Nghiên cứu ảnh hưởng của một số hiệu ứng phi tuyến lên lời giải soliton lan truyền trong sợi quang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHTHÁI THỊ MINH NGUYỆT NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG Chuyên ngành: Quang học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

THÁI THỊ MINH NGUYỆT

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN

TRONG SỢI QUANG

Chuyên ngành: Quang học

Mã số: 62441101

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ

Vinh 2009

MỤC LỤC

Chương 1: SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI

TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN

6

1.1.3 Sự lan truyền xung ngắn trong môi trường phi tuyến 12

1.2 Một số hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung lan truyền trong

1.3.2 Lời giải Soliton cơ bản ( Soliton bậc một) 41

Chương 2 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU

ỨNG BẬC CAO LÊN LỜI GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN

TRONG SỢI QUANG

51

2.2 Khảo sát ảnh hưởng đồng thời của một số hiệu ứng bậc cao lên lời giải

Soliton trong sợi quang.

52

PHẦN KẾT LUẬN 61

MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT NLSE Nonlinear Schrodinger

SPM Self Phase Modulation Tự biến điệu pha

TOD Third-Order Dispersion Tán sắc bậc ba

SS Self- Steppening Tự dựng xung

RMS Root-mean-square Độ rộng căn quân phương

LỜI MỞ ĐẦU

Nghiên cứu quá trình lan truyền xung ánh sáng trong môi trường vật chất làmột trong những vấn đề cơ bản của ngành Quang học Kể từ khi laser ra đờivào năm 1960, quang học phi tuyến đã có những phát triển vượt bậc và cónhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và công nghệ, trong đó có thôngtin quang Trong lĩnh vực này, truyền tải và xử lý thông tin sẽ là đối tượngtrực tiếp của các quá trình nghiên cứu Sự ra đời của nó đã cải tạo mạng lướithông tin trên toàn thế giới Nhờ đó, một số lượng tín hiệu hình, tín hiệu âmthanh có thể truyền đi một cách nhanh chóng và có hiệu quả bởi do tốc độtruyền thông tin là rất lớn, sự tổn hao trong quá trình lan truyền thấp Đặc biệt,tính ổn định của tín hiệu được truyền đi là rất cao và hầu như không bị méo.Tính chất này được tạo ra bằng cách sử dụng các Soliton quang học để truyềnthông tin

Soliton quang học là đối tượng của nhiều nghiên cứu về mặt lý thuyết cũngnhư thực nghiệm trong suốt ba thập kỷ qua bởi những ứng dụng mạnh mẽ,tiềm tàng trong truyền đạt thông tin đường dài và toàn bộ các thiết bị chuyểnmạch quang cực nhanh Soliton quang học trong một sợi điện môi được đềxuất lần đầu tiên vào năm 1973 bởi Hasegawa và Tappert [4], được làm thínghiệm kiểm tra bởi Moollenauer vào năm 1980 [5] Sự tồn tại dạng xungSoltion trong sợi quang là nội dung quan trọng trong nghiên cứu quá trình lantruyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến nói chung và trong sợiquang đơn mode nói riêng

Đối với những nghiên cứu về lan truyền xung quang học trong môi trườngphi tuyến, xuất phát điểm là lý thuyết điện từ của Maxwell Lý thuyết này có

ưu điểm là mô tả tốt các quá trình điện từ trong một giới hạn khá rộng nhưnglại rất đơn giản và đẹp đẽ về mặt toán học Trên cơ sở này, vấn đề lan truyềnxung được mô tả theo phương pháp gần đúng do bởi các quá trình phi tuyến là

rất phức tạp Khi đó lan truyền của xung ánh sáng được mô tả bằng phương

trình của hàm bao biến thiên chậm Phương trình hàm bao trong môi trường Kerr ở các khai triển bậc thấp có dạng là phương trình Schrodinger phi tuyến

(NLSE) Trong phương trình này, ta bỏ qua ảnh hưởng của các hiệu ứngtương ứng với các khai triển bậc cao Lúc này, xung chỉ chịu ảnh hưởng củahai hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha(SPM) Ảnh hưởng của hai hiệu ứng này trong một điều kiện nào đó sẽ hìnhthành Soliton

Vì giới hạn ở khai triển bậc thấp nên phương trình NLS chỉ mô tả gần đúng

sự biến đổi hàm bao của các xung laser ngắn (có độ rộng phổ cỡ ps) hoặc lớnhơn, còn các xung cực ngắn (độ rộng phổ cỡ fs) sẽ có sự sai lệch khi mô tảbằng NLSE Do đó, đối với các xung cực ngắn, ta cần phải kể đến các khaitriển bậc cao hơn Lúc này, lan truyền của xung cực ngắn được mô tả bởiphương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng (GNLSE) Trong GNLSE, tađưa vào các hiệu ứng phi tuyến bậc cao như : tán sắc bậc ba (TOD), tự dựngxung (SS), tán xạ Raman cưỡng bức (SRS) Mỗi hiệu ứng sẽ ảnh hưởng lênxung lan truyền trong sợi quang, đóng vai trò là nhiễu khi ta xem xét chúngđộc lập Tuy nhiên, khi xét đồng thời ảnh hưởng của các hiệu ứng kể trên, lờigiải GNLSE vẫn có thể cho ta dạng Soltion lan truyền trong sợi quang, mặc

dù điều kiện để có lời giải Soliton sẽ có phần hơi khác

Vì vậy, mục đích của đề tài là bằng phương pháp giải tích- khai triểnJacobian, giải GNLSE, tìm ra lời giải Soltion khi xét đồng thời một số hiệuứng bậc cao

Xuất phát từ lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài:

“NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG PHI TUYẾN LÊN LỜI

GIẢI SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG”

Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình bày trong hai chươngtheo bố cục sau:

Chương 1: “ SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN”

Trong chương này chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết của vấn đề nghiêncứu Bao gồm: xem xét sự đáp ứng phân cực của môi trường khi chịu kíchthích bởi một trường quang học; dẫn ra phương trình lan truyền sóng phituyến Từ phương trình tổng quát này chúng tôi xét các trường hợp riêng,quan trọng cho các xung ngắn, cực ngắn với các phương trình lan truyềntương ứng: NLSE và GNLSE

Các hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung trong quá trình lan truyền như:GVD, SPM, SS, TOD, RSR cũng được trình bày chi tiết

Tiếp đến là phần trình bày tổng quan về Soliton quang học Trong mục này,chúng tôi trình bày cơ sở xuất hiện Soliton quang học đồng thời dẫn ra mộtphương pháp cơ bản giải phương trình NLS để tìm nghiệm Soliton của nó –Phương pháp tán xạ ngược Các Soliton cơ bản và Soliton bậc cao được tìmthấy khi xung lan truyền trong chế độ tán sắc dị thường Ngoài ra trong phầnnày còn trình bày một dạng Sliton khác, đó là Soliton tối còn gọi là DarkSoliton

Chương 2 “KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG ĐỒNG THỜI CỦA MỘT SỐ HIỆU ỨNG BẬC CAO LÊN QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH SOLITON LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG”

Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược phương pháp giải tích khaitriển Jacobian Trên cơ sở đó giải GNLSE để tìm nghiệm Soliton

Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1

SỰ LAN TRUYỀN XUNG ÁNH SÁNG TRONG MÔI

TRƯỜNG TÁN SẮC PHI TUYẾN 1.1 Phương trình lan truyền xung trong sợi quang

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang

Khi trường quang học lan truyền trong môi trường điện môi, chúng sẽ kíchthích các phân tử và sinh ra các phân cực vi mô Sự đáp ứng của bất kì chấtđiện môi nào với trường quang học có cường độ lớn đều trở nên phi tuyến vàđược đặc trưng bởi vector phân cực toàn phần P Trường hợp trường quanghọc có công suất lớn lan truyền trong môi trường điện môi, khi đó vectơ phâncực là phi tuyến và liên hệ với vectơ cường độ điện trường E theo côngthức[1]:

(1) (2) (2) (3) (3)P(t)  0[ E(t)   E (t)  E (t) ]

P (t) P (t) P (t)

    (1.1)trong đó0 là hằng số điện môi trong chân không, ( j) là độ cảm điện môi bậc

j, (1) là độ cảm điện môi tuyến tính, biểu diễn phần đóng góp lớn nhất củavector phân cực P, các hiệu ứng của nó thể hiện sự phụ thuộc của chiết suấtvào tần số n( ) (2)

 mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai như phát hoà âmbậc hai, phát tần số tổng, phát tần số trừ…

Sự đóng góp thành phần phi tuyến lớn nhất kể đến trong vector phân cực P

là của (3)

 các thành phần bậc cao khác có thể bỏ qua do chúng quá bé Thànhphần bậc ba của vector phân cực phi tuyến tương ứng với các hiện tượng nhưphát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng và khúc xạ phi tuyến Khi màđiều kiện hợp pha được thỏa mãn, các quá trình phi tuyến này sẽ dẫn đến hiệntượng phát các tần số mới, điều này là không thuận lợi cho quá trình truyềnthông tin trong sợi quang

Các sợi quang được chế tạo từ hỗn hợp Ôxit-silic là một chất điện môi Hầuhết các hiện tượng phi tuyến xảy ra trong sợi quang đều bắt nguồn từ sự khúc

xạ phi tuyến, một hiện tượng mô tả liên hệ giữa sự phụ thuộc của chiết suấtphi tuyến n( , E )  2 vào tần số và cường độ trường, được mô tả như sau[3]:

2n( , E ) n( ) n E     (1.2)trong đó n ( )là chiết suất tuyến tính, thoả mãn:

n ( ) 1    (1.3)

và n2 là chiết suất phi tuyến cho bởi :

(3) 2

3

8n

  (1.4)Trong đa số trường hợp n2 là đại lượng dương [7]

Chiết suất phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường dẫn đến một sốlượng lớn các hiện tượng phi tuyến đáng chú ý Khi đó pha của một xungquang học biến đổi theo biểu thức:

1.1.2 Phương trình sóng phi tuyến

Sự lan truyền của các sóng điện từ mà trường hợp riêng là sóng ánh sángtrong môi trường vật chất được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell, viết theođơn vị Gauss [1]:

1 ( , )( , ) 

 



r r

   

(1.9)trong đó (r,t)  và j(r, t) 

là mật độ điện tích và mật độ dòng điện trong môitrường tại thời điểm t Các vectơ E(r, t)  , dn 2   1 m 2Sn2, H(r, t)  , B( , t) r tươngứng là cường độ điện trường, cảm ứng điện trường, cường độ từ trường vàcảm ứng từ

Trong đề tài này, chúng tôi chỉ nghiên cứu môi trường sợi quang - là môitrường điện môi nên không tồn tại điện tích tự do, khi đó

Môi trường là phi tuyến và sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi

Đối với từ trường ta cũng có thể đưa ra đại lượng tương tự, tuy nhiêntheo tính toán lý thuyết người ta nhận thấy rằng trong miền quang học, việcđưa vào đại lượng như vậy là không cần thiết.

Thế (1.11), (1.10) vào (1.8) ta được

2

1 D(r, t)B(r, t)

Áp dụng tính chất     E  ( E) 2E đối với (1.15) ta nhận thấyvấn đề rằng trong quang tuyến tính  D 0 và do đó  E 0 Trong môitrường phi tuyến số hạng này là không thể bỏ qua, ngay cả trong môi trườngđồng nhất Tuy nhiên, nếu xét cho trường hợp sóng ngang, phẳng thì  Ecóthể bỏ qua Nói chung, số hạng này rất nhỏ ngay cả khi không thể loại bỏ nó,đặc biệt trong gần đúng biên độ biến thiên chậm

Trong môi trường phi tuyến, thông thường có thể tách vector phân cựctoàn phần P thành hai phần, phần tuyến tính và phần phi tuyến như sau:

tt pht

P P  P (1.16)

Ở đây Pttphụ thuộc tuyến tính vào biên độ điện trườngE

Tương tự, ta có thể tách vectơ D thành hai thành phần tuyến tính và phituyến:

tt pht

D D   4 P (1.17) trong đó thành phần tuyến tính có dạng:

tt tt

D   E 4 P  (1.18)Chúng ta có thể biểu diễn quan hệ giữa Dtt và E dưới dạng ten xơ thực phụthuộc tần số trong môi trường đẳng hướng như sau:

tt tt

D  E (1.19)trong đó tt

 là đại lượng vô hướng Khi đó phương trình sóng có dạng:

trong đó n    tt12 là chiết suất tuyến tính của môi trường

Trong môi trường tán sắc, ta phải xem xét cho từng thành phần trườngriêng biệt Ta kí hiệu điện trường, độ dịch chuyển tuyến tính, trường phân cựcnhư là tổng của các tần số thành phần

n n

EE

n n

D D (1.21)

pht pht

n n

Thay (1.21), (1.23) vào (1.20) ta thu được phương trình sóng sử dụng chomỗi thành phần tần số của trường

Khi trường quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là tập hợpcác sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là  0 và độ rộng phổ   thoả

1E(r, t) e E(z, t) e A(z, t)exp{ i( t k z)}+cc

2

    

(1.26)trong đó A(z, t) là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong mộtchu kì, dao động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể) cc là liênhợp phức của A(z, t)exp{ i( t k z)}  0 0 Xung như vậy sẽ dao động với tần số

0

 , gọi là tần số sóng mang và lan truyền với vector sóng trung tâm k0tươngứng, exlà véc tơ đơn vị theo trục ox A(z, t)exp{ i( t k z)}  0 0 2 tương ứng là

độ lớn và cường độ của xung, đại lượng này trong thực tế có thể đo được

Ta lưu ý rằng với các xung quang học như vậy, hàm bao biến thiên chậmA(z, t) chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian nhất định và được đặc trưng bởiđại lượng độ rộng xung T theo hệ thức bất định [7]:0

phi tuyến kiểu như vậy được gọi là môi trường phi tuyến kiểu Kerr Do đó ta

1.1.3 Sự lan truyền xung ngắn trong môi trường phi tuyến

Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng của nó cỡ giây Đối với các xung này, điều kiện chuẩn đơn sắc được thoả mãn

picô-0

1

 

 , phản ứng phi tuyến của môi trường với sóng là tức thời

Ta có thể biểu diễn xung dưới dạng trường có hàm bao biến đổi chậm như(1.26)

Khi đó sự lan truyền của hàm bao được mô tả bởi phương trình [2]:

2

2 2

-

0 2

2 2

của sợi quang

Để đơn giản, ta xét trong hệ tọa độ chuyển động với vận tốc bằng vận tốc

nhóm g bằng cách đưa vào biến: T = t -

g

v

z

.Với phép đổi biến này, phương trình (1.32) sẽ có dạng sau:

2

2 2

vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha

Phương trình (1.30) là phương trình đạo hàm vi phân tuyến tính Để giảiphương trình này, người ta sử dụng một phương pháp giải tích đó là phươngpháp tán xạ ngược và thu được lớp nghiệm rất thú vị là các nghiệm SolitonMột lưu ý rằng, trong phương trình (1.30) ta đã bỏ qua sự hao phí trong quátrình lan truyền xung Trong trường hợp tính đến cả hao phí trên sợi quangphương trình được viết lại có dạng:

2

2 2

(    ( 1 ) 



nc

1.1.4 Lan truyền xung cực ngắn

Ở trên ta đã dẫn ra phương trình lan truyền của các xung ngắn trong môitrường phi tuyến (sợi quang) NLSE mô tả các xung ngắn rất phù hợp với thựcnghiệm Tuy nhiên, trong những năm 80-90 của thế kỷ XX, các nghiên cứuthực nghiệm đã nhận thấy rằng các xung cỡ femtô- giây (xung cực ngắn) viphạm phương trình (1.31) Tức là nếu mô tả sự lan truyền của các xung cựcngắn bởi phương trình (1.31) sẽ không cho ta nghiệm Soliton mà trái lại cảhàm bao lẫn phổ của xung đều bị biến đổi Hiện tượng này thường được gọi là

hiện tượng Soliton tự dịch chuyển tần số ( Soliton self- frequence shift) hay là hiện tượng tách xung (pulse splitting) Do đó chúng ta cần tìm phương trình

chính xác hơn (1.30) để mô tả sự lan truyền của các xung cực ngắn

Các xung cực ngắn, có phổ rộng so sánh được với tần số sóng mangnên hiệu ứng tán sắc xảy ra mạnh hơn, nghĩa là ta cần phải tính đến các thànhphần tán sắc bậc cao xẩy ra trong phương trình lan truyền

Thời gian của các xung cực ngắn có thể so sánh được với các quá trìnhnguyên tử, công suất của chúng cũng rất lớn Ta không thể xem phản ứng phituyến của môi trường là tức thời được Bởi ta biết các quá trình vi mô có thờigian từ 0,1-10fs, các xung cực ngắn có thời gian từ 10fs đến hàng trăm fs Do

đó cần phải đưa thêm số hạng diễn tả sự trễ của môi trường vào phương trình(1.26)

Bởi vì những thành phần phi tuyến bậc 5 trở lên nhỏ hơn bậc 3 rất nhiều và

do đó có thể bỏ qua, ta chỉ xét thành phần phi tuyến bậc ba

Với các lưu ý trên, phương trình lan truyền xung cực ngắn có thể được đưa

TR là thời gian đặc trưng của khuếch đại Raman Hai số hạng cuối cùng vế

phải cho ta hai hiện tượng mới Hiệu ứng được gây ra bởi số hạng kế cuối

0

1



liên quan đến hiệu ứng xung tự nhọn Số hạng cuối cùng T của phương trìnhR

(1.33) đặc trưng cho sự trễ xung Nó mô tả hiệu ứng tự dịch chuyển tần số (self - frequency shift) do tán xạ Raman trong xung.

Phương trình (1.33) được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến suy

rộng

1.2 Một số hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng lên xung lan truyền trong sợi quang.

1.2.1 Chế độ lan truyền xung

Xét xung quang học có độ rộng xung cỡ picô-giây, quá trình lan truyền củanhững xung này được mô tả bởi NLSE (1.34) được viết lại như sau:

2

2 2

độ lớn của LD và LNL và chiều dài sợi quang L, xung có thể mở rộng ra mộtchứng mực nào đó

Bây giờ chúng ta đưa vào một đại lượng thời gian đã được chuẩn hóa đốivới xung vào có độ rộng T0 :

g

t z / vT



   (1.35)Lúc này, ta đưa vào biên độ đã chuẩn hóa U:

0A(z, )  P exp( z / 2)U(z, ) (1.36)trong đó, P0 là đỉnh công suất của xung tới Hệ số mũ trong phương trình(1.36) đặc trưng cho sự mất mát của sợi quang Bằng việc sử dụng phươngtrình (1.34), (1.36), biểu thức U(z,t) thu được thỏa mãn :

2

2 2

giả thiết rằng hàm bao xung là đủ trơn để cho 2 2





~ 1 Do đó kết quả thuđược là U ( z,t ) =U (0,t ) nghĩa là xung giữ nguyên dạng ban đầu của nótrong quá trình lan truyền Sợi quang trong chế độ này giữ vai trò thụ động vàchỉ làm nhiệm vụ truyền các xung quang học (dĩ nhiên ta bỏ qua những biếnđổi nhỏ của xung do hao phí trên sợi quang) Chế độ này là hữu ích cho hệ

thống thông tin quang Ví dụ đối với chiều dài L ~ 50km, LD và LNL cần phảilớn hơn 500km để bỏ qua sự méo tín hiệu trong quá trình truyền Đối với cácsợi quang chuẩn, tại bước sóng  1.55 m thì 2 20ps km2 1

  và 3W

-1km-1 Sử dụng những kết quả này thay vào phương trình (1.38) ta thu đượcrằng các hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng phi tuyến được bỏ qua khi L<50km nếuT0>100ps và P0~1mW Tuy nhiên, LD và LNL sẽ trở nên nhỏ hơn khi xung trởnên ngắn hơn và cường độ lớn hơn nhiều

2) Trường hợp chiều dài sợi quang L<<LNL nhưng L ~ LD, Số hạng cuốicùng của phương trình (1.38) được bỏ qua so với hai số hạng còn lại, sự lantruyền xung bị chi phối bởi hiệu ứng GVD còn hiệu ứng phi tuyến trongtrường hợp này không có vai trò quan trọng Chế độ này xảy ra khi tham sốcủa xung thỏa mãn điều kiện sau:

3) Khi chiều dài sợi quang thỏa mãn L<<LD nhưng L ~ LNL, thành phầntán sắc trong phương trình lan truyền xung được bỏ qua khi so sánh với sốhạng phi tuyến Trong trường hợp này, sự lan truyền xung trong sợi quangđược chi phối bởi SPM, điều này dẫn đến sự mở rộng phổ của xung Hiệu ứngphi tuyến ảnh hưởng chủ yếu khi

thời ảnh hưởng lên quá trình lan truyền xung Sự ảnh hưởng đồng thời của cảhai hiệu ứng GVD và SPM sẽ dẫn đến hình thành các dạng khác nhau củaxung so với dạng chỉ có một trong hai hiệu ứng trên ảnh hưởng lên xung lantruyền Trong chế độ tán sắc dị thường (β2 <0) sợi quang có khả năng cungcấp Soliton, còn ở chế độ tán sắc thường (β2 >0) hiệu ứng SPM và GVD cóthể dùng để nén xung.

1.2.2 Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm

Ảnh hưởng của hiệu ứng GVD lên xung quang học lan truyền trong sợiquang đơn mode được xem xét trong trường hợp đơn giản nhất, 0 trongphương trình (1.34) ( tức là không có sự ảnh hưởng của hiệu ứng SPM và cáchiệu ứng phi tuyến khác)

Ta sử dụng biên độ chuẩn hóa U(z,t), khi đó phương trình lan truyền xungtrong chế độ chỉ có ảnh hưởng của GVD có dạng sau:

2 2 2

2 2U(z, ) U(0, )exp(i z)

Sử dụng phép biến đổi ngược ta thu được nghiệm của phương trình (1.41)

có dạng:

2 21

U(z,T) U(0, )exp(i z i T)d

Bây giờ ta xét cho trường hợp xung vào dạng Gauss, được cho bởi:

2 2 0

TU(0,T) exp( )

2T

trong đó T0 là ½ độ rộng xung tại giá trị của xung bằng 1/e lần giá trị của đỉnhxung, thông thường ta sử dụng độ rộng toàn phần tại ½ giá trị cực đại củacường độ

Thay (1.46) vào (1.45) ta thu được :

2 0

2 2

D(1 (z / L ) )

 và do đó độ rộng xungtăng theo khoảng cách lan truyền

2

T (z) T 1 (z / L )  (1.48)Pha của xung có dạng:

của xung biến thiên một cách liên tục và do đó tần số tức thời khác với tần sốtrung tâm 0 một lượng    0 chính bằng   T

 tuân theo biểu thức:

D

2(z / L ) T sgn( )

Trong chế độ tán sắc dị thường  2<0 thì  là dương tại phần đầu củaxung (T<0) và giảm tuyến tính theo xung Phần cạnh trước tần số dịch về phíaxanh và phần cạnh sau dịch vể phía đỏ Như vậy, trong chế độ lan truyền,xung quang học sẽ bi mở rộng theo hai phía, cạnh trước và cạnh sau của xungtùy vào chế độ tán sắc thường hay dị thường Đồng thời với hiện tượng này,xung sẽ dịch tần tuyến tính nhưng không làm mở rộng phổ xung

Sau đây là một số đồ thị mô tả sự lan truyền xung Gauss trong sợiquang Hình H1.1 mô tả dạng xung ban đầu đi vào sợi quang có dạng xungGauss Khi lan truyền trong chế độ GVD, xung sẽ mở rộng đối xứng về haiphía sườn trước hoặc sườn sau tùy thuộc vào chế độ tán sắc và được mô tảtrong hình H1.2 Trong đó hình H1.2a mô tả xung lan truyền trong chế dộ tánsắc dị thường Ở trường hợp này, do ảnh hưởng của GVD xung bị nén lại ởphần đầu và giãn ở phần sau của nó Ngược lại, khi xung lan truyền trong chế

độ tán sắc thường mô tả ở hình H1.2b, phần đầu của xung bị giãn ra và sẽ bịnén lại ở phần đuôi của nó Khi quan sát H1.2 ta nhận thấy rằng, khi xung lantruyền trong chế độ GVD, độ dịch tần là tuyến tính và dạng phổ xung không

bị thay đổi trong quá trình lan truyền

Mặc dù trong quá trình lan truyền, dạng phổ xung không bị thay đổi nhưng phổ của nó bị mở rộng và được mô tả ở hình H 1.3 khi xung lan truyền trong không gian Ở hình H 1.3 cho thấy cường độ phổ xung giảm dần theo quãng đường truyền còn phổ xung bị mở rộng đối xứng

H 1.1 Xung Gauss vào sợi quang U(0,T)

H 1.2 Xung Gaus sau một khoảng lan truyền z=LD

H1.2a Trong chế độ tán sắc dị thường H1.2b Trong chế độ tán sắc thường

1.2.3 Hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM- self phase modulation)

Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng SPM lên xung lan truyền trong sợiquang, trường hợp đơn giản ta bỏ qua các hiệu ứng bậc cao, hiệu ứng GVD (

2 0

  ) và chỉ nghiên cứu mình hiệu ứng SPM Ta sử dụng biên độ chuẩn hóatrong (1.36), khi đó phương trình lan truyền xung có dạng:

2 NL

Phương trình (1.53) có nghiệm:

V(z,T) V(0,T) ,

2 NL

NL

V 1 exp( z)(z,T)

L

  

 

Tại z=0 U(0,T) V(0,T)ex(i0)

L

  và nghiệm của (1.51) là:

NLU(z,T) U(0,T)exp(i  ) (1.54)Phương trình (1.54) chỉ ra rằng hiệu ứng tự biến điệu pha không làm thayđổi dạng của xung trong quá trình lan truyền Tuy nhiên nó làm cho pha củaxung thay đổi Sự thay đổi pha của xung phụ thuộc vào cường độ của xung vàtăng theo khoảng cách lan truyền

Do sự phụ thuộc vào thời gian của pha NL(z,T) nên tần số tức thời củaxung sẽ biến thiên Khi đó, tần số tức thời của xung sẽ khác với tần số trungtâm của xung 0một lượng (T)cho bởi:

là làm mở rộng phổ của xung Dạng phổ của xung S( ) nhận được bởi sửdụng biến đổi Fourier cho (1.54) như sau:

2 hd

2 hd

Từ phương trình (1.58) thấy rằng độ dịch tần sẽ âm ở cạnh trước của xung

và dương về phía cạnh sau Nghĩa là hiệu ứng SPM sẽ làm xung dịch tần vềphía đỏ ở phần cạnh trước và dịch về tần số xanh ở phía cạnh sau

Phổ của xung cho bởi:

kể theo quãng đường lan truyền xung

Hình H1.5 mô tả sự thay đổi phổ xung theo khoảng cách lan truyền trongkhông gian Từ hình này cho thấy rằng, khi chịu ảnh hưởng của SPM, phổ củaxung bị mở rộng và trở nên bất đối xứng trong quá trình truyền lan Nó là mộttập hợp gồm nhiều đỉnh có cường độ bé hơn so với cường độ đỉnh xung vào

và các đỉnh ở phía ngoài cùng là mạnh nhất

H 1.4 Đồ thị biểu diễn sự dịch tần (T) của xung

1.2.4 Hiệu ứng tán sắc bậc ba

Hiện tượng tán sắc gây ra sự mở rộng xung được bàn đến trong phần 1.2.1

là do tán sắc vận tốc nhóm ở bậc thấp nhất được mô tả bởi tham số  2trongGNLSE (1.31) Sự ảnh hưởng của hiệu ứng này là đáng kể ở hầu hết cáctrường hợp đáng quan tâm trong thực tế Với xung cực ngắn (độ rộng xungT0<1ps) cần phải kể đến sự đóng góp của TOD mặc dầu khi đó  2 0do bởi hệ

số khai triển   0 /  không còn đủ nhỏ để bỏ qua thành phần khai triển đằngsau  2trong phương trình :

Trong mục này, ta sẽ xem xét các hiệu ứng tán sắc bao gồm cả hai thànhphần 2 và  3 trong khi vẫn bỏ qua ảnh hưởng của các thành phần bậc caokhác Phương trình truyền lan cho biên độ A(z,T) của trường được rút ra từphương trình (1.31) sau khi đặt  0 Sử dụng phương trình biên độ chuẩnhóa từ phương trình (1.36) thì U(z,T) tuân theo phương trình sau:

Phương trình này cũng có thể giải được bằng phương pháp Fourier

Khi đó trường được biến đổi có dạng :

Trong đó U(0, )  là ảnh Fourier của trường tới U(0,T) Phương trình (1.63)

có thể được sử dụng để nghiên cứu hiệu ứng tán sắc bậc ba nếu trường banđầu U(0,T) là xác định Trong thực tế, ta có thể xem xét các xung dạng Gauss.Siêu Gauss, hoặc xung dạng Secan.- hypebol

Để xét đến ảnh hưởng của 3, ta đưa vào chiều dài tán sắc được tính đến tánsắc bậc ba (TOD) như sau:

L T /  (1.64)Hiệu ứng TOD đóng một vai trò quan trọng chỉ khi '

Ở mục 1.2.2 cho thấy xung

Gauss vẫn giữ được hình dạng của

nó khi chỉ có thành phần  2 trong

phương trình (1.67) đóng góp vào

tán sắc vận tốc nhóm Bây giờ khi

xét thêm ảnh hưởng của TOD, kết

luận này không còn đúng nữa,

TOD sẽ làm nén xung vì thế xung

trở nên không đối xứng với một

cấu trúc các dao động ở gần một

trong các cạnh của nó

Trường hợp 3>0, các dao động xuất hiện gần phần đuôi của xung (được

mô tả trong hình 1.6) Khi 3 <0, các dao động xuất hiện ở cạnh trước xung.Trường hợp, 2 0 các dao động sâu hơn và cường độ giảm về không giữacác dao động liên tiếp

Khi có sự đóng góp của  2 mặc dầu tương đối nhỏ chẳng hạn khi LD=L’ D (

Như vậy khi hiệu ứng TOD đóng một vai trò đáng kể, nó làm nén xung

và dẫn đến hiện tượng xung không còn đối xứng như lúc ban đầu

Ảnh hưởng của hiệu ứng TOD không chỉ làm thay đổi dạng xung mà cònlàm thay đổi độ rộng của xung Trong thực tế, ta thường quan tâm chủ yếuđến sự mở rộng xung gây ra bởi tán sắc hơn là những vấn đề về dạng xung

Ở những phần trước ta thường sử dụng đại lượng FWHW để mô tả độ mởrộng thời gian xung, tuy nhiên nó không phải là đại lượng có thật Độ rộng

H 1.6

của xung được mô tả một cách chính xác bằng đại lượng độ rộng căn quânphương (RMS), được kí hiệu  và định nghĩa như sau [3]:

1/2 2 2

n

2

T U(z,T) dtT

TU(0, ) 2 T exp( )

2



   

Gọi I(z, )  là ảnh Fourier của cường độ xung U(z,T)2

khi đó I(z,T) U(z,T) exp(i T)dT2

lim I(z,T) (i) T U(z,T) dTT

iU(z, ) 2 T exp i ( z iT ) z

với  0 T / 20 là độ rộng căn quân phương (RSM) của xung ban đầu

Trường hợp bước sóng xung vào cách xa bước sóng tán sắc, ảnh hưởngcủa TOD lên xung là rất nhỏ và lúc này ta có thể xem chúng giống như nhiễuloạn nhỏ lên xung Kết quả là TOD không làm thay đổi biên độ cũng như tần

số của xung trong quá trình nó lan truyền Tuy nhiên đỉnh xung bị trễ mộtlượng, lượng trễ đó tăng tuyến tính theo khoảng cách lan truyền Nghĩa làTOD trong trường hợp này làm giảm tốc độ lan truyền xung, được mô tả tronghình H 1.7 Trong hình này đường xanh đậm mô tả xung vào tại z=0 có dạngxung Gauss, đường xanh lá cây mô tả ảnh hưởng của GVD cho thấy dạng phổxung không thay đổi trong quá trình lan truyền Đường màu đỏ mô tả ảnhhưởng của TOD, nó mô tả rằng, khi chịu ảnh hưởng của TOD phổ xung sẽkhông còn đối xứng trong quá trình truyền lan, đỉnh xung bị trễ một lượng.Còn đường nét đứt màu đen mô tả ảnh hưởng đồng thời của TOD và GVD

H 1.7 Mô tả ảnh hưởng của TOD lên xung Gauss lan truyền

Độ lêch thời gian τ(ps) │U(z,T) │

 (1.77)Các hiệu ứng này là đáng kể đối với các xung cực ngắn.

Bây giờ ta xét ảnh hưởng của hiệu ứng SS trong quá trình xung lan truyềntrong sợi quang Những kết quả của hiện tượng SS xuất phát từ sự phụ thuộcvào cường độ của vận tốc nhóm vg Để đơn giản, ta xem xét trong trường hợpmôi trường không tán sắc  2 3 0, và  R 0 Lúc này phương trình (1.75)

sẽ đơn giản hơn và có thể giải bằng phương pháp giải tích

Ta định nghĩa độ dài chuẩn hóa Z=z/LNL đồng thời bỏ qua hao phí trên sợiquang (  0) Phương trình (1.81) trở thành:

2

2( U U)

 

  (1.79)