

Các hệ số Cmk của hàm đợc xác định từ hệ phơng trình khi thay các giá trị

Ek cho E Trong trờng hợp này ta nói rằng, nhiễu loạn v hoàn toàn khử đợc sự

suy biến Nếu một hay một số nghiệm của phơng trình (1.38) là các nghiệm bộithì sự khử suy biến chỉ một phần, các hàm sóng tơng ứng với các nghiệm bộicủa phơng trình (1.38) đợc xác định bởi các phơng trình một cách không đơn trị,tuy nhiên bao giờ cũng chọn đợc chúng sao cho chúng trực giao với nhau, cáchàm sóng thuộc về các nghiệm của phơng trình (1.38) trực giao với nhau Nhvậy tất cả các phần tử của ma trận không chéo của toán tử toàn phần Ĥ đợc tínhdựa vào các hàm (1.39) sẽ bằng không, điều đó cho phép ta dùng các hàm nàycùng với các hàm tơng ứngvới các mức khác để tìm các hiệu chỉnh cho các mứcnăng lợng Ekg trong các phép gần đúng tiếp theo Nh vậy khi hệ có nhiễu loạn,mức năng lợng sẽ bị tách thành một dãy các mức con.

1.2 Bài toán nhiễu loạn không dừng

Khi nghiên cứu các nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Trong trờng hợp nàykhông thể nói chung về lợng bổ chính cho các trị riêng năng lợng vì cácHamintơn phụ thuộc thời gian

Ĥ =E Ĥ0 + (t)

Ĥ0 là Hamintơn không nhiễu loạn, không phụ thuộc thời gian

(t) là thế năng tơng tác đợc coi là nhiễu loạn, và có thể phụ thuộc thờigian Năng lợng ở đây nói chung không bảo toàn, do đó không có các trạng tháidừng Chúng ta cần phải tính các hàm sóng theo hàm sóng của trạng thái dừngcủa hệ không nhiễu loạn Ψ0.

Ta có phơng trình Schordinger cho hệ:

ĤΨ = i (1.40)

ở đây Ĥ là hàm Hamintơn có dạng Ĥ =E Ĥ0 + (t) (1.41)Trong đó Ĥ0 là năng lợng không nhiễu loạn, không phụ thuộc thời gian

(t) là năng lợng nhiễu loạn, phụ thuộc thời gian

i =E Ĥ0Ψ(o) (1.43)Nếu chọn Ψ(o) =E Ψ(o)(x,t) =E Ψ(o)(x)T(0)(t) thì (1.43) có dạng củanghiệm riêng là:

(1.44)Trong đó là nghiệm của phơng trình:

(1.45)

Nghiệm tổng quát của (1.43) là:

(1.46)Còn nghiệm của phơng trình nhiễu loạn (1.42) đợc biểu diễn dới dạng tổhợp tuyến tính của các nghiệm riêng (1.44) của bài toán không nhiễu loạn các

hệ số phân tích Cn phụ thuộc vào thời gian

(1.47)Việc giải phơng trình (1.40) tìm nghiệm tơng đơng với việc tìm Cn(t)

Thay phơng trình (1.47) vào phơng trình (1.42) và chú ý phơng trình(1.45) ta có:

) ( )

,

) 0 ( x t n x i E n t

n



) ( )

( ( 0 ) ( 0 ) )

0 (

C t

x, ) ( ) exp( ) ( )



) , (x t

n n

dt

d i x t

E

i t

C t

C ( ) exp( )( ( )) ( 0 ) ( )

0 ) 0 (



)]

( ) exp(

) ( )

( ) ( )

) 0 ( ()

) 0 ( )

0 ( ) 0 (

x t

iE t

C E

i dt

t dC x t

iE

n n

n n

0

E i t

n n

dt

d i t E

n n

mn mn n n

dt

t dC i t E

i t

V E

t E

i t

( ( 0 )

* ) 0 ( V t n dv V mn t m

) 0 ( )

0 ( ) 0 (

) ( ) ( )(

( ) (

dt

d i x t

đợc hệ số phân tích Cm(t) trong các gần ta coi (t) là nhiễu loạn bé.

Xét trong gần đúng bậc không, nếu bỏ qua (t) thì hệ số Cm(t) là không

đổi và kí hiệu là Cm(o)(t) Chọn tại thời điểm ban đầu (0) =E 0

t V t E

i t

C t

E

i dt

t dC i

n

mn n n

m m

n n

dt

t dC

dt

t dC

mn

dt

t dC

mn mn

i t C

0

) 0 ( )

0 ( )

1 ( ( ) 1 ( ) exp(  ) ( )

mn n

C

0

) 0 ( )

0 ( )

1



0 1 )

(

) 0

dt

d i t C dt

mn mn n

C dt

( ) exp(i mn t V mn t V mn t

C

0

) 0 ( )

n

o n m

(1.60Trong gần đúng bậc l ta có (1.61) Vậy sử dụng phơng pháp gần đúng bậc liên tiếp, ta tính đợc gần đúng bậc l

2.1 Bài toán dao động tử phi điều hòa

Bài toán: Dùng lý thuyết nhiễu loạn dừng, tìm các mức năng lợng

và hàm sóng trong gần đúng cấp 1 và cấp 2 của hạt nằm trong trờng:

Bài giải Giả thiết toán tử Hamintơn của hệ là:

Trong đó là toán tử năng lợng khi không có nhiễu loạn

là toán tử năng lợng nhiễu loạn, nó có thể là một là một phần củatoán tử Hamintơn đã không đợc xét đến trong bài toán lý tởng hóa hay thế năngcủa tơng tác trờng bên ngoài

Xét trong trờng hợp khi không có nhiễu loạn thì 1 =E 2 =E0

(2.2)Thì

C

2 )

C

0

) 1 ( )



4 2

3 1 2 2

2 )

0 n E n n



2 2

2 )

V  

2 2 2

2

2

1 2 ) ( 2

m

P x V m

Trong cơ học lỡng tử Thay thế xung lợng cổ điển P bằng toán tử

các đại lợng p, q thỏa mãn hệ thức giao hoán:

P  



) ( )

( 2

2

2 2

2

q w q q

m dq

d m

( ) (

2

2 2

) )(

(

2 2

d d

d

) ( 2

1 ) )(

2 ) ( ) (

2 ) 6 2

d d



1 )

d

) (

1





Nhận thấy phơng trình (2.7) và vế trái của (2.6) sai khác nhau bởi số hạng (2.9).Khi đó thực hiện phép dịch chuyển năng lợng W’ =E W - ta viết lại phơngtrình Schrodinger nh sau:

(2.12)Cho tác dụng lên hàm ta có:

Nh vậy nếu là hàm riêng của phơng trình (2.10) thì cũng là hàmriêng của phơng trình này, ứng với trị riêng lớn hơn trị riêng tơng ứng của hàmmột lợng là Tác dụng toán tử , n lần lên chúng ta đợc:

(2.16) Thoả mãn điều kiện chuẩn hoá

0

' 0

) (bb  W 







b b



] ) 1

( [ )

( )

)(

(  bb b 0   b bb 0 b   bb 0

0 0

Trạng thái là trạng thái có n lợng tử năng lợng, với giá trị của mỗi lợng

tử là 

Mỗi lần tác dụng toán tử b+ lên làm tăng số lợng tử lên một đó là toán

tử sinh Tơng tử toán tử b- tác dụng lên làm giảm số lợng tử đi một lợng ,

do đó b- gọi là toán tử huỷ

Để tìm các trị riêng và các hàm riêng của toán tử

Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn khi không có suy biến:

Nên

(2.21)

(2.22)Bài toán quy về tính các phần tử ma trận

) 2

2

2 1

) 1 2 ( 2

2 2

) (

1 (

) 0 (  n

E E

v v

kn n

n n n

E E

v

) 0 ( ) 0 ( )

0 ( ) 0 ( ) 0 (

n n n n

E E

v v k

V n E

E E E

k V n k

V n

k k n

n n

E E

n V

) 0 ( ) 0 ( )

x n

2

) 1 ( 1

( 2

|

m k

x n k

V

1

3 1

n n

p p

l n m l

l p p

nl 1 ,  ,1,1  , 1( ( 1 ( 1 ) ) 1 ,  1 1,  , 1] )

1

p

l p p

l

) 1 ( )

, ,

1 ( 1 )( 1 ( ) )

1 )(

1

p

l p p

l

l n l

p p

n l

n l

p p

nl(   1 ) 1,  ,1,1 ,1  (  (  ) 11,)1( )n.1,l1 1, 1(   1 ), n1,l1

p

l p p

p p

1 ( )

1 2 ( )

1 ( [ 2

n l

n n m

k x

n ) [ ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 )( 2 ) ]

2 (

) (

) 2 ( 1 (

) 2 (

|

, 1 1 , 2 1 , 1 , 2

l k k l l

k k

m l

l m k

, 2 1

, 2

) 2 )(

1

 n n n n k

1 , 1

, 2 1

, 1

)1

1 , 1

, 1

,

) 1 2

( n n l ll k  n ln k  n n n k

1 , 1

,2 1

, 2 , ( 1)( 2)( )2 ( )2 ( )1)2

)(

1

(n n ln l l k  n n n n k n n  k

1 , 1

, 1

,

)12

( n n l kl k  n kn k  n n n k

3 , 1

, 2 1

, 2

) 2 )(

1 (n n kn l l k  n n kn k  n n n n k

1 , l p

Vậy <n | x3 | k > =E

Nh vậy < n | V1 | n > =E 0 và < n | V1 | k > với n đã cho chỉ khác khi k =E n  1

và k =E n  3 Do đó số hạng này chỉ cho số hiệu chỉnh trong công thức (2.20),

trong phép gần đúng thứ hai, còn cho số hiệu chỉnh trong công thức (2.22) trong

phép gần đúng thứ nhất, và ta chỉ có thể giới hạn ở các phép hiệu chỉnh đó Ta

chú ý rằng trong mẫu số của các công thức (2.21), (2.22) với k =E n  1 sẽ bằng:

En – En1 =E  và với k =E n  3 sẽ bằng En - En3 =E 3

Ta có thể viết

Khi tính năng lợng thì cùng với số hiệu chỉnh cấp hai của V1 cần phải xét

cả số hiệu chỉnh cấp một của V2, nghiã là cần phải tính <n | V2 | n >

x n n

V

2

4 2

n k

n k

n n n

m ) [( ( 1)( 2)) 3 3( 1) ( 1)( 2)( 3) ]

2

1 ,

2 3

, 2 2

1 , 1

m n

3 )(

2 )(

1 (n n n n,k1 nn,k1 

0 )

2 )(

1 ( )

2 )(

1 (n n n,k3 n n,k1 n n n n3,n1

2 2 1 2 3 1 , 1 , 2 3

33

0)

(131

1 , 1

,

2 n k n n k  n n n n 

2 2

1 ,

2 1

, 1

,

)1(

0 1 )

3 )(

2 )(

1 (n n n n,k3 ,k1 n 

] ) 1 ( 3 3 [ ) 2 (

x n

|

| ( 3

) 3

|

| ( [

|

| )

2

1

(

2 3

2 3

2 1

4 2

n x n n

x n n

x n n

E n

] ) 1

|

| ( ) 1

1 ( 3

1 ) 2

( 3

) 3

n x n

2 )(

1 ( 3

1 ) 2

( 3

) 3

n x n

2 3

3

1 ) ( ) 1

|

| (

n n

x

1 )

1 )(

1 ( 1

) 2 )(

1

1 , 3



 n n k n n k n n n n nn

) 0 ( 1

2 )

0 ( 3 )

0 ( 3

2 )

0

3

) 3 )(

2 )(

1 ( 3

) 2 )(

1 ( [

2.2 Bài toán về sự tách vạch quang phổ

2.2.1 Hiệu ứng Zeemann

Khi đặt hệ nguyên tử trong từ trờng, trong hệ sẽ xảy ra sự phân bố cácmức năng lợng suy biến thành không suy biến Sự dịch chuyển giữa các mứcnăng lợng không suy biến này làm xuất hiện một số vạch Nh vậy trong từ trờngmột vạch trớc đây sẽ tách thành một số vạch khác

Vậy sự tách các mức năng lợng của nguyên tử, phân tử, hay tinh thể trong

từ trờng gọi là hiệu ứng Zeemann Hiệu ứng này đợc Zeemann tìm thấy từ năm

1896 Năm 1897 Lorentz đã xây dựng lý thuyết cổ điển cho hiệu ứng Zeemann,nhng sự giải thích đầy đủ cho hiệu ứng này chỉ có thể dựa trên lý thuyết lợng tử.Nhờ có hiệu ứng này ta có thể phát minh ra Spin và mômen từ của electron Ng-

ời ta phân biệt hiệu ứng Zeemann thành hai loại:

Hiệu ứng Zeemann bình thờng là hiện tợng tách các vạch phổ trong lòng

từ trờng mạnh, hiện tợng này thờng quan sát đợc đối với nguyên tử không cómômen Spin

Hiệu ứng Zeemann dị thờng là hiện tợng tách các vạch phổ trong từ trờngyếu, hiện tợng này thờng quan sát đợc đối với các nguyên tử có mômen Spinkhác không

Ngày nay sự nghiên cứu hiệu ứng Zeemann trên các vạch quang phổ làmột trong những phơng pháp quan trọng để xác định các đặc trng của các mứcnăng lợng của nguyên tử, nó cho phép xác định dễ dàng hơn các phổ nguyên tửphức tạp, hiểu đợc từ trờng trong các nguồn sáng và đặc biệt về các từ trờngtrong các vết mặt trời khi khảo sát mặt trời

Từ phơng trình Pauli mô tả trạng thái của hạt cùng với Spin trong điện từtrờng

Chỉ xét hiệu ứng Zeemann bình thờng nên ta tạm bỏ qua Spin của hạt và

bỏ qua cả phần điện trờng e( ) Kết quả là phơng trình (2.2.3) thu đợc

(2.24)

) , ( ] 2

) ( )

( 2

1 [ ) ,

mc

e r U e A c

e p m t

t r

( ) (

2

1 [ ) ,

c

e p m r

t r

c

e p A

c

e p A c

e

r

Xét (2.26)

Sử dụng hệ thức giao hoán ta có:

(2.27) Nên ta có:

Vậy (2.28)Kết quả thu đợc Hamintơn của bài toán là:

Từ điều kiệnLorentz div =E 0, nên:

(2.29)Nếu bỏ qua số hạng A2 ở (2.29) thì:

(2.30)

Đặt

Với H0 là toán tử không nhiễu loạn

Còn là toán tử năng lợng nhiễu loạn

Khi không có từ trờng phơng trình không nhiễu loạn có dạng:

(2.31)

Nh ta đã biết nghiệm của phơng trình (2.31) có dạng

(2.32)Khi có từ trờng toán tử năng lợng có dạng:

(2.33)

áp dụng lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến, coi số hạng thứ haitrong (2.39) là toán tử năng lợng nhiễu loạn ta tìm đợc hiệu chính năng lợng chomức Enl trong các gần đúng bậc nhất

Giả sử từ trờng hớng theo trục z và là từ trờng không đổi:

Hx =E Hy =E 0; Hz =E H (2.35)Biết ta có:

2 2

2 2

e p A c

e

x

A i P

x x

x x x

x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x

x x

c

e A div c

e i p A c

e x

A c

e i p

A A p c

2 2

2 2 0

2

0 0

0

2

r U A c m

e A div c m

ie p A c m

e m

p



) ( 2

2 2 2 0

0

2

r U A mc

e p A c m

e m

2 0

2

r U p A mc

e m

p



p A mc

e r U m

p



)) ( 2

(

0

0 0

2

)]

( 2

m

p A c m

e

0



) ( ) ( )]

( 2

[ )

0

m r

) (cos )

( ) , , ( )

e i H

e i n

A mc

ie n

E nl nlm nlm( 0 )

0

)*

0 ( )