Một số tính chất của nhóm giải được và siêu giải hữu hạn

Trờng Đại học Vinh Khoa toán====== một số tính chất của nhóm giải đợc và siêu giải hữu hạn KhóA luận tốt nghiệp ĐạI HọC Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khoa học PGS.TS.. K

Trờng Đại học Vinh Khoa toán

======

một số tính chất của nhóm giải đợc

và siêu giải hữu hạn

KhóA luận tốt nghiệp ĐạI HọC

Ngành cử nhân khoa học toán

Cán bộ hớng dẫn khoa học PGS.TS Lê Quốc Hán Sinh viên thực hiện

và H là nhóm con của G thì cấp của H là ớc cấp của G Ta hãy xét bài toán ngợc lại:nếu G là nhóm hữu hạn và k là ớc của cấp của G thì trong G tồn tại hay không nhómcon H sao cho cấp của H bằng k ? Năm 1872, L.Sylow đã giải đợc bài toán đó với kếtquả rất đẹp với định lý mang tên ông ( xem định lý 3.2).

Định lý L.Sylow có nhiều ứng dụng trong các ngành khác nhau của toán học, đợctrình bày trong lý thuyết Brauer – Khoa Toán nói riêng, cấu trúc của các p – Khoa Toán nhóm con Sylowxác định cấu trúc của các nhóm hữu hạn

Sau L.Sylow, nhiều tác giả dẫ nghiên cứu các vấn đề về sự tồn tại các p – Khoa Toán nhóm concho các lớp nhóm đặc biệt hơn và nhận đợc các kết quả sâu sắc nh Định lý Hall vềnhóm giải đợc hữu hạn, định lý Huppert về nhóm siêu giải hữu hạn

Khóa luận “Một số tính chất của nhóm giải đợc và siêu giải hữu hạn” của chúng

tôi nhằm hệ thống hóa các kết quả trên và tìm mối liên hệ bản chất các kết quả đó.Khóa luận gồm 5 tiết:

Đ1 Nhắc lại nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn làm cơ sở cho các tiếtsau( hệ quả 1.7, mệnh đề 1.11, mệnh đề 1.13)

Đ2 Trình bày tác động của một nhóm trên một tập

Đ3 Trình bày định lý Sylow, là một trong định lý quan trọng có nhiều ứng dụngtrong ngành toán học( định lý 3.2, định lý 3.3)

Đ4 Nhóm giải đợc và Định lý Hall về nhóm giải đợc hữu hạn Kết quả đáng quantâm đợc trình bày ở định lý 4.4, định nghĩa 4.5, định lý 4.6.

Đ5 Nhóm siêu giải và định lý Huppert Xét một số tính chất của nhóm siêu giải ởmệnh đề 5.3, mệnh đề 5.4, định lý 5.6

Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo – Khoa Toán PGS -TS Lê Quốc Hán.Chúng tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình và nhữnggóp ý thiết thực Chúng tôi cũng xin cảm ơn các thầy giáo trong tổ Đại số và các bạnsinh viên đã giúp đỡ chúng tôi hoàn thành khóa luận Vì trình độ và thời gian có hạnnên khóa luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiếncủa thầy cô và các bạn

Vinh,ngày 10 tháng 4 năm 2006.

Tác giả

Đ1 Nhóm hữu hạn và nhóm con với chỉ số hữu hạn

1.1 Định nghĩa Một nửa nhóm hoặc một nhóm G đợc gọi là hữu hạn nếu nó

có hữu hạn phần tử

Khi đó, số các phần tử trong G đợc gọi là cấp của G Giả sử G có n phần tử, khi đó

cấp của G đợc kí hiệu là: G  n.

1.2 Mệnh đề Một nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm khi và chỉ khi

phép toán trong X có luật giản ớc.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X là một nhóm, khi đó với x,y,z  X ta

có:

xy = xz  x-1(xy) = x-1(xz)  (x-1x)y = (x-1x)z (vì X là một nhóm)

 ey = ez  y = z

Ta suy ra phép toán trong X có luật giản ớc trái

Tơng tự, phép toán trong X có luật giản ớc phải

Vậy khi X là một nhóm thì phép toán trong X có luật giản ớc

Điều kiện đủ: Giả sử X là nửa nhóm khác rỗng hữu hạn, phép toán trong X cóluật giản ớc Cần chứng minh X là một nhóm

Giả sử X = {a1, ,an}; a,b là các phần tử bất kỳ của X

Ta có: aa1, , aan là n phần tử khác nhau của X (do trong X có luật giản ớc)

Do đó X = { aa1, , aan } là tập con của X và có cùng số phần tử với X

Vì aX, X hữu hạn nên aX = X

Vì b  X nên b  aX Do đó, tồn tại ak  X (1  k  n) sao cho aak = b

Vậy phơng trình ax = b có nghiệm x = ak trong X

Tơng tự, phơng trình ya = b có nghiệm trong X Theo định nghĩa của nhóm ta suy ra X

1.4 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm hữu hạn tuỳ ý cho trớc có cấp n và H là

một nhóm con cấp m của G Xét tập thơng Q:= G/H = {xHx G} các lớp ghép trái

của G theo H Khi đó, Q hữu hạn Số k các phần tử của Q đợc gọi là chỉ số của nhóm

con H trong G Kí hiệu: G:H

1.5 Bổ đề Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con cấp m của G Với mỗi x  G,

lớp ghép trái xH gồm m phần tử.

Chứng minh. Xét ánh xạ f: H  xH xác định bởi f(a) = xa, a H.

Khi đó, y xH,  a = x-1y  H sao cho:

1.7 Hệ quả(Định lý Lagrange) Cấp của một nhóm hữu hạn bất kì là bội số

của cấp của mọi nhóm con của nó.

Chứng minh Giả sử H là một nhóm hữu hạn bất kì có cấp m, H là nhóm con

của G có cấp n Theo mệnh đề 1.6 ta có: n = k.m

 n là bội của m hay G là bội của H

Ta có điều phải chứng minh

Định lý Lagrange có thể tổng quát hoá nh sau:

Giả sử T là một nhóm con của S, S là một nhóm con của G, G là một nhóm hữu hạn.Khi đó:

T S S G T

j j

i y T x G

1 1

 

Vậy x i y j,i  1 ,m; j  1 ,n là tập đại diện của các lớp kề trái của T trong G

G:T m.nG:S.S:T Ta có điều phải chứng minh

1.8.Hệ quả Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn G là một ớc của

cấp của G.

Chứng minh. Giả sử a  G, G = n.

Nếu a = {e} thì a= 1 nên a là ớc của G

Nếu a  {e} thì cấp của a là cấp của nhóm con xyclic (hữu hạn) <a> sinh bởi a

Vì <a>là ớc của G nên a là ớc của G Ta có điều phải chứng minh

1.9 Hệ quả Mọi nhóm cấp nguyên tố đều xyclic và đợc sinh bởi bất kì phần tử

nào khác đơn vị của nhóm.

Chứng minh. Giả sử G là một nhóm hữu hạn có cấp là một số nguyên tố p Lấy

một phần tử bất kì a G, a  e (e là đơn vị của G)

Khi đó, <a> 1 và <a> \ p, mà p là số nguyên tố nên <a>= p

Vì <a> là tập con của G, mà G hữu hạn và số phần tử của <a> bằng số phần tử của Gnên ta suy ra <a> = G

Do đó, G là nhóm xyclic sinh bởi phần tử bất kì a khác đơn vị của G

1.10.Định nghĩa Giả sử Sn là tập n số nguyên dơng đầu tiên 1, , n Khi đó,

Theo lý thuyết tập hợp ta có: Sn= n!.

1.11 Mệnh đề(Định lý Keli) Mọi nhóm hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một

nhóm con của nhóm đối xứng S n

Chứng minh. Giả sử G = {x1, ,xn} là nhóm hữu hạn cấp n; P(X) là nhóm cácsong ánh từ G lên G

Với mỗi a  G, ta có ánh xạ a: G  G là một song ánh

x  ax Thật vậy, x1,x2 G ta có: a(x1) = a(x2)  ax1 = ax2  x1 = x2 (vì G là mộtnhóm nên có luật giản ớc) Vậy a đơn ánh

Với g G,  x = a-1g  G sao cho: a(x) = ax = a(a-1g) = (aa-1)g = eg = g

 G  (G), trong đó (G) là nhóm con của nhóm các phép thế bậc n

Từ đó G đẳng cấu với nhóm con của nhóm các phép thế bậc n

Mệnh đề đợc chứng minh

Bây giờ, ta chuyển sang khảo sát các nhóm con có chỉ số hữu hạn.

Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con với chỉ số hữu hạn trong G (G khôngnhất thiết là nhóm hữu hạn) Giả sử G:H m và x , ,1 x m là đại diện của các lớpghép phải của G theo nhóm con H

Hx g Hx

Hx Hx

Hx g

2 1

Khi đó ta có ánh xạ : G  G H

g gˆ

Thật vậy, với g1,g2G ta có: g 1 g2

2 2

1

1 1

1 1

1 1

g Hx g

Hx

Hx Hx

g Hx g

Hx

Hx Hx

g g

m

m m

Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp  là một phép biểu diễn đồng cấu của nhóm G, nghĩalà: Vớig,g G thì  g  g      g  g 

Giả sử K là hạt nhân của đồng cấu  Trớc tiên ta chứng minh K  N

x

x , x G g H H

x

H

 là ớc chuẩn của G đợc chứa trong H và mọi ớc chuẩn của

G đợc chứa trong H đều đợc chứa trong 

G x

x

H

G x

Vậy với g  K ta suy ra gN hay K  N (1)

Đảo lại, nếu gN thì Hxg Hxgx 1xHx ,xG

Ta suy ra gˆ  1G / H và do đó N  K (2)

Từ (1) (2 ) ta có N = G

1.13 Mệnh đề (Định lý Poincare ,) Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m chứa

một ớc chuẩn có chỉ số hữu hạn chia hết cho m và chia hết m!.

Chứng minh. Giả sử H là nhóm con của G với chỉ số hữu hạn m và



G x

x

H N



 Khi đó N chuẩn tắc trong G và đợc chứa trong H nên

N : H H : G N

Mặt khác, vì N là hạt nhân của đồng cấu biểu diễn  nên G/N đẳng cấu vớinhóm con của nhóm các phép thế T trên tập G/H gồm m phần tử Khi đó:T  m! Theo định lý Lagrange, G / N là ớc của m! hay G : N là ớc của m!.

Mệnh đề đợc chứng minh

1.14.Mệnh đề Giao của một họ hữu hạn các nhóm con có chỉ số hữu hạn của

một nhóm G là một nhóm con có chỉ số hữu hạn của G.

Chứng minh. Theo nguyên lý quy nạp, ta chỉ cần chứng minh:

A và B các nhóm con có chỉ số hữu hạn của G là nhóm con có chỉ số hữu hạncủa G

Thật vậy, ta có: G : A A : AB G : AB (1)

Mặt khác, ta xác định ánh xạ f: A AB G B cho bởi f(x(AB)) = xB.

Với x,y  A, ta có: f(x(AB)) = f(y(AB))  xB = yB  x-1y  B mà x-1y  Anên ta suy ra x-1y  AB  x(AB) = y(AB)

Vậy f là đơn ánh

 A : AB G : B (2)

Từ (1), (2) ta suy ra G : AB G : A G : B Ta có điều phải chứng minh

1.15.Chú ý Từ mệnh đề 1.14 ta có thể suy ra kết quả của Định lý Poincare ,

Đ2 Tác Động của một nhóm trên một tập 2.1 Các khái niệm cơ bản.

Giả sử S là một tập và G là một nhóm Khi đó ánh xạ:

x , s xs

S S G

Trong trờng hợp đó ta nói rằng G tác động trên tập S (bên trái) hay S là một G - tập.

Ta xét G - tập S, x  G cảm sinh ánh xạ: Tx : S Stừ S vào chính nó cho bởi côngthức T x s xs ,sS

Ngoài ra, theo định nghĩa với s  S ta có:

 s xys  xs ys T    s T s T T T

T xy    x y  xy  x yVì G là một nhóm nên ánh xạ T x có ánh xạ ngợc là   1

 xy    x y Vậy  là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của

S và ta nói rằng G biểu diễn đợc dới dạng nhóm các phép thế (hoặc nói rằng đã cho

một sự biểu diễn từ nhóm G vào nhóm các phép thế)

Chú ý: Nếu S là một tập (không nhất thiết hữu hạn) Khi đó, tập hợp các song ánh

từ S lên chính nó với phép nhân ánh xạ là một song ánh Nó đợc gọi là nhóm các phép thế

x

ánh xạ (x,y)  ( )  1

xyx y

x  x (1)

1( 2 ) 1( ( )) 1( 2 21) ( 2 21) 1 2 21 11

1 2

Từ (1) và (2) ta suy ra: (x1x2)y x1(x2y)

ii) ey e(y) eye1 y, yG



Trong thực tế, mỗi xlà một tự đẳng cấu của G, nghĩa là x,y,zG ta có:

x(yz) xyzx1 xyx1xzx1  x(y) x(z)và x có nghịch đảo là 1

1 ) ( x   x Vì vậy, ánh xạ  :x x là một đồng cấu từ G vào nhóm các tự đẳng cấu của nó.

Hạt nhân của đồng cấu  là:

Ker( )=xG/  (x) y, yG

=xG/xyx1 y, yG

=xG/xy yx, yGC(G)

Vậy hạt nhân của đồng cấu  trùng với tâm của G

Để tránh nhầm lẫn, ta không dùng cách viết xy cho x ( y) Đôi khi ta viết

Thử trực tiếp thấy: x,A xAx 1 là tác động của G trên S

Ngoài ra, ta chú ý rằng nếu A là một nhóm con của G thì xAx 1 cũng là nhómcon của G

Nh vậy, nhờ phép liên hợp G cũng tác động trên họ tất cả các nhóm con

Giả sử A,B là hai tập con của G Khi đó A,B đợc gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tạiphần tử xG sao cho BxAx 1

Ví dụ 2 (Phép chuyển dịch) Đối với mỗi xG, ta xác định phép chuyển dịch

Tx: G  G bằng cách đặt T x(y) xy.Khi đó, ánh xạ x,y xyT x(y) xác định một tác động của nhóm G trên chính

nó

Chú ý: Tx không phải là một đồng cấu nhóm mà chỉ là một phép thế của G

Tơng tự, G tác động trên tập tất cả các tập con của nó nhờ phép chuyển dịch(vì xA=Tx(A) là tập con của G cùng với A ).

Nếu H là một nhóm con của G thì Tx(H) có thể không phải là một nhóm con của

G nhng nó là một lớp ghép trái của G theo H Và do đó, G tác động trên tập các lớpghép trái của G theo H nhờ các phép chuyển dịch

Kí hiệu tập các ghép trái của G theo H là G/H Khi đó, G/H là một G - tập ngay cả khi

H không phải là ớc chuẩn Tập các ghép bên phải đợc kí hiệu là H\G

Hai cách biểu diễn nói trên của nhóm G dới dạng nhóm các phép thế thờng đợc sửdụng sau này Đặc biệt, sự biểu diễn bằng phép liên hợp sẽ dùng để chứng minh định

lý Sylow

2.3 Nhóm đẳng hớng Giả sử nhóm G tác động trên một tập S nào đó và s S.

Tập các phần tử xG thoả mãn điều kiện xs = s là một nhóm con của G, nó đợc gọi

là nhóm đẳng hớng của phần tử s trong G Kí hiệu là GS

Khi G tác động trên chính nó nhờ phép liên hợp, nhóm đẳng hớng của một phần

tử chẳng qua là cái chuẩn tắc hoá của phần tử đó

Cũng đúng nh thế, khi G tác động nhờ phép liên hợp trên nhóm con của nó,nhóm đẳng hớng của một nhóm con lại là cái chuẩn tắc hoá của nhóm con đã cho

Giả sử G tác động trên tập S, s ,s là các phần tử của S, yG sao cho yss Khi đó  1

s , liên hợp với nhau

2.4 Quỹ đạo Giả sử G tác động trên tập S, sS, s cố định.Tập con của S gồm

tất cả các phần tử dạng xs (xG) đợc gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G

Kí hiệu: Gs

Nếu x và y cùng nằm trong một lớp ghép H = Gs , thì xs = ys và ngợc lại

Vì vậy, ta đợc ánh xạ f: G/H  S cho bởi công thức f(xH) = xs

ánh xạ này là một cấu xạ của các G - tập, nghĩa là thoả mãn điều kiện f(xs) = xf(s),

xG, sS Thực ra, ta thấy nó cảm sinh một song ánh từ tập các lớp ghép trái G/H lênquỹ đạo Gs

Do đó, nếu G là một nhóm tác động trên tập S, sS thì cấp (hoặc độ dài) của

quỹ đạo G s trùng với chỉ số G : G s

Đặc biệt, nếu G tác động nhờ phép liên hợp trên tập các nhóm con của nó và H

là một trong các nhóm ấy thì số các nhóm con liên hợp với H bằng chỉ số của cái

chuẩn tắc hoá N H trong G.

Ví dụ Giả sử G là một nhóm, H là nhóm con có chỉ số bằng 2 Khi đó H  G.

Thật vậy, ta có: H  NG(H).Vì vậy chỉ số NG(H) có thể bằng 1 hoặc bằng 2.Nếu chỉ số NG(H) bằng 1 thì H  G

Giả sử chỉ số bằng 2 Cho G tác động liên hợp các tập con của G Khi đó, quỹ đạo Hgồm hai phần tử và cho G tác động trên các quỹ đạo đó Ta đợc đồng cấu từ G vàonhóm các phép thế hai phần tử

Vì có lớp liên hợp với H không bằng H nên hạt nhân của đồng cấu của nhóm G

là ớc chuẩn có chỉ số bằng 2 và khi đó nó trùng với H tức H là ớc chuẩn

2.5 Công thức lớp Giả sử G tác động trên tập S Khi đó hai quỹ đạo của nhóm

G hoặc không giao nhau hoặc trùng nhau

Thật vậy, nếu G s1,G s2 là hai quỹ đạo với phần tử chung là s thì  x G sao cho



 (G s i đôi một không giao nhau)

trong đó I là một tập các chỉ số nào đó (không nhất thiết hữu hạn) và si là các phần tửthuộc các quỹ đạo khác nhau Nếu S hữu hạn (khi đó I hữu hạn) và ta đợc sự phân tích

lực lợng của S thành tổng các cấp của quỹ đạo mà ta gọi là công thức phân tích thành

các quỹ đạo, tức là Card(S) = 

I i

s i

G

G : Giả sử x, y  G, chúng đợc gọi là giao hoán với nhau, nếu xy = yx

Nếu G là một nhóm, thì tập hợp tất cả các phần tử x G giao hoán với tất cả các phần

tử của G là một nhóm con của G mà ta gọi là tâm của G Giả sử G tác động trên chính

nó bằng các liên hợp Khi đó, phần tử x thuộc tâm G khi và chỉ khi quỹ đạo của cácphần tử đó trùng với chính nó.Vì vậy quỹ đạo ấy gồm một phần tử

Tổng quát cấp của quỹ đạo của phần tử x bằng chỉ số của cái chuẩn tắc hoá nó.

Do đó, trong trờng hợp G là nhóm hữu hạn, công thức trên có dạng







C x

x

G G

G: 1 : (1)

trong đó C là tập các đại diện của các lớp khác nhau của các phần tử liên hợp

Công thức (1) gọi là công thức các lớp.

Đ3 Định lý sylow

Tiết này, dành cho việc trình bày định lý Sylow về nhóm hữu hạn, một trong những

định lý quan trọng nhất của lý thuyết nhóm cổ điển và có nhiều ứng dụng trong việcnghiên cứu các ngành toán học khác nhau

3.1 Quỹ đạo Nhóm G tác động trên tập hợp M (bên phải), nếu đối với mỗi

cặp phần tử m  M, g G, xác định phần tử mg  M thoả mãn hai điều kiện:

i) (mg1)g2 = m (g1g2)

ii) me = m

với  m  M; g1,g2  G, trong đó e là phần tử đơn vị của G

Tập hợp mG = {mg/ gG} đợc gọi là quỹ đạo của phần tử m

Rõ ràng quỹ đạo của hai phần tử thuộc M hoặc trùng nhau, hoặc không giao nhaunên tập hợp M đợc phân hoạch thành các quỹ đạo không giao nhau

ở đây, ta định nghĩa G tác động trên tập M về bên phải để thuận tiện cho việc

sử dụng trong kỹ thuật chứng minh định lý Sylow

3.2 Định lý Sylow Giả sử G là nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố Khi

đó:

i) Đối với mỗi luỹ thừa p chia hết cấp của G, tồn tại trong G nhóm con cấp p ii) Nếu p  1 chia hết cấp của G, thì mỗi nhóm con cấp p của G đợc chứa trong một nhóm con cấp p  1nào đó của G.

Nói riêng, p - nhóm con tối đại của G đó chính là các nhóm con cấp p r , trong đó p r là luỹ thừa cao nhất của p, chia hết cấp của G.

iii) Tất cả các p - nhóm con tối đại của G đều liên hợp với nhau trong G iv) Số lợng p - nhóm con tối đại của G đồng d với 1 theo modun p.

Chứng minh. i) Giả sử G p .l, (p,l) = 1, là tập hợp tất cả các tập con cólực lợng p của G.

2 )(

1 (

) 1 ) (

2 )(

1 (

p

p l p l

p l p l

1

2

)) 2 (

( 1

)) 1 ( (

p l p l

Bởi vậy, luỹ thừa lớn nhất của p, chia hết  sẽ là p r 

Nếu    ,g  G thì rõ ràng Mg = {mg/m M}  cho nên G tác động trên Mbởi các phép chuyển dịch phải

Giả sử {M1, ,Ms} là quỹ đạo mà lực lợng là s của nó không chia hết cho p r   1

Hơn nữa, giả sử Gi ={g/ gG,Mig = Mi}; (1 i  j) Rõ ràng G1 là nhóm con của G Thật vậy, ta có G1 ={g/ gG,M1g = M1}

a,b G1, ta có M1a = M1, M1b = M1

 M1(ab) = (M1a)b = M1b = M1  ab  G1

a G1, ta có M1a = M1  M1e = M1  M1(aa-1) = M1  (M1a)a-1 = M1

 M1a-1 = M1  a-1 G1 Nh vậy G 1 G, còn Gi là các lớp liên hợp của Gtheo G1

Chúng ta chứng tỏ rằng nhóm con G1 có cấp pphải tìm

Kí hiệu G 1 t, theo Định lý Lagrange, ta có st G p r l

Vì luỹ thừa cao nhất của p chia hết cho s là p r  nên t chia hết cho p,đặc biệt

Khi đó  G:N G(P) (Trong đóN G(P) gG/gPPglà cái chuẩn hoá củanhóm con P).

Nếu  không chia hết cho p, thì N G (P) chia hết cho p  1 và theo chứngminh trên trong N G(P) /Ptồn tại nhóm con P P

cấp p Khi đó Plà nhóm con phảitìm

Giả sử  chia hết cho P Nhóm con P tác động trên  bởi các phép liên hợp,hơn nữa lực lợng các quỹ đạo chia hết P , vì thế chúng có dạng pi,i  0

Vì có ít nhất một quỹ đạo - một phần tử -{p} và  chia hết cho p, nên tìmngay đợc một quỹ đạo - một phần tử - khác{Q} Điều đó có nghĩa P chuẩn hoá Q, vì

thế PQ là một p - nhóm con ( nhớ rằngPQ Q PPQ) và mở rộng của p - nhóm nhờmột p - nhóm con là một p- nhóm con)

áp dụng vào PQ phép tự đẳng cấu trong của G biến Q thành P, ta thu đợc

p - nhóm con P Pchứa P làm nhóm con chuẩn tắc thực sự

Lại theo chứng minh trên, trong P P Ptìm đợc nhóm con P P

cấp p Khi đó Plànhóm con cần tìm

Từ chứng minh trên ta suy ra rằng các p - nhóm con tối đại của một nhóm hữu hạn làcác nhóm con cấp p r, trong đó p rlà luỹ thừa cao nhất của p chia hết cấp của nhóm iii) Giả sử P là nhóm con cấp p rcủa G (đặc biệt, đó là p - nhóm con tối đại) và

 đợc xác định nh trên Ta cần chứng minh mọi p - nhóm con tối đại Q đều thuộc  Nhng Q tác động trên  bởi phép liên hợp, hơn nữa các quỹ đạo lại cùng lực lợng

iv) Ta chỉ cần thử nghiệm rằng {Q} là quỹ đạo - một phần tử duy nhất

Thật vậy, nếu  Q là quỹ đạo khác nh thế thì Q  Q là p - nhóm con khác Q, điều

đó không thể xảy ra

Định lý đợc chứng minh