a Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, b Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8?. Tìm các nghiệm trong trường hợp đó..[r]
Trang 1Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I- LÝ THUYẾT:
1 Giải và biện luận phương trình bậc nhất:
ax+ =b 0 (1)
0
a ≠
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x b
a
= − 0
b ≠ Phương trình (1) vô nghiệm
0
a =
0
b = Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
2 Giải và biện luận phương trình bậc hai:
2
ax +bx+ =c 0 a≠0 (2)
Biệt thức ∆ =b2 −4ac Kết luận
0
∆ > Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
2
b x
a
− + ∆
2
b x
a
− − ∆
= 0
∆ =
Phương trình (2) có nghiệm kép
2
b x
a
= − 0
∆ < Phương trình (2) vô nghiệm
3 Định lí Vi- ét:
Nếu phương trình ax2 +bx+ =c 0 (a≠0) có hai nghiệm x , x thì: 1 2
1 2
b
x x S
a c
x x P
a
+ = = −
Ngược lại, nếu hai số u, v thỏa mãn: u v S
u.v P
+ =
=
thì u, v là nghiệm của phương trình: 2
x −Sx+ =P 0
4 Phương trình trùng phương:
Dạng tổng quát: ax4 +bx2 + =c 0 (a ≠0) (3)
Phương pháp:
Đặt t =x2 ≥ 0
Phương trình (3) trở thành: at2+bt+ = (4) c 0
Chú ý: Mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình (3) và (4)
+ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt⇔ Phương trình (3) có 2 nghiệm: 0 t< < 1 t2
0 0 0
S
P
∆ >
⇔ >
>
+ Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt⇔ Phương trình (4) có 2 nghiệm: 0 t= < 1 t2
Trang 20 0 0
S
P
∆ >
⇔ >
=
+ Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt⇔ Phương trình (4) có nghiệm: 1 2
0 0
t t
< <
< =
+ Phương trình (3) có 1 nghiệm⇔ Phương trình (4) có nghiệm: 1 2
0 0
t t
< =
= =
II- LUYỆN TẬP:
Bài tập 1: Giải và biện luận các phương trình sau:
a) m x( −2)=3x+ 1 b) m x2 + =6 4x+3m
c) (2m+1)x−2m=3x− 2 d) m m( −6)x+m= −8x+m2 − 2
e) (2 1) 2
1 2
m x
m x
= +
1
m x
+
Bài tập 2: Giải và biện luận các phương trình sau:
a) x2− +x m=0 b) (m−2)x2 −2(m+1)x+ + =m 5 0
c) (m+2)x2 +(2m+1)x+ =2 0 d) (2 1)
1
m x m
x m x
= +
−
Bài tập 3: Giải và biện luận các phương trình sau:
a) 3x+2m = − x m b) 2x+m = −x 2m+ 2
c) 4 2
1
2 1
x
m x
−
= −
− d) 4x−3m =2x+ m e) 3x−m = 2x+ + m 1 f) 3x+4m = 4x−7m
Bài tập 4: Cho phương trình x2 +(2m−3)x+m2 −2m= 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt,
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8?
Tìm các nghiệm trong trường hợp đó
Bài tập 5: Cho phương trình mx2+(m2 −3)x+m= 0
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x thỏa mãn 2
4
x +x = ?
Bài tập 6: Cho phương trình (m+2)x2 +(2m+1)x+ = 2 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng 3?−
b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó
Trang 3b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x thỏa mãn 2 x1+x2 = − ? 4
Bài tập 8: Cho phương trình 3x2 −2(m+1)x+3m − = Xác định m để phương trình có 5 0 một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia Tính các nghiệm trong trường hợp đó
Trang 4Chủ đề 4: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
I- CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN:
* A có nghĩa khi A ≥0
* A ≥0 với A ≥0
* A =2 A và = ≥ ( ∈ )
−
nếu 0
nếu < 0
* ( )A 2 = A với A ≥0
* A =B A B khi A≥0, B≥0
* A.B = −A −B khi A≤0, B≤0
a) Định lý 1 : Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì : A = B ⇔ A2 = B2
b) Định lý 2 : Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì : A > B ⇔ A2 > B2
c) Định lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B ⇔ A3 = B3
A > B ⇔ A3 > B3
II- MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN:
* Dạng 1: = ⇔ ≥= ≥
( ) 0 (hoặc g(x) 0 )
f x
f x g x
f x g x
* Dạng 2:
[ ]
≥
=
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
III- MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Phương pháp 1: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
9) 3x2 −4x− =4 2x+5 10) 2 x+2+2 x+1− x+1=4
11) 2x+9 = 4−x+ 3x+1 12) 5x−1− 3x−2− x−1=0
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1) (x− 3) x2 − 4 =x2 − 9 2) 3x2−9x+1= x−2
5)* x−2 x− +1 x+ −3 4 x− =1 1 6)* x+2 x− −1 x−2 x− =1 2
Phương pháp 2: ĐẶT ẨN PHỤ
Trang 53) 5x2 +10x+1=7−x2 −2x 4) (x+1 )(x+4 )=5 x2 +5x+28
5) (x−3)2+3x−22= x2−3x+7 6) x(x+5 )=2 3 x2 +5x−2−2
7) x2 −4x+2=2 x2 −4x+5 8) − 4 ( 4 −x)( 2 +x) = x2 − 2x− 12
Đặt ẩn phụ loại II:
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1) + x−x = x + 1 −x
3
2
2
4 x 4
−
− +
=
− +
2
1 2 2
5
x
x x
5) 7x+7+ 7x−6+2 49x2 +7x−42 =181−14x
6) 2 x+ +2 2 x+ −1 x+ = 1 4 7) 2
2x− +1 x −3x+ = 1 0
3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x −5x+ 9) 2 2 1 3
x x
x
MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC SẮC
Bài tập 1: (Ứng dụng biệt số ∆∆∆ ) Giải các phương trình sau:
1) (4x− 1) x2 + 1 = 2x2 + 2x+ 1 2) 2(1 −x) x2 + 2x− 1 =x2 − 2x− 1
3) x2+x+12 x+1=36 4) 4 1+x−1=3x+2 1−x+ 1−x2
5) x2 − 2 x = 2 2 x − 1 6) 4 1+x−3=x+3 1−x+ 1−x2
Bài tập 2: (Lượng liên hợp) Giải các phương trình sau:
1)
4
2
2
+
= +
x
2) 3x2−5x+ −1 x2− =2 3(x2− − −x 1) x2−3x+4
3)
5
3 2
3 1
x
x 4) 2x2− +1 x2−3x− =2 2x2+2x+ +3 x2− +x 2
Bài tập 3: (Khử trị tuyệt đối) Giải các phương trình sau:
1) x+ 3 − 4 x− 1 + x+ 8 − 6 x− 1 = 1 2)
2
3 1
2 1
x
3) x+ 2 + 3 2x− 5 + x− 2 − 2x− 5 = 2 2 4) x+ 2 x− 1 − x− 2 x− 1 = 2
7) x− 4x− 4 + x+ 4x− 4 = 2 8) x+ 15 − 8 x− 1 + x+ 8 − 6 x− 1 = 1
Trang 6
Chủ đề 3: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I- MỘT SỐ TÍNH CHẤT:
1 Ñònh nghóa: = ≥ ( ∈ )
−
neáu 0
neáu < 0
2 Tính chaát:
• x ≥0 , x2 = x2 , AB = A B
• a b+ ≤ a + b
• a b− ≤ a + b
• a b+ = a + b ⇔a b ≥0
• a b− = a + b ⇔a b ≤0
II- CÁC DẠNG ĐƠN GIẢN:
Dạng 1: f x g x f x g x
f x g x
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) Dạng 2: f x ( ) =g x( ) (1)
Cách 1: Giải bằng phương pháp biến đổi hệ quả
f x( ) =g x( )⇒ f x( ) = g x( ) Cách 2: Dùng định nghĩa:
TH1: Nếu f x( ) 0 :≥ (1)tt: f x( )=g x( ) (2) Tập nghiệm S2
TH2: Nếu f x( ) 0 :< (1)tt: − f x( )=g x( ) (3) Tập nghiệm S3
Nghiệm phương trình (1): S1=S2∪ S3
Cách 3: Phương pháp biến đổi tương đương
0 0
g x
f x g x
f x g x
g x
f x g x
≥
= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
II- MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƯỜNG DÙNG:
Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG ĐƠN GIẢN
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
3) x2 −x− 2 = x2 + 2x 4) 2x2 − 3x− 2 + 2x2 + 8x+ 3 = 0
1
Trang 79) − = 2+ −
x x x 10) x+ =1 x2−2x−3 11) x− = + +1 1 x x3
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1 1) 1 2 8 2) 1 3) 2 2 1
1 4) 2 1 1 5) 12 2 6*) 3 2 2 3
x
x
−
+
Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
2
1
x x
−
−
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
3 1) 2 3 4 2) 3 3) 2 3 3
4 1
7) 2 3 4 6 8) 2 1
x
− −
3
x
x
−
+
Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ
Bài tập1: Giải các phương trình sau:
2
2
1|
3
1) 2 2) 4 1 2 4 0
6
x
x
x x
−
−
Bài tập2: (NÂNG CAO) Giải các phương trình sau:
1) 2 1 3 2 2 2) 2 1 3 4 1 1
3) 2 1 2 1 2
CÒN TIẾP………