Một số kết quả thu được trong tương tác của nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử

Có 4 loại Lý thuyết về các tươngtác này: a Lý thuyết tương tác thuần tuý cổ điển: Ở đó trường điện từ là trường cổ điểntức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường là các véc tơ sóng

Lời cảm ơn

Đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý , khoa đào tạo SauĐại Học đã tạo môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Đặc biệt tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huy Công đã giúp đỡ và định hướng cho tôi về đề tài , chỉ bảo tận tình cho tôi hoàn thành tốt luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo chuyên nghành Quang học Trường Đại Học Vinh đã giảng dạy và chỉ dẫn tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình , người thân , bạn bè đã động viên , giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận văn , đảm bảo thời gianvới chất lượng tốt nhất

Vinh , tháng 11 năm 2010

Tác giả

Trần thị Đoàn

MỤC LỤC

Mở đầu 4

Chương I : Sự lượng tử hoá trường điện từ 8

1.1 Lượng tử hoá trường đơn mốt 8

1.2 Các thăng giáng lượng tử của trường 18

1.3 Lượng tử hoá trường đa mốt 20

Chương 2: Các trạng thái lượng tử của trường 26

2.1 Các trạng thái có số pho ton xác định 26

2.2 Các trạng thái kết hợp 26

2.3 Các trạng thái hỗn hợp (trộn lẫn) 34

2.4 Các trạng thái bị nén (nén) 42

Chương 3: Một số kết quả thu được trong tương tác của nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 55

3.1 Hamiltonian của nguyên tử và trường 55

3.2 Sự gần đúng sóng quay 61

3.3 Mẫu Jaynes – Cummings 63

3.4 Một số kết quả thu được trong tương tác cuả nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 64

a) Sự thay đổi của hiệu độ cư trú giữa hai mức khi có mặt trường kích thích .69 b) Xác suất để nguyên tử tồn tại ở trạng thái kích thích khi có trường .70

c) Xác suất để nguyên tử tòn tại ở trạng thái cơ bản khi có trường 70

d) Sự thay đổi năng lượng của trường theo thời gian 71

Kết luận 74

Tài liệu tham khảo 76

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, vấn đề quan trọng nhất trong quang học lượng tử là

vấn đề tương tác của trường với môi trường Có 4 loại Lý thuyết về các tươngtác này:

a) Lý thuyết tương tác thuần tuý cổ điển: Ở đó trường điện từ là trường cổ điển(tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường là các véc tơ sóng, các phươngtrình đối với các véc tơ trường là các phương trình Maxwell) còn môi trườngđược xem là một hệ hạt cổ điển (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo các địnhluật cổ điển Newton)

b) Lý thuyết tương tác bán cổ điển: Ở đó trường điện từ vẫn được xem là trường

cổ điển (tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường là các véc tơ sóng, cácphương trình đối với các véc tơ trường là các phương trình Maxwell) còn môitrường được xem là một hệ hạt lượng tử (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo cácquy luật của cơ học lượng tử, được mô tả bằng phương trình Schrodinger)

c) Lý thuyết tương tác bán lượng tử: Ở đó trường điện từ là trường đã đượclượng tử hoá (tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường không còn là cácvéc tơ sóng mà đã được biểu diễn thông qua các toán tử, năng lượng của trườngđược biểu diễn qua toán tử Hamiltonian) còn môi trường vẫn được xem là một

hệ hạt cổ điển (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo các định luật cổ điểnNewton)

d) Lý thuyết tương tác lượng tử: Ở đó trường điện từ là trường đã được lượng tửhoá (tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường không còn là các véc tơsóng mà đã được biểu diễn thông qua các toán tử, năng lượng của trường được

biểu diễn qua toán tử Hamiltonian) còn môi trường được xem là một hệ hạtlượng tử (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử,được mô tả bằng phương trình Schrodinger)

Theo sự phát triển của lịch sử và của sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật, khichúng ta nghiên cứu sâu và thế giới vật chất vi mô (các nguyên tử, hạt nhân haycác hạt cơ bản) thì chúng ta thấy các quy luật vận động của thế giới vĩ mô khôngcòn có thể áp dụng được Theo hệ thức bất định Heisenberg, xung lượng và toạ

độ của hạt vi mô không đồng thời được xác định Do đó đối với hạt vi mô, takhông thể nói về quỹ đạo chuyển động của nó Cơ học lượng tử ra đời với nộidung chính là đưa ra phương trình cơ bản diễn tả quy luật vận động trong thếgiới vi mô, đó chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:

với H là Hamiltonian của hệ lượng tử (hệ vi mô)

Vì các trường vật lý là các hệ hạt vật chất nên sẽ không hoàn chỉnh nếu trongkhi xét tương tác của trường với một đối tượng vật chất khác, chúng ta lại chỉ sửdụng lý thuyết bán cổ điển hoặc lý thuyết bán lượng tử

Chính vì lý do đó mà ngay sau khi xuất hiện Cơ học lượng tử, các nhà vật lý

đã đề cập ngay đến việc phải nghiên cứu các trường vật lý theo quan điểm lượng

tử, tức là phải lượng tử hoá các trường đó Sau khi đã lượng tử hoá trường,chúng ta sẽ nghiên cứu sự tương tác của trường với một đối tượng vật chất kháctheo quan điểm thuần tuý lượng tử, tức là ở đó cả trường và đối tượng vật chất

đó đều được lượng tử hoá Trên cơ sở sự lượng tử của trường, luận văn sẽ đề cậpđến một số hiệu ứng trong tương tác của trường với hệ nguyên tử hai mức theoquan điểm thuần tuý lượng tử, tức là cả trường và cả hệ nguyên tử đều đã được

lượng tử hoá Đây chính là nội dung chính mà luận văn này sẽ đề cập và giảiquyết.

Cụ thể luận văn sẽ bao gồm những nội dung chính sau:

Chương 1: Sự lượng tử hoá trường điện từ

1.1 Lượng tử hoá trường đơn mốt

1.2 Các thăng giáng lượng tử của trường

1.3 Lượng tử hoá trường đa mốt

Chương 2: Các trạng thái lượng tử của trường

2.1 Các trạng thái có số pho ton xác định

3.3 Mẫu Jaynes – Cummings

3.4 Một số kết quả thu được trong tương tác cuả nguyên tử hai mức vớitrường điện từ lượng tử

a) Sự thay đổi của hiệu độ cư trú giữa hai mức khi có mặt trường kíchthích

b) Xác suất để nguyên tử tồn tại ở trạng thái kích thích khi có trường c) Xác suất để nguyên tử tồn tại ở trạng thái cơ bản khi có trường d) Sự thay đổi năng lượng của trường theo thời gian

Và cuối cùng là phần thứ 3, là phần Kết luận

a) Trình bày theo cách tiên đề: Đưa ra ngay biểu thức toán tử thế véc tơ Aˆ

xem như là một tiên đề, từ đó từ các mối liên hệ: Brot A và

t

A E

có các kết quả mâu thuẫn với thực tế (thực nghiệm) thì ta khẳng định rằng tiên

qua xung lượng và toạ độ: 2 2

2

ˆ

kq m

p E E

E  d  t   , ta chuyển ngay sang được toán

tử năng lượng bằng cách thay thế xung lượng và toạ độ sang các toán tử xunglượng và toán tử toạ độ tương ứng: p p i q

1 2

m

p kq m

p H

H    (1.1)

Từ lý thuyết lượng tử ánh sáng, nếu ta đưa vào các toán tử sinh, huỷ bvà b thìsau một số phép biến đổi, ta thu được biểu thức toán tử Hamiltonian của dao tửđiều hoà có dạng [1]:

Ở trên chúng ta thấy rằng từ biểu thức năng lượng của dao tử điều hoà biểudiễn qua xung lượng và toạ độ, chúng ta dễ dàng lượng tử hoá được năng lượngcủa dao tử bằng cách thay xung lượng và toạ độ bằng các toán tử tương ứng Vậynếu chúng ta chỉ ra được rằng năng lượng của trường điện từ biểu diễn qua cácvéc tơ trường lại cũng có thể biểu diễn được qua những đại lượng tương ứng vớixung lượng và toạ độ của dao tử thì chúng ta cũng sẽ biết cách lượng tử hoá nănglượng của trường bằng việc thay các đại lượng đó bằng các toán tử tương ứng

Muốn vậy, chúng ta hãy xuất phát từ hệ phương trình Maxwell đối với trườngđiện từ tự do lan truyền trong chân không:

B E

D         , ở đây 0, 0,clầnlượt là độ điện thẩm, độ từ thẩm của chân không và vận tốc của ánh sáng trongchân không

Ta hãy xét sự lan truyền của một sóng điện từ trong chân không trong một hộpcộng hưởng Để đơn giản chúng ta thừa nhận rằng hộp cộng hưởng chỉ là mộtđoạn thẳng có chiều dài L nằm theo hướng trục z, trong đó có trường điện phâncực theo hướng trục x truyền dọc theo trục z Nói một cách chính xác, nếu thừanhận rằng thành hộp cộng hưởng là kim loại thì trường điện trong hộp là mộtsóng đứng, có dạng:

E xz, t E x t sinkz

(1.4)

Biểu thức (1.4) có thể nhận được từ biểu thức tổng quát (1.3) bằng cách đặt x  0

; y  L/ 2 ; k z k Ở đây chúng ta giả thiết rằng trong hộp cộng hưởng chỉ tồn tạimột mốt của trường có tần số  ck Khi đó ta viết lại (1.4) dưới dạng:

  q t kz

L t

Ở đây q t là đóng vai trò biên độ của trường điện Chúng ta đưa vào ở đây hệ

số chuẩn hoá, ý nghĩa của nó sẽ được giải thích trong các phần tiếp theo dướiđây Vì trường điện thoả mãn hệ phương trình Maxwell (1.3), nên khi đưa (1.5)vào (1.3) ta dễ dàng nhận thấy rằng véc tơ cảm ứng từ B chỉ có thành phần dọctheo trục y và phần phụ thuộc không gian của nó thay đổi theo hàm coskz Do

đó, ta có thể biểu diễn véc tơ B dưới dạng:

  p t kz

L c

t z

t q d

 (1.9)

Phương trình (1.9) chính là phương trình dao động của dao động tử điều hoà cótần số , đồng thời các phương trình (1.7) và (1.8) là các phương trìnhHamiltonian đối với dao động tử đó và chúng ta có thể viết chúng dưới dạng cácphương trình Hamiltonian:

; ;

q

H dt

dp p

H dt

H    (1.11) Đây là Hamiltonian mô tả dao động tử điều hoà có tần số  và có khối lượngbằng 1 đơn vị, chính là (1.1)

Biểu thức cổ điển của năng lượng trường điện từ được cho bởi công thức:

2 0

1 2

W     (1.15)

Như vậy năng lượng của một mốt của trường có dạng hoàn toàn giống nhưdạng Hamiltonian (1.1) đã biết đối với dao tử điều hoà Bây giờ thì ý nghĩa củacác hệ số được đưa ra ở trên để xác định trường (1.5) và (1.6) trở nên rõ ràng, đó

là chúng ta đã đưa vào để cho năng lượng của trường biểu diễn qua các biến sốmới q, pcó dạng Hamiltonian của dao động tử điều hoà Bằng cách đó chúng ta

đã có cơ sở để lượng tử hoá trường

Nếu các biến số mới q, pđược giải thích như là toạ độ và xung lượng của dao

tử thì có thể ngay lập tức sử dụng cách lượng tử hoá thông thường (standar), tức

là thay các biến số cổ điển q, p bằng các toán tử q ˆˆ , p thoả mãn hệ thức giaohoán sau:

  q t kz

L t

t z

a  q i p a  qˆ i pˆ

2

1 ˆ

; ˆ ˆ 2

Các toán tử â, â tương tự như các toán tử b ˆˆ,btrong dao tử điều hoà được gọi

là các toán tử huỷ và toán tử sinh hạt Trong trường hợp trường điện từ thì đó làcác toán tử huỷ và sinh photon Chúng không phải là các toán tử Héc mít vì vậy,

nếu đứng riêng lẻ thì chúng không diễn tả độ lớn của các đại lượng được quansát Ngược lại trường mà chúng ta quan sát lại được thể hiện thông qua tổ hợpcủa các toán tử sinh, huỷ này Sự tiến hoá theo thời gian của các toán tử huỷ vàsinh được thể hiện thông qua phương trình Heisenberg:

a i H a

dt

d

ˆ , ˆ ˆ



 (1.26 )

Sử dụng (1.22), chúng ta tính được giao hoán tử này Cụ thể là:

H a   â â â   â ââ ââ â  â â ââ â   â

, ˆ

â t â 0 expit

 (1.28)

Tổ hợp của hai toán tử này được ký hiệu:

ââ nˆ (1.29)xuất hiện trong (1.22) và được gọi là toán tử số hạt hay toán tử số pho ton

Gọi n là trạng thái riêng của Hamiltonian ứng với năng lượng W n, nghĩa là:

 Hˆâ n W n   â n  (1.31) Kết quả này chứng tỏ rằng trạng thái (â n

) là một trạng thái riêng củaHamiltonian (1.22) với trị riêng lớn hơn một lượng   so với trị riêng của trạngthái n Tiến hành một cách tương tự đối với trường hợp toán tử huỷ â, chúng

ta nhận được trạng thái mới â n  với trị riêng nhỏ hơn một lượng   so với trịriêng của trạng thái n Nghĩa là:

Hˆâ n W n   â n 

(1.32)

Vì Hamiltonian (1.22) là dương nên trị riêng của nó không thể âm Điều này cónghĩa là phổ các giá trị riêng có giới hạn dưới Nếu trạng thái có năng lượng thấpnhất được gọi là trạng thái cơ bản thì từ (1.32), ta có có:

Phương trình (1.34) chính là định nghĩa của trạng thái chân không của trường(tức là trạng thái ở đó không có photon nào) Khi đó năng lượng của trạng tháichân không chính là năng lượng riêng ứng với trạng thái chân không đó:

2

1 0 2

1 0 0

2

1 0

1 ˆ ˆ

Hay: c n  n

Tác dụng các toán tử huỷ và sinh lên trạng thái n photon (thông thường trạng

thái này còn được gọi là trạng thái có số hạt xác định hay trạng thái Fock) ta

được các kết quả sau:

aˆ n  n n 1 ; aˆ  n  n 1n 1

(1.38)

Từ đó suy ra rằng: n 1â n  n và n 1â n  n 1 , đây chính là các yếu

tố ma trận không triệt tiêu của các toán tử huỷ và sinh

Cũng cần phải chú ý rằng, trạng thái của trường có n photon n có thể nhậnđược từ trạng thái chân không sau n lần tác dụng toán tử sinh:

  0

!

â n



(1.39)

1.2 Các thăng giáng lượng tử của trường

Từ trên ta đã thấy, kết quả của sự lượng tử hoá trường (thay thế các véc tơ

trường cổ điển E, B bằng các toán tử trường Eˆ, Bˆ , trước hết được phản ánh

ở tính gián đoạn của các giá trị năng lượng mà trường có thể có trong hộp cộnghưởng Điều này có ngĩa là chính trường cũng có tính gián đoạn, không giốngnhư trong thuyết Planck, xem trường là một đại lượng cổ điển còn nguyên tử thì

lại được xem như là các dao động tử điều hoà Sự lượng tử hoá trường cũng cónghĩa là chúng ta phải sử dụng các quy luật của cơ học lượng tử để mô tả trường.Phép đo 1 đại lượng nào đó trong một trạng thái cụ thể của trường chính là giá trị

kỳ vọng của các toán tử đặc trưng cho đại lượng đó trong trạng thái đã cho Nhưvậy các giá trị kỳ vọng như thế phụ thuộc vào việc trường tồn tại ở trạng tháinào Trong mục trước, chúng ta đã tìm được các trạng thái riêng của toán tử nănglượng của trường Đó là các trạng thái n (trạng thái n photon) trong đó nănglượng của trường có giá trị xác định W n Bây giờ chúng ta sẽ khảo sát giá trịtrung bình (kỳ vọng) của các véc tơ trường trong các trạng thái này Tức làchúng ta hãy tính giá trị trung bình (kỳ vọng) của trường Eˆxz,t trong trạng thái

n Từ (1.24) ta có:

n Eˆxz,t n   sinkz nâân  0

(1.40)

Ở đây chúng ta đã sử dụng đ/k là các yếu tố đường chéo của ma trận của các

toán tử sinh, huỷ bằng 0 Đại lượng E L

từ đầu đã chứa đựng những điều không bình thường Nếu bỏ qua các khái niệmgọi là cổ điển thì có thể nói rằng trạng thái n photon tương ứng với trường cóbiên độ hoàn toàn xác định, trong lúc đó pha của nó lại hoàn toàn ngẫu nhiên,nằm trong khoảng từ 0 đến 2  Tại nơi có vị trí gần như xác định thì phải giảthiết là pha của trường là hoàn toàn ngẫu nhiên

Chúng ta hãy tính giá trị trung bình của bình phương của trường:

n kz E

n â â n kz E

n t z E

n x

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 2

sin 2

1 2

)

( sin

sin ,

E E E E n sinkz

2

1 2

2 2

Như vậy E xác định biên độ các thăng giáng chân không của trường Mặc dùgiá trị trung bình cuả trường bằng 0 nhưng trường vẫn gây nên các thăng giánglượng tử Các thăng giáng này là khác 0 thậm chí cả đối với trường hợp chânkhông

Tương tự, nếu xét cho trường từ, chúng ta cũng tìm được thăng giáng của cảmứng từ Bˆ

Từ những sự giải thích và lập luận ở trên, chúng ta thấy có một sự khác biệtkhá quan trọng so với những quan niệm cổ điển Khi nói đến chân không, theoquan điểm cổ điển, đó là một vùng không gian trống rỗng không có bất kỳ mộtđại lượng nào trong đó và do vậy cũng chẳng có cái gì để có sự thăng giáng cả.Tuy nhiên, khi làm việc và tính toán với khái niệm trường được lượng tử hoá,

chúng ta lại thu được các thăng giáng lượng tử, thậm chí ngay cả đối với trạngthái chân không điện từ chúng ta vẫn thu được các thăng giáng [2].

Ở đây, khi tính toán thăng giáng của véc tơ trường trong một trạng thái đãđược lượng tử hoá (trong việc dẫn ra biểu thức (1.42), chúng ta đã sử dụng hệthức giao hoán của các toán tử â, â)

Như vậy, từ sự lượng tử hoá của trường chúng ta thấy rằng, trong trạng thái

có số hạt xác định, giá trị trung bình (kỳ vọng) của trường bằng 0 nhưng cácthăng giáng của trường lại khác 0

Một số hệ quả của các thăng giáng lượng tử của trường sẽ được khảo sáttrong các phần sau của luận văn

1.3 Lượng tử hoá trường đa mốt

Trong điện động lực học cổ điển, thông thường các véc tơ trường E, B đượcbiểu diễn qua thế vô hướng  và thế véc tơ A Việc đưa các thế này vào chophép ta rút gọn được cách mô tả trường Để mô tả trường của bức xạ trong chânkhông (không gian trống rỗng), trong đó không có các điện tích và các dòngđiện, chúng ta chỉ cần sử dụng thế véc tơ A là đủ Thế này được chế định bằngđiều kiện: A 0 (còn được gọi là đ/k chế định thế Culông) Khi đó các véc

Từ các phương trình Maxwell, sau một vài phép biến đổi, chúng ta tìm đượcphương trình sóng đối với thế véc tơ Anhư sau:

1 2 0

2 2 2

Sau đây là cách lượng tử hoá thế véc tơ A:

Xét một khoảng không gian hình hộp cạnh L Chiều dài này thoả mãn cácđiều kiện bờ (điều kiện tuần hoàn) Ta giải phương trình sóng (1.44) Nghiệmcủa nó được biểu diễn dưới dạng chồng chất của các sóng phẳng:

k 2 , 2 , 2 (1.46)Với n x,n y,n z  0 ,  1 ,  2 , là những số nguyên dương và âm

Từ điều kiện chế định thế, ta có:   *  0



k A t t

A

kk k , ta suy ra véc tơ thế Aˆ vuônggóc với véc tơ sóng k Nghĩa là chúng ta có các sóng ngang Cần phải chú ý làđối với mỗi véc tơ sóng, tồn tại 2 hướng phân cực khác nhau Từ (1.45) ta có:

1 2  0

2 2 2





dt

t A d c A

Đặt (1.45) vào (1.48), ta được:

                  

k

k k

k

A t

Ta đã biết năng lượng của trường được biểu diễn qua bình phương của các véc

tơ trường Do vậy, để tìm năng lượng của một mốt, ta phải xác định Er,t Từ(1.51), ta có:

       

k

k k

i t

W    (1.55) Tiến hành các bước tiếp theo thì chúng ta đã biết: mỗi một mốt riêng lẻ cóthể được lượng tử hoá giống như khi ta lượng tử hoá cho trường đơn mốt Cácbiến số q , k p k trở thành các toán tử qˆk , pˆk thoả mãn đ/k giao hoán (1.23) Mỗimột mốt, ta cũng có thể đưa vào các toán tử sinh, huỷ â , k â k

thoả mãn các hệthưc giao hoán:

â k,aˆk' kk'; â k,aˆk' â k,aˆk'  0

(1.56)

Các toán tử ứng với các mốt khác nhau thì giao hoán với nhau Bằng cáchnhư vậy, chúng ta có thể thay thế véc tơ A bằng toán tử Aˆ , được biểu diễn quacác toán tử sinh, huỷ hoặc các toán tử qˆk ,pˆk Từ (1.54), ta có:

k k

k k

r k t i â r k t i a

e V t

ˆ

0(1.58)

Từ đó bằng việc thay các biên độ trường cổ điển bằng các toán tử trong cáctrường, chúng ta nhận được các toán tử trường như sau:

  e â  i t k r  â i t k r  

V i

t r

2 ,

t r

k k

ˆ

0(1.60)

Từ các công thức này ta suy ra rằng việc phân chia trường ra làm 2 thànhphần với các tần số âm và dương như trong công thức (1.50) tương ứng với việcphân chia ra 2 phần liên quan đến toán tử huỷ (ứng với tần số dương) và toán tửsinh (tần số âm) Mỗi phần có một ý nghĩa vật lý riêng của nó vì toán tử huỷ liênquan đến việc hấp thụ photon còn toán tử sinh liên quan đến quá trình phát xạphoton, nghĩa là hai quá trình vật lý khác nhau

Các trạng thái trường đa mốt chính là tích của các trạng thái của trường đối vớicác mốt riêng biệt không phụ thuộc vào nhau Do đó ta có thể viết:

đo được bằng thực nghiệm Chẳng hạn đối với trường điện, mối liên hệ với sốphoton được xác định bởi giao hoán tử:

   



E kz â â E

nˆ , ˆx sin

(1.63)

Ở trên, chúng ta đã tính toán cho trường hợp các trạng thái n photon củatrường Tuy nhiên, loại trạng thái này không phải là các trạng thái lượng tử duynhất ở đó ta có thể tìm thấy trường điện từ Các trạng thái này là hết sức tiện lợi

để mô tả trường về mặt lý thuyết, song trong thực tế, các trường thực thôngthường là các trường trong đó số photon ở các trạng thái là không xác định Việctạo nên trong thực tế những trường có số photon xác định đòi hỏi phải có những

thiết bị và những công đoạn hết sức phức tạp, không đơn giản một chút nào Tuynhiên, trong một chừng mực nào đó, có thể xem một trường thực như là một sựchồng chập một số trường có số photon xác định Trong chương tiếp theo, chúng

ta sẽ đề cập đến các loại trường đã được lượng tử hoá một cách cụ thể và chi tiết

hơn .o0o

CHƯƠNG II CÁC TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ CỦA TRƯỜNG Trước khi xét tương tác của trường với hệ hai mức theo quan điểm lượng tử,

trong chương này, chúng tôi đề cập đến các loại trạng thái lượng tử của trường

2.1 Các trạng thái có số pho ton xác định

Trong chương 1, khi trình bày về sự lượng tử hóa trường, chúng ta đã đưa ratrạng thái lượng tử n , chúng là các trạng thái riêng của Hamiltonian của trường

và đồng thời đó là các trạng thái riêng của toán tử số photon Đối với một trườngđơn mốt, các trạng thái này được đánh số bằng các số nguyên n  0 , 1 , 2 , …Sau đó, như chúng ta đã thấy (xem biểu thức (1.35)), giá trị trung bình của trườngtrong các trạng thái như vậy đều bằng 0 Các trạng thái n photon không thể dùng

để diễn tả trường kết hợp, phản ánh một thông tin nào đó về pha và có giá trị trungbình khác không

Các trạng thái này của trường được gọi là các trạng thái có số photon xác địnhhay còn được gọi một cách ngắn gọn là các trạng thái Fock của trường Trongthực tế, việc tạo ra những trạng thái này là rất khó thực hiện, thông thường đượcxem là các trạng thái lý tưởng

2.2 Các trạng thái kết hợp

Các trạng thái thông thường tồn tại trong thực tế và phản ánh được sự khác biệtvới các tính chất cổ điển của trường chính là các trạng thái kết hợp Ta có thể địnhnghĩa một cách ngắn gọn, trạng thái kết hợp là trạng thái riêng của toán tử hủy aˆ.Dạng cụ thể của các toán tử này có thể nhận được bằng cách giải bài toán về giátrị riêng của toán tử hủy:

â    (2.1)

Để tìm mối liên hệ giữa trạng thái kết hợp với trạng thái có số photon xác định,chúng ta nhân hai vế về bên trái của phương trình (2.1) với trạng thái n , tađược:

1 0 1

! 1

1 0 1

1 1

n

n n

   0 

!

n n

n

 (2.5)Nhân 2 vế với trạng thái n về bên trái và lấy tổng theo tất cả các chỉ số n, tađược:

n

n n

n n n

!

2 2

Từ nghiệm (2.11) chúng ta thấy một cách lập tức rằng, xác suất tìm n photontrong trạng thái kết hợp  được cho bởi phân bố Poisson:

n n

n

n e

n n

2 2

        

* 2 2 2

2

2

1 2 1

0

* 2

1 2 1

Các trạng thái kết hợp có thể được sử dụng để dẫn ra cái gọi là toán tử dịchchuyển D  Trước hết chúng ta viết lại (2.11) bằng cách sử dụng định nghĩa của

trạng thái Fock:   0

!

n

â n

n



Khi đó chúng ta nhận được:

  0 0

!

2 1

0 2

Toán tử dịch chuyển D  được định nghĩa bởi (2.18) được viết dưới dạng cótrật tự, tức là hàm của toán tử sinh luôn đứng về bên trái so với hàm của toán tửhủy Toán tử đó có thể viết dưới dạng khác bằng cách sử dụng cái gọi là định lýBaker-Hausdor Theo định lý Baker-Hausdor, nếu hai toán tử tùy ý A và B thỏamãn hệ thức sau:

 Aˆ,Bˆ,Aˆ  Aˆ,Bˆ,Bˆ 0

thì sẽ có: e AˆBˆ e Aˆ,Bˆ / 2e Aˆe Bˆ

(2.19)

Sử dụng hệ thức này và thực hiện sự thay thế: Aˆâ, Bˆ *â, cùng với

Aˆ,Bˆ 2, có thể viết toán tử dịch chuyển (2.18) dưới dạng khác:

 D eâ e *â

    (2.20) Toán tử dịch chuyển là unita, nghĩa là:

 và  , chúng xác địnhphần kết hợp của trường, tương ứng với biên độ phức cổ điển của trường Các tínhchất toán tử của trường tương ứng với các thăng giáng lượng tử của chân khôngvẫn tiếp tục được mô tả thông qua các toán tử sinh, hủy xuất hiện ở phần bên phảicủa các công thức (2.22) và (2.23) Do đó trạng thái kết hợp chính là trạng thái cơ

sở được dịch chuyển của dao động tử điều hòa

Cũng có thể thấy rằng, tác dụng của toán tử dịch chuyển lên trạng thái kết hợpcho ta trạng thái kết hợp khác Đặc biệt, trạng thái 1   

D sẽ là trạng thái riêngcủa toán tử hủy:

1        1   



âD (2.24)tương ứng với giá trị riêng    Đặc biệt nếu    thì ta nhận được:

là trạng thái cơ bản của trường, tức là trạng thái chân không.

Như chúng ta đã nhắc lại ở mục trên, các trạng thái kết hợp là không trựcgiao và về thực chất là các trạng thái cơ bản được dịch chuyển của dao động tửđiều hòa Với định nghĩa như trên, các trạng thái kết hợp có nhiều tính chất vật lýđặc biệt, đáng quan tâm như sau:

a) Tính không xác định của số pho ton:

Giá trị trung bình số photon trong trạng thái kết hợp  được xác định bởiphương trình:

2

 n  ââ  (2.27)Ngoài ra chúng ta còn có:

1

 n  ââââ  ââ  ââ   (2.28).Như vậy chúng ta nhận được độ bất định của số photon là:

n

e n n e

n P

n n n n

Hình 1 – Xác suất tìm n photon trong trạng thái 

Chúng ta cũng có thể tính được số photon trung bình bằng cách sử dụng phân bố Poisson:

2 2

n n

n e

n ne

2 0

2 2

n n

n n n

n e

n e

n P

1 2 2

2

2 2 4

! 1

! 2

2 2

Đó chính là kết quả đặc trưng đối với phân bố này

b) Tính không xác định của toán tử trường

Gía trị kỳ vọng của toán tử trường điện trong trạng thái kết hợp là:

e V i

sin 2

2 2

ˆ

0

* 0

(2.35) Chúng ta thấy rằng ở đây  có thể giải thích như là biên độ của trường

còn  như là pha ban đầu của trường Giá trị trung bình của trường, trong trạngthái kết hợp, phải có biên độ và pha xác định, tương tự như trường cổ điển Cũngcần phải nhớ lại rằng, chúng ta nói về giá trị trung bình, còn trường là lượng tử,khác với trường cổ điển ở chỗ là nó gây nên các thăng giáng lượng tử Để tính độlớn của các thăng giáng lượng tử, chúng ta cần phải tính giá trị kỳ vọng của bìnhphương trường:

2

ˆ ˆ

bổ sung của chân không

2.3 Các trạng thái hỗn hợp (trộn lẫn)

Trong phần trên chúng ta đã đề cập đến các trạng thái lượng tử của trường và cáctrạng thái này được xem là các trạng thái tinh khiết của một mốt của trường Tuynhiên có tồn tại những trường không được mô tả bởi các trạng thái tinh khiết Để

mô tả các trường như thế, chúng ta phải sử dụng toán tử (ma trận) mật độ Chẳnghạn trường nhiệt là một trường như vậy

a) Sự kích thích nhiệt

Như chúng ta đã biết, bức xạ của vật đen tuyệt đối có hàm phân bố đã biết Toán

tử mật độ tương ứng với hàm phân bố này được viết dưới dạng:

ˆ ˆ

e nP â

â Tr n

n

n (2.40)phù hợp với phân bố Planck

ˆ 1

ˆ

1 ˆ

 (2.41)Dạng này cho thấy rằng xác suất tìm n photon trong mốt được kích thích nhiệtđược xác định bởi phân bố hình học:

n n

n

n n

ˆ 1

ˆ 1

(2.42)

Hình 2 – Xác suất tìm n photon trong mốt được kích thích nhiệt

Chúng ta hãy so sánh kết quả này với phân bố Poisson (2.11) đối với trạng thái kếthợp Rõ ràng các phân bố này là hoàn toàn khác nhau Trong phân bố hình học,cực đại xuất hiện khi n = 0 , nghĩa là trạng thái có xác suất lớn nhất là chân không

Phân bố Poisson mô tả trường trong trạng thái kết hợp có cực đại ở số trung bìnhcủa pho ton, còn số này có thể lớn hơn 1 rất nhiều

b) Ma trận mật độ trong cơ sở các trạng thái kết hợp

Trong mục trên, chúng ta đã khảo sát toán tử mật độ trường đối với mốtđược kích thích nhiệt bằng cách sử dụng cơ sở các trạng thái Fock (trạng thái có

số photon xác định) Ta lại có thể đặt câu hỏi: Liệu các trạng thái kết hợp có thểdùng làm cơ sở để mô tả toán tử mật độ trường?

Như chúng ta đã biết, các trạng thái kết hợp không trực giao, tức là khác vớicác trạng thái Fock Trong lúc đó tính trực giao của các trạng thái cơ sở lại làmột tính chất hết sức quan trọng, giúp cho việc tính toán được tiến hành mộtcách dễ dàng Đồng thời, từ tính trực giao đó, nó còn phản ánh một tính chấtkhác của các trạng thái, cụ thể là tính đầy đủ (tính hoàn chỉnh) của hệ các trạngthái cơ sở Đây chính là chìa khoá để có thể kết luận một hệ như vậy có thể trởthành một cơ sở hay không Các trạng thái kết hợp tạo nên một hệ đầy đủ, chính

vì vậy, ta có thể kết luận rằng chúng là một cơ sở để biểu diễn ma trận mật độ.Trong phần này, chúng ta sẽ khảo sát hệ cơ sở này

Trong trạng thái kết hợp thuần khiết, ta có ma trận mật độ:

 ˆ    (2.43)Hàm phân bố xác suất đối với trạng thái kết hợp là:

  e i thì ta có đồng nhất thứcsau:

   

nm n

m i m

n m

n

n d

e d e d