Một số tính chất về chiều của không gian tô pô

Giả sử X là một không gian tôpô chính quy.. Ngợc lại, giả sử X là không gian tô pô chính quy thoả mãn điều kiện của mệnh đề... Một không gian tôpô chính quy X thoả mãn ind X = 0 đợc gọi

chơng I Chiều urysohn- menger của không gian tôpô

Đ 1 Định nghĩa và các tính chất của chiều IND.

1.1.Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô chính quy Ta nói

(MU4) ind X = ∞ nếu ind X > n, ∀n = -1, 0, 1, 2,

1.2 Mệnh đề Các điều kiện (MU 1 ) - (MU 4 ) cho tơng ứng mỗi không gian tôpô chính quy X với một số nguyên ind X ≥ -1 hoặc bằng ∞.

Chứng minh Nếu X = φ thì ind X = -1 (MU1)

Giả sử X ≠φ và giả sử không có số nguyên nào n ∈N để

ind X = n, có nghĩa là1) Hoặc với mọi n ∈N, thì ind X ≤ n không xảy ra, suy ra

ind X = ∞ (MU4)

2) Hoặc tồn tại n ∈ N sao cho có ind X ≤ n và ind X ≤ n -1 Nh vậy, ind X ≤ n-1

Nhng vì không có số nguyên k nào cho ind X = k, nên ind X ≤ n -2

đúng, Cứ tiếp tục nh vậy, ta có ind X ≤ 0 và ind X ≤ -1 Nhng do

X ≠φ nên ind X ≤ -1-1 không xảy ra

Bổ đề đã đợc chứng minh

Số ind X đợc gọi là chiều Urysohn- Menger hoặc chiều quy nạp bé.

Ta có nhận xét rằng nếu X và Y là hai không gian tôpô đồng phôi thì ind X = ind Y Thật vậy, trớc hết ta chứng minh bổ đề sau.

1.3 Bổ đề. Nếu X và Y là hai không gian tôpô đồng phôi thì ind X ≤ n khi và chỉ khi ind Y ≤ n.

Chứng minh: Ta giả thiết n < ∞ vì trờng hợp n = ∞ là hiển nhiên.Với n = -1, khi đó X = φ vì X ≅ Y do đó ind X = -1 = ind Y

Giả sử rằng mọi không gian tôpô chính quy X đồng phôi với không gian tôpô chính quy Y và từ ind X ≤ n -1 ta suy ra ind Y ≤ n -1 Ta chứng minh khẳng định đúng cho n

Giả sử ind X ≤ n, y ∈ Y và Vy là một lân cận của y trong Y.Khi đó h

-1( Vy) là lân cận của h-1( y) trong X,ở đây h là ánh xạ đồng phôi từ X vào Y

Do ind X ≤ n nên tồn tại một lân cận W của h-1(y) trong X sao cho

h-1(y) ∈ W ⊂ h-1(Vy) và ind FrW ≤ n -1 (MU2)

Vì vai trò của X và Y là nh nhau nên ta có điều phải chứng minh

1.4 Hệ quả Nếu X và Y là các không gian tôpô chính quy đồng phôi thì ind X = ind Y.

Chứng minh: Thật vậy, nếu n < ∞ và giả sử ind X = n thì ind X ≤ n, khi đó theo bổ đề 1.3 ta có ind Y ≤ n

Vì ind X = n nên ind X ≤ n -1 là không đúng (MU3)

Giả thiết rằng ind Y ≤ n -1 là đúng Khi đó ind X ≤ n -1 dẫn đến mâu thuẫn Vậy ind Y≤ n-1 là không đúng

Do đó ind Y= n.

Giả sử ind X = ∞ nếu ind Y = m <∞ thì do ind Y ≤ m nên

ind X ≤ m <∞ (mâu thuẫn).Vậy nếu ind X = ∞ thì ind Y = ∞

Hệ quả đã đợc chứng minh

1.5 Mệnh đề. Bất đẳng thức ind X ≤ n, n = 0, 1, 2, xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở B của không gian X sao cho ind Fr U ≤ n -1, với mọi U ∈ B.

Chứng minh: Giả sử x ∈ X và Vx là lân cận của x trong X Khi đó, tồn tại lân cận Ux của x trong X sao cho

x ∈ Ux ⊂ Vxvà ind FrUx≤ n -1 (MU2)

Gọi B = {Ux: ind FrUx ≤ n -1, ∀x ∈ X}

Ta có B là cơ sở cần tìm

Ngợc lại, giả sử tồn tại cơ sở B của không gian X sao cho

ind FrU ≤ n -1 với mọi U ∈B Khi đó với mọi x ∈ X, với mọi lân cận V của

x, tồn tại lân cận U ∈B sao cho x ∈ U ⊂ V và ind FrU ≤ n -1

Do đó ind X ≤ n (MU2)

Mệnh đề đã đợc chứng minh

Tính chất chính quy của không gian tôpô là tính chất "di truyền" nên

ta có thể định nghĩa khái niệm chiều ind cho không gian con M của X

1.6 Mệnh đề. Với mỗi không gian con M của không gian tôpô chính quy X, ta đều có ind M ≤ ind X.

Chứng minh Định lý hiển nhiên đúng khi ind X = ∞ Do đó có thể giả thiết ind X = n < ∞

Ta chứng minh định lý bằng phơng pháp quy nạp theo chiều ind X

Rõ ràng, bất đẳng thức đúng khi ind X = -1

Giả sử định lý đã đợc chứng minh cho mọi không gian tôpô chính quy

có chiều ind X ≤ n-1, n ≥ 1 Giả sử x ∈ M và V là một lân cận của x trong M Theo định lý tôpô con tồn tại tập mở U1 của x trong X sao cho:

Do đó theo giả thiết quy nạp thì ind Fr MU ≤ n -1

Vậy ind M ≤ n = ind X

Mệnh đề đã đợc chứng minh

1.7 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, A và B là hai tập rời

nhau của X Ta nói rằng, một tập L ⊂ X là cái phân cách giữa A và B nếu

tồn tại các tập con mở U, V ⊂ X sao cho

Rõ ràng, cái tách T là cái phân cách khi và chỉ khi T là tập đóng

1.8 Mệnh đề. Không gian chính quy X thoả mãn bất đẳng thức

ind X ≤ n, n ≥ 0, nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ X, với mỗi tập đóng B ⊂ X,

x ∉ B, tồn tại cái phân cách L giữa x và B sao cho ind L ≤ n - 1.

Chứng minh: Giả sử X là không gian tôpô chính quy thoả mãn điều

kiện ind X ≤ n , n ≥ 0

Ta hãy xét một điểm x ∈ X và một tập đóng B ⊂ X sao cho x ∉ B

Khi đó tồn tại lân cận V của x trong X sao cho V ⊂ X \ B và một tập mở U ⊂ X sao cho: x ∈ U ⊂ V và ind Fr U≤ n - 1.

Ta thấy, L = Fr U là cái phân cách giữa x và B vì các tập U và

W = X\ U thoả mãn điều kiện (1)

Thật vậy, ta có x ∈ U còn B ⊂ X\V ⊂ X\ U = W

Rõ ràng U ∩ W = U ∩ (X\U) = φ

Mặt khác

X \ L = X \ FrU = X\ [U ∩ (X \ U)] = (X \ U) ∪ U = W ∪ U

Ngoài ra do L = FrU nên ind L ≤ n - 1

Ngợc lại, giả sử X là không gian tô pô chính quy thoả mãn điều kiện của mệnh đề

Xét điểm x ∈ X và lân cận V của x Giả sử L là cái phân cách giữa x

và B = X \ V sao cho ind L ≤ n - 1

Gọi U và W là các tập mở trong X thoả mãn (1)

Đ 2 Các định lý tách không chiều.

2.1 Định nghĩa Một không gian tôpô chính quy X thoả mãn ind

X = 0 đợc gọi là không gian 0- chiều.

2.2 Mệnh đề Một không gian tôpô chính quy X là 0- chiều khi và chỉ khi X ≠φ và với moị x ∈ X, với mỗi lân cận V của x trong X, tồn tại lân cận vừ đóng, vừa mở U ⊂ X sao cho x ∈ U ⊂ V.

Trớc hết , ta chứng minh bổ đề sau

2.3 Bổ đề Tập con A ⊂ X vừa đóng, vừa mở khi và chỉ khi FrA = φ.

Chứng minh: Thật vậy, ta có FrA = A \ Int A Do đó, nếu FrA = φ thì A = IntA và do Int A ⊂ A ⊂ A nên Int A = A = A Vì vậy, A vừa đóng, vừa mở

Ngợc lại, nếu A là tập vừa đóng, vừa mở tức Int A = A

thì FrA = A\ Int A = φ

Chứng minh mệnh đề 2.2 Giả sử X là không gian tôpô chính quy

0-chiều, x ∈ X và V là lân cận của x trong X Do ind X = 0 nên có một lân cận

U của x trong X sao cho x ∈ U ⊂ V và ind Fr U ≤ -1, tức là:

FrU = φ (MU1) Vậy U là tập vừa đóng, vừa mở (bổ đề 2.2)

Điều ngợc lại của mệnh đề 2.2 là hiển nhiên

Khi đó, ind M > -1 và ind M ≤ ind X = 0, nên ind M = 0

Hay M là không gian 0 - chiều

2.5 Mệnh đề Một không gian tôpô chính quy X là 0-chiều nếu và chỉ nếu X ≠φ và với mỗi x ∈ X, với mỗi tập đóng B ⊂ X sao cho x ∉ B, tập φ

là cái phân cách giữa x và B.

Chứng minh Giả sử X là không gian tôpô chính quy không rỗng

0- chiều x ∈ X và B là tập con đóng trong X sao cho x ∉ B

Do X là không gian chính quy, x ∉ B là tập hợp đóng trong X nên tồn tại lân cận mở V của x sao cho V ∩ B = φ Khi đó B ⊂ X\ V

Do X là không gian 0 - chiều, nên có một lân cận vừa đóng, vừa mở

U ⊂ X sao cho x ∈ U ⊂ V và Fr U = φ (theo bổ đề 2.3)

Ta có:

X \ φ = X \ FrU = X\ [U∩ (X \ U)] = (X\U) ∪ U

Rõ ràng, B ⊂ X \ U và x ∈ U

Do đó FrU = φ là cái phân cách giữa x và B

Ngợc lại, giả sử X ≠φ là không gian tôpô chính quy có tính chất trên Xét điểm x ∈ X và lân cận mở V của x trong X Khi đó B = X \ V là tập

Vì một không gian mêtric tách đợc là một không gian có cơ sở đếm

đ-ợc trù mật, nên kết quả sau đây là hiển nhiên

2.6 Mệnh đề. Giả sử X là không gian mêtric tách đợc Khi đó, ind

X = 0 khi và chỉ khi X ≠φ và X có sơ sở đếm đợc vừa đóng, vừa mở.

Họ trên là tập mở trong P vì (a, b) là tập mở trong R Họ trên đóng trong R

vì P ∩ (a,b) = P ∩ [ a, b] và [a, b] đóng trong R.

b) Tơng tự, không gian các số hữu tỷ Q nằm trong R là không gian 0 -

chiều

c) Tổng quát hơn, nếu X là không gian mêtric thoả mãn điều kiện 0

< X < c (lực lợng continum) thì ind X = 0 Thật vậy, với mỗi x ∈ X, với mỗi lần cận V của x trong X, tồn tại số r > 0 sao cho B(x , r) ⊂ V và một số dơng t < r sao cho ρ(x, y) ≠ t, ∀ y ∈ X trong đó ρ là mêtric trong X Do X

< c, nên tồn tại số t nh vậy

Tập hợp U = B (x,t) thoả mãn điều kiện x ∈ U ⊂ V và vừa đóng, vừa

mở vì FrU = {y ∈ X: ρ(x, y) = t} = φ

2.8 Định lý tách thứ nhất về chiều không.

Nếu X là một không gian mêtric tách đợc 0 - chiều , với mỗi cặp A

và B các tập con đóng rời nhau của X thì tập rỗng là cái phân cách giữa A

và B, nghĩa là tồn tại một tập vừa mở, vừa đóng U ⊂ X sao cho A ⊂ U và

B ⊂ X \ U.

Chứng minh Giả sử x ∈ X Khi đó, tồn tại một tập vừa đóng, vừa mở

Wx ⊂ X sao cho x ∈ Wx và

(1) Hoặc A ∩ Wx = φ hoặc B ∩ Wx = φ

Thật vậy, do A ∩ B = φ nên hoặc x ∉ A hoặc x ∉ B

Nếu x ∉ A thì x ∈ X \ A Khi đó theo mệnh đề 2.2 tồn tại một lân cận vừa đóng, vừa mở Wx của x sao cho x ∈ Wx ⊂ X \ A

Vậy Wx ∩ A = φ

Còn nếu x ∉B, lập luận tơng tự, tồn tại một lân cận vừa đóng, vừa mở

Wx của x sao cho Wx ∩ B = φ

Do X là không gian mêtric tách đợc , nên cơ sở {Wx}x ∈ X của không gian X có một cơ sở con đếm đợc {Wxi}∞

Định lý đã đợc chứng minh.

2.9 Định nghĩa Ta nói hai tập con A và B của không gian tôpô X là

tách nhau nếu A ∩ B = A ∩ B = φ

Ta nhận thấy rằng

(1) Các tập A và B là tách nhau khi và chỉ khi chúng là các tập vừa

đóng, vừa mở rời nhau trong không gian con A ∪ B của X

Thật vậy, giả sử A và B là hai tập tách nhau Gọi B~ là bao đóng của B trong A ∪ B thì

B

~ = B ∩ (A ∪ B) = (B∩ A) ∪ (B ∩ B) = Btức B đóng trong A ∪ B

Tơng tự, A đóng trong A ∪ B

Do A = (A ∪ B) \ B và B = (A ∪ B) \ A nên A và B là các tập mở.Ngợc lại, nếu A và B là các tập vừa đóng, vừa mở trong A∪B và A∩B

= φ Khi đó:

A ∩ B = [A ∩ (A ∪ B)] ∩ B = A~ ∩ B = A ∩ B = φTơng tự

Nghĩa là φ là cái phân cách giữa A và B

Ngợc lại, nếu φ là cái phân cách giữa A và B trong A ∪ B và A ∩

B = φ Khi đó, tồn tại các tập mở U, W trong A ∪ B sao cho

U ∩ W = φ, A ⊂ U, B ⊂ W và A ∪ B = U ∪ W

Vì

A ∩ B = φ, U ∩ W = φ

nên ta có

U = (A ∪ B) \ W ⊂ (A ∪B) \ B = A

W = (A ∪ B) \ U ⊂ (A ∪ B) \ A = B

Nghĩa là, A = U, B = W Vậy A và B cũng mở trong A ∪ B

Do đó, theo (1) ta có A và B là hai tập tách nhau

Để chứng minh định lý tách thứ 2 về chiều không Trớc hết ta chứng minh các bổ đề sau:

2.10 Bổ đề Với mỗi cặp các tập tách nhau A và B trong không gian mêtric X, tồn tại các tập mở U, W ⊂ X sao cho A ⊂ U, B ⊂ W và U ∩ W = φ.

Chứng minh Giả sử ρ là một mêtric trên X và giả sử f(x) = ρ(x, A), g(x) = (x, B) là các khoảng cách từ x đến A và B tơng ứng Do f và g là các hàm liên tục nên các tập hợp

cho A ⊂ V 1 , B ⊂ V 2 và V1 ∩ V2 = φ, tồn tại một cái phân cách L trong X giữa A và B thoả mãn L ∩ M ⊂ L'.

(b) Nếu M là một không gian con đóng của không gian mêtric X và

A, B là một cặp các tập con đóng, rời nhau của X, thì với mỗi phân cách L' trong không gian M giữa M ∩ A và M ∩ B, tồn tại một cái phân cách L trong X giữa A và B thoả mãn: M ∩ L ⊂ L'.

Chứng minh (a) Giả sử U', W' là các tập con mở của M thoả mãn

điều kiện M ∩ V 1 ⊂ U', M ∩ V 2 ⊂ W'

Mặt khác U’,W’ là các tập con mở của M và U' ∩ W' = φ, nên theo (1) ta có:

Do đó phần (a) của bổ đề 2.11 đã đợc chứng minh.

(b) Ta xét các tập con mở U1, W1 của M thoả mãn điều kiện M

Vì trong không gian tôpô chuẩn tắc, các lân cận đóng lập nên cơ sở của các tập đóng, nên tồn tại một lân cận mở V1 sao cho

A ⊂ V1⊂ V 1 ⊂ X \ (M \ U1)nghĩa là ta có (4)

Tơng tự ta có (5)

Do A ∩ B = φ và A,B là các tập đóng, nên A ⊂ X \ B ở đây, X \ B là lân cận mở

Do đó sẽ tồn tại lân cận mở S1 sao cho

A ⊂ S1⊂ S 1 ⊂ X \ B

Từ đó B ⊂ X \ S 1 nên tồn tại lân cận mở S2sao cho

B ⊂ S2⊂ S 2 ⊂ X \ S 1

Từ đó ta có S1 và S2 là các lân cận mở của A và B trơng ứng sao cho

A ⊂ S1, B ⊂ S2, S 1 ∩ S 2 = φThay V 1 bởi V 1 ∩ S 1 và V 2 bởi V 2 ∩ S 2 thì

1

V ⊂ X \ (M \ U1)nên M ∩ V 1 ⊂ M ∩ [X \ (M \ U1)] = M ∩ {X \ [M ∩ (X \ U1)]} =

Chứng minh Ta xét các tập mở V1, V2⊂ X sao cho A ⊂ V1, B ⊂ V2 và

1

V ∩ V 2 = φ

Theo định lý 2.8, tập φ là cái phân cách giữa Z ∩ V 1 và Z ∩ V 2

trong không gian Z

Do đó theo 2.11 (a) tồn tại phân cách L giữa A và B trong X sao cho

L ∩ Z ⊂ L' = φnghĩa là

L ∩ Z = φ

Định lý đã đợc chứng minh

chơng II Chiều quy nạp lớn- chiều phủ- chiều Mêtric

Đ1 Chiều quy nạp lớn- chiều phủ- chiều Mêtric

1.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô chuẩn tắc, ta gọi:

(B ∨

C 3) Ind X = n nếu Ind X ≤ n và Ind X > n - 1

(B ∨

C 4) Ind X = ∞ nếu Ind X > n, n = - 1, 0, 1, 2, …

Tơng tự nh trong trờng hợp chiều quy nạp bé Các điều kiện

Cech nếu X là tập một điểm thì Ind X = ind X = 0

Ta có định lý đầu tiên về hai loại chiều nêu trên

1.2 Định lý Với mọi không gian tôpô chuẩn tắc X, ta có ind X ≤ Ind X.

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo Ind X.

Giả sử Ind X = - 1 khi đó X = φ và ind X = - 1 Định lý đúng

Giả sử định lý đúng cho mọi không gian chuẩn tắc X có chiều quy nạp lớn không vợt quá (n - 1) Ta chứng minh định lý cũng đúng trong trờng hợp Ind X = n

Giả sử Ind X = n Khi đó Ind X ≤ n Giả sử x ∈ X và V là một lân cận chứa x trong X Khi đó, do tập một điểm là tập đóng, nên tồn tại lân cận mở

U của x sao cho {x}⊂ U ⊂ V và Ind FrU ≤ n - 1 (Theo định nghĩa của chiều quy nạp lớn)

Do FrU là đóng trong X, nên nó cũng là không gian chuẩn tắc.

Do đó theo giả thiết quy nạp ta có

ind FrU ≤ Ind FrU ≤ n - 1

Từ đó theo định nghĩa của chiều ind thì ind X ≤ n = Ind X

1.3 Định lý. Với mọi không gian con đóng M của một không gian

chuẩn tắc X, ta đều có Ind M ≤ Ind X.

Tơng tự Mệnh đề 1.8 Đ1 Chơng 1 Ta có:

1.4 Mệnh đề. Không gian chuẩn tắc X thoả mãn bất đẳng thức

Ind X ≤ n, n ≥ 0 nếu và chỉ nếu với mọi cặp A, B các tập đóng rời nhau của X, tồn tại một cái phân cách L giữa A và B sao cho Ind L ≤ n 1.–

1.5 Định lý Với mọi không gian mêtric tách đợc X, ta có ind X = Ind X.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh Ind X ≤ ind X

Ngoài ra ta có thể giả thiết ind X < ∞

Ta chứng minh quy nạp theo chiều ind X

Bất đẳng thức rõ ràng đúng với ind X = - 1

Giả sử bất đẳng thức đợc chứng minh cho mọi không gian tách đợc có chiều quy nạp bé nhỏ hơn n, với n ≥ 0 và ta xét không gian mêtric tách đợc

X sao cho ind X = n

Gọi A và B là hai tập con đóng rời nhau của X, theo định lý tách thứ nhất, tồn tại cái phân cách L giữa A và B sao cho ind L ≤ n - 1

Theo giả thiết quy nạp ta suy ra

Ind L ≤ ind L ≤ n - 1

Do đó, Ind X ≤ n = ind X (theo Mệnh đề 1.4)

Định lý đã đợc chứng minh.

1.6 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp và A là một họ các tập con của X Ta gọi bậc của A là số nguyên lớn nhất n sao cho họ A chứa (n + 1) phần tử có giao không rỗng

Nếu không có số nguyên nào nh vậy ta nói họ A có bậc bằng ∞

Ký hiệu bậc của họ A là ord A Nh vậy, nếu ord A (trong đó

A = {As}s ∈ S ) bằng n thì với mỗi (n + 2) các phần tử phân biệt

CL3) dim X = ∞ nếu dim X > n với n = -1, 0, 1, 2, …

Chiều phủ hay còn đợc gọi là chiều ∨

Chứng minh Giả sử dim X = - 1 Khi đó với mỗi phủ mở hữu hạn

của X, có một mịn mở hữu hạn có bậc nhỏ hơn hoặc bằng - 1 Vậy mịn mở này gồm toàn tập rỗng Nhng mịn cũng là phủ nên X = φ

Ngợc lại, giả sử X = φ Khi đó, ta lấy mịn mở hữu hạn gồm toàn tập rỗng, bậc của mịn này bằng - 1 có nghĩa là dim X ≤ -1 Đồng thời, theo định nghĩa thì dim X > - 2 nên dim X = - 1 (theo ( ∨

Một cái co đợc gọi là mở (hoặc đóng), nếu tất cả các thành phần của

nó đều là các tập con mở (hoặc đóng) của không gian X

Rõ ràng, mọi cái co b của phủ A là một mịn của A thoả mãn bất

đẳng thức ord b≤Ord A

1.10 Mệnh đề Đối với mọi không gian tôpô chuẩn tắc X, các điều kiện sau đây là tơng đơng:

(1) Không gian X thoả mãn bất đẳng thức dim X ≤ n.

(2) Mỗi phủ mở hữu hạn của không gian X có một mịn mở hữu hạn có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n.

(3) Mỗi phủ mở hữu hạn của không gian X có một cái co mở, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n.

Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề 1.10 theo sơ đồ

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)

(1) ⇒ (2) Là hiển nhiên theo 1.7 (C∨L1)

(3) ⇒ (1) Cũng hiển nhiên theo 1.7 (C∨L1)