Một tính chất về linh hoá tử của môđun artin

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHLÊ THỊ HẰNG THU MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HÓA TỬ CỦA MÔĐUN ARTIN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ... Chương 1KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tôi trình bày một s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ HẰNG THU

MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HÓA TỬ

CỦA MÔĐUN ARTIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ HẰNG THU

MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HÓA TỬ

CỦA MÔĐUN ARTIN

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Phổ và giá của môđun 3

1.2 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 4

1.3 Vành địa phương đầy đủ theo pôtô m-adic 5

1.4 Chiều Krull của môđun 6

1.5 Hệ tham số 7

1.6 Đối ngẫu Matlis 8

1.7 Biểu diễn môđun Artin 8

1.8 Chiều Noether của môđun Artin 10

1.9 Môđun đối đồng điều địa phương 11

1.10 Giá không trộn lẫn 12

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ LINH HÓA TỬ CỦA MÔĐUN ARTIN 15

2.1 Tính chất (*) của môđun Artin 15

2.2 Tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương 23

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

MỞ ĐẦU

Cho ( , )R m là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy

nhất m

A là một R - môđun Artin và M là một R - môđun hữu hạn sinh với

chiều Krull dim M   d 0 Trước hết ta thấy rằng nếu p là một iđêan nguyên tố của R chứa AnnRM, khi đó p  SuppM nên Mp  0 Theo Bổ đề

Nakayama ta suy ra   0

p

Mp M

nhất của môđun hữu hạn sinh M với giá là iđêan cực đại m.

Mục đích của luận văn là dựa vào các bài báo [5] của Nguyễn TựCường, Lê Thanh Nhàn và [6] của Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và

Lê Thanh Nhàn để nghiên cứu tính chất (*) của môđun Artin và môđun đốiđồng điều địa phương cấp cao nhất d( )

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của đại sốgiao hoán có sử dụng trong luận văn Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một sốkết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Một tính chất về linh hoá tử của môđun Artin

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày về tính chất (*) của môđun Artin

và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2010 tại trường Đại học

Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp

này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn, giúp đỡtận tình chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học và nghiên cứu Cũng nhân dịp này, tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,khoa Sau Đại học, các thầy cô giáo trong khoa Toán và tổ Đại số đã giúp đỡtrong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Đông Sơn 2, các đồngnghiệp trong tổ Toán, các anh, các chị và các bạn trong lớp cao học 16 Đại số

và Lý thuyết số đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tráng khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy côgiáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của đại sốgiao hóa có sử dụng trong luận văn như: Phổ và giá của môđun, sự phân tíchnguyên sơ của môđun, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic, chiều Krullcủa môđun, hệ tham số, đối ngẫu Matlis, biễu diễn thứ cấp của môđun Artin,chiều Noether của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, giá không

trộn lẫn

1.1 Phổ và giá của môđun

1.1.1 Phổ của vành Iđêan p của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu 

SuppM =  p SpecR M  p 0  SpecR.

AnnR  x  a R ax /  0 ;

AnnR M a R aM /  0  a R ax /    0, x M

Ta có AnnR x và AnnR M là những iđêan của M ; AnnR M được gọi là linhhoá tử của môđun M Hơn nữa

SuppM = V (AnnR M )

1.2 Sự phân tích nguyên sơ của Noether

1.2.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán và M là một R -môđun

(i) Iđêan q R của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi r R ,phép nhân bởi r trên R q/ là đơn cấu hoặc luỹ linh.Trong trường hợp này( )

(ii) Môđun con N M của M được gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một

iđêan nguyên tố pcủa Rsao cho Ass(M N/ )= p Khi đó ta cũng nói N là pnguyên sơ

-(iii) Cho N là môđuncon của M Một phân tích nguyên sơ của Nlà mộtbiểu diễn

(i) Nếu M1và M2 là các môđun con p-nguyên sơ của M thì M1 M2

cũng là môđun con p-nguyên sơ của M Vì thế mọi phân tích nguyên sơ củamôđun con Nđều có thể quy về một phân tích thu gọn

(ii) Khi M R và Rlà vành Noether thì khái niệm môđun con nguyên sơtrùng với khái niệm iđêan nguyên sơ

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyên sơ của mọimôđun con của môđun Noether và tập các iđêan nguyên tố liên kết có thểđược xác định thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn

1.2.3 Định lý Cho M là R - môđun Noether và N là môđun con của M Khi

 p p1 , , 2 p n =Ass( M N/ ).

(iii).Cho N N1 N2   N n , trong đó N i là p i -nguyên sơ, i 1, 2, n , là

/

1.2.4 Mệnh đề Cho R là vành Noether, M là R - môđun hữư hạn sinh và N

-nguyên sơ.

1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic

nếu A là vành Noether và A chỉ có một iđêan tối đại Vành A được gọi là

nhất thiết là Noether Vành A được gọi là vành nửa địa phương nếu A chỉ cóhữư hạn iđêan tối đại

1.3.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic Cho (R m, ) là một vànhđịa phương.Ta xét Rnhư một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là cáciđêan t, 0,1, 2

lớp ghép r m t t,  0,1, 2 .Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m -adic của Rkí hiệubởi ˆR, được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ của dãyCauchy như sau:Một dãy Cauchy trong Rlà một dãy (r n) các phần tử của R

sao cho với mọi t 0, tồn tại số tự nhiên n0 để t

n m

r  r m với mọi n m n,  0.Dãy (r n) được gọi là hội tụ về dãy không nếu mọi t 0 tồn tại số tựnhiên n0 để r n- 0 = r n  m t t với mọi n >n 0

Hai dãy Cauchy (r n) và (s n) được gọi là tương đương, ký hiệu (r n) (s n) nếu dãy (r n- s n) là dẫy không Khi đó quan hệ  trên tập các dẫyCauchy là quan hệ tương tương Ta ký hiệu ˆR là tập các lớp tươngđương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng, nếu (r n) v à (s n) là các dãy Cauchy thì các dãy (r n + s n),

(r n, s n) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r n+ s n),

(r n, s n) là không phù thuộc vào chọn các đại diện của các lớp tươngđương của các dãy Cauchy (r n) v à (s n), tức là nếu (r n)  ( '

bị hai phép toán 2 ngôi + và ; cùng với 2 phép toán, ˆR lập thành một vành.

Mỗi phần tử r R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy màtất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữacác vành R  ˆR

r ( )r

trong đó (r) là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r

1.4 Chiều Krull của môđun

Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R:

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n Cho p Spec R Cận trên của tất

cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 =p được gọi là độ cao của p, ký

hiệu là ht( )p , nghĩa là

ht( )p =sup { độ dài các xích nguyên tố với p0=p }

Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa

ht I ( ) inf ht p( ) /p SpecR p, I 

Cận trên của tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dimR.

của môđun A, kí hiệu là dim R A(hoặc dim M nếu ta không để ý đến vành R) Chú ý rằng: - dim A=dim ˆA

-dim R có thể vô hạn do ht P( ) có thể vô hạn và dimA dimR

1.5 Hệ tham số

iđêan cực đại duy nhất m ; M là một R-môđun hữư hạn sinh có chiều Krull

(i) Một hệ gồm dphần tử x: ( , , , )  x x1 2 x d của m được gọi là một hệ tham

số của M nếu l M( / ( , , , ) )x x1 2 x M d   (ở đây l(*) là kí hiệu chỉ độ dài của Rmôđun)

-(ii) Iđêan được sinh bởi một hệ tham số được gọi là một iđêan tham số.

(iii).Nếu x: ( , , , )  x x1 2 x d là một hệ tham số của môđun M thì hệ các

phần tử ( , , , )x x1 2 x i được gọi là một phần hệ tham số với mọi i 1, 2, d

1.5.2 Một số tính chất cơ bản của hệ tham số

1

dimM / ( , , )x x M i  d i i,   1, 2, ,d

1.6 Đối ngẫu Matlis

Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R Xét hàm tử

D(-) = HomR(-, E(R/m)) từ phạm trù các R – môđun đến chính nó Vì E(R/m)

là môđun nội xạ nên D(-) là hàm tử khớp Ta gọi D(-) là đối ngâũ Matlis Kí

hiệu ˆR là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R – môđun, kí hiệu ˆR-môđun

đầy đủ của L theo tôpô m-adic

1.7 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin

Một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu phép nhân bởi rtrên Llà toàncấu hoặc luỹ linh với mọi r R Trong trường hợp này, tập các phần tử r R

sao cho phép nhân bởi rtrên L là luỹ linh lập thành một iđêan nguyên tố p

của Rvà ta gọi là p -thứ cấp.

I.G Macdonad đã chỉ ra rằng mỗi môđun Artin đều có một biểu diễn thứcấp A A 1 A2  A n trong đó A i là p i-thứ cấp vói mọi i 1, 2, n Trongtrường hợp các A ilà không thừa (tức là Ai j A j với mọi i 1, 2, n_) và các

iđêan nguyên tố p i là phân biệt thì biểu diễn thứ cấp này gọi là tối thiểu Khi

đó tập  p p1, 2 , ,p n không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A vàđược kí hiệu bởi AttR A

1.7.2 Bổ đề Tập các phần tử tối thiểu của Att R A chính là tập các iđêan

Rad(AnnR A) =  p

p AttR A

1.7.3 Bổ đề.

AttR A =  pˆ R p: ˆ Att ˆR A 

1.7.4 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.7.5 Định nghĩa Cho M là một R-môđun ta gọi iđêan nguyên tố pcủa Rlà

một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đươngsau được thoả mãn:

(i) Tồn tại phần tử x M sao cho Ann(x)=p trong đó Ann(x):=a R /



0

(ii)M chứa một môđun con đẳng cấu với R p/

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M hoặc

nguyên tố p của R sao cho môđun địa phương hoá của M tại pkhác không

1.7.6 Các tính chất Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và một

R-môđun.Khi đó các phát biểu sau đây là đúng

(i) Iđêan nguyên tố p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi

Ass M ' AssM AssM '' AssM'

AssM 0

1.8 Chiều Noether của môđun Artin

nghĩa như sau:

Khi M 0 đặt N dimM  1 Bằng qui nạp, cho một số nguyên d 0, tađặt N dimM d nếuN dimM d là sai và với mỗi dãy tăng

Như vậy, N dimM  0 khi và chỉ khi M 0 và M là Noether

1.8.2 Một số tính chất về chiều Noether của môđun.

(i) Cho 0  M'  f M  gM''  0là dãy khớp các R -môđun.

Khi đó ta có

N dimR M  maxN dimR M N' ,  dimR M''

N dimR A N  dimRˆ A

1.8.3 Mối liên hệ giữa chiều Noether và chiều Krull của môđun Artin.

Mọi môđun Artin Ađều có một biểu diễn thứ cấp tối thiểu

2

A A A  A , trong đó A i nào là thừa.Tập  p p1 , 2 , ,p n không phụ thuộc

vào việc chọn biểu diễn tối thiểu của A và được ký hiệu bởi AttR(A) Tậpcác iđêan nguyên tố tối thiểu của V(AnnR A)là tập tất cả các iđêan nguyên tốchứa AnnR A, chính là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của AttR(A).Theo1.4 trên chiều Krull của A, ký hiệu dimR A là cận trên của các số dim /R pkhi

pchạy trên AttR A

Để thuận tiện chúng ta quy ước dimR A = -1nếu A =0.

Định lý sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa N -dimR A và dimR A

1.8.4 Định lý Các phát biểu sau đây là đúng

1.8.5 Hệ quả Nếu ( R m, ) là vành địa phương đầy đủ thì

1.9 Môđun đối đồng điều địa phương

1.9.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành giao hoán, có đơn vị Noether R

Ta có các hàm tử đối đồng điều địa phương i  ,

Do I là hàm tử hiệp biến nên ta có phức

1.9.3 Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.

Cho là tập các số tự nhiên, ta kí hiệu  *   \ 0 

+) Nếu M là R -môđun nội xạ thì i  0, *

I

H M    i +) Nếu I M  n 0với một số tự nhiên n nào đó thì 0 

+) Từ dãy khớp ngắn các R - môđun ( R là vành Noether):

 

  0

R dim M m

 

R dim M m

môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của M

Sau đây, ta nhắc lại một số tính chất quan trọng về tập các iđêan nguyên

tố gắn kết và chiều Noether của môđun này

1.10.4 Bổ đề Giả sử 0 =  N p( )

p AssM

U M(0) =  N p( )

p AssM,dim /R p d

Bổ đề sau đây xác định tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M/

U M(0) Bổ đề này có thể suy ra từ Bổ đề 1.10.4 Tuy nhiên chúng ta muốn đưa

ra một chứng minh trực tiếp sau đây

1.10.5 Bổ đề Ass(M/U M(0)) =  p AssM : dim /R p d 

dim /R q d với mọi p  Ass(M/U M(0)) Vì thế p  M/U M(0) Lại do

AssM  AssU M(0) AssM/U M(0)

nên ta có p  AssM/U M(0) Vì thế

AssM/U M(0)  pAssM: dim /R p d 

Ngược lại cho p  Ass(M/U M(0) Khi đó p AnnR( )m , trong đó

m m U M(0)  M/U M(0)

Vìp R nên m  U M(0) Do đó dim Rm d (vì tất cả các môđun con của M cóchiều nhỏ hơn d đều chứa trong U M(0)) Suy ra dim(Rm  U M(0) ) d Vì thế

d  dim(Rm  U M(0) )=max dim U M(0) ,dim(Rm) 

Do dimU M(0) d nên ,dim(Rm) d Vì AnnR( )m nên

Suy ra AsM U/ M(0)  pAssM: dim /R p d 

Như vậy, dựa vào bổ đề này ta thấy các iđêan nguyên tố liên kết của M/

U M(0) đều có chiều như nhau

Chương 2

MỘT TÍNH CHẤT VỀ LINH HOÁ TỬ

CỦA MÔĐUN ARTIN

Trong chương này, chúng tôi trình bày về tính chất (*) của môđun Artin

và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V I( )là tập các iđêan nguyên tố của R

chứa I Trong tiết này chúng ta nhắc lại một số tính chất (*) cho các môđunArtin, đồng thời chứng minh một đặc trưng tính chất (*) cho các môđun Artin

A thông qua mối quan hệ giữa các tập V (AnnR A) và tập V (AnnˆR A)

2.1.1.Chú ý Giả sử R là đầy đủ theo tôpô m-adic Khi đó D A( )là R-môđunhữu hạn sinh.Với lưu ý AnnR A= AnnR D A( ), do đó áp dụng tính chất linhhoá tử cho môđun D A( ) ta có:

AnnR(0 :A p) = AnnR( (0 :D A p)) = AnnR( ( ) /D A pD A( )) p

với mọi iđêan nguyên tố p AnnR A = AnnR D A( ) Vì vậy tính chất (*) luônđúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương đầy đủ

Tuy nhiên tính chất (*) lại không còn đúng khi vành R không đầy đủ.

Dưới đây chúng tôi trình bày ví dụ về một môđun Artin không thoã mãntính chất (*).Chú ý rằng với mỗi số nguyên i, môđun đối đồng điều địaphương thứ i với giá cực đại i ( )

m

H M của M luôn là R-môđun Artin

2.1.2 Ví dụ [5:ví dụ 4.4].Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa

phương không thoã mãn tính chất (*)

Chứng minh: Gọi ( , )R m là miền Noether địa phương chiều 2 được xâydựng thoã mãn tính chất tồn tại một iđêan nguyên tố nhúng ˆq Ass ˆR với

Vì H R xR m0 ( / ) là R -môđun có độ dài hữu hạn nên 0 :A x có độ dài hữu hạn Do

x p nên 0 :A p 0 :A x và do đó 0 :A x có độ dài hữu hạn Vì thế AnnR(0 :A p)làiđêan m-nguyên sơ, điều đó chứng tỏ Ann(0 :A p) p

Vậy A không thoã mãn tính chất (*) 

Với mỗi iđêan I của vành R, kí hiệu V(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.Bây giờ chung ta sẽ trình bày đặc trưng tính chất (*) của môđun Artin Athông qua mối quan hệ giữa các tập hợp V(AnnRA) và V(AnnRˆRA).

Vì M là R-môđun hữu hạn sinh nên SuppR(M)= V(AnnRM) Tương tự vì

M là R-môđun hữu hạn sinh nên Supp ˆR(Mˆ )= V(Ann ˆR Mˆ ) Do đó trước hết taxét mối quan hệ giữa các tập hợp SuppRM và SuppˆR Mˆ của một môđun hữuhạn sinh M

2.1.3 Bổ đề SuppM =  pˆ R p: ˆ SuppMˆ 

Chứng minh Cho ˆp Supp Mˆ Khi đó

ˆp R Ann ˆ ˆ

R MR AnnR M Suy ra ˆp R SuppM Vì thế

SuppM   pˆ R p: ˆ SuppMˆ 

Ngược lại, cho p SuppM Khi đó M  p 0 Vì đồng cấu tự nhiên R Rˆ

là hoàn toàn phẳng nên ánh xạ cảm sinh Spec ˆR  SpecR cho tương ứngmỗi ˆq Spec ˆR với ˆq R SpecR là toàn ánh Vì thế tồn tại ˆp Spec ˆR saocho p pˆ R Vì đồng cấu tự nhiên ˆ ˆ

Vì M là hữu hạn sinh nên SuppM =V (AnnR M) Tương tự, vì Mˆ là ˆR

-môđun hữu hạn sinh nên SuppMˆ =V (AnnRˆMˆ ) Do đó từ Bổ đề trên ta có hệquả sau

2.1.4 Hệ quả.

V (AnnR M) =  pˆ R p V: ˆ  (Ann ˆR ( )Mˆ 