Nghiên cứu ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang luận văn thạc sỹ vật lý

Mở đầuTrong các nghiên cứu và ứng dụng truyền tin qua sợi quang học, việctruyền dẫn các soliton được đặc biệt quan tâm bởi nó là một loại tín hiệu ổnđịnh mà được tạo ra từ sự cân bằng gi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM VÌ DÂN

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA

MÔI TRƯỜNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON

TRONG SỢI QUANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM VÌ DÂN

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA

MÔI TRƯỜNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON

TRONG SỢI QUANG

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS TS.Vũ Ngọc Sáu

đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo chuyên ngành Quang họctrường Đại học Vinh đã giảng dạy và chỉ dẫn tôi trong suốt quá trình học tập

Mục lục

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Chương 1 Sự lan truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến 9

1.1 Phương trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến 9

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến của môi trường 9

1.1.2 Phương trình lan truyền của các xung ngắn 10

1.2 Soliton quang học 13

1.2.1 Cơ sở xuất hiện soliton quang học 13

1.2.2 Nghiệm soliton cơ bản của phương trình NLS 15

1.2.3 Sự truyền soliton trong môi trường phi tuyến không đồng nhất 18 Chương 2 Ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang 21

2.1 Mô hình truyền sóng 21

2.2 Các phương pháp tính 25

2.2.1 Phương pháp biến đổi tán xạ ngược 25

2.2.2 Phương pháp tách bước Fourier 27

2.3 Chi tiết tính toán 31

Chương 3 Một số kết quả khảo sát ảnh hưởng của môi trường không

đồng nhất lên các soliton trong sợi quang 32

3.1 Sự truyền qua vùng không đồng nhất 32

3.2 Sự phụ thuộc vào độ không đồng nhất ε .34

3.3 Sự phụ thuộc vào chiều dài L của miền không đồng nhất 39

Phép biến đổi tán xạ ngược

NLSE Nonlinear Schrodinger

Equation

Phương trình Schrodinger phituyến

SPM Self Phase Modulation Tự biến điệu pha

SSF Split Step Fourier Phương pháp tách bước

FourierSSSF Symmetrized Split Step

Fourier

Phương pháp tách bước Fourier đối xứng

VNLSE Variable-coefficient

Nonlinear Schrodinger Equation

Phương trình Schrodinger phituyến hệ số biến thiên

3 Hình 2.2 Giản đồ minh họa của phương pháp SSF bậc nhất 28

4 Hình 2.3 Giản đồ minh họa của phương pháp SSSF 28

5 Hình 3.1 Sự tiến triển theo không–thời gian của |u|. 33

6 Hình 3.2 Sự phụ thuộc của biên độ sóng truyền qua u cho bởi

phương trình (3.1) theo độ không đồng nhất 

10 Hình 3.6 Sự phụ thuộc của biên độ sóng truyền qua u theo

chiều dài L của miền không đồng nhất

40

11 Hình 3.7 Giá trị E3 của sóng đã truyền qua cho bởi phương

trình (2.10) phụ thuộc vào L

41

12 Hình 3.8 Sự phụ thuộc của các thông số (j, j) của soliton đã

truyền qua vào chiều dài L của miền không đồng nhất

Mở đầu

Trong các nghiên cứu và ứng dụng truyền tin qua sợi quang học, việctruyền dẫn các soliton được đặc biệt quan tâm bởi nó là một loại tín hiệu ổnđịnh mà được tạo ra từ sự cân bằng giữa các hiệu ứng phi tuyến (SPM) vớihiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (GVD) trong môi trường tán sắc dị thường.Trong các ứng dụng thực tế, có thể có những yêu cầu tạo ra một số soliton bất

kỳ từ một loại soliton ban đầu hoặc yêu cầu biết được sự ảnh hưởng của cácmôi trường truyền tin khác nhau lên sự truyền dẫn các soliton Môi trườngbên trong lõi của các sợi quang thường là không đồng nhất do nhiều yếu tốgây ra mà hai yếu tố quan trọng nhất chính là sự thay đổi các thông số mạngkhiến cho khoảng cách giữa các nguyên tử không còn đồng đều trong suốtchiều dài sợi quang và sự thay đổi cấu trúc hình học của sợi quang (thănggiáng về đường kính lõi chẳng hạn) Những yếu tố không đồng nhất này sẽ cónhững ảnh hưởng nhất định lên các hiệu ứng khác nhau như hiệu ứng tán sắc,hiệu ứng biến điệu pha… [21] Do vậy việc nghiên cứu quá trình lan truyềncủa các sóng phi tuyến trong môi trường không đồng nhất là một vấn đề đangđược quan tâm rất nhiều

Một nghiên cứu lý thuyết đầu tiên cho các yêu cầu này được thực hiệnbởi Hasegawa [13] và Satsuma [19] bằng việc sử dụng phương pháp biến đổitán xạ ngược (IST) của Zakharov [23], là một phương pháp đầy đủ và chínhxác nhất, để giải phương trình phi tuyến Schrödinger (NLSE) Các tác giả này

đã cho một số dạng cụ thể của soliton ban đầu truyền qua một môi trườngđồng nhất Họ nhận thấy rằng có sự xuất hiện thêm m các soliton mới màchúng luôn liên kết với soliton ban đầu (các soliton có cùng vận tốc) và chúngđược gọi chung là soliton liên kết bậc m

Gần đây, chúng tôi quan tâm đặc biệt đến một nghiên cứu lý thuyết củatác giả Kubota [17] Tác giả đã thực hiện phương pháp số cho phương pháp

IST để khảo sát sự truyền soliton qua các môi trường không đồng nhất Cáckết quả cho thấy rằng, sau khi một soliton đơn đi qua môi trường không đồngnhất nhất định, ngoài sự xuất hiện các soliton liên kết bậc hai tĩnh, còn xuấthiện thêm các soliton tán xạ không tham gia liên kết với soliton banđầu.Thêm vào đó, đại lượng bảo toàn Hamiltonian của NLSE không còn đượcbảo toàn mà nó phụ thuộc vào mức độ không đồng nhất và kích thước củavùng không đồng nhất.

Xuất phát từ các nhu cầu và sự quan tâm nêu trên, chúng tôi đã chọn đềtài:

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MÔI TRƯỜNG KHÔNG ĐỒNG NHẤT LÊN QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SOLITON TRONG SỢI QUANG .

Ở thời điểm hiện tại, việc thực hiện các tính toán số của phương phápIST cho môi trường không đồng nhất rất phức tạp về mặt toán học mà chúngtôi chưa có điều kiện thực hiện.Tuy nhiên từ các kết quả của Satsuma [19] vàKubota [17], chúng tôi nhận thấy rằng nếu cho các sóng đã truyền qua vùngkhông đồng nhất được tiếp tục truyền trong vùng đồng nhất, thì có thể quan

sát một cách bán định lượng sự xuất hiện và tiến triển của các soliton mới.

Vì vậy, ở nghiên cứu này chúng tôi sẽ sử dụng một phương pháp số

đơn giản hơn, phương pháp tách bước Fourier đối xứng (SSSF), để giải

NLSE cho cả môi trường sợi quang đồng nhất và không đồng nhất Một sốcác kết quả tính toán và nhận định định tính trên các độ lớn của sóng truyền(dáng điệu của sóng) được so sánh phù hợp rất tốt với các kết quả tính toáncủa Kubota [17] Ngoài ra, chúng tôi thực hiện thêm một số tính toán để làm

rõ vai trò của mức độ không đồng nhất và kích thước của vùng không đồngnhất lên sự truyền sóng

Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình bày trong bachương theo bố cục sau.

Chương 1: Sự lan truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến

Trong chương này chúng tôi sẽ dẫn ra phương trình lan truyền của xungquang học trong sợi quang đồng nhất; cơ sở hình thành soliton quang học;nghiệm soliton cơ bản của NLSE đồng thời dẫn ra một số phương pháp khảosát quá trình truyền soliton trong môi trường phi tuyến không đồng nhất

Chương 2: Ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang

Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu mô hình truyền sóng và haiphương pháp – tán xạ ngược và tách bước Fourier đối xứng - để giải phươngtrình Schrodinger phi tuyến hệ số biến thiên (VNLSE) cũng như đưa ra nhữngnhận định so sánh kết quả nhận được từ hai phương pháp trên

Chương 3: Một số kết quả khảo sát ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên các soliton trong sợi quang

Các kết quả tính toán và bàn luận sẽ được trình bày trong chương này.Thông qua việc sử dụng phương pháp SSSF, chúng tôi đã tính toán một cáchđộc lập ảnh hưởng của độ không đồng nhất  và chiều dài L của miền khôngđồng nhất lên quá trình truyền của một soliton đơn qua miền không đồng nhấttrong sợi quang ứng với nhiều trường hợp khác nhau

Chương 1

Sự lan truyền xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến

1.1 Phương trình lan truyền xung trong môi trường phi tuyến

1.1.1 Sự phân cực phi tuyến của môi trường

Khi trường quang học lan truyền qua một môi trường điện môi nào đóthì trong chất điện môi xuất hiện các véctơ phân cực Sự đáp ứng của bất kìchất điện môi nào với trường quang học có cường độ lớn đều trở nên phituyến Các sợi quang đều được chế tạo từ hỗn hợp ôxít–silic là một chất điệnmôi Khi xung quang học có công suất lớn lan truyền trong sợi quang, véctơ

phân cực toàn phần P sẽ trở nên phi tuyến và liên hệ với véctơ cường độ điện trường E theo [3, 5, 9]:

 (1) (2) (3) 

Trong đó 0là hệ số điện môi trong chân không, ( j) là độ cảm điện

môi bậc j.Độ cảm điện môi tuyến tính  ( 1 ) biểu diễn phần đóng góp lớn nhất

của véctơ phân cực P, và các hiệu ứng của nó thể hiện qua chiết suất phụ

thuộc vào tần số n(  ) ( 2 )

 mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai như phát tần

số tổng và phát hoà âm bậc hai Sợi quang chế tạo từ ôxit–silic do có cấu tạođối xứng tâm của các tinh thể không biểu lộ các hiệu ứng này Sự đóng góp

phi tuyến lớn nhất của phần phi tuyến trong véctơ phân cực P là của ( 3 )

thể hiện qua các hiệu ứng như hiệu ứng phát hoà âm bậc ba, hiệu ứng trộnbốn sóng, hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM) Tính chất phi tuyến bậc ba là kếtquả của sự phụ thuộc vào cường độ của chiết suất: [3, 5]

2 2

, (

Trong đó là chiết suất tuyến tính (chiết suất thường):

) 1 (

1.1.2 Phương trình lan truyền của các xung ngắn

Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng xung của nó cỡpico–giây Trong giới hạn cổ điển, sự lan truyền của các xung trong sợi quang

có thể mô tả một cách toán học bằng hệ phương trình Maxwell

B j H

B E

div

ρ div

t rot

t rot

(1.5)

Trong đó E và H tương ứng là véctơ cường độ điện trường và từ trường,

D và B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j là véctơ mật độ dòng điện dẫn

và ρ là mật độ điện tích tự do Ta sẽ đưa vào một số giả thiết sau nhằm đưa ra

phương trình lan truyền xung một cách đơn giản hoá

° Môi trường không có điện tích tự do (j = 0; ρ = 0), đó là phép gần

đúng tốt cho sợi quang

° Môi trường không có từ tính (M = 0), sợi quang là một môi trường

° Môi trường đáp ứng với trường quang học một cách cục bộ (địaphương), điều đó là hợp lệ cho phép xấp xỉ của phép chiếu.

° Véctơ phân cực phi tuyến PNLcó thể xem như là một nhiễu loạn nhỏ

so với véctơ phân cực toàn phần P

° Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mô tảhiệu ứng phi tuyến Điều đó hợp lệ vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn (bậcchẵn) là không có do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ôxit–silic Còn cáchiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứng bậc ba và

° Sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi là tức thời Phép xấp xỉ

này là hợp lệ cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70ps.

° Trường quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theo

chiều dài của sợi quang Chẳng hạn véctơ cường độ điện trường E dao dộng

theo phương xác định là trục x (phương phân cực của trường quang học) và phương lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang Do đó ta có thể đưa bài

toán ba chiều về bài toán một chiều

° Trường quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trường

là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là  0và độ rộng phổ



 thoả mãn  0  1 Điều đó cho phép áp dụng phép xấp xỉ hàm baobiến đổi chậm Ta có thể biểu diễn xung dưới dạng trường có đường bao biếnđổi chậm như sau: [3, 5]

 

A z t i t z cc

t z E t

r  x  x ( , ) exp  0   

2

1 ) , ( )

A là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong một chu kì dao

động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể) cc là liên hợp phức

của A(z,t)exp i0t z  A(z,t) và A(z,t) 2 tương ứng là độ lớn vàcường độ của xung – đại lượng trong thực tế ta có thể đo được Sự lan truyềncủa hàm bao biến thiên chậm A(z,t) của xung quang học được mô tả bởiphương trình vi phân đạo hàm riêng sau: [3, 5]

A A i t

A i

t

A z

2

2 2

2 2

z t

T  

bằng cách đổi biến này phương trình (1.7) được đưa về phương trình gọi làphương trình Schrödinger phi tuyến (NLSE):

A A i T

A i

z

2

2 2

bằng giữa hiệu ứng GVD và hiệu ứng SPM phương trình (1.8) sẽ cho nghiệmsoliton.

1.2 Soliton quang học

1.2.1 Cơ sở xuất hiện soliton quang học

Khi xung quang học lan truyền trong môi trường tán sắc thì dạng của nóliên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các vậntốc nhóm khác nhau Khi môi trường là phi tuyến thì quá trình SPM sẽ làmpha cũng như tần số của xung thay đổi Quan hệ giữa hiệu ứng GVD và hiệuứng SPM sẽ làm cho xung dãn ra hoặc co lại phụ thuộc vào độ lớn và chiềucủa hai hiệu ứng trên Trong một điều kiện nhất định thì dạng ban đầu củaxung sẽ giữ nguyên không đổi trong quá trình lan truyền Điều này xảy ra khihiệu ứng SPM và hiệu ứng GVD bù trừ cho nhau Các xung ổn định như vậygọi là các sóng cô đơn hay còn gọi là soliton Các soliton quang học là cácsóng cô đơn đặc biệt Chúng là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng lantruyền qua nhau trong môi trường thì đường bao biên độ không đổi mà chỉ có

sự dịch pha do quá trình tương tác Do vậy nó vẫn tiếp tục lan truyền như thựctại độc lập [1]

Xét xung Gauss đưa vào sợi quang với tần số trung tâm của xung là  0

và tần số này được giữ nguyên là hằng số trên toàn bộ xung (xung Gausskhông chirp)

Nếu xung này lan truyền qua sợi quang với

hệ số tán sắc vận tốc nhóm 2  0 nó sẽ bị ảnh

hưởng bởi hiệu ứng GVD Do đó tần số ở phần

đầu xung sẽ lớn hơn tần số ở phần đuôi xung Các

thành phần tần số lớn hơn sẽ lan truyền nhanh

hơn một ít so với các thành phần tần số nhỏ hơn

do đó chúng sẽ đến cuối sợi quang trước Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽrộng hơn tín hiệu ban đầu và trên xung bị dịch tần

Bây giờ nếu giả thiết xung lan truyền trong môi trường phi tuyến khôngtán sắc Khi đó xung sẽ bị ảnh hưởng của hiệu ứng GVD Độ dịch tần củaxung cho bởi

0

exp

2 ) (

T

T L

L T

T T

Trên thực tế xung lan truyền trong sợi quang chịu tác dụng đồng thời của

cả hai hiệu ứng sẽ dẫn tới sự dịch chuyển tần số theo cả hai hướng đối diệnnhau Điều đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng SPM và GVD cânbằng với nhau Xét các thành phần tần số cao thì hiệu ứng GVD làm chochúng lan truyền nhanh hơn trong khi hiệu ứng SPM làm giảm tốc độ lantruyền của chúng Như vậy tổng hợp cả hai hiệu ứng sẽ là cho xung khôngthay đổi trong quá trình lan truyền Xung có tính chất đặc biệt như vậy gọi làsoliton thời gian

-2 -1 0 1 2 -1

-0.5 0 0.5 1

-1 -0.5

0 0.5 1

-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75

GV ĐDSPM

1.2.2 Nghiệm soliton cơ bản của phương trình NLS

Ta sẽ phi thứ nguyên hoá NLSE bằng cách đưa vào các biến không thứnguyên:

0 0

;

;

T

T L

z P

A U

U U N U U

2

1 )



 T P L

L N

Phương trình (1.19) có thể đưa về dạng NLSE chính tắc không thứnguyên:

0 2

) ( ) ,

Trong đó V không phụ thuộc vào biến  để cho (1.15) biểu diễn soliton

cơ bản (để thoả mãn dạng của nó giữ nguyên trong quá trình lan truyền) Pha

 có thể phụ thuộc vào cả hai biến và  Thay (1.15) vào (1.14) rồi táchphần thực và phần ảo ta nhận được hai phương trình cho  và V

0 2

2 2

1 2

1

2

2 3

2 2

i V V

V V V

Phương trình trên tương đương với hệ hai phương trình sau

2 2

V V

V

2

2 32 2

Phương trình (1.18) có thể biến đổi về dạng

0 2

1 2

d





C V KV d

u(  ,  ) V(  ) exp[i (  ,  )]  sec h(  )exp21i

(1.21)Trong phạm vi sợi quang học, (1.21) chỉ ra rằng nếu xung quang học códạng secant – hyperbol, với độ rộng xung T0 và đỉnh công suất P0được chọnsao cho N  1 (thoả mãn 1.12) được đưa vào sợi quang lí tưởng không có haophí thì xung sẽ lan truyền mà không bị méo Dạng của nó sẽ không thay đổitrên một độ dài tùy ý Đặc tính này của soliton cơ bản dã làm cho chúng đượcứng dụng rộng rãi trong các hệ thống thông tin quang

1.2.3 Sự truyền soliton trong môi trường phi tuyến không đồng nhất

Một cách tổng quát về mặt lý thuyết, việc khảo sát sự truyền solitontrong một môi trường phi tuyến, tán sắc dị thường và không tiêu hao tươngứng với việc tìm lời giải của VNLSE sau:

A z t

A v

i z

A i

g





Các hệ số này có thể là một hàm phụ thuộc vào vị trí trên sợi quang Đã

có nhiều phương pháp giải tích được xây dựng để giải VNLSE, ví dụ nhưphương pháp IST [4], phương pháp song tuyến Hirota [14], biến đổi Bäcklund[8], biến đổi Darboux [7], khai triển Painlevé [20], vân vân … Tuy nhiên,vẫn chưa có một phương pháp nào cung cấp lời giải tổng quát chính xác choVNLSE Ở một số trường hợp riêng biệt, ví dụ như các hệ số biến thiên làhằng số, phương pháp khai triển Painlevé được sử dụng [10, 16, 18] Khi các

hệ số biến thiên có mối quan hệ với nhau, phương pháp biến đổi Bäcklundđược sử dụng bởi Gao [11] hoặc phương pháp biến đổi Darboux được sửdụng bởi R Hao [12] và R Yang [22] W Huan [15] đã sử dụng phương phápHirota để nghiên cứu sự tiến triển của soliton trong chất ngưng tụ Bose-Einstein

Nhìn chung, các phương pháp trên đều dựa trên một số giả thuyết banđầu phù hợp riêng với một đối tượng nghiên cứu cụ thể, từ đó đề ra một dạngnghiệm tiên đoán của bài toán, sau đó các mối quan hệ giữa các hệ số biếnthiên được xác định và sau cùng nghiệm tổng quát của bài toán được khaitriển qua các mối quan hệ này Mặc dù vậy, các phép tính toán của cácphương pháp này vẫn còn rất phức tạp Vì thế chúng rất khó được sử dụngnhiều trong các ứng dụng thực tế.

Gần đây, chúng tôi quan tâm đến công trình của Kubota [17].Tác giả đãtiến hành số hóa phương pháp IST để giải VNLSE cho môi trường khôngđồng nhất Khi cho một soliton đơn đi qua một vùng môi trường không đồngnhất với môi trường xung quanh, Kubota [17] đã nhận thấy rằng tại cuối vùngkhông đồng nhất bên cạnh sự xuất hiện của các soliton liên kết bội hai tĩnh,còn xuất hiện thêm các soliton tán xạ Bên cạnh đó, tác giả Satsuma [19] đãcho thấy rằng một soliton bậc N 1 là sự chồng chập phi tuyến của N soliton

cơ bản và cũng chính là N số soliton cơ bản ở trạng thái liên kết với nhau.

Hình 1.1 minh họa dáng điệu đặc trưng (độ lớn của soliton) của mỗi soliton

bậc N khi chúng được truyền đi trong môi trường đồng nhất Trong quá trình truyền, dáng điệu của soliton đơn (N = 1) không bị biến dạng, trong khi dáng điệu của các soliton bậc N> 1 bị biến dạng với chu kỳ  2

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng: bằng cách chỉ dựa trên sự thay đổidáng điệu của sóng trong môi trường đồng nhất khi cho nó truyền từ môitrường không đồng nhất sang môi trường đồng nhất, ta có thể chỉ ra được sựxuất hiện của các soliton liên kết Các soliton tán xạ nếu có xuất hiện thì cũng

dễ dàng được nhận biết vì chúng không tham gia liên kết Vì vậy, ở nghiêncứu này chúng tôi xác định dáng điệu của sóng truyền bằng phương pháp táchbước Fourier (SSF)

Hình 1.1 Dáng điệu của soliton bậc N ở các thời điểm truyền t = 0, 0.4

và 0.8 Chu kỳ lặp lại các dáng điệu này là  2 [19]

Chương 2

Ảnh hưởng của môi trường không đồng nhất lên quá trình lan truyền soliton trong sợi quang

2.1 Mô hình truyền sóng.

Xét các xung ánh sáng phân cực tuyến tính lan truyền trong môi trườngsợi quang không đồng nhất Sự phát triển bao hình A của điện trường đượccho bởi phương trình [5]

A z t

A v

i z

A i

Để giải (2.1), ta dẫn ra các biến số không thứ nguyên sau

A T u

2

2 0

~

 hệ số tán sắc vận tốc nhóm của sợi quang lí tưởng

 thời gian trễ (không thứ nguyên)

Đưa các biến số không thứ nguyên nêu trên vào phương trình chuyểnđộng (2.1) và thực hiện các biến đổi phù hợp, ta thu được VNLSE sau

L và

khi a

1 1

1 1

1 1

Với  đặc trưng cho mức độ không đồng nhất của môi trường

L chiều dài (không thứ nguyên) của miền không đồng nhất (được

chia theo tỉ lệ

2

2 0

Trong hệ phương trình (2.3), khi cho a() = 1 thì ta thu được một NLSE

hệ số hằng mà có thể cho ta lời giải một soliton đơn dạng

exp sec

, ,

Hình 2.1 Phối cảnh của soliton tới trên sợi quang học với vùng bấtđồng nhất có chiều dài L (vùng II) Vùng I và III là đồng nhất [17]

Tại đầu bên trái của sợi quang, ta đưa vào một soliton đơn Ta có thểchọn các thông số cho soliton tới này là  = 0 và  = 1 mà không mất tổngquát Điều này có thể được giải thích như sau: [17]

0

'' '' 4

2 exp

Sau đó soliton tới được biến đổi thành soliton với các thông số  = 0 và  = 1

Tuy nhiên phép đổi biến này sẽ làm thay đổi tỉ lệ của chiều dài và nhưthế chiều dài của vùng không đồng nhất L cũng bị thay đổi Sự thay đổi này

có thể gộp vào sự phụ thuộc của đường bao truyền qua vào chiều dài L Dovậy ta hoàn toàn có thể giả thiết rằng các thông số (, ) của soliton tới là cáchằng số được chọn bất kỳ Do đó việc chọn =0 và =1 sẽ không làm bài toánmất tổng quát

Tiếp tục lấy tích phân trên toàn miền  bằng phương pháp tách bướcFourier bậc hai dựa trên điều kiện biên tuần hoàn cho  Nếu ta chọn miền giátrị của  đủ lớn và mọi bước tính toán số được hoàn tất trước khi sóng tới đếnđược biên thì điều kiện biên sẽ không ảnh hưởng đến các kết quả

Điều kiện biên tại  = 1 và  = 1+L được cho bởiL được cho bởi

     



 lim , lim 1 ,

0 1

NLSE bao hàm một tập hợp hữu hạn các hằng số chuyển động mà batrong số đó là [23]

Dấu (*) trong (2.9) kí hiệu cho phép lấy liên hợp phức

Trong môi trường sợi quang mà chúng ta khảo sát, các hằng số chuyểnđộng E1 và E2 lần lượt đặc trưng cho năng lượng và tần số trung bình của cácxung quang học Nhận thấy các đại lượng E1 và E2 cũng được bảo toàn trongVNLSE cho nên khi ta tiến hành rời rạc hóa, các bước nên được chọn sao cho

E1 và E2 luôn không đổi Các hằng số này được xác định tùy thuộc vào sóngtới và trong luận văn này ta chọn E1=2 và E2 = 0

Ngược lại, đại lượng E3 lại không bảo toàn trong VNLSE Cần chú ýrằng trong NLSE chuẩn (thời gian và các tọa độ không gian có thề hoán đổicho nhau) thì E3 tương ứng với NLS Hamiltonian

2.2 Các phương pháp tính.

2.2.1 Phương pháp biến đổi tán xạ ngược.

Phương trình (2.3) là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mà nókhông có lời giải giải tích tổng quát ngoại trừ cho một số trường hợp riêng khi

ban đầu, sau đó sự truyền sóng dọc theo trục τ được tìm bằng việc giải bài toán tán xạ tuyến tính Trường cuối cùng u(L,τ) được tái xây dựng từ sự tiến

triển của số liệu tán xạ Các mô tả về mặt toán học của phương pháp IST rấtphức tạp, chi tiết có thể tham khảo ở tài liệu [4] Khi IST được thực hiện bằngphương pháp số thì nó đưa NLSE về bài toán trị riêng và một hệ các phươngtrình đại số tuyến tính [17]

Trong phương pháp IST, phương trình (2.3) được thể hiện bởi hai toán

tử tuyến tính đạo hàm riệng được cho bởi lý thuyết Lax [6] như sau

ở đây Ф là hàm riêng và ζ là trị riêng của toán tử B Hai toán tử B và D là cặp

toán tử Lax và luôn phải thỏa mãn điệu kiện

Việc xác định dạng tường minh của cặp toán tử B và D là vấn đề trung

tâm của IST Trong trường hợp tổng quát của phương trình (2.3) (a(ξ) có giá

trị bất kỳ), việc xác định cặp toán tử Lax là một việc rất khó Một ví dụ là

phương trình (2.3) ở một trường hợp cụ thể a(ξ) = 1, cặp toán tử B và D có

ở đây μ và η là các tham số thực tùy ý và lần lượt đặc trưng cho vận tốc và

biên độ của soliton

Một cách tổng quát, lời giải u của phương trình (2.3) bao gồm các

soliton và các sóng tán sắc liên tục (gọc là các phi soliton) Số trị riêng rời rạc

ζ j (j = 1,…, M) thu được từ phương trình (2.11) cũng là số soliton và phi soliton Các trị riêng rời rạc với phần ảo dương [Im(ζ j) > 0] tương ứng là các

soliton và liên quan đến các tham số soliton (μ j , η j) như sau [23]

Các soliton chuyển động với vận tốc đặc trưng μ j của chính nó trên

miền (τ, ξ) và các sóng phi soliton sẽ tản rộng dần trong quá trình lan truyền Một số soliton có thể có vận tốc μj = 0 và ta gọi các soliton này là soliton tĩnh

Ngoài ra cũng có thể có một số soliton có cùng vận tốc μ j (j = 1,…, m (≤ N))

sẽ liên kết với nhau và hình thành cái gọi là soliton liên kết bậc m.

Phương pháp IST cho chúng ta lời giải chính xác của NLSE Hơn nữa,qua nó tất cả các tính chất vật lý của NLSE được thể hiện như vận tốc và biên

độ của các solition truyền qua cũng như của các sóng phi solition.Tuy nhiên,hạn chế lớn nhất của IST là sự rất phức tạp về mặt toán học

2.2.2 Phương pháp tách bước Fourier.

Sự xuất hiện đồng thời của hai hiệu ứng phi tuyến và tán sắc trongphương trình (2.3) làm cho nó không có lời giải giải tích tổng quát Phươngpháp tách bước Fourier cung cấp lời giải xấp xỉ bằng việc giả thuyết rằngtrong quá trình truyền sóng qua một khoảng cách nhỏ ξ, sự tán sắc và phituyến có thể thực hiện một các độc lập với nhau và sau đó tái kết hợp chúngvào NLSE Ta viết lại phương trình (2.3) dưới dạng

(2.18)

với M là toán tử mô tả sự tán sắc trong môi trường tán sắc và N mô tả hiệu

ứng phi tuyến trong khi truyền xung, ở đây

(2.19)

2 2

i u



Sự truyền sóng từ ξ đến  ξ được chia thành hai bước Ở bước đầu

tiên, chỉ có ảnh hưởng của phi tuyến, M = 0 trong phương trình (2.18) Ở bước thứ hai, chỉ có ảnh hưởng của tán sắc, N = 0 trong phương trình (2.18).

Về mặt toán học, ta mô tả như sau

(2.21)

Khi có ảnh hưởng của tán sắc, ta có thể thực hiện dễ dàng bởi vì đạo

hàm theo thời gian trở thành phép nhân trong không gian Fourier với (iω) n, ở

đây n là bậc của đạo hàm

(2.22)

Ở đây các kí hiệu F và F 1tương ứng là phép biến đổi Fourier thuận và

nghịch, là biến đổi Fourier thuận của M mà thu được từ phương trình

(1.19) bằng việc thay toán tử đạo hàm    bởi iω, với iω là tần số trong

không gian Fourier Vì vậy, ta sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) đểtính biểu thức (2.22) tương đối nhanh Có hai giản đồ cho việc thực hiệnphương pháp SSF là SSF bậc nhất và SSF bậc hai (hay SSSF)

Khoảng phi tuyến

Hình 2.2 Giản đồ minh họa của phương pháp SSF bậc nhất Sợi quang đượcchia thành các khoảng nhỏ ξ bao gồm các khoảng phi tuyến và tán sắc xen

kẽ nhau

Hình 2.3 Giản đồ minh họa của phương pháp SSSF Sợi quang được chiathành các khoảng nhỏ ξ bao gồm hai khoảng tán sắc và khoảng phi tuyến ởtrung tâm

SSF bậc nhất

Giản đồ của phương pháp SSF bậc nhất được mô tả trên Hình 2.2.Trong một khoảng ξ , việc tính toán sự truyền sóng được chia thành bốnbước sau:

 Bước 1 Bước phi tuyến: tính toán: u1  expξNu ξ ( , )

 Bước 2 Biến đổi Fourier thuận: thực hiện FFT thuận lên u1: u2 Fu1

 Bước 3 Bước tuyến tính: tính toán: