Một số tính chất của môđun xạ ảnh khoá luận tốt nghiệp đại học

Trên vành hoàn chỉnh, lớp môđun rời rạc và lớp môđun tựa rời rạc là những mở rộng thực sự của lớp môđun xạ ảnh.Mặc dù vấn đề được đặt ra đối với việc mở rộng lớp môđun xạ ảnh có vẻtương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ LÀNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN

VINH - 2012

MỞ ĐẦU

Lớp các môđun xạ ảnh cùng với lớp các môđun nội xạ có vai trò quantrọng trong việc nghiên cứu vành và môđun Từ trước đến nay các lớp môđunnày vẫn là những đối tượng được nhiều người nghiên cứu Các kết quả đạtđược được sử dụng để mô tả cấu trúc của nhiều lớp vành quan trọng như vànhNoether, vành nửa đơn, Từ những năm nửa cuối thế kỉ XX, nhiều nhànghiên cứu về vành và môđun đã tìm cách mở rộng các lớp môđun này đểphục vụ cho việc nghiên cứu các thuộc tính của vành

Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, người ta đã tìm cách mởrộng môđun xạ ảnh bằng cách xây dựng các điều kiện đối ngẫu với các điềukiện trên môđun xạ ảnh tương ứng Trên vành hoàn chỉnh, lớp môđun rời rạc

và lớp môđun tựa rời rạc là những mở rộng thực sự của lớp môđun xạ ảnh.Mặc dù vấn đề được đặt ra đối với việc mở rộng lớp môđun xạ ảnh có vẻtương tự với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, nhưng trên thực tế khi nghiêncứu ta thường gặp nhiều khó khăn hơn, đòi hỏi sử dụng nhiều kĩ thuật phứctạp hơn

Mục đích nghiên cứu của khóa luận là hệ thống các tính chất của lớpmôđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc và môđun tựa rời rạc Trên

cơ sở đó chúng tôi cố gắng tìm hiểu sâu hơn các đặc trưng của các lớp môđunnày và sự liên hệ giữa tính chất của chúng với tính chất của một số lớp vành

đã biết

Khóa luận gồm 2 chương :

Chương 1 Các kiến thức cơ sở về vành và môđun.

Nội dung chính của chương này nhắc lại một số khái niệm cơ sở của lýthuyết môđun và vành

Chương 2 Lớp môđun xạ ảnh và một số mở rộng của môđun xạ ảnh.

Nội dung chính của chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu lớpmôđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh và thông qua các điều kiện rời rạc, nghiêncứu môđun rời rạc và tựa rời rạc, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ giữa thuộctính xạ ảnh và thuộc tính xạ ảnh và thuộc tính rời rạc, đặc trưng của môđuntựa rời rạc qua các điều kiện khả bù yếu.

Khóa luận được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo - Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp này, tác giả xin

bày tỏ lòng biết ơn đến thầy về sự giúp đỡ và những góp ý của thầy dành chotác giả trong suốt quá trình làm khóa luận Chúng tôi cũng xin cảm ơn cácthầy cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên đã động viên, giúp đỡ chúngtôi hoàn thành khóa luận

Vì trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn có nhiều thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóaluận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nghệ An, tháng 5 năm 2012

Tác giả

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH VÀ MÔ ĐUN

Trong chương này ta giả sử R là một vành có đơn vị cho trước và kíhiệu R-Mod dùng để chỉ phạm trù gồm tất cả các R-môđun trái unita, tức làcác môđun M trên vành R với điều kiện 1m = m, với mọi m thuộc M

1.1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN

Trong mục này chúng tôi tóm tắt lại một số khái niệm cơ sở của Lýthuyết môđun và mục 1.2- Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về vành.Nhữngkhái niệm, thuật ngữ và kí hiệu về vành và môđun không được nhắc đến ởđây có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối khóa luận

1.1.1 Sự phân tích môđun thành tổng trực tiếp các môđun con

Trong lý thuyết môđun, một mặt ta nghiên cứu môđun đã cho nhờ sựphân tích nó thành những môđun đơn giản hơn; mặt khác ta hướng tới việcxây dựng những môđun mới từ những môđun đã cho Theo hướng thứ haichúng tôi giới thiệu một cấu trúc đặc biệt có ý nghĩa là tổng trực tiếp cácmôđun con

Định nghĩa 1 Giả sử M là một môđun trên vành R.

a) Môđun M được gọi là môđun đơn nếu M không chứa môđun con

thực sự nào khác 0, nghĩa là chỉ có môđun con 0 và M

b) Môđun con A của môđun M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và A

không chứa trong một môđun con thực sự nào của M

c) Ta gọi môđun con A của M bé nhất ( theo quan hệ bao hàm ) chứa

tập hợp con X của M là môđun con sinh bởi X Khi đó X được gọi là một tập

sinh hay hệ sinh của A Trong trường hợp A = M ta nói X là một hệ sinh của

M hay M được sinh bởi X Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là

R-môđun hữu hạn sinh.

Định nghĩa 2 a) Giả sử {Ai | iI } là một họ tùy ý những môđun con

I i

môđun con Ai của họ đã cho và ký hiệu bởi I A i

b) Một họ F = { Ai  iI } các môđun con của môđun M được gọi là

độc lập (hay khả tổng) nếu Aj  ij A i = 0, với mọi j  I

Trong trường hợp họ F = {Ai | I  I } độc lập, tổng I A i cũng là tổng

được thành tổng trực tiếp của một họ F = {Ai | i  I } các môđun con của

sau được thỏa mãn:

(i) A = I A i và (ii) Aj  ij A i = 0, với mọi j  I

mỗi phần tử x của A được biểu diễn thành tổng hữu hạn duy nhất

trên Môđun này được gọi là đối tích (hay tổng trực tiếp ngoài ) của họ F =

{ Ai  i I } và được kí hiệu là I Ai. Trong trường hợp tất cả các môđun Ai

của họ F bằng môđun A thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp ngoài nói trên đượcgọi là lũy thừa của A và kí hiệu tương ứng là AI và A(I) tương ứng.

Đảo lại, nếu { Ai i  I } là một họ R-môđun và M = I Ai là tổng trực

Định nghĩa 3 a)Môđun M ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu

nó không biểu diễn được thành tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự

không phân tích được của M,  i  I thì sự phân tích đó được gọi là sự phân

tích thành tổng trực tiếp của những môđun con không phân tích được.

1.1.2 Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu Căn và đế của môđun

Định nghĩa 4 Cho A là một môđun con của môđun M A được gọi là

môđun con cốt yếu (hay lớn) của M nếu với mỗi môđun con X ≠ 0 của M luôn

có A  X ≠ 0 Trong trường hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu

của A, kí hiệu A   M

Một mở rộng cốt yếu M của A được gọi là mở rộng cốt yếu thực sự nếu

M ≠ A

Môđun M được gọi là đều nếu mọi môđun khác không của M là môđun

con cốt yếu của M

Đối với mỗi môđun con A khác 0 của môđun M luôn tồn tại mở rộngcốt yếu của A trong M Mở rộng cốt yếu tối đại của A trong M được gọi là

bao đóng của A trong M Một môđun con A của M được gọi là đóng nếu A

không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M

Một số tính chất của môđun con cốt yếu của môđun trên vành R được

f) Cho f: M  N là các đồng cấu môđun, B   N  f-1 (B)  M

Định nghĩa 5 Cho A là môđun con của môđun M A được gọi là

môđun con đối cốt yếu (hay bé) của M nếu với mọi môđun con thực sự X của

Môđun M được gọi là môđun hổng nếu mọi môđun con thực sự của nó

là môđun con đối cốt yếu của môđun M

Một số tính chất của môđun con đối cốt yếu của môđun trên vành Rđược đề cập trong mệnh đề sau:

môđun con của M

Định nghĩa 6 (i) Tổng tất cả các môđun con đối cốt yếu của môđun M

được gọi là căn của môđun M Kí hiệu: Rad(M).

(ii) Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M được gọi là

đế (socle) của môđun M Kí hiệu: Soc(M).

Mệnh đề sau đây cho một cách định nghĩa khác của các khái niệm căn

và đế của môđun

Mệnh đề 3 (i) Rad(M) là giao của tất cả cácmôđun con tối đại của M.

(ii) Soc(M) là tổng tất cả các môđun con đơn của môđun M

1.1.3 Bù giao và bù cộng của môđun con

Định nghĩa 7 Cho A là môđun con của M Môđun con A’ của M tối

đại trong số các môđun con của M có giao với A bằng không được gọi là

bù-giao của A trong M.

Liên quan đến bù- giao của một môđun con và các môđun con đóng ta

có mệnh đề sau:

Mệnh đề 4 (i) Mỗi môđun con A của M luôn tồn tại môđun con đóng

(bù-giao) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B

(ii) Nếu A là môđun con đóng trong B và B là môđun đóng trong M thì

A là môđun con đóng trong M

Định nghĩa 8 Cho A là một môđun con của M Môđun con P của M

tối thiểu trong số các môđun con của M thỏa mãn điều kiện A + P = M thì

môđun P được gọi là bù-cộng của A trong M.

Môđun con B của M được gọi là môđun con bù cộng nếu B là bù-cộng

của một môđun con nào đó của M

1.1.4 Dãy khớp

Định nghĩa 9 Đơn cấu f: X  Y các R-môđun được gọi là chẻ ra nếu

Im(f) là hạng tử trực tiếp trong Y

Toàn cấu g: Y  Z được gọi là chẻ ra nếu Ker(g) là hạng tử trực tiếp

trong Y

Mệnh đề 5 (i) Đồng cấu môđun f: X  Y là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ

(ii) Đồng cấu g: Y Z được gọi là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại

Định nghĩa 10 a)Ta gọi dãy khớp (những môđun) là một dãy hữu hạn

hoặc vô hạn

  X  f Y  g Z  

những đồng cấu của môđun trên R sao cho ảnh của đồng cấu vàotrùng với hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi môđun khác hai đầu (nếu có) củadãy

Chẳng hạn, tại môđun Y, ta phải có:

được gọi là chẻ ra nếu Imf = Kerg là hạng tử trực tiếp của Y.

Mệnh đề 6 Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

ii) Tồn tại một R – đồng cấu f0: M  M’sao cho f0f = 1M’

iii) Tồn tại một R – đồng cấu g0: M’’  M sao cho gg0 = 1M’’

Hơn nữa, khi đó ta có:

M  Im(f)  Ker(f0)  Ker(g)  Im(g0) M’  M’’.

1.2 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH

1.2.1 Phần tử lũy đẳng, phần tử lũy linh Căn của vành

Định nghĩa 9 Cho vành R, có đơn vị.

(ii) Hệ các phần tử x1, x2, …,xn  R được gọi là hệ lũy đẳng trực giao

nếu:

xixi = xi

và xixj = 0, nếu i ≠ j

(iii) Phần tử x  R được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n

linh của x.

Đối với phần tử lũy linh của vành có đơn vị ta có các mệnh đề sau:

Mệnh đề 7 Nếu x là phần tử lũy linh khác 0 của vành R có đơn vị 1 thì

Vậy 1-x là phần tử khả nghịch trong vành R.

y  R.Tâm của vành R kí hiệu C(R)

Định nghĩa 10 Ta gọi iđêan trái của một vành A là một nhóm con (với

phép cộng) B và thỏa mãn AB  B

Khái niệm iđêan phải của vành A được định nghĩa tương tự

Nếu B vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của vành R thì B được gọi làiđêan hai phía (hoặc đơn giản là iđêan) của R

Một iđêan P của vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu P ≠ A và nếu

I, J là những iđêan của A sao cho IJ  P thì I  P hoặc J  P Một iđêan P

của vành A được gọi là iđêan hoàn toàn nguyên tố nếu P ≠ A và nếu x,y  A

mà xy  P thì hoặc x  P hoặc y  P

Nếu A là vành giao hoán thì khái niệm iđêan nguyên tố và khái niệmiđêan hoàn toàn nguyên tố là trùng nhau

Một iđêan T được gọi là tối đại nếu T ≠ A và nếu B là iđêan của A sao

cho T  B  A thì hoặc B = T hoặc B = A

Định nghĩa 11 Cho A là vành có đơn vị Kí hiệu tập hợp tất cả các

iđêan nguyên tố của A là Spec(A)

)

( A

Spec P

P

còn gọi là căn lũy linh của A.

(a, m) (b, n) = (na + mb + ab, mn), với mọi (a, m), (b, n) thuộc AZlập thành một vành có đơn vị Phần tử đơn vị của AZ là (0, 1) Trong vành

1.2.3 Sự phân tích một vành thành tổng trực tiếp

Đối với một vành R người ta thường xét đến hai sự phân tích R thànhtổng trực tiếp Sự phân tích thứ nhất xét theo quan điểm cấu trúc vành và sựphân tích thứ hai được xét theo quan điểm cấu trúc môđun, tức là sự phân tích

tương ứng.Vì các vấn đề về quan hệ giữa môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnhvới môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc liên quan chủ yếu đến việc phân tíchmột vành thành tổng trực tiếp theo quan điểm môđun nên chúng tôi chỉ nhắclại sự phân tích của RR và RR theo quan điểm thứ 2 ở trên

Mệnh đề 9 Cho vành R có đơn vị 1.

a) Nếu RR có sự phân tích thành tổng trực tiếp các iđêan (Ai)iI

RR = Ai

thế thì:

(i) Tồn tại tập hữu hạn F  I sao cho RR = Ai, (Ai ≠ 0)

(ii) Với mỗi i  F, tồn tại xi  R mà Ai = xiR, trong đó hệ x1,x2, ,xn

lũy đẳng trực giao với F = (1, 2, , n) và x1 +x2 + + xn = 1

(iii) Nếu các Ai, i  F là iđêan hai phía thì các xi (ở ii) thuộc vào tâmcủa R

b) Ngược lại

Nếu vành R có hệ lũy đẳng trực giao {x1, x2, , xn}và

x1 +x2+…+ xn = 1

1.2.4 Iđêan linh hóa tử và môđun suy biến

Định nghĩa 12 Cho M là một R-môđun, mM Tập hợp:

IR(m) = { r  R r.m = 0 }

được gọi là linh hóa tử của phần tử m

biến của môđun M Tập hợp các phần tử suy biến của môđun M làm thành

một môđun con của M, được gọi là môđun con suy biến của M và kí hiệu là Z(M) Môđun M được gọi là môđun suy biến nếu Z(M) = M, M được gọi là

môđun không suy biến nếu Z(M) = 0.

Định nghĩa 13 Cho R là một vành nào đó và S là tập con khác rỗng

của vành R

Linh hóa tử phải của tập S trong R là

rR(S) := {x  R  sx = 0, s  S}

lR(S) := {x  R  xs = 0,s  S}

Nếu S chỉ gồm một phần tử s  R ta viết r(s) hoặc l(s) tương ứng

1.2.5 Các điều kiện chuỗi trên vành

Cho X là tập sắp thứ tự bởi  (tương ứng ) Ta nói X thõa mãn điềukiện chuỗi tăng (tương ứng, giảm) nếu mọi chuỗi tăng

x1  x2   xn 

(tương ứng x1  x2   xn  )

Tồn tại chỉ số n sao cho xn = xn+1 =

1.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Trong chương này chúng tôi đã nhắc lại một số khái niệm của Lýthuyết môđun và hệ thống hóa các kiến thức về vành để làm cơ sở cho việctrình bày chương sau Các kết quả trình bày trong chương đều được chọntrong các tài liệu tham khảo đã cho ở cuối khóa luận

Chương 2 MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH

2.1 MÔĐUN XẠ ẢNH

Định nghĩa1: Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mỗi môđun

A, B và toàn cấu g: A  B, mỗi đồng cấu f: P  B luôn tồn tại đồng cấuh: P

 A sao cho gh = f

Khái niệm môđun xạ ảnh còn được định nghĩa bởi thuật ngữ "sơ đồgiao hoán" như sau:

Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu mọi sơ đồ các đồng cấu môđun

sau đây với f và g là toàn cấu luôn bổ sung được một đồng cấu h sao cho sơ

đồ thành sơ đồ giao hoán, tức là gh = f

Các mệnh đề sau đây sẽ làm rõ mối quan hệ giữa môđun tự do vớimôđun xạ ảnh và một số tính chất của môđun xạ ảnh

Mệnh đề 1: Mọi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh Tuy nhiên điều

ngược lại không đúng.

Mệnh đề 2: Hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh là một môđun xạ ảnh Mệnh đề 3: Tổng trực tiếp bất kỳ những môđun xạ ảnh là mô đun xạ

ảnh.

Định lý 4: Với một môđun X tuỳ ý và tự đồng cấu nhất i của X, các

phát biểu sau là tương đương:

P

g

(i) X là môđun xạ ảnh.

(ii) Mọi dãy khớp ngắn các môđun 0  U  V  X  0 đều chẻ ra (iii) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do.

(iv) Mọi toàn cấu môđun g:A  B, ánh xạ

g * = Hom (i, g): Hom (X, A)  Hom (X, B) cũng là toàn cấu môđun.

(v) Với mọi dãy khớp ngắn có môđun 0  B  C  0, dãy

0  Hom (X,A)  Hom (X, B)  Hom (X,C)  0

cũng là dãy khớp ngắn.

Sau đây chúng tôi chứng minh một số kết quả được cho trong các sáchtham khảo không kèm theo chứng minh

Mệnh đề 5: Nếu X là môđun xạ ảnh và A, B, C là các môđun cho trước

cùng với các đồng cấu môđun f: A  B; g:B  C; h: X  B sao cho Imf

= Kerg và gh = 0 thì tồn tại đồng cấu môđun k:X  A sao cho fk = h.

Chứng minh: Thật vậy, vì gh = 0 nên Imh  Kerg = Imf Do đó

Imh  Imf Xét các đồng cấu

Chứng minh: Xét biểu đồ tam giác trong đó f: M  M/A là phép chiếu

tự nhiên và h: M/A  M/A là ánh xạ đồng nhất Khi đó do M/A là xạ ảnh nêntồn tại đồng cấu k: M/A  M sao cho fk = h Vì h là đồng cấu đồng nhất nêntheo tính chất các đồng cấu các môđun ta có M = Imk  Kerf Vì Kerf = Anên A là hạng tử trực tiếp của M

2.2 MÔĐUN A- XẠ ẢNH

Khi xét khái niệm môđun xạ ảnh ta đã xét các điều kiện đặt ra đối vớimôđun P trong mối quan hệ với tất cả các môđun trên vành R Trong mục nàychúng ta chỉ xem xét các điều kiện ràng buộc mối quan hệ của môđun đó đốivới chỉ một môđun A cụ thể.

Định nghĩa 2: Giả sử N và A là các môđun trong Mod - R Môđun N

được gọi là A - xạ ảnh nếu với mỗi môđun con X của A, với mọi đồng cấu

f: N  A/X, luôn tồn tại ít nhất một R - đồng cấu g: N  A sao cho biểu đồsau giao hoán:

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng:

Môđun M là xạ ảnh nếu và chỉ nếu M là A - xạ ảnh với mọi môđun A Sau đây chúng tôi tổng hợp một số kết quả về các môđun A - xạ ảnh

Mệnh đề 7: Nếu N là A - xạ ảnh thì mọi toàn cấu  N đều chẻ

ra Trong trường hợp đặc biệt, nếu môđun A không phân tích được thì  là một đẳng cấu.

Chứng minh: Do N là A - xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu : N  A sao

cho biểu đồ sau giao hoán: