Một số quan hệ trên nửa nhóm chính quy hoàn toàn

Nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy với phần tử đơn vị là lũy đẳng trung tâm.. Blyth và các cộng sự đã đưa ra kháiniệm nhóm con liên kết để mô tả cấu trúc của nửa nhóm orthodox, đó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VINH 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LƯƠNG BÁ TÍNH

NHÓM CON LIÊN KẾT VỚI NỬA NHÓM CHÍNH QUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS LÊ QUỐC HÁN

VINH 2010

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Quốc Hán

Phản biện 1: PGS.TS Ngô Sĩ Tùng Phản biện 2: TS Nguyễn Thị Hồng Loan

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tại Đại học Vinh

Ngày 18 tháng 12 năm 2010

Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện trường Đại Học Vinh

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU ……… … 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……… … 4

1.1 Phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại trong các nhóm ……… 41.2 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm orthodox ……… 51.3 Băng và nửa dàn ……… 9

CHƯƠNG 2 NHÓM CON LIÊN KẾT CỦA NỬA NHÓM CHÍNH QUY 13

2.1 Nhóm con liên kết của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn ……… 13 2.1.1 Thương chính của nửa nhóm ……… 13 2.1.2 Nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn ……… 182.1.3 Nhóm con liên kết của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn ……… 262.2 Nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy với phần tử đơn vị

là lũy đẳng trung tâm ……… 29

2.3 Nhóm con liên kết của nửa nhóm Dubreill – Jacotin hoàn thiện… 35

KẾT LUẬN ……… 41TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 42

LỜI NÓI ĐẦU

Lớp các nửa nhóm chính quy là lớp các nửa nhóm có nhiều tính chất đángquan tâm Tuy nhiên, lớp nửa nhóm này khá rộng nên việc mô tả cấu trúc của lớpnửa nhóm này thường gặp nhiều khó khăn

Năm 1994, trong công trình “ Associate semigroups of orthodox semigroups ”

đăng trên tạp chí “ Glasgow Math.J.”, T.S Blyth và các cộng sự đã đưa ra kháiniệm nhóm con liên kết để mô tả cấu trúc của nửa nhóm orthodox, đó là nửanhóm chính quy với tập hợp các luỹ đẳng tạo thành một nửa nhóm con

Dựa trên bài báo “ On associate subgroups of regular semigroup” của các tác

giả trên đăng trên tạp chí “ Communications in algebra ” năm 1997, chúng tôitìm hiểu về nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ sở của nửa nhóm:Phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại trong nửa nhóm, nửa nhóm chính quy,nửa nhóm orthodox, băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chươngsau

Chương 2 Nhóm con liên kết của nửa nhóm chính quy.

Trong chương này, sau khi trình bày khái niệm nhóm con liên kết trong nửanhóm chính quy, trước hết chúng tôi tìm hiểu cấu trúc nửa nhóm con liên kết củanửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn Sau đó chúng tôi tìm hiểu cấu trúc nhóm con liênkết của nửa nhóm chính quy với phần tử đơn vị là luỹ đẳng trung tâm Cuối cùngchúng tôi tìm hiểu cấu trúc của nhóm liên kết của nửa nhóm Dubreill – Jacotinhoàn thiện Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học Vinh Nhân dịpnày tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Lê Quốc Hán, người đã đặt vấn

đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn

Cuối cùng xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa toán, Khoa sau đạihọc, các thầy cô giáo trong khoa và tổ đại số đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này Mặc dù đã rất cố gắng, song

luận văn không thể trách khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đượcnhững đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các đồng nghiệp

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Phần tử khả nghịch và nhóm con tối đại trong các nửa nhóm.

1.1.1 Đinh nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1 Nếu p và

q là các phần tử thuộc S sao cho pq = 1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q,còn q là nghịch đảo bên phải của p Phần tử khả nghịch bên phải ( trái) thuộc Sđược định nghĩa là phần tử thuộc S có một nghịch đảo bên phải ( trái) thuộc S

Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả

nghịch bên phải

1.1.2 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm có phần tử đơn vị là 1

i Tập P[Q] tất cả các phần tử khả nghịch bên phải ( trái) của S là một nửa nhóm con với luật giả ước phải ( trái) và chứa 1.

ii Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của S và

U = P Q ∩ .Mỗi phần tử khả nghịch có một phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất

thuộc U và không có nghịch đảo bên trái và bên phải nào thuộc tập đó.

iii Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong U.

Chứng minh:

(i) Nếu pq = p’q’ = 1, thì (pp’)(qq’) = 1 điều đó chứng tỏ rằng P và Q là các

P, thì P có nghịch đảo bên phải q, và a = a1 = apq = b1 = b Tương tự Q là nửanhóm với luật giản ước bên trái

u U ∈ thì tồn tại các phần tử x,y ∈ S sao cho xu = uy = 1 Giả sử x và y là cácphần tử tuỳ ý như vậy thuộc S Thế thì x = x1 xuy = 1y = y Do đó mọi phần tửnghịch đảo bên trái của u bằng phần tử nghịch đảo bên phải tuỳ ý, và vì vậy u có

phảivà bên trái khác Từ các đẳng thức uu ′ = u u 1 ′ = suy ra u ′∈ U, thành thử U làmột nhóm

(iii) Giả sử G là một nhóm con tuỳ ý của nửa nhóm S, chứa 1 và a G ∈ Giả sử

Chứng minh Giả sử f là đơn vị của nhóm G Trước hết ta chứng tỏ rằng f= e.

e = ca = caf = ef= eab = ab = f

Vì e là đơn vị hai phía của G, từ đó suy ra G ⊆ eSe. Theo định lý 1.1.2 (iii) ta kếtluận G ⊆ H e.W

1.1.4 Định nghĩa Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối đại

của S, nếu nó không được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác của S Nếu e là đơn vị của nhóm con tối đại G của nửa nhóm S, thì G giao với H e, vì

e.

e G H ∈ ∩ từ đó theo Định lý 1.1.3 có G ⊆ He.Nhưng khi đó H= He do tính tốiđại của G Đảo lại, nếu e là luỹ đẳng của nửa nhóm S thì từ Định lý 1.1.3 ta suy

ra rằng H e là nhóm con tối đại của S Như vậy các nhóm H e trong Định lý 1.1.3

và chỉ có chúng là các nhóm con tối đại của nửa nhóm S

Từ Định lý 1.1.3 cũng suy ra rằng, nếu e và f là các luỹ đẳng khác nhau củanửa nhóm S, thì H evà H f không giao nhau

1.2 Nửa nhóm chính qui, nửa nhóm orthodox

1.2.1 Định nghĩa Phần tử a thuộc nửa nhóm S được gọi là phần tử chính qui,

được gọi là chính qui nếu mỗi phần tử của nó là chính qui.

Chú ý rằng nếu axa = a, thì e = ax là một luỹ đẳng, hơn nữa ea = a Thật vậy,

1.2.2 Bổ đề Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính qui khi và chỉ khi iđêan chính

phải [trái]của bởi nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi luỹ đẳng e nào đó, tức là

aS =eS S a S e = 

Chứng minh Nếu a chính qui, thì axa = a với x nào đó thuộc S và e = ax là

1 1

aS =eS và e2 =e Khi đó a = ex với x nào đó thuộc S1, vì vậy ea = e2x = ex = a;

e = ay Với y nào đó thuộc S1, nên a = ea = aya Nếu y = 1, th ì a = a2 và a = aaa

Do đó trong mọi trường hợp a a∈ Sa, tức là a chính qui

Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S là ngược nhau, nếu aba = a vàbab = b Nếu a và b là các phần tử thuộc nhóm con tối đại H nào đó của một nửanhóm S, đặc biệt khi S chính là một nhóm, thì a và b ngược nhau khi và chỉ khichúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm H với nghĩa thông thường Nếu phần

tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ngược với nó, thì a là chính qui Điều đảo lạicũng đúng Vậy trong một nửa nhóm chính qui mồi phần tử có ít nhất một phần

tử ngược với nó

1.2.3 Bổ đề : Nếu a là phần tử chính qui thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa = a

với x S∈ , thì a có ít nhất một phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax.

Chứng minh: Giả sử b = xax, thế thì aba = a(xax)a = ax(axa) = axa = a

bab = (xax)a(xax) = x(axa)(x ax) = xa(x ax) = x(axa)x = x ax = b Do đó b ngượcvới a

1.2.4 Bổ đề Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong

một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán với nhau.

Chứng minh: Giả sử a và b là các phần tử ngược nhau và giao hoán với nhau

thuộc một nửa nhóm S và e = ab (=ba) Khi đó e là luỹ đẳng, hơn nữa ea = ae = a

và eb = be = b Do đó a và b là các phần tử khả nghịch trong eSe và thuộc nhóm

1.2.5 Bổ đề Nếu e, f, ef và fe là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S, thì ef và fe

ngược nhau.

Chứng minh Ta có (ef) (fe)(ef)=ef 2 2e f = effe=(ef) 2 = ef Tương tự (fe) (ef) (fe) =

1.2.6 Định lý Ba điều kiện sau đối với một nửa nhóm S là tương đương :

(i) S chính quy và hai luỹ đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau;

(ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh luỹ đẳng duy nhất;

(iii) S là nửa nhóm ngược ( tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy nhất).

Chứng minh

( )i ⇒ ( )ii Theo Bổ đề 1.2.2, mỗi iđêan chính phải của S có ít nhất một phần tử

sinh luỹ đẳng Giả thiết rằng e và f là các luỹ đẳng cùng sinh ra một iđêan chínhphải, tức là eS = fS Khi đó ef = f và fe = e Nhưng (i) ef = fe, nên e = f

( )ii ⇒ ( )iii Theo bổ đề 1.2.3 nửa nhóm S chính qui Chỉ cần chứng minh phần

tử duy nhất của phần tử ngược Giả sử b và c ngược với a khi đó

aba = a, bab = b

ac = a, cac = c

Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca nên ab = ac và ba = ca theo (ii)

Do đó b = bab = bac = cac = c

( )iii ⇒ ( )i Rõ ràng một nửa nhóm ngược thì chính qui Chỉ còn phải chứng tỏ

rằng hai luỹ đẳng bất kỳ giao hoán với nhau Trước hết ta chứng minh tích ef củahai luỹ đẳng e và f là một luỹ đẳng Giả sử a là phần tử ngược (duy nhất) của ef,khi đó

(ef) a (ef) = ef, a(ef)a = a

Đặt b =ae Thế thì

(ef) b (ef) = efae2f= efaef = ef,

b (ef) b = ae2fae = aefae = ae = b

Do đó b cũng là phần tử ngược của ef, nên theo tính chất (iii) ae = b = a.Tương tự, có thể chứng tỏ rằng fa = a Do đó

a2 = (ae) (fa) = a(ef)a = a

Nhưng một luỹ đẳng là một phần tử ngược với chính nó, và lại dùng điềukiện (iii) ta kết luận a = ef Như vậy ef là luỹ đẳng Bây giờ giả sử e và f là hailuỹ đẳng bất kỳ Theo điều vừa chứng minh ef và fe cũng là lũy đẳng Theo Bổ

1

a− Vậy

aa− 1a = a và a− 1 aa− 1 = a− 1

Luỹ đẳng e= aa [f=a ] -1 -1a sẽ được gọi là đơn vị trái [phải] của phần tử a; nó

có thể được đặc trưng như luỹ đẳng duy nhất sinh ra iđêan phải [trái] aS [Sa] Về

sau ta sẽ dùng các chú ý đó và và tính chất là các luỹ đẳng thuộc S giao hoán vớinhau mà không giải thích thêm Ta sẽ ký hiệu tập các luỹ đẳng của nửa nhóm S

là E, đó là một nửa nhóm con và thực ra là một nửa dàn con Ta sẽ nói một nửa

Do đó b a− 1 − 1 ngược với ab.W

1.2.8 Bổ đề Nếu e và f là các luỹ đẳng của nửa nhóm ngược S thì

1.2.9 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm Orthodox nếu S là nửa

nhóm chính qui và tập hợp các luỹ đẳng của S là một nửa nhóm con của S

1.3 Băng và nửa dàn

1.3.1 Định nghĩa Một quan hệ ≤ trên một tập X được gọi là một thứ tự bộ

phận của X, nếu (1) a a, ≤ (2) a b ≤ và b a ≤ kéo theo a = b, và (3) a b ≤ và b c ≤

phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta biết a<b nếu a b ≤ và a b ≠ Quan hệngược với quan hệ ≤ [<] thường được ký hiệu bởi ≥ [>]

1.3.2 Ví dụ Giả sử E là tập các phần tử luỹ đẳng của một nửa nhóm S Đặt

e f (e, f ≤ ∈ E) nếu ef= fe = e Nếu e f ≤ thì ta nói e đứng trước f, và f đứng sau e

Ta chứng tỏ rằng quan hệ ≤ đó là một thứ tự bộ phận trên E Giả sử e, f, g ∈ E.

Do đó e g ≤ ta gọi ≤ là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E.

1.3.3 Định nghĩa Phần tử b thuộc tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là cận

trên của tập con Y của X, nếu y b ≤ với mỗi y Y ∈ Cận trên b của tập Y được gọi

nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp đó là duy nhất Cận dưới và cận dưới

lớn nhất hay giao được định nghĩa một cách đối ngẫu Tập sắp thứ tự bộ phận X

được gọi là nửa dàn trên [dưới], nếu mỗi tập con gồm hai phần tử {a, b} của tập

X có hợp [giao] trong X Trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có

tập sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới Dàn X được

gọi là đầy đủ, nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao Mặt khác, tập tất

cả các iđêan trái [phải, hai phía] của phỏng nhóm S, kể cả tập rỗng, đóng đôi vớiphép hợp theo lý thuyết tập cũng như giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại sốBun tất cả các tập con của S

1.3.4 Định nghĩa Băng là một nửa nhóm S mà mỗi phần tử là luỹ đẳng.

Như vậy S = E nếu S là một băng và do đó S được sắp thứ tự bộ phận tự nhiên(a b ≤ khi và chỉ khi ab = ba = a)

1.3.5 Định lý Một băng giao hoán S là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S Giao a b∧ của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chứng minh: Ở trên ta đã chứng tỏ rằng quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên

S (=E) Ta cần chứng tỏ rằng tích ab( = ba) của hai phần tử a, b ∈S trùng vơí cậndưới lớn nhất của {a, b} Từ baa = ba2=ba và (ab)b = ab2= ab suy ra rằng ab a ≤

và ab b ≤ Giả sử c a ≤ và c b ≤ Thế thì (ab)c = c(bc) = ac = c và tương tự c(ab) =

Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X x Y Lý do của tên gọi đó như sau Ta

hãy tưởng tượng X x Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm (x, y) nằm ở dòng xcột y của bảng Thế thì a1 = ( , )x y1 1 và a2 = ( , )x y2 2 là hai đỉnh đối diện của một

hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a a1 2 = ( , )x y1 2 và a a2 1= ( , )x y2 1 Các băng chữ nhật

trên X x Y và X′x Y′ đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi X = X′ và Y = Y′ .

Nếu X = X = 1 , thì băng chữ nhật trên X x Y đẳng cấu với nửa nhóm các

phần tử không bên phải [trái] trên Y [X]

1.3.7 Chú ý.Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp

của các nửa nhóm con rời nhau Sα( α ∈Ω ) Để cho sự phân tích đó có giá trị, điều

Ω tồn tại phần tử γ ∈Ω để S Sα β ⊆Sγ Ta định nghĩa một phép toán đại số trong

Ω bằng cách đặt αβ γ = nếu S Sα β ⊆Sγ Dễ thấy rằng Ω trở thành một băng đối

aϕ = α nếu a S∈ α là đồng cấu S lên Ω, và các nửa nhóm con Sα là các lớp của

băng Ω, thì ảnh ngược Sα = αϕ − 1 của mỗi phần tử α ∈Ω là một nửa nhóm concủa S và S là hợp của băng Ω các nửa nhóm Sα( α ∈Ω ) Nếu băng Ω giao hoán,

ta nói S là hợp của nửa dàn Ω các nửa nhóm Sα( α ∈Ω )

Chương 2 NHÓM CON LIÊN KẾT CỦA NỬA NHÓM CHÍNH QUY

2.1 Nhóm con liên kết của nửa nhóm 0 – đơn hoàn toàn.

2.1.1 Các thương chính của nửa nhóm.

Trong tiết này ta nêu định nghĩa tổng quát của các thương chính của mộtnửa nhóm S tuỳ ý và chứng tỏ rằng chúng đẳng cấu với các thương một chuỗichính tuỳ ý của S nếu chuỗi đó tồn tại

2.1.1.1 Định lý Giả sử J là một iđêan còn T là một nửa nhóm con của nửa nhóm

S, ngoài ra J∩ ≠ ∅T Khi đó J∩T là một iđêan của T, J∪T là một nửa nhóm con của S và

Nên J∪T là một nửa nhóm con của S Rõ ràng J∩T là một iđean của T và

J là một iđêan của J∪T Do đó các nửa nhóm thương Rees (J T)

2.1.1.2 Định lý Giả sử J là một iđêan của nửa nhóm S và giả sử θ là một đồng cấu từ S lên nửa nhóm thương Rixơ S J Khi đó θ cảm sinh ánh xạ một - một bảo tồn quan hệ bao hàm A→Aθ =A J từ tập tất cả các iđêan A của S chứa J lên tập tất cả các iđêan S J và (S J A) ( J) ≅S A

Chứng minh Giả sử S J = (S\J)∪ 0 Khi đó Aθ = A J= A J( )∪ 0 và θ đồng cấunên Aθ là một iđêan của S J Nếu Q là một iđêan tuỳ ý của S J thì A Q= θ − 1 làmột iđêan của S chứa J(= 0 θ − 1) và rõ ràng Aθ =Q Nếu J ⊆ ⊂A B, trong đó A và

được A\ J⊆B \ J Do đó ánh xạ A→Aθ =A\ J ánh xạ lên tập tất cả các iđêan của

S và nó bảo tồn các quan hệ bao hàm chặt, tức là nó là một - một Giả sử A làmột iđêan của S chứa J, giả sử 0 ′ và 0 ′′ là các phần tử không của các nửa nhóm

thương Rixơ đã xét Khi đó

(S J)/(A J) (=   S J)\ (A / J) ] ∪ 0 ′,S /A = (S \ A) ∪ 0 ′′ Vì ( S / J) \ (A / J ) = S \ A,nên hai nửa nhóm thương đó không chỉ đẳng cấu mà thực chất là trùng nhau

2.1.1.3 Hệ quả

(i) Nếu J và J′ là các iđêan của một nửa nhóm S và J⊂ J′, thì J tối đại trong

J′ (với nghĩa không có iđêan nào của S thực sự nằm giữa chúng) khi và chỉ khi

J J′ là iđêan 0 - tối tiểu của S / J Trong trường hợp đó J J′ hoặc là nửa nhóm 0

– đơn hoặc là nửa nhóm với phép nhân không.

(ii) Iđêan J của nửa nhóm S là iđêan (thực sự) tối đại của S khi và chỉ khi S /J không chứa iđêan thực sự khác không, do đó khi và chỉ khi S / J hoặc là 0 – đơn hoặc là một nửa nhóm gồm hai phần tử với phép nhân không.

Giả sử a là một phần tử thuộc một nửa nhóm S Ký hiệu J(a) là iđêan chính

1 1

S aS của S sinh bởi a và ký hiệu J a là ℑ - lớp chứa a, tức là các phần tử sinh

ra J(a) Giả sử I(a) gồm tất cả các phần tử thuộc J(a) mà không sinh ra J(a), tức là

2.1.1.4 Bổ đề Mỗi thương chính của một nửa nhóm tuỳ ý S hoặc là 0- đơn

hoặc là một nửa nhóm với phép nhân không Chỉ trong trường hợp S có hạt nhân thì mới tồn tại thương chính đơn, và trong trường hợp đó hạt nhân là thương chính đơn duy nhất.

iđêan I(a) tối đại trong J(a) Thật vậy, giả thiết rằng B là một iđêan của S mà

I a ⊂ ⊆B J a Giả sử b B I a∈ \ ( ) Khi đó b J a I a∈ ( ) \ ( ) =J a tức là J(b) = J(a).

Nhưng J a( ) ⊆B và vì vậy B = J(a).

Nếu I(a) rỗng thì các lý luận trên chứng tỏ răng iđêan J(a) tối đại trong S và vìvậy phải là hạt nhân của S mà là đơn Nếu I a( ) ≠Ø thì J(a )/I(a) hoặc là một nửa

nhóm 0 – đơn hoặc là nửa nhóm với phép nhân không

2.1.1.5 Định nghĩa Ta gọi chuỗi chính của một nửa nhóm S là chuỗi

nhóm với phép nhân không

2.1.1.6 Định lý Giả sử S là một nửa nhóm có chuỗi chính (1) Khi đó các

thương của chuỗi (1) lấy theo một thứ tự nào đó đẳng cấu với các thương chính của S Đặc biệt các thương của hai chuỗi chính bất kì của S đẳng cấu với nhau Hạng tử cuối cùng của bất kỳ chuỗi chính nào của S là hạt nhân của S.

Chứng minh Ta xét một trong các thương S S i/ i+1 của chuỗi chính (1) Giả sử

từ tập các thương của chuỗi (1) lên tập tất cả các thương chính của S Mệnh đề

2.1.1.7 Định nghĩa Chuỗi (1) các tập con S i của nửa nhóm S được gọi là chuỗi

Iđêan của S nếu chuỗi S i+1 là iđêan của S i (i=1,…,m-1); các nửa nhóm thươngRixơ S S i/ i+1 (i=1,…,m) được gọi là các thương của chuỗi đó Hai chuỗi iđêan gọi

là đẳng cấu nếu các thương của chúng lấy theo một thứ tự nào đó đẳng cấu với nhau Ta nói một chuỗi iđêan là các mịn hoá của một chuỗi iđêan khác nếu mỗi

hạng tử của mỗi chuỗi thứ hai cũng là hạng tử của chuỗi thứ nhất Một chuỗi

iđêan được gọi là chuỗi hợp thành nếu nó không có cái mịn hoá thực sự nào.

Theo Hệ quả 2.1.1.3 (ii) mỗi thương của chuỗi hợp thành (1) hoặc là một nửanhóm 0 – đơn hoặc là một nửa nhóm có hai phần tử với phép nhân không, trừ

thương cuối cùng S m/ ∅ =S m bao giờ cũng là một nửa nhóm đơn (S m là hạt nhâncủa S)

Ta gọi một nửa nhóm S là nửa đơn nếu mỗi thương chính của nó là 0 – đơn

hoặc đơn

2.1.1.8 Định lý Mỗi iđêan của một iđêan tuỳ ý của nhóm nửa đơn S là một iđêan

của S.

Chứng minh Giả sử S là một nửa nhóm nửa đơn, A là một iđêan của S và B là

một iđêan của A Khi đó ABA là một iđêan của S chứa trong B Nếu ABA = Bthì B là một iđêan của S, là điều cần chứng minh Ta chứng minh rằng giả thiết

Giả sử b B ABA∈ \ Vì theo giả thiết S nửa đơn nên thương chính J(b)/I(b) là

Ta đi tới mâu thuẫn vì b J b∈ ( ) và b ABA I b∉ ∪ ( ).W

2.1.1.9 Hệ quả Các hạng tử của một chuỗi iđêan tuỳ ý của một nửa nhóm nửa

đơn S là các iđêan của S Đặc biệt, trong một nửa nhóm nửa đơn các chuỗi chính

và các chuỗi hợp thành không khác nhau.

2.1.2 Nửa nhóm 0- đơn hoàn toàn

2.1.2.1 Định nghĩa Giả sử E là tập các luỹ đẳng của một nửa nhóm S Nếu e,f

∈ E thì ta đặt e≤ f khi và chỉ khi ef = fe = e Quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận

e = f

Ta gọi nửa nhóm đơn [0 - đơn] hoàn toàn là một nửa nhóm đơn [0 - đơn]

chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ

2.1.2.2 Bổ đề Nếu L là một iđêan trái 0 - tối tiểu của một nửa nhóm S với phần

tử 0 thì L\ 0 là một L - lớp của S.

Chứng minh

Giả sử a∈L\ 0 Khi đó hoặc Sa = L hoặc Sa= 0 Nếu Sa = L với mỗi a∈L \ 0 thì

S1a= S1b với a,b bất kỳ thuộc L\0, nên L\ 0⊆ La Nếu c∈La thì c∈S1a= L nên La

⊆L\ 0 Do đó L\0 trùng với L - lớp La

Giả thiết rắng Sa= 0 đối với a nào đó thuộc L\0, khi đó { }0;a là một iđêan tráikhác không của S chứa trong L, do đó L={ }0, a Thế thì S1a = L và S1x= S1a kéotheo x=a Do đó cả trong trường hợp này L\ 0 ={ }a = La.W

2.1.2.3 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm 0-đơn chứa iđêan trái 0- tối tiểu và

iđêan phải 0- tối tiểu Khi đó mỗi iđêan trái 0- tối tiểu L của S ứng với ít nhất một iđêan phải 0- tối tiểu R của S sao cho LR ≠0.

Chứng minh Chú ý rằng LS là một iđêan (hai phía) của S, vì vậy LS =S hoặc

đó thuộc S Từ đó, S là hợp của các iđêan phải 0- tối tiểu B nào đó của S, và rõràng LR ≠ 0.W

2.1.2.4 Bổ đề Giả sử L một iđêan trái 0- tối tiểu của một nửa nhóm 0 – đơn S,

và giả sử a∈ L\ 0 Khi đó Sa = L.

Chứng minh Vì Sa là một iđêan trái của S chứa trong L, nên Sa = 0 hoặc

Sa = L Trường hợp Sa = 0 sẽ dẫn đến mâu thuẫn