Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các AR, ANR không gian

TrƯờng đại học vinhKhoa toán *********** Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các AR, ANR - Không gian Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Lời nói đầu Lý thuyết

TrƯờng đại học vinh

Khoa toán

***********

Một số khái niệm và tính chất cơ bản của

các AR, ANR - Không gian

Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán

Lời nói đầu

Lý thuyết corút là một phần của Tôpô học, đợc bắt đầu xây dựng cách đây

60 năm, trong khoảng thời gian đó, lý thuyết corút đã tích luỹ đợc một nội dung hếtsức phong phú Khái niệm corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối lần đầu tiên đ-

ợc nghiên cứu cho các không gian mêtric compắc Với việc nghiên cứu chi tiếtcorút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compắcgiúp chúng ta hiểu biết sâu sắc hơn nhiều kiến thức về lý thuyết tập hợp và Tôpô

đại số Mục đích của khoá luận là tìm hớng nghiên cứu này Trong trờng hợp

, ,

X Y Z là các không gian Hausdorff, M - là họ tất cả các không gian mêtric Vớimục đích đó dựa vào các tài liệu tham khảo, khoá luận đợc trình bày thành các mục

1 Các kiến thức chuẩn bị Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơbản cần dùng trong khoá luận.

2 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các AR ANR, không gian Trongmục này chúng tôi trình bày Định nghĩa corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đốitrên lớp các không gian mêtric compắc, một số tính chất đặc trng của nó Mối liên

hệ giữa AR ANR, không gian với đa diện hình học, một số Định lý về thác triển ánhxạ, nhúng những cái compắc vào AR

3 Kết luận

4 Tài liệu tham khảo

Khoá luận đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy

giáo PGS.TS Tạ Khắc C.

Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS TạKhắc C – ngời thầy đã tận tình hớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập vànghiên cứu Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,các thầy cô trong Tổ Giải tích, Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy Cuối cùng tácgiả cảm ơn tất cả các bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 46B1-Toán đã động viêngiúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành khoá luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì năng lực còn hạn chế nên luận vănkhông thể tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức Vì vậy, chúngtôi rất mong nhận đợc những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và nhữnggóp ý của bạn đọc

Vinh, tháng 5 năm 2009

1 Các kiến thức chuẩn bị

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bảncần dùng trong khoá luận Trong suốt luận văn này chúng tôi giả thiết các khônggian X Y Z, , là T2 - không gian và các ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.1 Cho X Y, là các không gian Hausdosff nghĩa là T2 - khônggian ánh xạ f :X  Y đợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại nghịch phải g:Y  Xsao cho

Y

Y

fg:  là ánh xạ đồng nhất

Định nghĩa 1.2 Giả sử Y là tập con của X Khi đó, ánh xạ f :X  Y đợc gọi

là ánh xạ corút (hay phép corút) nếu ánh xạ lồng i:Y  X là nghịch phải của f Nghĩa là f x( ) x với mọi điểm x  Y.

Định nghĩa 1.3 Tập con X0 của không gian X đợc gọi là cái corút của X

nếu tồn tại phép corút từ X lên X0

Định nghĩa 1.4 Tập con đóng X0 của không gian X đợc gọi là cái corút

lân cận của X , nếu X0 là cái corút của tập con mở U  X, và X 0 U.

Định nghĩa 1.5 Ta nói không gian mêtric X là cái corút tuyệt đối với các

không gian mêtric Y  M ( M là họ tất cả các không gian mêtric) nếu với mỗi đồngphôi h:X  h(X) đóng Y thì ( ) là cái corút của Y Ta kí hiệu X  AR (M).

Định nghĩa 1.6 Ta nói không gian mêtric X là cái corút lân cận tuyệt đối

với mọi không gian mêtric Y  M (M là họ tất cả các không gian mêtric) nếu vớimỗi đồng phôi h:X  h(X) đóng Y thì tồn tại lân cận mở U của h(X) U Yvàtồn tại r:U  h(X) là ánh xạ corút Ta kí hiệu X  ANR (M).

Định lý 1.7 (Định lý Kuratowski) Đối với mỗi không gian mêtric (X,  )

tồn tại không gian định chuẩn Z và đồng phôi h:X  h(X) Z và ( ) đóng trong bao lồi C h X( ( )).

Chứng minh Ta có thể giả thiết diam X  ( , ) 1(với diam là đờng kính) Vì

nếu diam (X,  )  1 thì đặt

) , ( 1

) , ( )

, (

y x

y x y

Khi đó f  sup f(x) là chuẩn trên Z

Ta xây dựng đồng phôi h:X  h(X) Znh sau

Từ (1) và (2) ta suy ra  ( , )x x1 2  *(f x1, f x2). Vậy h là đồng phôi

Ta còn phải chứng minh ( ) đóng trong bao lồi C h X( ( )). Giả sử

( ( )).

f C h X Ta đặt lim , ( )

x x n









Không mất tính tổng quát ta giả thiết các i khác nhau và tìm đợc 0 thoả

1

Định lý 1.8 (Định lý Dugundji) Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric ( , )X d , còn Y là không gian lồi địa phơng Khi đó mỗi ánh xạ f A: Y có thác triển liên tục f X:  Y. Hơn thế nữa tất cả các giá trị f có thể lấy từ bao lồi

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử XAR M( ) ta chứng minh X r Q( ) với

Q là tập lồi nằm trong không gian định chuẩn Z

Theo Định lý Kuratowski tồn tại Q lồi Zđịnh chuẩn sao cho ánh xạ đồngphôi h X:  h X( ) trong Q lồi Z Theo giả thiết XAR nên tồn tại ánh xạ corút

1 : ( )

gh h X Q

toàn bộ không gian X  Khi đó ta đặt r x( )  h f( ( ( )))   x với mọi x X Ta nhận

đ-ợc r X:   h X( ) là phép corút Thật vậy, với y h x ( ) h X( ) thì

( ) ( )( ) ( )

r y  hf h x h x y Suy ra X  AR (M)

Định lý đợc chứng minh

Định lý 1.10 (Tính chất đặc trng của ANR(M)) Để không gian mêtric X

là ANR M( ) điều kiện cần X là r - ảnh của một lân cận mở nằm trong tập lồi Q

nằm trong không gian tuyến tính định chuẩn Z Điều kiện đủ X là r - ảnh của tập con mở nằm trong tập Q lồi của không gian tuyến tính lồi địa phơng nào đó.

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử XANR M( ) áp dụng Định lýKuratowski tồn tại đồng phôi h X:  h X( ) đóng trong Q lồi Zđịnh chuẩn, suy ratồn tại r U:  h X( ) là ánh xạ corút (U là lân cận mở của h X( ) trong Q) Do đó

U    U U  là lân cận của ( ) trong X  Đặt r x( )  h f( ( ( )))   x với mọi

x U   Ta nhận đợc ánh xạ r corút U  lên h X( ) Vậy X  ANR (M)

Định lý 1.11 Giả sử Y là không gian mêtric, khi đó

(i) Y là AR M( ) không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của không gian mêtric X  , và mỗi ánh xạ f X: Y đều có thác triển liên tục

:

f X   Y

(ii) Y là ANR M( ) không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của không gian mêtric X  , mỗi ánh xạ f X:  Y đều có thác triển liên tục f U :  Y là lân cận U của X vào X 

Định lý 1.12 (Tính phân phối của các AR(M), ANR(M) không gian).

Giả sử không gian mêtric X là hợp của hai tập con đóng X X1, 2 của nó và

(iv) Nếu X X, 0ANR M( ) thì X X1, 2ANR M( ).

Chứng minh Để chứng minh (i) ta cần chứng minh rằng nếu X là tập con

đóng của không gian mêtric Z và X X X0, 1, 2AR M( ), thì X là cái corút của Z

Đặt

0 : ( , 1 ) ( , 2 )

Z  z Z  z X   z X

, ( )

của X0 trong không gian Z0 và đóng trong Z0, và phép corút r W0: 0  X0 Đặt

0 ( ), ( )

X ANR M , và nhờ Định lý 1.11, suy ra tồn tại thác triển liên tục r V i : i  X i của

ánh xạ r i từ lân cận V i của tập X i W0 vào Z iZ0 Trong V i ta sẽ tìm đợc lân cận

đóng U i của tập X i trong không gian Z0Z i sao cho U iZ0 W0 Bởi vì

, )

( )

1 2

Nh vậy (ii) đợc chứng minh

Chứng minh tơng tự cho (iii) và (iv) ta suy ra Định lý đợc chứng minh

Định lý 1.13 Không gian X là AR M( )- không gian khi và chỉ khi X là

( )

ANR M - không gian và corút điểm.

Chứng minh Ta đã có, mỗi AR- không gian là corút điểm vào ANR- không gian Ta xem X là tập con đóng của tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z

nếu z X i

nếu z Z 0,

nếu z W 0

nếu z X i

nào đó Vì X corút điểm nên tồn tại họ  f t các hàm liên tục f tX X sao cho f0

biến X vào một điểm a X , còn f1 là ánh xạ đồng nhất Đặt f x0 ( ) a với mọi

điểm x Q ta đợc thác triển liên tục f Q0 :  X của f0 Áp dụng Định lý (Định lý

Nếu X là tập con đóng của không gian mêtric X  , và giả sử YANR M( ) Xét họ

ánh xạ  f t , t 0,1 với f X t:  Y và giả thiết rằng f0 có thác triển liên tục

 là ANR (M)- không gian khi và chỉ khi

mỗi X nANR M( ) và hầu hết X nAR M( ).

Định lý 1.15 (Định lý Hanner I) Mỗi tập con mở của ANR (M)- không gian là ANR (M)- không gian.

Định lý 1.16 (Định lý Hanner II) Nếu không gian mêtric X là hợp đếm

đ-ợc của các tập con mở G i của X i ( 1, 2, ) là các ANR - không gian thì X là ANR không gian.

-Bổ đề 1.17 Nếu X là tập con đóng của không gian Euclide E n và G là một trong những thành phần liên thông bị chặn của E n\X , thì không tồn tại ánh xạ liên tục f G:  X sao cho f x( ) x với mỗi x G G \

Hệ quả 1.18 Mỗi r - ảnh của AR M( ) không gian là AR M( ) không gian.

Chứng minh Bởi không gian mêtric X là AR M( ) không gian thì theo Định

lý 1.9 X là r- ảnh của một tập lồi QZ với Z là không gian định chuẩn Nghĩa làtồn tại r- ánh xạ f Q:  X và khi đó ta viết X f Q( ) Bây giờ kí hiệu g là r- ánh

xạ g X:  g X( ) Khi đó g X( ) gf Q( ) Vì gf là tích hai r- ánh xạ nên nó là r- ánhxạ Vậy g X( ) là r-ảnh của tập lồi Q nằm trong không gian định chuẩn Z Theo

điều kiện đủ của Định lý 1.9 thì g X( ) là AR M( ) không gian

2 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các

AR, ANR – Toán không gian

Trong mục này, ta trình bày Định nghĩa AR ANR, không gian và một số tínhchất riêng của AR ANR,

Định nghĩa 2.1 Không gian X đợc gọi là corút tuyệt đối hay AR - không gian X - nếu compắc và là AR M( )- không gian Kí hiệu XAR

Định nghĩa 2.2 Không gian X đợc gọi là corút lân cận tuyệt đối hay

ANR - không gian nếu X compắc và ANR M( )- không gian Kí hiệu XANR

Định lý 2.3 Không gian X là AR khi và chỉ khi X là r - ảnh của hình hộp Hilbert.

X là ANR khi và chỉ khi X là r - compắc ảnh của tập con mở của hình hộp Hilbert.

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử XAR Theo Định lý Urysohn tồn tại

đồng phôi h X: Q

 Bởi vì X compắc, tập ( ) đóng trong Q, và XAR M( ),

cho nên tồn tại ánh xạ corút r Q:  h X( )

 là r - ánh xạ và X

là r- ảnh của hình hộp Q Bây giờ giả sử XANR, cũng lí luận nh trên ta có ánhxạ đồng phôi h từ X lên tập con đóng ( ) trong Q Bởi vì XANR nên tồn tạilân cận mở U của h X( ) trong Q và ánh xạ corút r U:  h X( ) Khi đó ánh xạ

ảnh compắc của tập con mở trong Q là không gian ANR M( )- compắc

Định lý 2.4 Không gian mêtric compắc X là AR - không gian khi và chỉ khi mỗi ánh xạ đồng phôi h X:  h X( ), ( ) đóng trong cái compắc Y , thì ( ) là cái corút của Y

Chứng minh Điều kiện cần Nếu XAR, thì h X( ) AR M( ) và đóng trong

Y Ta suy ra h X( ) là cái corút của Y

Điều kiện đủ Giả sử X là cái compắc, có ánh xạ đồng phôi h X:  h X( ) Y,

Y là cái compắc, ( ) là cái corút của Y Ta xét phép corút r Q:  h X( )

1 :

h r Q  X

 là r- ánh xạ áp dụng Định lý 2.3 ta có XAR

Định lý 2.5 Mỗi r - ảnh của AR - không gian (hoặc ANR - không gian) là

AR - không gian (hoặc ANR - không gian).

Chứng minh Ta chứng minh r- ảnh của AR- không gian là AR- khônggian

Giả sử X là AR- không gian, theo Định lý 2.3 ta có X r Q(  )

Bây giờ ta chứng minh r- ảnh của ANR - không gian là ANR- không gian.Giả sử XANR, theo Định lý 2.3 ta có X f U( ), trong đó U là tập mở trong

Q, f là r- ánh xạ compắc từ U lên X ( :f U  X) Giả sử g với g U:  g X( ) là

r- ánh xạ Khi đó g f U :  g X( ) là r- ánh xạ compắc Nh vậy g X( ) là r- ảnh

( )

Định lý 2.6 XAR khi và chỉ khi XANR và X corút điểm.

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử XAR, ta suy ra XAR M( ) và X

compắc Do đó XANR và X corút điểm (áp dụng Định lý 1.13)

Điều kiện đủ Từ XANR và X corút điểm suy ra XANR M( )và X

compắc Nh vậy XANR M( )và X corút điểm nên theo Định lý 1.13 ta có

( )

XAR M Do XAR M( ) và X compắc nên XAR

Định lý 2.7 Mỗi corút lân cận của ANR - không gian là ANR - không gian.

Chứng minh Giả sử XANR, suy ra XANR M( ) Theo Định lý 1.10 tồntại r- ánh xạ f G:  X , với G mở trong tập lồi QZ, Z là không gian định chuẩnvới nghịch phải g X:  G Giả sử X0 là cái corút lân cận của X, khi đó tồn tại mộtlân cận mở  X thoả mãn X0   X và ánh xạ corút r U:  X0 Đặt H f 1 ( )U



thì H mở trong Q (vì f liên tục)

Đặt f z0( ) r f z ( ) với z H , ta có f0 là r- ánh xạ từ H vào X0 Khi đặt

0 ( ) ( )

g x g x thì với x X 0 ta đợc g X0: 0  H là nghịch phải của f0.

Thật vậy, với x X 0 ta có f g x0 ( )0 r f g x ( ) r x( ) x.

Vậy X0 là r- ảnh của tập con mở H trong tập lồi Q nằm trong không gian

định chuẩn Z, nên theo Định lý 1.10 ta có X0ANR M( ) Mặt khác X0 là cái corútlân cận của X nên X0 đóng trong X compắc, do đó X0 compắc Vậy X0ANR

Định lý 2.8 Mỗi ANR - không gian chỉ có hữu hạn thành phần liên thông.

Để chứng minh Định lý này ta cần đến Bổ đề sau đây

Bổ đề Mỗi thành phần liên thông là tập đóng.

Chứng minh Giả sử L x i là thành phần liên thông của điểm xi trong

X ANR Khi đó ta có bao hàm thức:

j J U i I

 

vô hạn thành phần liên thông Điều này mâu thuẫn với giả thiết XANR Vậy X

chỉ chứa hữu hạn thành phần liên thông

Định lý 2.9 Mỗi thành phần liên thông của ANR - không gian là ANR không gian.

-Chứng minh Giả sử A j là thành phần liên thông củaX0ANR, ta đã chứngminh A j đóng trong X compắc Vậy A j compắc áp dụng Định lý 2.8 ta có

Do A i đóng và hợp hữu hạn các phần tử đóng là đóng, ta suy ra A j mở trong

X , và XANR nên X là tập con mở của ANR M( )- không gian Vậy ta có

( )

j

A ANR M Ngoài ra A j compắc nên A jANR

Định lý 2.10 Mỗi đa diện hình học là ANR

Chứng minh Mỗi đa diện hình học là tập compắc, vì nó có số tam giác

phân hữu hạn Vì vậy ta chỉ cần chứng minh đa diện hình học là ANR M( )- khônggian

Giả sử X là đa diện n- chiều, với J là tam giác phân của nó Từ đó ta có J

chỉ gồm hữu hạn phần tử, vì X compắc Kí hiệu K là số đơn hình hình học của nó,

ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

1

không gian

Giả sử K m 1, ta giả thiết Định lý đúng với mọi đa diện có số đơn hình

.

K m

Giả sử  là đơn hình n- chiều của J, gọi J1 là tam giác phân nhận đợc từ J,bớt một đơn hình  Ta thu đợc đa diện X1 với tam giác phân J1 Theo giả thiếtquy nạp X1ANR M( ) ĐặtX0  *, với *

 là biên của  Khi đó  * X0ANR M( ),vì X0 là một phần của X1 với tam giác phân J1 (k m ); X2    ANR M( ) Ta có

X X X AR (hoặc ANR) Cần chứng minh XAR (hoặc ANR)

Vì hợp hữu hạn các tập compắc nên X X1X2 compắc Theo Định lý phânphối (Định lý 1.12) suy ra X X1X2AR M( ) (hoặc ANR M( ))

Vậy XAR (hoặc ANR)

Định lý 2.12 Nếu hợp và giao hai cái compắc là AR - không gian (hoặc

ANR - không gian) thì mỗi một từ chúng là AR - không gian (hoặc ANR - không gian).

Chứng minh Giả sử X X1X2AR M( ), (hoặc ANR M( ));

X ANR và hầu hết các X nAR - không gian.

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử

XANR M và X - compắc Từ đó suy ra X nANR M( ) và hầu hết X nAR M( )

(Định lý 1.14) Vì X compắc nên X n compắc với mọi n IN