Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp

Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp ……….... Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, chúng tôi chọn đề tàinghiên cứu là: Một số sai lầm t

Mục lục Trang

A Phần Mở đầu

B phần nội dung

Chơng I: Cơ sở lý luận của đề tài ……… 7

1.1 Một số khái niệm liên quan……… 7

1.2 Vai trò ý nghĩa của Tổ hợp ……… 8

1.3 Cơ sở lý luận ……… 9

Chơng II: Một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và một số cách khắc phục ……… 13

2.1 Thực trạng học chủ đề Đại số tổ hợp của học sinh THPT hiện nay… 13 2.2 Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp …18 2.3 Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp ……… 39

2.3.1 Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh ……… 39

2.3.2 Một số cách khắc phục sai lầm ……… 41

Chơng III: Thực nghiệm s phạm ……… 56

3.1 Mục đích thực nghiệm ……… 56

3.2 Nội dung thực nghiệm ……… 56

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm ……… 57

C Phần kết luận

Tài liệu tham khảo

A Phần mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Chúng ta đang sống trong một xã hội hiện đại, khi nền khoa học kĩ thuật phát triển nh vũ bão, đòi hỏi ngời lao động phải có kiến thức sâu rộng, tay nghề vững, có khả năng linh hoạt giải quyết mọi tình huống thực tiễn Đặc điểm này của thời đại đòi hỏi nền giáo dục không ngừng đổi mới về cả nội dung và phơng pháp nhằm đáp ứng mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nớc, yêu chủ

nghĩa xã hội.”(Văn kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ 7 của Đảng Cộng SảnViệt Nam).

Quan điểm chung về đổi mới phơng pháp dạy học ở trờng phổ thông hiện naylà: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh, phù hợpvới đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kĩnăng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh.”(Luật giáo dục 1998, chơng 1, điều 24)

1.2 Trong nhà trờng phổ thông việc tăng cờng mạch toán ứng dụng và ứngdụng toán học là góp phần thực hiện lý luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi vớihành, nhà trờng gắn liền với xã hội Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơngtiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinh nắm vững trithức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của dạy họcToán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải toán có vai trò quyết định đối vớichất lợng dạy học toán Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lợng dạy học toán ở tr-ờng phổ thông có chỗ còn cha tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải toán của họcsinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một trong những nguyên nhânquan trọng là giáo viên cha chú ý đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữacác sai lầm cho học sinh ngay trong giờ học Toán

1.3 Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đợc nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầmtrong cuộc sống cũng nh trong nghiên cứu khoa học Chẳng hạn, I.A.Komensky đãkhẳng định: “Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh học kém đi nếu

nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận

ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm” J.Piaget còn nhấn mạnh: “chỉ có sự hoạt động

đợc giáo viên thờng xuyên định hớng và khích lệ nhng vẫn luôn luôn tự do trongviệc mò mẫm và ngay cả những sai lầm mới có thể đa tới sự độc lập về mặt trí tuệ”.Viện sĩ A.N.Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thờng của học sinh trung học đủ đểcác em nắm đợc toán học trong nhà trờng phổ thông nếu có sự hớng dẫn tốt củathầy giáo” Nh vậy có thể khẳng định rằng các sai lầm của học sinh trong giải toán

là cần và có thể khắc phục đợc

1.4 Lý thuyết về đại số tổ hợp đợc hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triểncủa toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toántrong thực tế Nó góp phần bồi dỡng t duy logic cho học sinh Vì vậy, việc dạy họcnội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trờng phổ thông có một ý nghĩa rất lớn

Thực tế cho thấy học toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh Học sinh ờng phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thờng nhầm lẫn trongviệc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp…Để dạy học phần Đại số tổ hợp có

th-hiệu quả đòi hỏi ngời giáo viên phải đề ra đợc những biện pháp hợp lí về cách thứcchọn nội dung và phơng pháp: Dạy cái gì? dạy nh thế nào để học sinh tiếp thu bàigiảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thứckhi làm bài tập? là những vấn đề đợc nhiều ngời quan tâm và nghiên cứu.

Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, chúng tôi chọn đề tàinghiên cứu là:

Một số sai lầm th“ ờng gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp ”

2 Mục đích nghiên cứu.

Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai lầmphổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông Từ đónghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh khi giảitoán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn toán trong trờng trung họcphổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận bao gồm:

3.1 Bớc đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình học Đại số tổ hợp

3.2 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm

3.3 Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai lầm 3.4 Tổ chức thực nghiệm s phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của những đề xuất

3.5 Đa ra những kết luận cần thiết

4 Giả thuyết khoa học.

Nếu trong dạy học Toán nói chung và dạy học Đại số tổ hợp nói riêng, ngờigiáo viên biết cách phát hiện, dự đoán những sai lầm phổ biến của học sinh, đồngthời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế vàsửa chữa các sai lầm đó thì sẽ góp phần giảm các sai lầm cho học sinh trong giảitoán, từ đó chất lợng dạy học toán sẽ đợc nâng cao

5 Phơng pháp nghiên cứu.

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phơngpháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiêncứu có liên quan đến đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo,…

5.2 Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viêntoán ở các trờng phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông

5.3 Thực nghiệm s phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trờng trung họcphổ thông

6 Đóng góp của khóa luận.

6.1 Khoá luận đa ra đợc cơ sở lý luận của việc dự đoán các sai lầm phổ biếntrong giải toán của học sinh.

6.2 Khoá luận làm sáng tỏ đợc một số sai lầm thờng gặp của học sinh trunghọc phổ thông khi giải toán tổ hợp

6.3 Khoá luận nêu đợc một số cách hạn chế và khắc phục sai lầm của học sinhtrong giải toán tổ hợp ở trờng phổ thông

7 Cấu trúc của khoá luận.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các tài liệu tham khảo, khoá luậngồm có 3 chơng:

Chơng 1: Cơ sở lý luận của đề tài

Chơng 2: Một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và cách khắc phục

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

B Phần nội dung

Ch ơng I: Cơ sở lý luận của đề tài

1.1 Một số khái niệm liên quan.

1.1.1 Bài toán và hoạt động giải bài tập toán

Theo Polya: “Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có, giống

nh việc bơi chẳng hạn Vậy mà sự khéo léo thực hành lại có đợc bằng cách bắt chớc

và thí nghiệm”

Còn theo A.N.Leonchiep: “Bài toán là mục đích đã cho trong những điều kiệnnhất định, đòi hỏi chủ thể (ngời giải toán) cần phải hành động, tìm kiếm cái chabiết trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết”

Nh vậy khái niệm bài toán đợc gắn liền với hoạt động của chủ thể Có 4 bớcchính trong quá trình giải một bài toán:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bớc 2: Nắm đợc mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài toán,

giữa cái cha biết với những cái đã biết để tìm cách giải

Bớc 3: Trình bày lời giải

Bớc 4: Nhìn lại cách giải đã thu đợc một lần nữa, nghiên cứu và phân tích nó

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán Thông qua giải bài tập, họcsinh thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện địnhnghĩa, định lý, quy tắc hay phơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp, nhữnghoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và nhữnghoạt động ngôn ngữ

Tuân thủ theo 4 bớc trong quá trình giải bài tập toán, học sinh có thể tránh đợcsai lầm bằng cách thử lại từng bớc Một phần lớn những kết quả hay của bài toán cóthể mất đi, nếu học sinh không xem xét lại, không nghiên cứu và phân tích lại cáchgiải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán, trớc hết cần nắm vững các yêu cầu củalời giải Nghĩa là bài toán phải đợc giải quyết một cách trọn vẹn, khoa học và chínhxác Tác giả Nguyễn Bá Kim trong cuốn: “Phơng pháp dạy học môn toán” đã cụthể các yêu cầu đó là:

- Kết quả đúng, kể cả các bớc trung gian

- Lập luận chặt chẽ

- Lời giải đầy đủ

- Ngôn ngữ chính xác

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn và hợp lí nhất

- Nghiên cứu giải những bài toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề Trong đó bốn yêu cầu đầu là các yêu cầu cơ bản, yêu cầu thứ năm là yêu cầu

về mặt trình bày, hai yêu cầu cuối là những yêu cầu đề cao

1.1.2 Sai lầm

Theo từ điển Tiếng Việt thì sai lầm là: “Trái với yêu cầu khách quan, lẽ phải,dẫn đến hậu quả không hay” Phổ biến là: “có tính chất chung, có thể áp dụng chocả một tập hợp, hiện tợng, sự vật”

1.2 Vai trò ý nghĩa của tổ hợp.

1.2.1 Vai trò của tổ hợp trong hoạt động thực tiễn

Ông X.M.Nikôlxki đã nói về khái niệm giải tích tổ hợp: “Là ngành toán họcnghiên cứu những vấn đề khác nhau liên quan đến việc sắp xếp các bộ phận khácnhau của một tập hợp đã cho, thờng là tập hữu hạn” Một dạng cơ bản của chủ đề tổhợp là bài toán chọn, một lớp bài toán ứng dụng nhiều trong các hoạt động của conngời

Chẳng hạn, trong một nhà máy cần thực hiện n công việc nào đó (chế tạo máy,

kế toán, bảo vệ, quản lý, …).Để thực hiện công việc ngời ta tuyển một số ngời, mỗingời có thể thực hiện đợc một số công việc Nhà máy muốn tuyển ít ngời mà vẫn cóthể đảm bảo tiến trình công việc Từ đó đặt ra câu hỏi: “có thể chọn tối thiểu baonhiêu ngời để có thể đảm bảo tiến trình công việc?” Đây là một trong những dạngcủa bài toán tổ hợp

1.2.2 Vai trò của tổ hợp với t cách là môn học

Tiến sĩ khoa học Vũ Đình Hòa khẳng định: “Sự chuyển hớng xây dựng toánhọc hiện đại trên cơ sở của lý thuyết tập hợp đợc mở ra ở cuối thế kỷ XIX Mộttrong những ảnh hởng mạnh mẽ nhất của lý thuyết tập hợp là lý thuyết tính toán vớitập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong hình học tổ hợp…”.Các bài toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung phong phú

và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kỹ thuật cũng nh trong đời sống hàngngày của chúng ta

Trong nhiều đề thi quốc gia và quốc tế cũng xuất hiện những bài toán tổ hợp,một dạng toán khó không những đối với học sinh nớc ta mà cả đối với học sinhquốc tế nói chung

Hòa chung với xu thế đổi mới tiến bộ trên thế giới, cải cách chơng trình sáchgiáo khoa là yêu cầu cấp thiết Từ cuối thế kỷ XX nhiều quốc gia đã tiến hành cảicách giáo dục nhằm hớng tới mục tiêu nâng cao chất lợng giáo dục, góp phần cảithiện nguồn nhân lực, tạo sự hứng thú say mê học tập cho học sinh

Đối với nớc ta, trong nghị quyết hội nghị của Ban Chấp Hành Trung Ương

Đảng Cộng Sản lần 2 khoá 8 năm 1997 đã chỉ rõ: “Phải đổi mới phơng pháp giáodục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạocủa ngời học, từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quátrình dạy học đảm bảo điều kiện, thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất

là sinh viên đại học”

1.3 Cơ sở lý luận.

Phơng pháp dạy học là tổng hợp các cách thức hoạt động phối hợp của giáoviên và học sinh, trong đó phơng pháp dạy chỉ đạo phơng pháp học, nhằm giúp họcsinh chiếm lĩnh hệ thống kiến thức khoa học và hình thành hệ thống kỹ năng, kỹxảo thực hành sáng tạo

Học sinh là trung tâm của mọi sự cố gắng, mọi cải tiến về nội dung và phơngpháp dạy học, là trung tâm của mọi tìm tòi về cách tổ chức quá trình dạy học.Chính vì vậy mà ngời ta tiến hành quá trình dạy học bằng cách khơi dậy tiềm năngtrí tuệ của học sinh, nghĩa là quá trình học tập đợc tiến hành bởi học sinh

Học sinh vừa là mục tiêu, vừa là động lực của quá trình dạy học Đó chính làbản chất của quan điểm: “Dạy học lấy học sinh làm trung tâm”, một quan điểm dạyhọc hiện đại, là cơ sở lý luận để tiến hành các hoạt động dạy học có hiệu quả

Nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải toán là rất cầnthiết, bởi vì thực tiễn s phạm cho thấy học sinh còn mắc nhiều kiểu sai lầm Từnhững sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận,…có nhiều kiểu sai lầmrất tinh vi, khó phát hiện Đã có rất nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò củaviệc sửa chữa sai lầm cho học sinh trong quá trình giảng dạy toán Chẳng hạn,G.Polia cho rằng: “Con ngời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”.A.A.Stôliar phát biểu: “Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sailầm của học sinh” Tâm lí học đã khẳng định rằng: “Mọi trẻ em bình thờng không

có bệnh tật gì đều có khả năng đạt đợc học vấn toán học phổ thông cơ bản dù chochơng trình toán đã hiện đại hóa” Nh vậy có thể thấy rằng các sai lầm của học sinhkhi giải toán là cần và có thể khắc phục đợc

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Phơng pháp dạy học cần hớng vào tổ chức chongời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động,sáng tạo” Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định Pháthiện những hoạt động trong một nội dung là vạch ra con đờng để ngời học chiếmlĩnh nội dung đó

Các cách sửa chữa và khắc phục sai lầm của học sinh đợc đa ra dựa trên quan

điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học của Nguyễn Bá Kim với các t tởng chủ

đạo sau:

 Cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động và hoạt

động thành phần tơng thích với nội dung và mục tiêu dạy học

 Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

 Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phơngpháp nh phơng tiện và kết quả của hoạt động

 Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học Các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh phải phản ánh đợc cấu trúc bênngoài và cấu trúc bên trong, đặc biệt là đối với cấu trúc bên trong phải chỉ ra đợccác thao tác trí tuệ, cách tổ chức logic của sự nhận thức và lĩnh hội của học sinh.Sai lầm của học sinh tạo ra mâu thuẫn và chính những mâu thuẫn này là động lựcthúc đẩy quá trình nhận thức của học sinh Sai lầm của học sinh xuất hiện sẽ gợihoạt động học tập mà học sinh sẽ đợc hớng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và

đi tới lời giải đúng Phát hiện ra cái sai trong quá trình giải toán giúp học sinhchiếm lĩnh tri thức một cách trọn vẹn hơn Tuy nhiên, cách tốt nhất là để học sinh

tự mình khám phá ra sai lầm, giáo viên hớng dẫn gợi ý cho học sinh cách khắcphục sai lầm Từ đó học sinh sẽ nắm kiến thức sâu sắc hơn

Đã có nhiều quan điểm khác nhau đối với việc chỉ ra các sai lầm cho học sinh.Chẳng hạn R.A.Axanôp cho rằng: “Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức đợckích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từngsai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và t duy,

lý luận về bản chất của các sai lầm” A.A.Stôliar đã khẳng định: “Cần có biện phápnhằm dạy học môn toán dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuấthiện”

Thuyết hành vi quan niệm rằng: sai lầm của học sinh là một hiện tợng tiêucực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp thì cần khắcphục Nhà giáo dục ngời Đức Aphơgut Lai cho rằng: “Việc chú ý tới các sai lầmcủa học sinh trong giờ học có ảnh hởng xấu tới việc tiếp thu bài giảng” Quan điểmnày đề nghị không viết lại lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sailầm trong ý thức học sinh Còn nguyên nhân dẫn đến sai lầm là do học sinh nắmkiến thức không vững, do không cẩn thận khi giải toán hoặc có thể do giáo viêndạy quá nhanh hay giải thích không rõ ràng…

Theo quan điểm này thì xu hớng dạy học là: “S phạm từng bớc nhỏ” Tức làtruyền đạt kiến thức dần dần, từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầmnào Nếu lỡ sai lầm thì cách khắc phục là dạy lại, cung cấp các kiến thức bổ trợ cho

đến khi học sinh có lời giải đúng Nh vậy thuyết hành vi nhấn mạnh vai trò chủ đạocủa giáo viên

Đối lập với thuyết hành vi, thuyết kiến tạo thì lại cho rằng: sai lầm không chỉ

đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả củakiến thức trớc giờ không thích hợp nữa Theo quan điểm đó thì sai lầm là sự thểhiện của một kiến thức (tự phát hay đã có từ trớc) của học sinh, kiến thức cần thaythế bởi những kiến thức thích ứng hơn Sai lầm đóng vai trò quan trọng trong họctập, và vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để có thể chủ động tổ chức cho học sinhgặp sai lầm và sửa chữa sai lầm Nh G.Bachelard nhấn mạnh: “cần phải tổ chức dạyhọc thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm” Đứng trớc sai lầmcủa học sinh, thuyết kiến tạo yêu cầu giải đáp các câu hỏi:

- Những quy trình, hành động nào, những quan điểm nào đợc học sinhvận dụng đã góp phần tạo ra sai lầm này?

- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trìnhhay quan niệm đó?

Quan niệm này nhấn mạnh vai trò chủ động, sáng tạo của học sinh trong việcsửa chữa sai lầm

Kết luận ch ơng I:

Nh vậy chúng ta có thể thấy đợc rằng việc khắc phục sai lầm của học sinh khigiải toán là rất quan trọng, là hoạt động không thể thiếu trên con đờng chiếm lĩnhtri thức của học sinh Các nguyên tắc sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toánphải tác động và nhằm vào hoạt động học của học sinh Cần để học sinh thấy rằngviệc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cần phải tham gia nh một chủ thể một cách

tự nguyện, say mê, hào hứng, tạo cho học sinh có động cơ hoàn thiện tri thức Cầnlấy hoạt động học tập của học sinh làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức Cácnguyên tắc phải tập trung vào phát triển hoạt động, rèn luyện các kỹ năng học tậpcho học sinh

Ch ơng II : Một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại Số

Tổ Hợp và cách khắc phục

2.1 Thực trạng học chủ đề Đại Số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay.

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại Số Tổ Hợpcủa 100 học sinh lớp 11-ban nâng cao trờng THPT Nguyễn Du với hình thức ra bàikiểm tra trắc nghiệm kết hợp tự luận (thời gian: 45phút).

3696 A A ) d 2

12

1

28 (

Trêng hîp 1: Tæ A cã 2 häc sinh kh¸ vµ 5 häc sinh trung b×nh Sè c¸ch chän

tæ A trong trêng hîp nµy lµ:

5 403200

8

2 5

1

3 A A 

Trêng hîp 2: Tæ A cã 3 häc sinh kh¸ vµ 4 häc sinh trung b×nh Sè c¸ch chän

tæ A trong trêng h¬p nµy lµ:

4 302400

8

3 5

Trêng hîp 1: Tæ A cã 2 häc sinh kh¸ vµ 5 häc sinh trung b×nh Sè c¸ch chän

tæ A trong trêng hîp nµy lµ:

5 6743

8

2 5

1

3 A A 

Trêng hîp 2: Tæ A cã 3 häc sinh kh¸ vµ 4 häc sinh trung b×nh Sè c¸ch chän

tæ A trong trêng h¬p nµy lµ:

4 1743

8

3 5

Trêng hîp 1: 1 häc sinh giái x¶y ra 2 kh¶ n¨ng:

* Kh¶ n¨ng 1: 2 häc sinh kh¸ vµ 5 häc sinh trung b×nh Cã:

5 1680

8

2 5

1

3C C 

Trêng hîp 2: 2 häc sinh giái Cã 2 kh¶ n¨ng:

* Kh¶ n¨ng 1: 2 häc sinh kh¸ vµ 4 häc sinh trung b×nh Kh¶ n¨ng nµy cã: 4 2100

8

2 5

3 1680

8

3 5

Nhận xét: Học sinh phân chia trờng hợp riêng cha chính xác dẫn đến lặp

Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trờng hợp 2 chính là các cách xếp tổ 2 ở trờng hợp 1

- Lời giải đúng là:

Có 3 học sinh giỏi đợc chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2học sinh giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trờng hợp chọn tổ A:

Trờng hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình Số cách chọn

tổ A trong trờng hợp này là:

5 1680

8

2 5

1

3C C 

Trờng hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình Số cách chọn

tổ A trong trờng hơp này là:

4 2100

8

3 5

Trờng hợp 1: có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn có 4 6 !

5 2

5 C

Trờng hợp 2: có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn có 2 6 !

5 4

(Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhng tổng các chữ số còn lại không phải

là số chẵn suy ra nó không thuộc tập A) Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết quả

- Lời giải 2:

Giả sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6

a a a a

Nhận xét: Học sinh nắm cha chính xác khái niệm cơ bản toán học nên đã

không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu

- Lời giải đúng là:

Giả sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6

a a a a

5 2

5 4

Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là:

31200+33600=64800 số

*Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên:

Sai lầm 1: Nhớ lẫn lộn giữa công thức tính số tổ hợp và số chỉnh hợp (câu 1)

Sai lầm 2: Sử dụng sai quy tắc (3d)

Sai lầm 3: Phân chia trờng hợp riêng cha đúng dẫn đến lặp (3b, 2)

Sai lầm 4: Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc (5a, 3b, c)

Sai lầm 5: Hiểu sai khái niệm cơ bản của toán học (4d)

* Kết quả:

Qua thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề

“Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp Đa số học sinhmắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trờng hợpriêng

Chẳng hạn: Đối với câu 4 trong phần trắc nghiệm học sinh quên rằng giả thiếtyêu cầu phải có mặt chữ số 5 nên dẫn tới việc lựa chọn phơng án b; hoặc học sinhcha nắm vững khái niệm cơ bản của toán học là nếu số có 4 chữ số nh ng chữ số 0

đứng đầu thì đợc xem là số có 3 chữ số nên đã lựa chọn phơng án c và d

Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu Câu hỏi đặt ra làtrong khi học chủ đề “Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào? Cáchhạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việcdạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lợng dạy học môn toánnói chung

2.2 Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ Hợp.

2.2.1 Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp…

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: "Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tduy nhằm phân biệt lớp đối tợng xác định khái niệm này và các đối tợng khác, th-ờng bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó” Trong quá trình học chủ đề Đại

Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn cha hiểu đợc bản chất của khái niệm tổ hợp nên ờng nhầm lẫn giữa kí hiệu của đối tợng và đối tợng đợc định nghĩa TheoA.A.Stôliar thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngônngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm đợc định nghĩa,…

Ví dụ 1:

Học sinh thờng phát biểu: “Tổ hợp chập k của n là C k n” mà phát biểu đúng

là: “Số tổ hợp chập k của n là C k n ” hoặc “Chỉnh hợp chập k của n là A k n” mà phát

Khi gặp bài tập chứng minh C n nk C k n

Học sinh dễ dàng làm đợc bằng cách áp dụng trực tiếp công thức:

Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thờng nhầm lẫn khi sử dụng quy tắccộng và quy tắc nhân

Quy tắc cộng: “Giả sử một công việc có thể đợc thực hiện theo phơng án A

hoặc phơng án B Có n cách thực hiện phơng án A và m cách thực hiện phơng án B Khi đó công việc có thể đợc thực hiện bởi n+m cách ”

Quy tắc nhân: “Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B.

Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công

đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách ” Hai khái niệm nếu không đợc giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm lẫn

cụm từ “một trong hai phơng án” và “hai công đoạn liên tiếp”…gây ra sai lầmtrong giải toán

Ví dụ 3:

Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam Có bao nhiêu cách bầu

ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ ?

 Học sinh giải nh sau :

Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ là ta

đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ (hoặcngợc lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có

20 cách chọn ra một bạn nữ)

.Lời giải đúng là:

Số học sinh nữ trong lớp là:

40 – 20 =20 ( học sinh ) Việc chọn ban cán cán sự đợc chia làm hai công đoạn:

Định nghĩa chỉnh hợp: “Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1) và số nguyên k với 1 k  n Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta đợc một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A) ”

Định nghĩa tổ hợp: “Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 k  n Mỗi tập con của A có k phần tử đợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A) ”

Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính số tổhợp, số chỉnh hợp thờng xảy ra nhầm lẫn

Ví dụ 4:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt?

 Học sinh giải nh sau:

Giả sử a1a2a3 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán suy ra a1  0 Tổng sốcách chọn 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C103 , trong đó số cách sắp xếp

0

1

a là C29 Do đó kết quả của bài toán là :

84 2 9 3

10  C 

C

.Nguyên nhân sai lầm :

Học sinh cha nắm đợc chỉnh hợp là một tập con gồm k phần tử sắp thứ tựtrong khi bài toán này với 3 chữ số a1, a2, a3 phân biệt có 6 cách xếp thànhnhững số khác nhau (chẳng hạn: a1a2a3 a2a1a3)

3

10  A 

Ví dụ 5:

Trong một buổi giao lu kết bạn có 9 nữ và 7 nam Ngời ta tổ chức cuộc chơi

gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3cặp để tham gia trò chơi?

 Học sinh giải nh sau :

Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong7 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3của 7, nên số cách chọn 3 nam có thứ tự là 3 210

7 

A cách Tơng tự số cách chọn 3

210 3 9

3

.Sai lầm học sinh mắc phải:

Việc sắp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại Giả sử 3 bạn nam xếp thứ

tự là A, B, C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c Ta có 3 cặp ( A, a ), ( B, b ), ( C, c ).Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B, C, A và 3 nữ là b, c, a thì ta cũng có 3 cặp ( B,b), ( C, c ), ( A, a ) giống trớc Nh vậy trong bài toán này ta phải dùng công thứctính số tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp

 Lời giải đúng là :

Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: chọn 3 học sinh nam Số cách chọn là:

35 3

7 

Công đoạn 2: chọn 3 học sinh nữ Số cách chọn là:

84 3

2.2.2 Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học

Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoạidiên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bảnchất khái niệm Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trớc đó,việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinhkhông hiểu, không nắm đợc khái niệm mới

Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việctất yếu là học sinh giải toán sai

Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lí thuyết tập hợp ngời ta hay sửdụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”

Chẳng hạn nh các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ cái cómặt trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} ( có 8 phần tử khác nhau)

Theo quan điểm của lí thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái (10 phầntử)

Chính vì thói quen hiểu hiểu theo lí thuyết tập hợp mà học sinh thờng mắcphải sai lầm khi giải toán tổ hợp

Ví dụ 6:

Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể viết thành bao nhiêu số có 8 chữ sốtrong đó chữ số 7 có mặt hai lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần ?

 Lời giải của học sinh:

Giả sử số thoả mãn yêu cầu bài toán là: a1a2a3a4a5a6a7a8

 (cách viết)  Sai lầm ở đây là:

Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết Nghĩa là phảigiả sử hai chữ số 7 khác nhau ngay từ đầu

! 7 8

 ( cách viết) Trong các bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm kchữ số khác nhau” Với cụm từ này thì dụng ý của tác giả viết sách là: Số gồm kchữ số a1a2 ak thì các ai ( i=1 ,k ) phải khác nhau từng đôi một Tức là:

Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thức toánhọc cơ bản nh: một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,…; cách lập các số chẵn, số lẻ,Nhiều học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên đã có nhiều

Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhng trong các số lập

đ-ợc có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãn yêu cầu bài toán

Nh vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính saikết quả

 Lời giải của học sinh:

Số chia hết cho 5 lấy từ tập E tận cùng phải là chữ số 0

+ Số các số có 2 chữ số lấy từ tập E thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

1 4

4 

+ Sè c¸c sè cã 3 ch÷ sè lÊy tõ tËp E tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ:

Một tam giác có 3 đỉnh suy ra qua 3 điểm ta vẽ đợc một tam giác Vậy số tamgiác tạo bởi 30 điểm đã cho là:

3 4060

30 

C (tam giác)  Sai lầm ở đây là:

Học sinh biết tam giác có 3 đỉnh nhng lại quên rằng 3 đỉnh đó không thẳnghàng Khái niệm tam giác là một khái niệm rất cơ bản trong toán học, nếu học sinhnắm không vững kiến thức kiến thức này thì sẽ dẫn đến rất nhiều sai lầm khi giảitoán

1900  900  2800 (tam giác)

2.2.3 Sử dụng sai công thức, quy tắc

Thực tế cho thấy việc nhớ sai công thức hay tính toán sai hầu nh chỉ rơi vào ờng hợp học sinh yếu kém, cũng có thể gặp ở những học sinh cẩu thả, chủ quan,học cha đến nơi đến chốn Học sinh thờng nhầm lẫn giữa công thức tính số chỉnhhợp và số tổ hợp

Ví dụ 10:

Một công viên có 5 cửa ra vào Hỏi có bao nhiêu cách đi vào một cửa và đi rabằng một cửa khác ?

 Lời giải của học sinh:

Số cách đi vào một cửa và đi ra bằng một cửa khác là số tổ hợp chập 2 của 5phần tử :

2 10

5 

C ( cách)  Sai lầm của học sinh :

Do học sinh không để ý rằng với hai cửa A, B thì đi vào cửa A, đi ra cửa Bkhác với đi vào cửa B, đi ra cửa A nên đã dùng sai công thức

 Lời giải đúng là:

Số cách đi vào một cửa và đi ra bằng một cửa khác là số chỉnh hợp chập 2 của

 Học sinh giải nh sau :

C + 2

8

C = 43 (hình)  Sai lầm ở đây là:

Cả 2 cách giải trên đều mắc sai lầm do sử dụng sai công thức hoặc quy tắc Cách giải thứ nhất cần phải dùng công thức tính số tổ hợp thì học sinh lại sửdụng công thức tính số chỉnh hợp

Cách giải thứ 2 cần sử dụng quy tắc nhân (vì ứng với mỗi cách chọn hai đờngthẳng trong tập A thì có 2

Tơng ứng mỗi cách chọn hai đờng thẳng của tập hợp A và hai đờng thẳng củatập hợp B ta lập đợc một hình bình hành Vậy số hình bình hành lập đợc là:

 Lời giải của học sinh:

Do chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau nên ta xem 2 và 3 là 1 khối cùng với 3chữ số còn lại xếp thành số thỏa mãn yêu cầu bài toán Nh vậy ta có:

4!=24 (số)

 Sai lầm ở đây là:

Học sinh không để ý rằng 2 chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau thì có 2 khả năngxảy ra: hoặc số 2 đứng bên phải số 3 hoặc số 2 đứng bên trái số 3 Chính vì họcsinh quên điều này nên kết quả là tính sai

 Lời giải đúng là:

Với 2 chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau thì có 2 khả năng xảy ra: hoặc số 2 đứngbên phải số 3, hoặc số 2 đứng bên trái số 3 Với mỗi khả năng nh vậy ta xem 2 và 3

nh là 1 số giao hoán vị trí với 3 số còn lại Ta có: 4!= 24 số

Hoán đổi vị trí của 2 và 3 ta đợc 2! Cách xếp Vậy kết quả của bài toán là: 2.24= 48 (số)

2.2.4 Sai lầm do vận dụng các quy tắc khi ch a đủ điều kiện để tiến hành quytắc

Việc vận dụng quy tắc cộng để giải toán đòi hỏi học sinh phải nắm vững về líthuyết tập hợp

Trong sách giáo khoa có đa ra quy tắc cộng hai tập hợp hữu hạn không giaonhau theo công thức:

Ví dụ 13:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt sao cho trong các số đó phải

có mặt chữ số 0 và 1?

 Lời giải của học sinh:

Học sinh đã dựa vào tiêu chí của sự phân chia là có mặt hay không có mặt chữ

số 0 và chữ số 1 trong mỗi số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt để phân chia trờnghợp Tuy nhiên cách phân chia trên cha đầy đủ, còn thiếu trờng hợp các số có mặtchữ số 0 nhng không có mặt chữ số 1 và trờng hợp các số có mặt chữ số 1 nhngkhông có mặt chữ số 0

Trong quy tắc nhân phát biểu với mỗi cách thực hiện ở công đoạn A i thì công

đoạn tiếp theo A i 1 có thể làm theo ni+1 cách Nh vậy số cách thực hiện ở công

đoạn tiếp theo không phụ thuộc vào bất kì cách nào đã đợc thực hiện ở công đoạnhiện tại Học sinh không nắm vững đợc điều kiện để thực hiện quy tắc nên dẫn đếnsai lầm trong lời giải

Ví dụ 14:

Lớp 10D cần bầu ra ban cán sự gồm: lớp trởng, lớp phó và bí th biết rằng bancán sự phải chọn từ 4 học sinh u tú: An, Bình, Cảnh và Dũng Nếu nh An không đợclàm lớp trởng; lớp phó phải là Cảnh hoặc Dũng thì có bao nhiêu cách chọn ban cánsự?

 Lời giải của học sinh: