Một số tính chất của quá trình wiener và các quá trình liên quan

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng đại học vinh Hoàng thị hơng huyền Một số tính chất của quá trình wiener và các quá trình liên quan luận văn thạc sĩ toán học... Bộ giáo dục và đào tạoTrờng đạ

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Hoàng thị hơng huyền

Một số tính chất của quá trình wiener và các quá trình liên quan

luận văn thạc sĩ toán học

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Hoàng thị hơng huyền

Một số tính chất của quá trình wiener và các quá trình liên quan

luận văn thạc sĩ toán học Chuyên nghành: xác suất - thống kê

Mó số: 60.46.15

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Trung Hoà

Vinh-2008

I lêi nãi ®Çu.

Xác suất thống kê là lĩnh vực toán ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc Ngày nay các mô hình xác suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong khoa học tự nhiên cũng như khoa học xã hội Tuy nhiên trong thực tếđặc biệt là trong các lĩnh vực kinh tế, thị trường chứng khoán, cơ học thống

kê, khí tượng thuỷ văn,…ta thường gặp các hệ ngẫu nhiên mà quá khứ của nó

có ảnh hưởng rất mạnh đến sự tiến triển trong tương lai Khi làm dự báo cho các quá trình như thế, ta cần phải tính đến không chỉ hiện tại mà cả quá khứ nữa Mô hình xác suất để nghiên cứu các quá trình này là quá trình dừng Để phục vụ nghiên cứu quá trình dừng công cụ toán học cần thiết bao gồm khái niệm quá trình cấp hai, hàm tự tương quan, phép tính tích phân, vi phân cho quá trình cấp hai và tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên gia số trựcgiao

Quá trình Wiener là một quá trình ngẫu nhiên liên tục quan trọng đượcgặp nhiều trong thực tiễn Trong dạng nguyên thủy bài toán liên quá đếnchuyển động của một hạt chuyển động trên một bề mặt chất lỏng, nhận các cú

"hích" từ các phân tử của chất lỏng Hạt đó được xem như là chịu một lựcngẫu nhiên mà, bởi vì các phân tử là rất nhỏ và rất gần nhau, được xem như làliên tục và, bởi vì hạt đó bị giới hạn trong mặt chất lỏng bởi sức căng bề mặt,tại mỗi điểm của thời gian nó là một vector song song với bề mặt

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu một số tính chấtcủa quá trình Wiener và các quá trình liên quan

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên

sắc tới Thầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường.

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Trần Xuân Sinh, PGS TS Phan Đức Thành, cùng các thầy

cô giáo ở bộ môn xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học Trường Đại Học Vinh

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về quá

trình ngẫu nhiên và quá trình cấp 2

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

1.1.1 Định nghĩa và kí hiệu

Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biến

ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t T∈ nào đó

Giả sử T là tập vô hạn nào đó Nếu với mỗi t T∈ , Xt là biến ngẫu nhiênthì ta kí hiệu X ={ X t T t, ∈ } , và gọi X là hàm ngẫu nhiên (Với tham biến

+) Nếu T là tập con của ¡ , thì ta gọi d X ={ X t T t, ∈ } là trường ngẫu nhiên

Nói chung, dưới đây ta thường nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên có dạng

{ n, }

X = X n∈¥ ; X ={X t t, ∈[0, ) , ∞ } X ={ X t t, ∈[0, 1]}

1.1.2 Phân phối hữu hạn chiều

Giả sử X ={X t T t, ∈ } là quá trình ngẫu nhiên, và I = (t 1 ,…,t n ) là tập

con hữu hạn của T Hàm phân phối đồng thời của X t1, ,X t n :

được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X ứng với I, và tập {F 1} được gọi là

họ các phân phối hữu hạn chiều của X Đấy là một trong những khái niệm then chốt của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên Nhiều tính chất quan trọng của quá trình được xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều của nó

Rõ ràng họ các phân phối hữu hạn chiều thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Điều kiện đối xứng, tức là, F x( , , ; , , )1 x t n 1 t không thay đổi khi n

Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên các

không gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương ngẫu nhiên yếu, nếu

chúng có cùng họ các phân phối hữu hạn chiều Hai quá trình ngẫu nhiên

1.1.3 Quỹ đạo và không gian quỹ đạo

Cho quá trình ngẫu nhiên X ={ X t T t, ∈ } trên không gian xác suất

(Ω, , P) Khi cố định ω ∈Ω, thì X(ω) = X.(ω) : T →¡ là hàm số của

t T∈ Ta gọi X.(ω) là quỹ đạo (thể hiện hay hàm chọn) của quá trình ngẫu

nhiên X ={ X t T t, ∈ } ứng với ω Các tính chất của quỹ đạo cho phép ta phân

loại quá trình ngẫu nhiên Chẳng hạn, khi T là khoảng nào đó, ta nói:

+) X ={ X t T t, ∈ } là quá trình liên tục, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó

Ta kí hiệu ¡ là không gian của tất cả các hàm thực xác định trên T T

Mỗi phần tử của ¡ được kí hiệu là x T • Ta gọi ¡ là không gian quỹ đạo T

Như vậy, ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên X ={X t T t, ∈ } trên không gian xác suất (Ω, , P) là ánh xạ từ Ω vào không gian quỹ đạo:

X : Ω →¡ T, X(ω) = Xg(ω).

Nói chung, miền giá trị của ánh xạ này là một không gian con E của ¡ T

Chẳng hạn, Nếu X là quá trình liên tục, thì với xác suất 1, miền giá trị của X

là không gian E = C(T) gồm các hàm liên tục trên T; nếu X là quá trình không

có gián đoạn loại hai, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không gian

E = D(T) gồm các hàm không có gián đoạn loại hai trên T Trong trường hợp

như thế, ta có thể xem quá trình ngẫu nhiên X ={ X t T t, ∈ } trên không gian xác suất (Ω, , P) là ánh xạ từ Ω vào không gian E:

X : Ω →E, X(ω) = Xg(ω).

+) Ví dụ ở cuối mục 1.1.2 chứng tỏ rằng tồn tại hai quá trình X, Y

tương đương ngẫu nhiên, nhưng X có tất cả các quỹ đạo liên tục, còn tất cả các quỹ đạo của Y gián đoạn

Cho quá trình ngẫu nhiên X ={ X t T t, ∈ } trên không gian xác suất (Ω, , P) Như đã trình bày ở trên, ta có thể xem X = Xg là ánh xạ từ không

gian mẫu Ω vào không gian quỹ đạo:

là độ đo xác suất trên ( )σ C .

Ta gọi PX là phân phối xác suất trên không gian quỹ đạo của quá trình

Tìm không gian xác suất (Ω, , P) và quá trình X={ X t T t, ∈ } xác định

trên (Ω, , P) sao cho họ các phân phối hữu hạn chiều của nó chính là (PI ), tức là,

Định lý Tồn tại không gian xác suất (Ω, , P) và quá trình X ={ X t T t, ∈ }

xác định trên (Ω, , P) nhận P I làm họ các phân phối hữu hạn chiều của nó.

Ta không cho chứng minh chi tiết định lý này, nhưng chỉ ra các ý chínhcách xây dựng tường minh

+) Lấy không gian quỹ đạo làm không gian mẫu: Ω =¡ T,ω =x•

+) Lấy σ - trường trụ làm σ - trường cơ sở:  = ( )σ C .

+) Độ đo xác suất cơ sở P được xác định như sau: với mỗi tập trụ

( )

I

C B

P(C I (B)) = P I (B).

Theo điều kiện đối xứng và nhất quán, ta chứng minh được các định nghĩa

như thế không phụ thuộc vào biểu diễn các tập trụ, tức là, nếu tập C có hai

Sau đó chứng minh P có tính chất cộng tính đếm được trên trường các tập trụ

C nhờ định lý mở rộng độ đo, ta nhận được độ đo xác suất P trên ( )σ C

+) Lấy các hàm toạ độ làm quá trình ngẫu nhiên, tức là,

Quá trình vừa xây dựng ở trên được gọi là quá trình chính tắc

Theo định lý này thì đối với mỗi quá trình ngẫu nhiên, tồn tại quá trình chính tắc tương đương ngẫu nhiên yếu với nó

Chú ý Định lý tồn tại Kolmogorov rất tổng quát: ngoài điều kiện tự nhiên:

đối xứng và nhất quán, không đòi hỏi bất cứ một điều kiện nào khác Tuy nhiên, ta cần lưu ý những điểm sau đây:

Thứ nhất là, không gian quỹ đạo ¡ quá lớn.T

Thứ hai là, σ - trường trụ ( )σ C không chứa nhiều tập hợp quan trọng

như: tập C(T) gồm các hàm liên tục trên T; tập các hàm bị chặn

Điều này là do: các tập trong ( )σ C chỉ ràng buộc một số đếm được các

toạ độ, trong khi đó tính liên tục, chẳng hạn, ràng buộc tất cả các toạ độ (trong

lân cận nào đó có lực lượng không đếm được) Thật vậy, ta trở lại ví dụ đã xét

ở cuối 1.1.2: Ω =[ ]0,1 ,  là σ - trường Borel của [0, 1], P là độ đo Lebesgue thông thường, T =[ ]0,1 , và

t

0( )

1.1.6 Bản sao liên tục

Định lý Cho X ={ X t t, ∈[ ]0,1} là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác

suất đủ (Ω, , P) Giả sử với tất cả t t h, + ∈[ ]0,1

và tương đương ngẫu nhiên thì bằng nhau

Hệ quả 1 Cho X ={ X t t, ∈[ ]0,1} là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác

suất đủ (Ω, , P) Giả sử với tất cả t t h, + ∈[ ]0,1

1 ,ln

trong đó p < r và K là các hằng số dương Khi đó X có bản sao liên tục

Chứng minh: Suy trực tiếp từ bất đẳng thức Markov:

{ } + ,

+

XX

Hệ quả 2 (của Kolmogorov) Nếu với tất cả t t h, + ∈[ ]0,1

1 +

Nếu T= ¡ hoặc T =¡ thì ta có một quá trình với thời gian liên tục.+

Nếu T=¢ hoặc T =¢ thì ta có một quá trình với thời gian rời rạc hay còn +gọi là một dãy ngẫu nhiên

Mệnh đề 1: Giả sử (X n ) là dãy đại lượng ngẫu nhiên với Ε X t( )2 < ∞.

Điều kiện cần và đủ để tồn tại l.i.m n X n X

Chứng minh Giả sử tồn tại l.i.m n X n X

→∞ = Khi đó theo bất đẳng thức Schwarz

→∞

→∞

Ngược lại, giả sử (i) và (ii) được thoả mãn Khi đó tồn tại

lim n, m lim ( n, m) (lim n)(lim m)

1.2.2 Hàm trung bình và hàm tự tương quan

Hàm trung bình m(t) được định nghĩa bởi công thức sau

m(t) = EX(t)

Hàm tự tương quan r(s,t) được định nghĩa bởi công thức sau

r(s,t) = Cov[x(s), X(t)] = E(X(s) - m(s))(X(t) - m(t)) = EX(s)X(t) - m(s)m(t)

Vì VarX(t) = Cov[x(s), X(t)] nên ta có VarX(t) = r(t, t)

Định lý 1 Hàm tự tương quan r(s, t) là đối xứng và xác định không âm, tức là

Ta nói rằng quá trình X(t) là L2 - khả vi nếu tồn tại L2 - đạo hàm X'(t)

tại mọi điểm t T∈

Định lý 3 Quá trình X(t) là L 2 - khả vi tại điểm t 0 nếu và chỉ nếu:

(i) Hàm trung bình m(t) khả vi tại t = t 0

(ii) Tồn tại giới hạn

0 0

Ví dụ 1 Quá trình Wiener không L2 - khả vi ở bất cứ điểm nào

Thật vậy, quá trình Wiener có hàm tương quan là

Định lý 4 Quá trình X(t) là L 2 - khả vi nếu hàm trung bình m(t) khả vi và đạo

hàm cấp hai

2r s t( , )

s t

∂

∂ ∂ của hàm tự tương quan là tồn tại và liên tục.

Chứng minh: Suy từ định lý 3 và sự kiện: Nếu

EX'(t) = m'(t)

2 ( , )[X'(s),X'(t)]= r s t

trong đó si là điểm tuỳ ý thuộc [ti, ti+1]

Nếu tồn tại giới hạn l.i.m ( )∆ →0 S ∆ =I ,

Tích phân này có một số tính chất như tích phân thông thường.

(v) (Công thức Newton - Leibnitz).

Nếu X(t) là L 2 - khả vi liên tục (tức X'(t) là L 2 - liên tục) trên đoạn [a,b] thì

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn để một quá trình ngẫu nhiên X(t)

là L2 - khả tích thông qua tính khả tích của hàm trung bình và hàm tự tương quan

Định lý 6 Quá trình X(t) là L 2 - khả tích trên [a, b] nếu và chỉ nếu hàm trung bình m(t) khả tích trên đoạn [a, b] và hàm tự tương quan r(s, t) khả tích trên [a, b] × [a, b].

Trong trường hợp đó ta có các công thức sau đây:

∆ =∑ − hội tụ bình phương trung bình tới I, nên suy

ra ES(∆) hội tụ tới EI khi ∆ →0 theo mệnh đề 1

i i i i

Điều kiện đủ: Giả sử ∆ và ∆' là hai phép phân hoạch tuỳ ý của [a, b]

Chương 2 Một số tính chất của quá trình Wiener

và các quá trình liên quan

2.1 Quá trình dừng

2.1.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1 Giả sử ( ),X t t∈¡ là một quá trình cấp 2

X(t) được gọi là một quá trình dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số(không phụ thuộc vào t) và hàm tự tương quan r(s, t) chỉ phụ thuộc vào s - t.Như vậy ( ),X t t T∈ là quá trình dừng khi và chỉ khi:

a) m(t) = m = const

b) Tồn tại hàm K(t) sao cho r(s, t) = K(s - t), ∀ ∈s t, ¡

Nói cách khác (hoàn toàn tương đương với định nghĩa trên), quá trình ( ),

X t t∈¡ là quá trình dừng nếu nó có cùng hàm trung bình và hàm tự tương

quan với quá trình Y(t) = X(t + h), h∀ ∈¡

Định nghĩa 2 Quá trình ( ),X t t∈¡ được gọi là quá trình dừng mạnh (hay

dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h∈¡ , và với mọi t1<t2,…<tn phân phốiđồng thời của

{ X t(1+h X t), ( 2 +h), , (X t n +h)}

và của {X t X t( ), ( ), , ( )1 2 X t n } là như nhau.

Điều này có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi tatịnh tiến bộ chỉ số thời gian (t1, t2, …, tn)

Rõ ràng một quá trình dừng mạnh có moment cấp 2 là một quá trìnhdừng Điều ngược lại nói chung không đúng

Tuy nhiên, nếu một quá trình dừng là quá trình Gauss thì nó sẽ là quátrình dừng mạnh Bởi vì phân phối hữu hạn chiều của quá trình Gauss hoàntoàn được xác định bởi hàm trung bình và hàm tự tương quan

Hàm K(t) cũng được gọi là hàm tự tương quan của quá trình dừng Ta

có tính chất sau đây của hàm K(t)

(ii) ( ) K t ≤K(0), ∀ ∈t ¡ .

(iii) K(t) là hàm xác định không âm tức là

với mọi t 1 , t 2 , …, t n∈¡ và với mọi b b1, , ,2 b n∈¡ thì

Hãy chứng tỏ X(t) là quá trình dừng và tìm hàm tự tương quan của nó

Giải Ta có ( )m t =cos tEU + sin tEV = 0.λ λ

( , ) ( ) ( ) [(U os + Vsin )(U os + Vsin )]

Vậy X(t) là quá trình dừng với hàm tự tương quan K(t) = σ2cos tλ

Ví dụ 2 Tổng quát hơn, giả sử U1,U2,…,Un và V1,V2, …,Vn là các đại lượng ngẫu nhiên có

n

k k k

=

Nếu ( ),X t t T∈ là quá trình dừng, thì tính chất đối xứng và xác định

không âm của hàm tự tương quan K(t) nay trở thành

Trước hết, ta có định lý quan trọng sau đây:

Định lý 2.

(i) Trường hợp thời gian rời rạc, T =¢ :

Nếu ( ) K n , n∈¢ là hàm tự tương quan của quá trình dừng X(n) thì tồn

tại duy nhất một độ đo hữu hạn µ trên [−π π, ] sao cho có biểu diễn tích phân

( ) inx ( )

π π

µ

−

= ∫

(ii) Trường hợp thời gian liên tục, T =¡ :

Nếu ( ) K t , t∈¡ là hàm tự tương quan của quá trình dừng X(t) và X(t)

là L 2 - liên tục, thì tồn tại duy nhất một độ đo hữu hạn µ trên ¡ sao cho có

biểu diễn tích phân

Gọi µn là độ đo trên [−π π, ] với hàm mật độ ( ).f x Họ n { }µn là

compact yếu nên ta trích ra được một dãy con { }µnk hội tụ yếu tới độ đo hữu hạn µ Ta chứng tỏ rằng µ chính là độ đo cần tìm.

Thật vậy với mỗi m cố định ta có

ϕ = Khi đó ( )ϕ t là hàm liên tục, xác định không âm và(0) 1

ϕ = Như thế theo định lý Bochner thì ( )ϕ t là hàm đặc trưng của một độ

đo xác suất v nào đó Lúc ấy đặt µ =K(0).v ta sẽ có biểu diễn cần tìm

Độ đo µ được gọi là độ đo phổ của quá trình dừng X(t).

Nếu độ đo µ là tuyệt đối liên tục, tức là dµ = f x dx( ) thì ( )f x d

(i) Trường hợp thời gian rời rạc, T =¢:

Giả sử X(n) là quá trình dừng (nhận giá trị phức) Khi đó tồn tại độ đo ngẫu nhiên trực giao Z (có thể nhận giá trị phức) trên [−π π, ] sao cho

π λ π

λ

−

(ii) Trường hợp thời gian liên tục, T =¡ :

Giả sử X(t) là quá trình dừng (nhận giá trị phức), X(t) là L 2 - liên tục Khi đó tồn tại độ đo ngẫu nhiên trực giao Z (có thể nhận giá trị phức) trên

Độ đo Z được gọi là độ đo phổ ngẫu nhiên của quá trình X(t).

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp thời gian liên tục (trường hợp

thời gian rời rạc chứng minh tương tự)

Ký hiệu M là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn

1

( ),

n

k k k

liên tục được xấp xỉ đều bởi các hàm dạng

1

k

n it k k

a) <Z A Z B( ), ( )>=<S−1(II A),S−1(II B)>=m A( ∩B)

b) Nếu

1

k k

Vói f bất kỳ trong L2( , )¡ µ thì tồn tại dãy hàm đơn giản { }f hội tụ n

trong L2( , )¡ µ tới f Khi đó

Định lý được chứng minh xong

Sau đây ta nêu ra một ứng dụng đầu tiên của định lý biểu điễn phổ:Giả sử ( ),X t t∈¡ là quá trình dừng với độ đo phổ µ Ta sẽ diễn tả

điều kiện cần và đủ để X(t) là L 2 - khả vi thông qua độ đo phổ µ.

Ta có

it h

e

i h

Định nghĩa Quá trình X ={X t T t, ∈ } được gọi là quá trình Gauss hay quá

trình chuẩn, nếu các phân phối hữu hạn chiều của nó là Gauss, tức là, phân phân phối của vector ngẫu nhiên (X t1, ,X là Gauss đối với mọi tập con t n)

hữu hạn I =( , , )t1 t n ⊂T

Như vậy, quá trình X ={ X t T t, ∈ } là Gauss khi và chỉ khi mỗi tổ hợp

tuyến tính (hữu hạn) của nó là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trên ¡ Đặc biệt, ta có