Một số yếu tố hình học trong không gian lorentz minkowski luận văn thạc sĩ toán học

Việc nắm vững và hiểu được những nội dung này là không đơn giản.Trên cơ sở các kiến thức cơ bản của hình học Ơclit và hình học giả Ơclit, ở đâychúng tôi trình bày các nghiên cứu bước đầu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Duy Bình

NGHỆ AN - 2012

LỜI MỞ ĐẦU

Hình học Ơclit và hình học giả Ơclit là một nội dung quan trọng của bộ mônhình học Việc nắm vững và hiểu được những nội dung này là không đơn giản.Trên cơ sở các kiến thức cơ bản của hình học Ơclit và hình học giả Ơclit, ở đâychúng tôi trình bày các nghiên cứu bước đầu về một trường hợp riêng của hìnhhọc giả Ơclit đó là hình học trên không gian Lorentz-Minkowski Được sựhướng dẫn tận tình, chu đáo của Ts-Nguyễn Duy Bình, tôi đã nghiên cứu và

hoàn thành luận văn “Một số yếu tố hình học trong không gian

Lorentz-Minkowski”.

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương I: Không gian giả Ơclit: Hệ thống, trình bày các khái niệm, tính chấtcủa không gian vectơ giả Ơclit, đẳng cấu trực giao và không gian giả Ơclit, lànền tảng cho kiến thức ở chương II

Chương II: Không gian Lorentz-Minkowski: Trình bày định nghĩa không gianLorentz-Minkowski và các vấn đề liên quan Trong §1, trình bày các đặc trưngcủa các vectơ và các không gian con trong không gian Lorentz-Minkowski.Đóng góp chính của luận văn này được trình bày trong mục §2, dựa trên cơ sở làbất đẳng thức Cauchy-Schwarz, khai thác và trình bày một số trường hợp cụ thểcủa bất đẳng thức này trong không gian Lorentz-Minkowski và ứng dụng vào đểxét tính cực đại và tính độ dài của đường cong tựa thời gian trong không gianLorentz-Minkowski

Vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn có nhiềuthiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp

ý của các Thầy Cô giáo và các bạn đọc Luận văn được thực hiện và hoàn thành

tại khoa Toán – Trường Đại học Vinh Qua đây, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơnchân thành tới Ts Nguyễn Duy Bình – Người đã dày công hướng dẫn tôi hoànthành luận văn này.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các Thầy Côgiáo trong khoa và tổ Hình học, tập thể học viên khóa 17, 18 chuyên ngành Hìnhhọc đã tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 09 năm 2012

MỤC LỤC

§1 Đặc trưng của các vectơ và các không gian con trong không

CHƯƠNG I KHÔNG GIAN GIẢ ƠCLIT

§1 KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ ƠCLIT

k k

a b

Trong không gian vectơ giả Ơclit k

j i j

*

1



(1)

trong đó: A là ma trận  a ij

Từ công thức (1) để tính tích vô hướng ta có các tính chất sau đây:

a) 0 a  0 với mọi a

Từ định nghĩa, a b là một số thực nên u u cũng là một số thực, vậy tích u u

có thể dương, âm, hoặc bằng 0 ta có định nghĩa sau:

Như vậy: Môđun một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một sốthuần ảo.

Vectơ có môđun bằng 1 và i gọi là vectơ đơn vị

c) Vectơ 0 vuông góc với mọi vectơ bất kì

d) Hai vectơ a, b vuông góc với nhau khi và chỉ khi 2 2

b a b

2

2 )

j i j j

Như vậy, điều kiện cần và đủ để hệ e1,e2, ,e n làm thành cơ sở giả trực chuẩncủa k

i i

a a

a e

i i

a a

1

j i i

e e e

Tương tự ta gọi Vn-k là không gian vectơ con sinh bởi t  k vectơ độc lập tuyếntính a k1, ,a n nói trong tiên đề *

4

E Nếu t  k thì V1 và Vn-k sẽ giao nhau theo một không gian có số chiều ít nhấtbằng t  k ta gọi c là một vectơ khác 0 của không gian này thì:

i i i

i i

i

i a a



Điều đó vô lý

Cũng tương tự như vậy, ta chứng minh rằng t  k cũng không xảy ra

Vậy t  k và định lý được chứng minh

Vậy đối với mọi cơ sở giả trực chuẩn bất kì ta cũng có k vectơ e i sao cho

i

e e i = -1 với i  k và n  k vectơ e i sao cho e i e i =1

u , ta có thể biểu thị u, v qua cơ sở này.

Vậy tích vô hướng của u, v như sau:







n j i

j i

j e e v u v

u

1

1 ,

j j k

.

j j k

i

i

u u

u

1 1

.

. qua đó cũng thấy tích u u có thể dương,

1 1

2 2

1 1

k k k m

k m

k m

k k k

E    1     

1 1

1 1 (2)

Khi k1 ứng với (1) ta thêm vào cơ sở giả trực chuẩn e1,e2, ,e m một vectơ

m i k

k j

.

.

j j k j j k

j j j j k

e u e

u

e u e

u

e e e

i i i k

k k k

m i i i k

k

a e a

u a a

e u

a

).

(

Hay u k.a k 0  u k a k mà a  k e i với mọi i

Suy ra a k e1,e2, ,e m1,u k  suy ra mâu thuẫn với giả thiết

0 )

(

i

i i k

Khi k1 > k ứng với (2) làm hoàn toàn tương tự

Lúc đó cơ sở e1 ,e2 , ,e m,e m1 là cơ sở giả trực chuẩn của 1 11



k m

Ngược lại, mỗi công thức có dạng như vậy đều là công thức đổi toạ độ từ cơ sởgiả trực chuẩn sang một cơ sở giả trực chuẩn khác hoàn toàn xác định

1.11 Định nghĩa

Cho hai không gian con P và Q của không gian vectơ giả Ơclit k

n

E P và Qđược gọi là vuông góc với nhau nếu với mọi x  P đều vuông góc với mọi vectơ

ii) W  W =  0

iii) W + W = k

n

E

iv) W không suy biến

(không gian giả Ơclit, không gian Ơclit là các không gian không suy biến)

d) Không gian 0 vuông góc với mọi không gian con

e) Nếu P và Q là các không gian con vuông góc với nhau thì P  Q { cácvectơ đẳng hướng}

0

0 ) , x

=> dim 

 W

=> W  W 0 (dim(W  W  )= n và dimW + dimW = n)

(iii) => (i): do  (x,y)  0 và x W với mọi y W => 

Vậy (i), (ii), (iii), (iv) là tương đương

d) Không gian 0 vuông góc với mọi không gian con

Điều này là hoàn toàn hiển nhiên

e) xPQ x2 0

 x {các vectơ đẳng hướng}

 P  Q {các vectơ đẳng hướng}

§2 ĐẲNG CẤU TRỰC GIAO 2.1 Định nghĩa

Không gian vectơ giả Ơclit k

Nếu hai không gian vectơ giả Ơclit đẳng cấu với nhau thì chúng đẳng cấu tuyến

tính với nhau, do đó chúng có cùng số chiều, các không gian lần lượt là k

n

n

E ,lại có:

i

i i n

i i

x x

1 1

1

)

( )

( )



i i n

i i

y y

1 1

1

)

( )

( )

i

t j

t i i

) ( ).

(

1 1

a)  : là phép biến đổi trực giao k

Tập hợp tất cả các phép biến đổi trực giao của không gian vectơ giả Ơclit k

Nếu phương trình của  có dạng:  x' A x  thì A* là ma trận chuyển  sang  '

(vì ,  ' đều là cơ sở giả trực chuẩn) A* và A là ma trận trực giao, suy ra 1



thuộc tập tất cả các phép biến đổi trực giao

Nếu   1 , 2 là hai phép biến đổi trực giao của k

BI B I

Cho không gian afin với nền là một không gian vectơ Nếu ta đưa vào không

gian vectơ nền một tích vô hướng để biến nó thành không gian vectơ giả Ơclit thìkhông gian afin tương ứng là không gian giả Ơclit

Như vậy, không gian giả Ơclit là một không gian afin mà nền là một khônggian vectơ giả Ơclit

Không gian giả Ơclit gọi là n chiều chỉ số k nếu nền của nó là không gian vectơgiả Ơclit n chiều chỉ số k

Không gian giả Ơclit là một không gian afin nên mọi tính chất và khái niệm vềkhông gian afin vẫn đúng trong không gian giả Ơclit

3.2 Định nghĩa

Mục tiêu { , }=1,2, ,n E E0 i của không gian giả Ơclit k

n

E sẽ gọi là mục tiêu trựcchuẩn nếu { , }=1,2, ,n E E0 i là một cơ sở giả trực chuẩn trong không gian vectơ

0

.

i i

3.3 Định nghĩa

Độ dài của một đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A, B, là môđun

của vectơ AB và kí hiệu d(AB)

Ta thấy rằng có những vectơ khác 0 lại vuông góc với chính nó, các đường thẳng

có phương trình sinh bởi các vectơ đẳng hướng thì gọi là đường thẳng đẳnghướng

Tập tất cả các đường thẳng đẳng hướng đi qua một điểm gọi là nón đẳng hướng

Nếu ta chọn hệ toạ độ afin 0, , , ,e e 1 2 e n và giả sử xi (i = 1, 2,…,n) là các toạ độafin của điểm M sao cho :

, 1

n j i

 

là một phương trình bậc hai

Vậy quỹ tích nói trên là một siêu nón bậc hai đỉnh O Tất cả các đường sinh đều

là những đường thẳng đẳng hướng với mọi đường thẳng song song với mộtđường thẳng đẳng hướng

Bởi vậy, siêu nón đẳng hướng tại O’ là ảnh của siêu nón đẳng hướng tại O quaphép tịnh tiến OO đối với hệ giả trực chuẩn thì phương trình của siêu nón đẳng

Hai phẳng vuông góc với nhau khi không gian phương của chúng thuộc tập các

vectơ đẳng hướng Phẳng P có không gian phương là không gian giả vectơ Ơclitthì PP tại một điểm duy nhất

dim(M + M’) = dimM + dimM’ – dim(V W) + 1

=> dim(M + M’) = n + 1 điều này vô lý

=> MM’  

Vậy MM’ tại một điểm

Cũng tương tự như trong không gian Ơclit, ta có tính chất sau:

3.7 Định nghĩa

Một phép biến đổi afin mà nền của nó là một phép biến đổi tuyến tính trực giao

gọi là phép giả dời hình của k

n

E Tương tự như trong không gian Ơclit ta có mệnh đề sau:

CHƯƠNG II KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI Trong chương này ta tập trung vào khảo sát không gian giả Ơclit với chỉ số 1 –

được gọi là không gian Lorentz-Minkowski

Xét không gian afin IRn với nền là không gian vectơ IRn Trên không gian vectơnày ta trang bị một tích vô hướng xác định bởi:

n n k

§1 ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC VECTƠ VÀ CÁC KHÔNG GIAN CON

TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI 1.1 Các đặc trưng của các vectơ:

1.1.1 Định nghĩa

+ Cho x  Ln

, x  0 Khi đó x được gọi là:

* vectơ tựa không gian nếu <x, x> > 0

* vectơ tựa thời gian nếu <x, x> < 0

* vectơ tựa ánh sáng nếu <x, x> = 0

+ Hai vectơ x, y  Ln được gọi là trực giao với nhau nếu <x, x> = 0

1.1.2 Nhận xét

(i) Hai vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau

(ii) Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính.

2 1 1 2

2 2

2 1

2 1

2 2

2 1 2 2 1

2 2

n n

b

c b a a

a a a

a a a a

a a

a                 

2

2 2 1

2 2

2 1 2

2 1

2 2

2 1

2 1

( )

)(

(

)

(

n

n n n

n n

n

n n n

b

c b a a

a b

b b

b a a

a

b

b a b

= ( )( 1 2 )

2 2

1

2 2

2 1

n

n n

b

c b a

2

1     

n n b

c a a

a

1

2 2

2

1 a a n a n

a      > 0 hay a, a > 0, mệnh đề được chứng minh

Chú ý: Một vectơ trực giao với một vectơ tựa không gian thì chưa hẳn là

vectơ tựa thời gian

1.2 Không gian con trong không gian Lorentz – Minkowski

1.2.1 Định nghĩa

Cho W là không gian vectơ con của Ln

(+) W được gọi là tựa không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ tựa không gianhoặc vectơ 0

(+) W được gọi là tựa thời gian nếu nó có chứa ít nhất một vectơ tựa thời gian (+) W được gọi là tựa ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ tựa ánh sáng vàkhông chứa vectơ tựa thời gian nào

1.2.2 Định lý (Xem [4])

Cho W là không gian vectơ con của Ln

(i) W được gọi là tựa không gian nếu và chỉ nếu <,>/W là xác định dương.(ii) W được gọi là tựa thời gian nếu và chỉ nếu <,>/W là không suy biến có





 x W x thì <x,x> > 0 hay <,>/w là xác định dương

Ngược lại, <,>/w là xác định dương  <x,x> > 0 x  0, x  W  W chỉchứa các vectơ tựa không gian hay W là tựa không gian.

(ii) Không gian 0 của <,> trên W

W0 = xW x,y  0 , yW

W là tựa ánh sáng nên x  0 ,xW sao cho <x,x> = 0

Mặt khác, W là tựa ánh áng nên y  W thì <x + ty, x + ty>  0 , t  R

 <x,y> = 0, y  W

 <,>/W suy biến

Ngược lại, <,>/W suy biến  x 0 ,xW sao cho <x,y> = 0, y  W

 <x,x> = 0, 0  x  W => x là vectơ tựa ánh sáng thuộc W

Giả sử W chứa ít nhất một vectơ tựa thời gian, nghĩa là  0 yW : x,y  <0

 <x,x> > 0 (mâu thuẫn với x là vectơ tựa ánh sáng)

 W không chứa vectơ tựa thời gian nào

Vậy W là tựa ánh sáng

(iii) W là tựa thời gian Giả sử <,>/W là suy biến  W là tựa không gian (vôlý)

 <,>/W là không suy biến chỉ số 1

Ngược lại, <,>/W là không suy biến chỉ số 1

 Tồn tại không gian {0} AW sao cho <,>/A là xác định âm

  0 xA:  x,x <0  x là vectơ tựa thời gian

 W là tựa thời gian

1.2.3 Định nghĩa

Cho  là m - phẳng trong Ln  được gọi là m - phẳng tựa không gian, tựathời gian, tựa ánh sáng nếu không gian chỉ phương W của  tương ứng là tựakhông gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng

(+) HP(q,c) là siêu phẳng tựa không gian:

=> W là tựa không gian

=> W chỉ chứa các vectơ tựa không gian hoặc vectơ 0

Giả sử q  W => 2 2 0

1

2 2

2

1 q  q n  q n 

q

=> q,q  0 => q là vectơ tựa thời gian.

Ngược lại, q là vectơ tựa thời gian

Giả sử 0 x  W ta có x,q  0 => x là vectơ tựa không gian => W chỉ chứa cácvectơ tựa không gian => W tựa không gian => HP(q,c) là siêu phẳng tựa khônggian

(+) HP(q,c) là siêu phẳng tựa thời gian

=> W tựa thời gian

=>  0 x  W sao cho x,x  0

Mà (q,x) = 0 => q là vectơ tựa không gian

Ngược lại, q là vectơ tựa không gian

Mà q,x  0 => q là vectơ tựa không gian, mâu thuẫn

Vậy, W không chứa vectơ tựa thời gian nào

=> W là tựa ánh sáng

1.2.6 Định lý (Xem [4])

Giả sử f là phép đẳng cấu trực giao trên Ln Khi đó, qua f, các không gian tựakhông gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng tương ứng biến thành không gian tựakhông gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng

Chứng minh:

Giả sử f là phép đẳng cự trên Ln W1; W2; W3 lần lượt là các không gian con tựakhông gian, tựa thời gian, tựa ánh sáng của Ln W1’; W2’; W3’ lần lượt là ảnh củacác không gian con W1; W2; W3 qua f

(+) W1' f(W1 )  f(x)xW1

Ta có: 0  W1 => 0 = f(0)  W1’

Lấy y  W1’ => x  W1 sao cho y = f(x)

=> y,y  f(x), f(x)  x,x  0

=> y là vectơ tựa không gian

Vậy W1’ là tựa không gian

(+) W2' f(W2 ) f(x)xW2

Ta có: W2 là tựa thời gian

=> x  W2 sao cho x là tựa thời gian

=> y là vectơ tựa thời gian

=> W2’ tựa thời gian

=> x  W3 sao cho f(x) = y

Mà x,x  f(x), f(x)  y,y  0

=> x là vectơ tựa ánh sáng (mâu thuẫn với W3 là tựa ánh sáng)

W3’ không chứa vectơ tựa thời gian nào

Vậy W3’ là tựa ánh sáng

§2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ.

ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG THẲNG TỰA THỜI GIAN.

Trên cơ sở bất đẳng thức Cauchy – Schwarz trong không gian Ơclit, trongphần này ta chủ yếu nghiên cứu bất đẳng thức này đối với các loại vectơ trongkhông gian Lorentz – Minkowski và ứng dụng để so sánh độ dài đường tựa thờigian

2.1 Định nghĩa

Giả sử x là một vectơ trong Ln Độ dài của vectơ x được kí hiệu là x và xácđịnh bởi x = x  x (ta có thể viết x  để thay cho x x, x trong các phầnchứng minh sau) x là một số phức, nên x hoặc là dương, hoặc bằng 0, hoặcthuần ảo Ta kí hiệu x là môđun của x

Nếu x là một vectơ của Rn-1 có tọa độ là (x2, x3, …, xn), ta có:

2 2 2

x x

x    , trong đó x là độ dài của x

Nếu x và y là các vectơ của Ln, ta có xy   x1y1 x.y Một vectơ tựa thời gian

x được gọi là dương (âm) khi và chỉ khi x1 > 0 ( x1 < 0)

2.2 Định nghĩa

Một ma trận A cấp n  n được gọi là ma trận Lorentz khi và chỉ khi có ánh xạtuyến tính A: Ln  Ln xác định bởi A(x) = Ax là phép biến đổi Lorentz (là đẳngcấu trực giao trên Ln) Tập hợp tất cả các ma trận Lorentz A cùng với phép nhân

ma trận làm thành nhóm O(1, n-1), gọi là nhóm Lorentz của ma trận cấp n  n

A O(1, n-1) là nhóm dương sao cho Ax là tựa thời gian dương khi x tựa thờigian dương Khi đó, PO(1, n-1) = { A O(1, n-1), A là ma trận dương}

Tập hợp các ma trận dương trong O(1, n-1) được kí hiệu là PO(1, n-1), hay còngọi là nhóm Lorentz dương

2.3 Định lý (Xem [4])

Giả sử x, y là vectơ tựa thời gian dương (âm) trong Ln Thế thì xy  x y

khi và chỉ khi x và y là hệ phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh:

Ta có A trong PO(1, n – 1) sao cho Ax = te1 Vì A bảo toàn tích Lorentz, khi

đó ta có thể thay x và y bởi Ax và Ay Do vậy, ta có thể giả thiết rằng x = x1e1,khi đó ta có:

x 2 y 2  x2 (  y2  y2) x2y2  x2 y2 x2y2  (xy) 2

và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y  0, có nghĩa lày  y1e1, tức là x và y phụthuộc tuyến tính Vì x  y x1y1  0, ta có: xy  x y và đẳng thức xảy rakhi và chỉ khi x và y là hệ phụ thuộc tuyến tính

0 1 0

0 0 1

Tích Lorentz của vectơ x và y được xác định bởi: xy J(xy)