Một số kết quả về iđêan và ứng dụng

Cũng chính nhờ công cụ iđêan mà chúng ta lí giải đợc một vấn đề có ý nghĩa về phơngpháp nghiên cứu trong toán học sau đây: Một hệ phơng trình đại số tuỳ ý n-ẩn trên trờng K luôn tơng đơn

Trêng §¹i häc Vinh

Khoa To¸n -  -

Mở đầu

Iđêan là khái niệm quan trọng nhất để nghiên cứu vành Nó đóng vai trò nh nhóm conchuẩn tắc trong lí thuyết nhóm Dùng khái niệm này có thể trả lời trọn vẹn đợc vấn đề đặc trnghạt nhân của đồng cấu vành “Tập con I ≠ ∅ của vành R là iđêan của vành R khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu vành f R : → S từ vành R vào một vành S nào đó ” Dùng công cụiđêan chúng ta cũng thu đợc điều kiện cần và đủ để một miền nguyên X là trờng, thể hiện qua

định lí sau: “Miền nguyên X là trờng nếu và chỉ nếu X chỉ có hai iđêan là 0 và X”

Cũng chính nhờ công cụ iđêan mà chúng ta lí giải đợc một vấn đề có ý nghĩa về phơngpháp nghiên cứu trong toán học sau đây: Một hệ phơng trình đại số tuỳ ý n-ẩn trên trờng K luôn tơng đơng với hệ hữu hạn phơng trình đại số n-ẩn trên K.

Với những lí do trên, khoá luận này tập trung nghiên cứu, tìm hiểu lí thuyết iđêan và tìmtòi các ứng dụng của chúng về các phơng diện Đại số, Số học và Hình học

Khoá luận gồm hai chơng cùng với phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo Chơng 1của khóa luận nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong Đại số giao hoán làm cơ sở cho các phầnsau Trong toàn bộ khóa luận này chỉ xét vành giao hoán, có đơn vị Kết quả chính của chơng 1 làtìm cách giảm nhẹ điều kiện của “Định lý tránh nguyên tố” bằng cách thay điều kiện tất cả cáciđêan đều nguyên tố bởi giả thiết có thể có tối đa hai iđêan không nguyên tố (Định lí 1.2.9) Cũngtrong chơng 1, khóa luận nghiên cứu về các loại iđêan đặc biệt: Iđêan căn, iđêan hữu hạn sinh,iđêan nguyên sơ, iđêan của tập đại số Ngoài ra khoá luận còn chỉ ra và chứng minh đợc một sốtính chất của các phép toán cộng, nhân, chia, khai căn trên các iđêan (mệnh đề 1.3.3) Ch ơng 1của khoá luận còn đa ra một số kết quả:

• Xây dựng một phản ví dụ về vành Noether bằng cách chỉ ra trong vành đó có nhữngiđêan không hữu hạn sinh (mệnh đề 1.1.9)

• Nếu vành đa thức R[X] là vành Noether thì vành R cũng là vành Noether

• Vành đa thức vô hạn biến trên một trờng tuỳ ý không phải là vành Noether

• Vành đa thức R[X] là vành chính khi và chỉ khi R là trờng và số biến là 1

Một trong những kết quả cơ bản nhất về vành đa thức, đó là nội dung của định lí Hinber

về cơ sở, nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trờng là hữu hạn sinh Mặt khác, cấu trúc iđêancủa vành đa thức một biến trên một trờng đã đợc mô tả rất tờng minh, bởi vì lớp vành này thoảmãn định lý về phép chia đa thức Mặc dù kết quả đơn giản, nhng chứng minh của nó chứa đựng ýtởng sâu sắc để mở rộng cho trờng hợp nhiều biến Do vậy, chơng 2 của khoá luận dành cho việcnghiên cứu iđêan trong vành đa thức nhiều biến Khóa luận đã giới thiệu một số bài toán về đa

thức và giải quyết một số trờng hợp cụ thể Cũng cần nói thêm rằng, iđêan nguyên tố là khái niệm

mở rộng của khái niệm số nguyên tố, vì vậy nó có nhiều ứng dụng sâu sắc trong nhiều lĩnh vựctoán học khác nhau Chơng 2 đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính bất khả quy của tập đại số với tínhnguyên tố của iđêan liên kết với nó (định lí 2.1.9) Phần cuối của khóa luận, xét lớp iđêan đặc biệt

là iđêan đơn thức, với các kết quả chủ yếu ở đây là tìm tòi một số tính chất số học trên lớp cáciđêan này

Trong khoá luận cũng giới thiệu một số thuật toán liên quan đến các bài toán tìm tập sinhtối tiểu của iđêan Thông qua một số thuật toán, chứng tỏ rằng việc tính toán hình thức trên cáciđêan có thể thực hiện đợc Những thuật toán đó có thể lập trình hóa và có thể tính toán với sự trợgiúp của các phần mềm tin học

Kết quả chính của khoá luận đã đợc nhận đăng trong bài báo “Một số tính chất số học của các iđêan” , Tạp chí Khoa học - Đại học Huế, 2006.

Khoá luận đợc thực hiện tại Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn nghiêm túc

và chu đáo của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơnsâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn – PGS TS Ngô Sỹ Tùng

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới PGS.TS Nguyễn Qúy Di, PGS.TS LêQuốc Hán và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán đã tận tình dạy bảo chúng emtrong thời gian học tập vừa qua, dới mái trờng Đại học Vinh thân yêu

Khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận đợc sự chỉ bảo và góp ýcủa các thầy cô giáo

Tác giả

Nguyễn Thị Phơng Nhung

Chơng 1 Iđêan nguyên tố

1.1 Vành các hàm số thực liên tụcTrớc hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về vành Khóa luận không đisâu vào khía cạnh trừu tợng của lí thuyết mà chú ý minh họa cụ thể bằng vành đa thức vàvành các hàm số thực liên tục Một số kết quả đã quen thuộc trong Đại số sẽ đợc phép sửdụng và không nhắc lại

1.1.1 Vành Vành là một tập hợp khác rỗng R đợc trang bị phép toán cộng (+) và phép

toán nhân (.) thỏa mãn các tính chất sau:

1) Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán

2) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức là với mọi a , , b c ∈R, ta có

).

( ) (ab c=a bc

3) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi a , , b c ∈R, ta

có

)

( , )

(b c ab ac b c a ba ca

Phần tử đơn vị của nhóm cộng R đợc gọi là phần tử không của vành R và ký hiệu là 0.

Vành R đợc gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân trong R có phần tử đơn vị, nghĩa là nếu R

chứa phần tử 1R (hay 1) thoả mãn:

∈

∀

Vành R đợc gọi là vành giao hoán nếu với mọi a, b ∈R, ta có ab=ba

Trong toàn bộ khóa luận này chỉ xét vành giao hoán, có đơn vị Vành chỉ có một phần

tử không kí hiệu là 0R (hay 0) và gọi là vành không.

Ví dụ 1 • Tập các số nguyên Â; Tập các số hữu tỉ Ô ; Tập các số thực Ă ;

Tập các số phức Ê với các phép cộng và nhân thông thờng lập thành các vành Tuy nhiên,

tập các số tự nhiên Ơ không phải là vành

• Tập Ă [x] các đa thức của biến x với hệ số thực, với các phép cộng và nhân

đa thức thông thờng lập thành một vành

• Tập C[a,b] các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] với các phép cộng và nhân

ta xét)

1.1.2 Miền nguyên Cho R là một vành và a ∈ R Phần tử a≠0 đợc gọi là

1) ớc của 0 nếu trong R tồn tại b≠0 sao cho ab=0

2) khả nghịch (hoặc đơn vị) nếu tồn tại phần tử c ∈ R sao cho ac=1

Vành R không chứa ớc của 0 đợc gọi là miền nguyên.

Ví dụ 2 • Vành  là miền nguyên có hai phần tử khả nghịch là 1 và -1 Vành C[a, b]

không phải là miền nguyên và hàm số f (x ) ∈C[a,b] khả nghịch khi và chỉ khi

b x

tr-p là số nguyên tố, vành Âp các số nguyên môđun p lập thành một trờng gồm p phần

tử

1.1.4 Vành con Một tập con S của vành R đóng kín với phép cộng và phép nhân của R

đ-ợc gọi là một vành con của vành R nếu S chứa phần tử đơn vị 1 của R và bản thân nó cùng

với các phép toán cảm sinh lập thành một vành

Ví dụ 3 • Mỗi vành tuỳ ý khác vành không luôn có ít nhất hai vành con đó là vành con tầm thờng 0 và chính nó Vành số nguyên  chỉ có hai vành con là 0 và  Tuy nhiên  là vành con của các vành Ô Ă Ê , , .

• Tập các đa thức một biến hệ số thực là một vành con của vành C[a, b]

• Tập các số nguyên chẵn 2 tuy là nhóm con của nhóm cộng  và đóng kín đối

với phép nhân nhng không phải là vành con của vành  vì nó không có đơn vị

Để kiểm tra một tập con S của vành R có là vành con của R hay không ta th ờngdùng tiêu chuẩn gồm 3 điều kiện sau:

(1) 1 ∈S (2) Nếu a, b ∈S thì a – b ∈S (3) Nếu a, b ∈S thì ab ∈S

1.1.5 Đồng cấu vành Cho f : R → S là ánh xạ từ vành S tới vành R Khi đó, ta gọi f là

đồng cấu vành nếu các điều kiện sau thỏa mãn đối với mọi a,b ∈R:

R R



với phép toán cộng

) , ,

( ) , , ( ) , , (a1 a n + b1 b n = a1+b1 a n +b n ,

và với phép toán nhân

) , , (

) , , )(

, , (a1 a n b1 b n = a1b1 a n b n ,

trong đó a i,b i∈R lập thành một vành (giao hoán có đơn vị) Vành

R R



xây dựng nh trên đợc gọi là tích trực tiếp của các vành R1 , R2 , , Rn

1.1.7 Iđêan của vành Một tập con khác rỗng I của vành R đợc gọi là iđêan (ideal) của

vành R nếu I thỏa mãn các điều kiện:

(1) Nếu a, b ∈I thì a + b ∈I

(2) Nếu a ∈I và r ∈R thì ra ∈I

Nếu I là iđêan của vành R thì - a = (-1)a ∈I với a ∈I Do đó, iđêan I là nhóm concủa nhóm cộng R và là vành con theo nghĩa rộng (tức không cần điều kiện chứa 1) nhngkhông là vành con theo quy ớc của chúng ta

Ví dụ 4 • Tập n  là các iđêan trong vành Â, với mọi số nguyên n Tập con I các hàm

liên tục và triệt tiêu tại x0∈[a,b] là iđêan của vành C[a,b]

1.1.8 Iđêan hữu hạn sinh Cho R là một vành và A là tập con khác rỗng của R Khi đó,

tập hợp: < >= A { r a1 1+ + L r an n n N r ∈ ; , ,1 rn∈ R a ; , ,1 an∈ A }

là một iđêan bé nhất của R chứa A Tập con A đợc gọi tập sinh hay hệ sinh của iđêan I

= < A > và ta nói I là iđêan sinh bởi A

Tập A đợc gọi là tập sinh tối tiểu của iđêan I = < A > nếu A không chứa thực sự

một tập sinh nào khác của I Ta nói iđêan I là iđêan hữu hạn sinh nếu I có một hệ sinh hữu

hạn

Ví dụ 5 • Mọi iđêan trong vành  đều sinh bởi một phần tử (iđêan chính).

• Một iđêan có thể có nhiều tập sinh tối tiểu Chẳng hạn {1}, {2 , 3} là các tập sinh tốitiểu của iđêan  trong vành  Có thể chứng minh rằng iđêan này có vô số tập sinh tốitiểu

1.1.9 Mệnh đề Tồn tại vành có những iđêan không hữu hạn sinh.

Chứng minh Chẳng hạn xét vành C[0,1] Chọn f n là hàm liên tục sao cho f n(x) > 0 nếu

1

/

1 n<x≤ và f n(x) = 0 với 0≤ x≤1/n Đặt

J = < f f1 2, , , fn, >.Iđêan này không hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử tồn tại g 1 , g 2 , , g m ∈J sao cho J =

Nh vậy J = < f f1 2, , , fp > Từ đó suy ra f p+ 1 biểu diễn đợc qua các hàm f1, f2, , f p

trong vành đang xét Lại do f1( 1 /p) = = f p( 1 /p) = 0 cho nên f p+1( 1 /p) = 0 Nhng vì

1

/

1

/

1 p> p+ nên fp+1(1/ ) 0 p > , do đó ta gặp phải một mâu thuẫn Vậy iđêan J không là

iđêan hữu hạn sinh

1.1.10 Mệnh đề Cho J là iđêan của vành C[a,b] gồm tất cả các hàm triệt tiêu tại x 0 ∈

[a,b] Khi đó, vành thơng C[a, b] /J đẳng cấu với vành các số thực Ă .

Chứng minh Lập ánh xạ ϕ: C[a,b] → Ă xác định bởi ϕ(f) = f(x 0 ), với mọi hàm f(x) ∈

C[a,b] Ta có ϕ là một đồng cấu vành và có hạt nhân ker(ϕ) = J Thật vậy, với mọi f , g ∈

C[a,b] ta có:

• ϕ(f + g) = (f + g)(x 0 )= f(x 0 ) + g(x 0 ) =ϕ(f) + ϕ(g),

• ϕ(f g) = (fg)(x 0 )= f(x 0 )g(x 0 ) = ϕ(f)ϕ(g),

• ϕ(1C[a,b]) = 1C[a,b] (x0) = 1.

Ngoài ra, với mọi y∈Ă luôn có hàm hằng liên tục f(x) = y thuộc C[a,b] sao cho

ϕ(f) = y, hay ϕ là một toàn cấu vành

Vì hạt nhân của đồng cấu ϕ là iđêan J, do đó theo định lý đồng cấu vành ta suy ra

điều cần phải chứng minh

1.1.11 Định nghĩa (xem [7]) Cho R là vành Các điều kiện sau tơng đơng:

(i) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm thức).

(ii) Mọi dây chuyền tăng các iđêan

đều dừng sau hữu hạn bớc, tức là tồn tại k để I k =I k+1= 

(iii) Mọi iđêan của vành R đều hữ hạn sinh.

Một vành R thoả mãn một trong ba điều kiện trên đợc gọi là vành Noether.

1.1.12 Quan hệ thứ tự trên một tập hợp.

Cho X là một tập khác rỗng Quan hệ hai ngôi (quan hệ) trên tập X là một tập con

ℜ của tích Đềcác X x X Ta viết xℜy thay cho (x,y)∈ℜ Quan hệ ℜ trên tập X đợcgọi là quan hệ thứ tự nếu nó thoả mãn các điều kiện sau đây, với mọi x , , y z ∈X :

(i) xℜy(tính chất phản xạ),

(ii) Nếu xℜy và yℜz thì xℜz(tính chất bắc cầu),

(iii) Nếu xℜy và yℜx thì x= y(tính chất phản đối xứng).

Rõ ràng quan hệ ≤ trên tập hợp các số thực là một thứ tự Vì vậy, thứ tự ℜ thờng

đợc ký hiệu bởi ≤ Nếu trên tập X có một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói tập X là tập đợc sắp thứ tự Quan hệ thứ tự ≤ trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần hoặc quan hệ thứ

tự tuyến tính nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh đợc với nhau, nghĩa là x≤y hoặc

x

y≤ với ∀x,y∈X Khi đó, ta còn nói X là tập đợc sắp thứ tự hoàn toàn.

1.1.13 Định nghĩa Cho X là một tập đợc sắp bởi thứ tự ≤ và A ⊆X Phần tử a ∈ A

đ-ợc gọi là phần tử tối tiểu (tuơng ứng tối đại) nếu với mọi b ∈ A mà b≤a (tơng ứng

b≤ ) Tập X đợc gọi là tập đợc sắp thứ tự tốt nếu nó đợc sắp hoàn toàn và mọi tập con

khác rỗng của nó đều có phần tử bé nhất

Bổ đề sau đây hay đợc sử dụng trong các chứng minh toán học

1.13 Bổ đề Zorn Nếu X là tập đợc sắp sao cho mọi tập con khác rỗng đợc sắp hoàn toàn

của nó bị chặn trong X, thì X có phần tử tối đại.

1.2 Iđêan nguyên tố

1.2.1 Định nghĩa Một iđêan thực sự I của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu ab∈I

thì a∈I hoặc b∈I , với mọi phần tử a, b của vành R Iđêan thực sự I của vành R đợc

gọi là iđêan cực đại nếu chỉ có hai iđêan của vành R chứa I là I và R.

Khái niệm iđêan nguyên tố là mở rộng của khái niệm số nguyên tố: Số tự nhiên p>1 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu p / ab suy ra p / a hoặc p / b , với mọi số nguyên a, b

Thực vậy, có thể kiểm tra đợc rằng vành số nguyên  chỉ có các iđêan nguyên tố kháckhông là p Â, trong đó p là số nguyên tố

1.2.2 Mệnh đề Cho I là iđêan thực sự của vành R Khi đó, ta có

a) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thơng R/I là miền nguyên.

b) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thơng R/I là trờng.

Chứng minh a) ChoI là iđêan nguyên tố Giả sử 0 ≠ a b R I , ∈ / , khi đó a b I , ∉ và do đó

ab I ∉ Vì vậy, ab ab = ≠ 0 hay R I / là miền nguyên

Ngợc lại, giả sử R I / là miền nguyên Với ∀ a b R , ∈ , giả sử ab I ∈ , khi đó

0

ab ab = = Do R I / là miền nguyên cho nên a = 0 hoặc b = 0 hay a I ∈ hoặc b I ∈ Vì vậy, I là iđêan nguyên tố

b) Cho I là iđêan cực đại Giả sử 0 ≠ ∈ a R I / , khi đó a I ∉ Khi đó, iđêan tổng

P I aR = + của vành R chứa I Vì a P ∈ và a I ∉ nên I ỉ P Từ giả thiết cực đại của

I, suy ra P R = hay 1 P ∈ Do đó, tồn tại b I r R ∈ , ∈ sao cho b ra + = 1 Từ đó

1

b ra ra + = = , hay lớp a khả nghịch Vì vậy, vành thơng R I / là trờng

Ngợc lại, giả sử R I / là trờng và P là một iđêan của vành R chứa iđêan I và P I ≠ Khi đó, tồn tại phần tử a P a I ∈ , ∉ hay a ≠ 0 Do đó, tồn tại b R ∈ sao cho ab ab = = 1,hay ab c + = 1, c I ∈ Vì ab P c I ∈ , ∈ ⊂ P nên 1 P ∈ và do đó P R = Vì vậy, I làiđêan cực đại của vành R

1.2.3 Hệ quả Mỗi iđêan cực đại là iđêan nguyên tố Tuy nhiên, điều ngợc lại không đúng.

Chứng minh Giả sử I là iđêan cực đại, khi đó theo bổ đề 1.2.2 phần b) vành thơng R I / làtrờng và do đó R I / là miền nguyên Vì vậy, theo bổ đề 1.2.2 phần a) suy ra I là iđêan

nguyên tố

Iđêan 0 trong vành Z là iđêan nguyên tố nhng không là iđêan cực đại trong vành

Z vì rằng 0 2Â Â ỉ ỉ

1.2.4 Mệnh đề Mọi vành không tầm thờng đều chứa ít nhất một iđêan cực đại.

Chứng minh Vì R ≠0 nên 0 là iđêan thực sự của R và do đó tập Ω các iđêan thực sự của

R khác rỗng Quan hệ bao hàm thức ⊆ là một thứ tự bộ phận trên Ω Iđêan cực đại của Rchính là phần tử cực đại của Ω theo quan hệ thứ tự này Giả sử ∆ ≠ ∅ là một tập concủa Ω đợc sắp hoàn toàn Đặt

I

J =  I∈∆

Rõ ràng 0∈J và với mọi a∈J,r∈R ta có ra∈J Cho a,b∈I, khi đó tìm đợc I , a I b∈ ∆

để a∈I avà b∈I b Vì ∆ sắp hoàn toàn cho nên có thể giả thiết Ia ⊆ Ib Khi đó, đồng thời có

a

I

a∈ và a+b∈I b⊆J Nh vậy, J là một iđêan của R Nếu J = R thì J chứa đơn vị 1, do đó

tồn tại iđêan I thuộc ∆ để 1 thuộc I, suy ra I = R Điều này vô lý với I là iđêan thực sự của

R, vậy J thuộc Ω.Từ đó suy ra tập ∆ bị chặn bởi J trong Ω Theo bổ đề Zorn, Ω phải

có phần tử cực đại

1.2.5 Hệ quả Cho I là một iđêan thực sự của vành R Khi đó, tồn tại ít nhất một iđêan cực

đại của R chứa I.

Chứng minh Phép chứng minh tơng tự nh chứng minh định lý trên với sự thay đổi nhỏ: Ω

là tập các iđêan thực sự của R chứa I

1.2.6 Định nghĩa Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R đợc gọi là phổ của R và ký

lập thành một iđêan Iđêan này đợc gọi là căn của I Nói riêng, tất cả các phần tử luỹ linh

của vành R lập thành một iđêan gọi là căn luỹ linh của R.

Nếu I= I1∩ ∩I r sao cho không có iđêan I j nào bỏ đợc thì ta gọi sự phân tíchnày là phân tích tối giản, còn nếu I j là iđêan nguyên sơ thì gọi là phân tích nguyên sơ

1.2.7 Định lý (Định lý Lasker – Noether về phân tích nguyên sơ) Cho R là vành

Noether và I là iđêan của R Khi đó, I có phân tích nguyên sơ tối giản

r Q Q

I= 1∩ ∩

sao cho các iđêan nguyên tố P i = Q i đôi một khác nhau Hơn nữa, tập các iđêan

{P , ,1 P r} đợc xác định duy nhất và nếu P i = Q i là iđêan tối tiểu trong tập này thì thành phần nguyên sơ P i = Q i tơng ứng cũng đợc xác định duy nhất.

1.2.8 Định lý (Định lý tránh nguyên tố [7]) Cho P , ,1 P n là các iđêan nguyên tố và I

là một iđêan của vành R Giả sử rằng:

1 n

I ⊆ ∪ ∪ P P

Khi đó, tồn tại 1 ≤ j≤n sao cho I⊆P j

Ví dụ 6 • Trong vành số nguyên Z có 6 Â ⊂ 3 Z ∪ 5 Z ∪ 7 , 6 Z Z ⊂ 3 Z trong đó

3 ,5 ,7 Z Z Z là các iđêan nguyên tố của vành Z.

Định lý tránh nguyên tố vẫn còn đúng nếu ta giảm nhẹ điều kiện nh sau

1.2.9 Định lý Cho P , ,1 P n là các iđêan trong đó có tối đa hai iđêan trong các Pi

không là iđêan nguyên tố và I là một nhóm con cộng, đóng kín đối với phép nhân của vành

R Giả sử rằng:

1 n

I ⊆ ∪ ∪ P P

Khi đó, tồn tại j (1 ≤ ≤ j n ) sao cho I ⊆P j

Chứng minh Trờng hợp n = 1, định lý đúng tầm thờng Xét trờng hợp n = 2 Giả sử P P1, 2

là hai iđêan củaR(không nhất thiết nguyên tố) và I ⊆ ∪P1 P2 là nhóm cộng, đóng kín với

phép nhân trong vành R Giả sử ngợc lại I ⊄P I1, ⊄P2, khi đó suy ra tồn tại một phần tử

1 \ 2

x ∈ I P hayx1∈P1, x1∉ P2 và tồn tại một phần tử x2∈ I P \ 1 hay x2∈ P2,x2∉ P1 Đặt

1 2

b x = + x , khi đó b I ∈ (vì x x1, 2∈ I ) Ta có b P ∉ 1 vì nếu b P ∈ 1 suy ra x2∈ P1 và tơng

tự b P ∉ 2 Do đó b P ∉ ∪1 P2 Ta gặp điều vô lý với b I∈ ⊆ ∪P1 P2 Do đó, chúng ta phải

11,

Từ giả thiết suy ra aj∈ Pj với mọi j = 1, , n + 1 Vì chỉ có tối đa hai iđêan trong cácPi

không nguyên tố nênPn+1 là iđêan nguyên tố, do đó a a1 2 an∉ Pn+1

Vì vậy, ta có

Đặt b a a = 1 2 an + an+1 Từ điều kiện trên suy ra b P ∉ i với mọi i = 1, , n + 1. Nhng

b I ∈ (do I là nhóm con cộng và đóng kín với phép nhân), nên ta gặp phải một mâu thuẫnvới I ⊆ ∪ P1 P2∪ ∪ Pn∪ Pn+1. Vì vậy, ta phải có j (1 ≤ ≤ + j n 1) để cho

⊆ U Theo giả thiết quy nạp, tồn tại chỉ số j để cho I ⊆ Pj

Ví dụ 7 • Trong vành số nguyên Z có 12 Â ⊂ 8 Z ∪ 4 , 12 Z Â ⊂ 4 , Z trong đó 4 ,8 Z Z

không là iđêan nguyên tố của vành Z

1.3 Iđêan căn1.3.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành R, khi đó tập hợp:

I = ∈ ∃ ∈ r R n Ơ r ∈ I

lập thành một iđêan của R Iđêan này đợc gọi là căn của I Nếu I = I , thì I đợc gọi là

iđêan căn.

Nói riêng, căn của iđêan 0 gồm tất cả các phần tử luỹ linh của vành R đợc gọi là

căn luỹ linh của R và ký hiệu bởi Rad R ( ), nghĩa là

( ) { | : n 0}

Ví dụ 8 • Trong vành Z , ta có công thức 9 Z = 3 Z Thật vậy, nếu x ∈ 9 Z thì tồn tại

số nguyên dơng n sao cho xn∈ 9 Z, do đó xn chia hết cho 3 và vì vậy x chia hết cho 3 hay

3

x ∈ Z Ngợc lại, nếu x ∈ 3 Z tức x chia hết cho 3, thì x2 chia hết cho 9 hay x2∈ 9 Z và

do đó x ∈ 9 Z Nh vậy, 9 Z không phải là iđêan căn của vành Z Tổng quát ta có côngthức pnZ = p Z, với mọi số nguyên tố p, với mọi số nguyên dơng n

• Trong vành C[a,b], iđêan I = { f ∈ C a b f x [ , ] ( ) 0 ,0 = } x0∈ [ , ] a b là iđêan căn.Thật vậy, vì các điều kiện f x ( ) 00 = và fn( ) 0 x0 = là tơng đơng với nhau, với mọi sốnguyên dơng n, cho nên I = I

• Trong vành đa thức Z [ ] x của biến x với hệ số nguyên, iđêan I các đa thức có hệ

số tự do chẵn là iđêan căn Thật vậy, với mỗi số nguyên tuỳ ý a0 và với mọi số nguyên

d-ơng n, các điều kiện a0 và a0n chẵn là tơng đơng với nhau, do đó ta có I = I hay I làiđean căn

1.3.2 Mệnh đề Cho I I1, 2 là các iđêan của vành R Khi đó:

a) Giao I1∩ I2 là iđêan của R.

Ngoài ra, với ∀ ∈ r R có ( ) ra I2 = r aI ( 2) ⊆ rI1⊆ I1.

1.3.3 Mệnh đề Cho I J K , , là các iđêan của R Ta có:

b) Vì IJ ⊆ ∩ I J cho nên IJ ⊆ I ∩ J Ngợc lại, với mọi phần tử x ∈ I ∩ J , tồn tại

số nguyên dơng m sao cho xm∈ ∩ I J Do đó, cũng tồn tại số nguyên dơng m sao cho

m

x ∈ I và xm∈ J Từ đó, x2m = x xm m ∈ IJ , hay x ∈ IJ Nh vậy, I ∩ ⊆ J IJ ,

do đó IJ = I ∩ J

Bây giờ ta chứng minh I ∩ = J I ∩ J Ta có I ∩ ⊆ J I J , , do đó

,

I ∩ ⊆ J I J hay I ∩ ⊆ J I ∩ J Ngợc lại, với x ∈ I ∩ J , suy ra

x ∈ I và x ∈ J Do đó, tồn tại các số nguyên dơng m n , sao cho xm∈ I và xn∈ J Vì vậy xm n+ = x xm n ∈ I J , hay xm n+ ∈ ∩ I J và x ∈ I ∩ J , tức

c) Theo định nghĩa căn của iđêan ta có I ⊆ I , do đó I ⊆ I Ngợc lại, với mỗi

x ∈ I , tồn tại số nguyên dơng m sao cho xm∈ I Lại theo định nghĩa căn suy ratồn tại n sao cho ( xm n) = xmn∈ I hay x ∈ I tức I ⊆ I

d) Theo định nghĩa phép chia các iđêan ta có một dãy các suy luận tơng đơng sau:

Chứng minh Ta có P ⊆ I P1, ⊆ I2 Giả sử P I ≠ 1 và P I ≠ 2 Khi đó tồn tại x I ∈ 1\ P

và y I ∈ 2 \ P Do tích xy I I ∈ 1 2⊆ P nên xy P ∈ Vì P là iđêan nguyên tố, nên x P ∈

hoặc y P ∈ Ta gặp một mâu thuẫn

1.3.5 Bổ đề Một iđêan căn I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không phân tích đợc thành giao của hai iđêan lớn thực sự hơn I.

Chứng minh Giả sử I là một iđêan nguyên tố Nếu I = ∩ J1 J2, với J J1 2, là các iđêanthì I = J1 và I = J2 (Bổ đề 1.3.4)

Đảo lại, giả sử I không phải là iđêan nguyên tố Khi đó, tìm đợc f g I , ∉ sao cho

1.3.6 Bổ đề Cho I là một iđêan của vành R Khi đó, các mệnh đề sau là đúng

a) Nếu I là iđêan nguyên tố thì I là iđêan nguyên sơ.

b) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì I là iđêan nguyên tố

Chứng minh a) Suy trực tiếp từ định nghĩa.

b) Giả sử tồn tại một iđêan nguyên sơ I sao cho I không là iđêan nguyên

tố Khi đó, tồn tại các phần tử x, y thuộc R để cho xy ∈ I nhng x y , ∉ I Từ đó suy ravới mọi số nguyên dơng m ta có xm, ym∉ I Do đó, từ giả thiết I là iđêan nguyên sơ suy

ra ( ) xy m = x ym m∉ I, với mọi số nguyên dơng m Điều này mâu thuẫn với giả thiết

xy ∈ I của chúng ta

Chú ý rằng, mệnh đề ngợc của a) không đúng Chẳng hạn, trong vành Z có iđêan

9 Z là iđêan nguyên sơ Thật vậy, giả sử xy ∈ 9 Z khi đó suy ra xy chia hết cho 9 và do đó

xy chia hết cho 3 Vì 3 là số nguyên tố nên x hoặc y phải chia hết cho 3 hay x2 hoặc y2chia hết cho 9, suy ra x2 hoặc y2 thuộc 9 Z Tuy nhiên 9 Z không là iđêan nguyên tố (vì có

3.3 9 ∈ Z nhng 3 9 ∉ Z)

Chơng 2 ứng dụng của Iđêan trong vành đa thức

Chơng này nhằm chỉ ra một số ứng dụng của iđêan trong Hình học đại số và một sốtính chất số học của chúng trong vành đa thức

2.1 Iđêan liên kết với tập đại số2.1.1 Định nghĩa Cho S là một tập con các đa thức nào đó trong vành đa thức

1 2

[ ] [ , , , ]n

K X = K x x x của các biến x x1 2, , , xn trên trờng K Ta gọi tập hợp

Z f là một siêu mặt của Kn Nếu f là một đa thức tuyến tính (bậc 1) thì Z f ( ) đợc

gọi là siêu phẳng của Kn Theo định nghĩa, mọi tập đại số đều là giao của các siêu mặt.

Ví dụ 8 • Z (0) = Kn, Z (1) = Z K X ( [ ]) = ∅.

• Nếu f x y ( , ) = x2 − y thì Z f ( ) {( , = α α2) | α ∈ K }

• Nếu f x y ( , ) = x3− y2 thì Z f ( ) {( = α α2, 3) | α ∈ K }.Thật vậy, ta có ngay ( α α ∈2, 3) Z f ( ) Đảo lại, cho ( , α α ∈1 2) Z f ( ) tuỳ ý Ta có

và do đó Z S ( )1 ∪ Z S ( )2 ⊆ Z S ( )

Đảo lại, giả sử a là nghiệm của S, ta có f a g a ( ) ( ) 0 = , với mọi f ∈ S1 và g S ∈ 2 Nếu

a không là nghiệm của S1, thì tồn tại một đa thức f ∈ S1 sao cho f a ( ) 0 ≠ Từ đây suy