Một số vấn đề về cân bằng tiệm cân của phương trình vi phân

Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân……….….16 trong không gian Banach.. Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân……….….27 tuyến tính trong không gian Hilbert.. Cân bằng tiệm cận củ

MỤC LỤC

Trang

Mục lục……….1 Lời mở đầu……… ….2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị……….… 4

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert… 4 1.2 Toán tử tuyến tính và toán tử tuyến tính bị chặn……… … 4

1.3 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính ……… 7

Chương 2 Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân ………….… 16

2.1 Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân……….….16 trong không gian Banach

2.2 Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân……….….27 tuyến tính trong không gian Hilbert

2.3 Cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân……… 33 tuyến tính trong không gian ℝn

Kết luận……… 35 Tài liệu tham khảo……… … 36

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết địnhtính phương trình vi phân Nghiên cứu tính cân bằng tiệm cận củanghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach, Hilbert là mộttrong những hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuy Õt ph¬ng tr×nh viph©n Vấn đề này đang được nhiều tác giả quan tâm như: A.Wintner;L.Cezari; Nguyễn Thế Hoàn; Nguyễn Minh Mẫn; Nguyễn Sinh Bảy, Trên cơ sở tham khảo các tài liệu về lý thuyết phương trình viphân và lý thuyết ổn định của tác giả Hoàng Hữu Đường [3], NguyễnThế Hoàn, Nguyễn Minh Mẫn [5], Ph¹m Ngäc Béi [2],…dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội, tác giả đã chọn đề

tài nghiên cứu "Một số vấn đề về cân bằng tiệm cận của phương trình

vi phân" Nội dung của đề tài được thể hiện trong hai chương như sau:

Chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm và một số định lý

cơ bản của giải tích hàm được sử dụng trong chương 2

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương nàychúng tôi trình bày các phần như sau:

Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày khái niệm và chứng minh cáctính chất về sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân trongkhông gian Banach

Trong mục 2.2, chúng tôi trình bày khái niệm và chứng minh cáctính chất về sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tínhtrong không gian Hilbert

Trong mục 2.3, chúng tôi trình các tính chất của sự cân bằng tiệmcận của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian ℝn

Các kết quả của luận văn đã được trình bày trong các tài liệu thamkhảo (chủ yếu trong tài liệu tham khảo [2], [3], [5], hoặc chỉ là các kếtquả được viết dưới dạng gợi ý của các tài liệu tham khảo) Tác giả đã

tập hợp, chứng minh chi tiết các kết quả đó và tập hợp các vấn đề đótheo một hệ thống phù hợp với chủ đề đã chọn.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoaToán trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS Đinh Huy Hoàng,PGS.TS Tạ Khắc Cư, PGS.TS Trần Văn Ân và các thầy cô giáo trongkhoa Sau Đại học trêng §¹i häc Vinh, các thầy cô trong Phòng Quản

lý Khoa học - Sau Đại học trường Đại học Vinh, các bạn học viên Caohọc 15 Giải tích đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và làm luận văn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn đến Sở giáo dục và đào tạoNghệ An, Phßng gi¸o dôc Nam §µn vµ trường thcs Hng Th¸i NghÜa

và các đồng nghiệp đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi để tác giảtham gia khóa học này

1.1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUÈN VÀ KHÔNG GIAN BANACH

1.1.1 Định nghĩa Một tập hợp L được gọi là một không gian định

chuẩn thực (phức) nếu

1) L là một không gian tuyến tính trên trường số thực (phức)

2) Với mỗi vectơ x L được xác định một số thực không âm x ,

được gọi là chuẩn của x, khi có các tính chất sau

a) x 0 khi và chỉ khi x = 0, với mọi x  L;

b) x   x , với mọi x  L,  K (K = ℝ hay K= ℂ);

c) xy x  y , với mọi x y , L.

1.1.2 Chú ý Hàm  ( , )x y  x y trong không gian định chuẩn L xác định một metric để L là một không gian metric.

1.1.3 Định nghĩa Cho L là một không gian định chuẩn, dãy

 x n  L được gọi là dãy Cauchy nếu n m,lim x n x m 0.

1.1.4 Định nghĩa Một không gian định chuẩn L được gọi là kh«ng

gian Banach nếu L là đầy đủ theo metric  ( , )x y  x y

1.1.5 Định nghĩa Một dạng Hermite trên không gian tuyến tính L

là hàm  : L  L  K thỏa mãn các điều kiện

Không gian tuyến tính L cùng với một tích vô hướng trên L gọi là

không gian tiền Hilbert.

Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert

1.2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ TOÁN TỬ TUYÕN TÍNH BỊ CHẶN

1.2.1 Định nghĩa Cho B1 và B2 là các không gian Banach Một

ánh xạ A: B1  B2 được gọi là một toán tử tuyến tính nếu

A(ax + by) = aAx + bAy

với mọi số a, b K và với mọi x y , B1.

1.2.2 Chú ý 1) Một toán tử tuyến tính là liên tục nếu nó liên tục

tại 0

2) Tính liên tục tương đương với tính bị chặn của

toán tử A, nghĩa là có số hữu hạn

1 1

được ký hiệu bëi [B1,B2] Tập này là một không gian Banach với

chuẩn (1.1) với phép cộng toán tử, phép nhân một toán tử với một sốđược định nghĩa như sau

( A+ B)x = Ax + Bx,(aA)x = a(Ax),

với mọi x  B1, aK.

Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ một không gian B vàochính nó được ký hiệu bởi [B]

2) Hai không gian Banach B1 và B2 được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại

ánh xạ một - một f liên tục sao cho f  cũng liên tục.1

1.2.4 Định lý (Banach) Giả sử toán tử A[B1,B2 ] là ánh xạ một

- một từ không gian Banach B1 lên không gian Banach B2 Khi đó

toán tử ngược A 1 là tuyến tính và bị chặn A 1[B1,B2 ] và như vậy

1.2.5 Hệ quả Giả sử đã cho trong không gian tuyến tính L hai

chuẩn x1và x 2sao cho ứng với hai không gian Banach B1 và B2 và

có bất đẳng thức x 2 c x1 1(xL với c) 1 là hằng số dương Khi đó tồn tại một hằng dương c 2 sao cho x1c x2 2 và các chuẩn x và 1 x 2tương đương.

1.2.6 Định lý (nguyên lý bị chặn đÒu) Giả sử U là một tập hợp

1.2.7 Nhận xét Định lý này chỉ ra rằng nếu dãy toán  A  n

[B1,B2 ], n=1,2,…hội tụ tại mỗi phần tử x B1, đẳng thức Axnlim A x n xác định một toán tử tuyến tính liên tục A[B1,B2 ].

1.2.8 Định nghĩa Cho B là một không gian Banach phức Một

phần tử  của mặt phẳng phức được gọi là phần tử chính quy của toán

tử A[B] nếu [B] chứa toán tử R (A  ) 1

  

1.2.9.Định nghĩa Tập hợp tất cả các phần tử chính qui của toán tử

A được gọi là giải thức của toán tử A, kí hiệu là (A)

1.2.10 Định nghĩa Phần bù của  ( )A được gọi là phổ của toán tử

A, kí hiệu là  (A).

1.2.12 Định nghĩa (¸nh xạ co) Giả sử M là một tập con đóng bất

kỳ của không gian Banach B Giả sử S là toán tử (không nhất thiết tuyến tính ) ánh xạ M vào chính nó S được gọi là ánh xạ co nếu tồn

tại q < 1 sao cho với mọi x y  , , thì

Sx Sy q x y . (1.4)

1.2.13 Định lý ([7]) Giả sử S, M là các đối tượng nói trong Định

nghĩa 1.2.12 và giả sử toán tử S n là toán tử co với n là số tự nhiên,

Để đơn giản về mặt lý thuyết chúng ta chỉ xét các phương trình có

hệ số đo được mạnh và khả tích theo nghĩa Bochner

Sau đây là một số định nghĩa cơ bản (xem[9])

1.3.1.1 Định nghĩa Một hàm vectơ x t( ) trên một khoảng hữu hạn

hay vô hạn Ja b,  với giá trị trong không gian Banach B được gọi là

có giá trị đếm được nếu nó lấy trên J a b,  không lớn hơn một số đếm

được x k  0 (k 1, 2 ) các tập E k t x t( ) x k (k  1, 2 ) là đo đượcLebesgue

1.3.1.2 Định nghĩa Một hàm có giá trị đếm được khả tích

Bochner trên a b,  nếu hàm số x t( ) khả tích Lebesgue trên a b, 

Tích phân Bochner của hàm có giá trị đếm được được xác định bởicông thức

trong đó mE k là độ đo Lebesgue của tập E k

1.3.1.3 Định nghĩa Một hàm liên tục x t( ) được gọi là đo được

mạnh trên a b,  nếu nó là giới hạn của một dãy hội tụ hầu khắp nơi cáchàm x t n( ) có giá trị đếm được ở trên đoạn đó

Nếu một hàm x t( ) đo được mạnh trên a b,  thì hàm x t( ) là đo đượctheo nghĩa Lebesgue

1.3.1.4 Định nghĩa Nếu hàm x t( ) đo được mạnh trên a b,  và

( )

x t cũng khả tích trên a b,  , thì hàm x t( ) được gọi là khả tích theo

nghĩa Bochner (hay khả tích mạnh) trên a b, 

Hàm x t( ) khả tính theo nghĩa Bochner trên a b,  khi và chỉ khi x t( )

là giới hạn hầu khắp nơi của dãy hàm x t n( )có giá trị đếm được trên sao

cho tồn tại giới hạn lim ( )

b n n a

x t dt

  , hơn nữa giới hạn này không phụ

thuộc vào việc chọn dãy hàm x t n( ). Khi đó ta gọi lim ( )

b n n a

x  dt

  là tích

phân theo nghĩa Bochner của hàm x t( )và viết là ( ) ( )

b a

x t dt

  (hay đơn

giản hơn là ( )

b a

x t dt

1.3.1.5 Chú ý 1) Các tính chất của tích phân Bochner hoàn toàn

tương tự như tính chất của tích phân Lebesgue (tính tuyến tính, đếmđược, cộng tính )

t t

là đúng với hầu hết tất cả các giá trị ta b,  và trong trường hợp đặcbiệt, hàm

y t( ) t x( )d

a  

là liên tục và khả vi hầu khắp nơi trên  a b, 

Từ nay về sau ta gọi hàm y t( ) biểu diễn được dạng (*) là khả vi

theo nghĩa Bochner Tương tự như vậy đối với hàm toán tử khả vi theo nghĩa Bochner.

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm phương trình vi phân tuyến tính

Ta xét phương trình vi phân (1.5) trong không gian Banach B

trong đó t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn J

Nghiệm của phương trình (1.5) được hiểu là một hàm liên tục x t( )

khả vi theo nghĩa Bochner và tháa mãn (1.5) hầu khắp nơi Do đó,

theo định nghĩa về nghiệm, nghiệm của phương trình (1.5) là nghiệm của phương trình tích phân sau đây

Từ nay về sau ta xét phương trình (1.5) với giả thiết f t( ) liên tục

và A(t) là liên tục mạnh (nghĩa là hàm vectơ A(t) là liên tục với bất kì

x B, mỗi nghiệm của phương trình (1.5) là khả vi liên tục tại mỗi

điểm t J và hệ thức (1.5) được tháa mãn khắp nơi trong J.

1.3.2.1 Định lý Với giả thiết về A t( ) và f t( ) như trên, trong mỗi đoạn a b ,  J, phương trình (1.5) có nghiệm duy nhất.

Chứng minh Thay cho phương trình (1.3.2) ta sẽ xét phương

trình tổng quát hơn

0

( ) ( ) ( ) ( )

t t

x t g t A x  d (1.7)

với một hàm vectơ liên tục g t( )trên J và suy ra rằng ở trên mỗi khoảng

hữu hạn bất kì a b ,  J nó có một nghiệm liên tục.

Gọi C(B;a b, ) kí hiệu không gian Banach của các hàm liên tục trên

a b,  nhận giá trị trong B và chuẩn x t a b max,  x t  Trong không giannày, ta xét toán tử

         

0

t t

Sx t g t A  x  d ,

®ược xác định bởi vế phải của phương trình(1.7) Toán tử này tácđộng C(B) vào chính nó Từ đó, hiển nhiên hàm Sx t   là liên tục.Không khó khăn khi thử lại tính đúng đắn các hệ thức

( ) ( ) ( ) ,

t t

x t x A x d

nó tương đương với phương trình vi phân

dx A t x( ) ,

dt  (1.13)với điều kiện đầu

x t( ) 0 x0 (1.14)Nghiệm của bài toán Cauchy (1.13) - (1.14) nhận được bằng cách đặt

Gọi U(t) là toán tử tuyến tính sao cho

Chuỗi (1.15) được làm trội bởi chuỗi nằm trong dấu ngoặc của(1.11)

và do đó hội tụ đều theo chuẩn toán tử (nghĩa là ở trong [ B] trênkhoảng a b,  ) Sử dụng toán tử U(t), nghiệm của bài toán Cauchy

(1.13)-(1.14) được biễu diễn bởi công thức

x t( ) U t x( ) 0 (1.16)Từ(1.12) ta có ước lượng

0

( ) exp ( )

t t

1.3.3 Công thức nghiệm của phương trình không thuần nhất

Xét bài toán Cauchy (1.5) với điều kiện đầu (1.14) Sự tồn tại vàtính duy nhất nghiệm của nó được chứng minh ở mục 1.3.2 ta sẽ tìmnghiệm của nó, nghiệm đó được viết dưới dạng x t( ) U t y( ) , với U(t) là

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t

x t U t x U t U  f  d (1.19)

1.3.4 Toán tử giải của phương trình

1.3.4.1 Định nghĩa Kí hiệu U t( , )  U t U( ) 1 ( )  Toán tử U t ( , )

được gọi là toán tử giải của phương trình (1.9)

x t U t t x U t  f  d (1.21) 3) U t t( , ) I;

7) Khi A(t)= A(toán tử hằng) thì U t s( , ) e A(t-s), trong đó e (hay

exp(X)) là hàm mũ của toán tử X được định nghĩa như sau.

n C

C©n b»ng tiÖm cËn cña ph¬ng tr×nh

vi ph©n2.1 C©n b»ng tiÖm cËn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n

trong kh«ng gian banach

2.1.1 C©n b»ng tiÖm cËn cña ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh

Xét phương trình

, ( ) ( ) ( ).

x t A t x t (2.1) Trong không gian Banach B, với A t ( ) [B] (không gian các toán tửtuyến tính bị chặn của B) và A t( ) liên tục mạnh trên 0, .

Ký hiệu . và . tương ứng là chuẩn trong B và trong [B]

2.1.1.1 Định nghĩa ([2]) Phương trình vi phân tuyến tính (2.1)

được gọi là có cân bằng tiệm cận nếu

a) Tồn tại lim ( )t x t với mỗi nghiệm x t( )của phương trình (2.1) b) Với mỗi u B, tồn tại duy nhất nghiệm x t( )của phương trình(2.1) sao cho lim ( )t x t u.

Phương trình tuyến tính có cân bằng tiệm cận được nhiÒu tác giảquan tâm nghiên cứu Người ta đã chỉ ra nhiều điều kiện đủ để phươngtrình (2.1) có cân bằng tiệm cận L.Cezari đã chứng minh rằng nếu

0  ( )t dt  

 thì phương trình (2.1) có cân bằng tiệm cận Trong [5]

Nguyễn Thế Hoµn, Nguyễn Minh MÉn đã chứng minh một số điềukiện để phương trình (2.1) có cân bằng tiệm cận trong không gianBanach

Xét phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu

x t, ( ) [ ( ) A t B t x t( )] ( ). (2.2) Sau đây chúng tôi chứng minh một vài tiêu chuẩn để phương trình(2.1) có cân bằng tiệm cận Từ đó chúng tôi tìm được một vài điều

kiện đủ để phương trình với nhiễu tuyến tính (2.2) có cân bằng tiệmcận.

2.1.1.2 Định nghĩa Hàm toán tử H t ( ) [B] được gọi là liên tục

mạnh trên 0,  nếu hàm H t u( ) liên tục trên 0,  với mỗi u B Hàm toán tử H t ( ) [B] được gọi là hội tụ mạnh về K  B khi

Ở đây ta xét phương trình (2.1) trong không gian Banach B và

A(t ) thuộc [B], A(t) liên tục mạnh theo t 0, 

2.1.1.3 Định lý ([2]) Giả sử A(t) kh¶ nghịch với t 0,  Nếu tồn tại hàm f: 0,   0,  khả tích trên 0,  và hằng số dương

2.1.1.4 §Þnh lý ([2]) Phương trình (2.1) có tiệm cận khi và chỉ

khi phương trình (2.4) có nghiệm V(t) tháa mãn

a) V(t) hội tụ mạnh về toán tử W  [B] khi t   và W 1

[B] b) Tồn tại T [0,  )sao cho V(T) khả nghịch

Chứng minh Cách chứng minh định lý này tương tự phương pháp

chứng minh được trình bày trong [5] Ký hiệu X(t) là toán tử Cauchy chuẩn hóa tạo t = 0 của phương trình (2.1) Giả sử (2.1) có cân bằng

tiệm cận