Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định

Dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Hồng Sơn, chúng tôi đã chọn đềtài:” Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định ”.. Các phương pháp ước lượng ch

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG SƠN

Vinh, 2010

LỜI CẢM ƠN!

- Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình và hết lòng giúp đỡ của TS Lê Hồng Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới Thầy dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

- Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trongkhoa Toán của trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà,quý thầy cô khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, các bạn học viên cao họcToán khoá 16 đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý chân thành để tác giả hoànthành luận văn

- Cuối cùng, tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và người thân

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu

Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạnquan tâm vấn đề này

MỤC LỤC

Trang

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 2

Chương I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH 22

1 Định nghĩa và hàm mật độ, hàm phân phối của phân phối ổn định

1.1 Các định nghĩa về phân phối ổn định

Định nghĩa 1.1.1

Định nghĩa 1.1.2

Định nghĩa 1.1.3

Định nghĩa 1.1.4

Định nghĩa 1.1.5

Định nghĩa 1.1.6

1.2 Hàm mật độ và hàm phân phối của phân phối ổn định

Định lý 1.2.1

Định lý 1.2.2

Hệ quả 1.2.2

Định lý 1.2.3

2 Các tính chất cơ bản của phân phối ổn định

2.1 Moment và tính chất đuôi “heavy-tail”

Định lý 2.1.1

Định lý 2.1.2

2.2 Các phép toán của đại lượng ngẫu nhiên ổn định

Mệnh đề 2.2.1 .

Mệnh đề 2.2.2

2.3 Định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát

Định lý 2.3.1

Định lý 2.3.2

Chương II ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH 2.1 Mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên của phân phối ổn định

Định lý 2.1.1

Bổ đề 2.1.3

Định lí 2.1.4

2.2 Các phương pháp ước lượng chỉ số ổn định

2.2.1 Phương pháp ước lượng Hill

2.2.2 Phương pháp ước lượng Zolotarev

2.2.3 Phương pháp ước lượng DPR

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

Phân phối ổn định là một lớp phân phối xác suất phong phú với tính chấtđuôi “heavy-tail” và nhiều tính chất toán học thú vị khác, cùng với định lýgiới hạn trung tâm Lớp các phân phối ổn định được ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, tài chính, bảo hiểm,…và nó đã thu hútđược nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học Trong thời gian gần đây, mộttrong những tính chất đặc trưng của phân phối ổn định đó là tính chất đuôi

“heavy-tail”, nghĩa là đuôi của phân phối ổn định “nặng” hơn đuôi của phânphối chuẩn Tuy nhiên việc nghiên cứu phân phối ổn định gặp nhiều khó khănhơn so với phân phối chuẩn Vì một thực tế rằng, người ta không đưa ra biểuthức giải tích cụ thể của hàm mật độ, hàm phân phối Mặc dù vậy cùng với sựphát triển của công nghệ thông tin, việc tính toán các giá trị hàm mật độ, hàmphân phối có thể thực hiện được th ông qua các phần mềm chuyên dụng

chúng ta đã biết, ước lượng Hill là một trong những công cụ phổ biến nhấtdùng để ước lượng tham số đuôi của những phân phối có tính chất heavy-tail

B Hill đã công bố công trình nghiên cứu của mình về phương pháp ướclượng này năm 1975 Tuy nhiên một nhược điểm của phương pháp ước lượngHill là cần phải khảo sát một mẫu có cỡ rất lớn, đặc tính này của ước lượngHill là một khó khăn lớn cho các nhà thống kê khi áp dụng vào thực tế Tuynhiên, trong những năm cuối thế kỷ XX, đầu thế kỷ XXI, nhiều nhà nghiêncứu thống kê đã cải tiến lại phương pháp Hill thành nhiều mô hình ước lượngkhác nhau phù hợp với từng phân phối heavy-tail, điển hình như P Hall trong[7], S Resnick và C Starica trong [16], E Hausler và J Teugels trong [8]

Dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Hồng Sơn, chúng tôi đã chọn đề

tài:” Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của

phân phối ổn định ”.

Ngoài phần mở đầu, kết luân, luận văn được trình bày thành hai chương:

Chương 1 Đại cương về phân phối ổn định

Chương này trình bày những khái niệm cơ bản và các công cụ cần thiết đểnghiên cứu về phân phối ổn định

Chương 2 Các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định

Trình bày 3 phương pháp về ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định.Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình, chu đáo của TS Lê Hồng Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớiThầy dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trongkhoa Toán của trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Văn Quảng,PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà,quý thầy cô khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, các bạn học viên cao họcToán khoá 16 đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý chân thành để tác giả hoànthành luận văn

Cuối cùng tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và người thân đãtạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu

Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạnquan tâm vấn đề này

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

KẾT LUẬN:

Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:

1 Đã trình bày có hệ thống các khái niệm cơ bản của phân phối ổn định

2 Dùng công cụ Excel để mô phỏng các đại l ượng ngẫu nhiên có phânphối ổn định

3 Sử dụng các phương pháp ước lượng Hill, Zolotarev và DPR để đánh

Hướng mở của luận văn:

1 Tiếp tục nghiên cứu các phương pháp ước lượng khác, sử dụng cácphần mềm ứng dụng khác để mô phỏng các đại lượng ngẫu nhiên có phânphối ổn định và ước lượng tham số mũ của phân phối ổn định

2 Sử dụng các phần mềm đã có để mô phỏng và ước lượng tham số mũcủa các model toán học, như model: ARMA, ARCH, GARCH

Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH

Phân phối ổn định là một lớp phân phối xác suất phong phú với tính chấtđuôi “heavy-tail” và nhiều tính chất toán học thú vị khác Lớp phân phối nàyđược mô tả bởi Paul Levy trong các công trình nghiên cứu của ông về tổngcủa các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối năm 1920 Một tínhchất quan trọng của phân phối chuẩn được nêu trong định lý giới hạn trungtâm dạng tổng quát Định lý phát biểu rằng, phân phối giới hạn của tổngchuẩn hóa các đại lượng ngẫu nhiên cùng phân phối nếu có thì chỉ có thể làphân phối ổn định Từ tính chất quan trọng đó, cùng với các nghiên cứu saunày về phân phối giới hạn, lớp các phân phối này đã được ứng dụng rộng rãitrong lý thuyết xác suất cũng như trong lý thuyết thống kê toán học Tuynhiên, việc nghiên cứu lớp các phân phối ổn định gặp rất nhiều khó khăn vìmột thực tế rằng: trừ một số trường hợp đặc biệt như phân phối Gauss,Cauchy, Levy… nói chung hàm mật độ và hàm phân phối của đại lượng ngẫunhiên ổn định không có biểu thức giải tích cụ thể Tuy nhiên phân phối ổnđịnh mô tả khá đầy đủ thông qua hàm đặc trưng Ngoài ra với sự phát triểncủa khoa học kỹ thuật đã có nhiều chương trình máy tính đáng tin cậy để tínhtoán các giá trị của hàm phân phối và hàm mật độ của phân phối ổn định.Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số tính chất cơbản của phân phối ổn định Đặc biệt mô tả cụ thể tính chất đuôi heavy-tail củaphân phối ổn định

1 Định nghĩa và hàm mật độ, hàm phân phối của phân phối ổn định 1.1 Các định nghĩa về phân phối ổn định

Như chúng ta đã biết, một tính chất quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên cóphân phối chuẩn (hay phân phối Gauss) là tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên

có cùng phân phối chuẩn cũng là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn Nghĩa là, nếu đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, X1 và X2

số dương c và d  R sao cho:

Như ta đã biết, phân phối chuẩn là một trường hợp đặc biệt của lớp cácphân phối ổn định Tuy nhiên, tính chất đặc trưng (1.1) của phân phối chuẩncũng đúng đối với lớp các phân phối ổn định Tính chất đó thể hiện qua cácđịnh nghĩa sau của phân phối ổn định

Định nghĩa 1.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định

số dương a b, , luôn tồn tại số dương c và d  R sao cho (1.1) thỏa mãn

" d bằng nhau theo nghĩa phân phối

Khi đó, đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có thể được phát biểu

Định nghĩa 1.1.3 Đại lượng ngẫu nhiên X đươc gọi là  - ổn định nếu hàm

đặc trưng của X có dạng:

2 ( )

2

t i sign t i t t

1, 0.

u Sign u u

Nhận xét: định nghĩa 1.1.3 cho thấy rằng, một đại lượng ngẫu nhiên có phân

phối ổn định nói chung phụ thuộc vào 4 tham số: tham số ổn định hoặc tham

số mũ đặc trưng   ( 0 ; 2 ]; tham số về độ lệch    [ 1; 1]; tham số địa phương

0



( ) t .

t e  

  

Sau đây ta mô tả một số trường hợp đặc biệt của phân phối ổn định

Ví dụ 1 Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Gauss, kí hiệu

2

( , )

N   , nếu có một hàm mật độ

2 2

4 2

x

f x

a a

trong đó X X1 , 2 , , X n độc lập cùng phân phối với X, với   (0, 2].

Đại lượng ngẫu nhiên X là phân phối ổn định theo nghĩa hẹp nếu

Định nghĩa 1.1.5 Đại lượng ngẫu nhiên X là ổn định nếu và chỉ nếu

2

Z

t i sign t i t t

Định nghĩa 1.1.6 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối  - ổnđịnh nếu

Z X

2 ( )

Khi phân phối được chuẩn hóa, nghĩa là tham số tỉ lệ   1 , tham số vị trí

1.2 Hàm mật độ và hàm phân phối của phân phối ổn định

Định lý 1.2.1 Phân phối ổn định là phân phối liên tục với hàm mật độ khả vi

Một trong những chương trình được sử dụng rộng rãi và hiệu quả làchương trình “Stable Program” được giới thiệu bởi J.P Nolan trong [14]

Định lí 1.2.2 (Tính chất phản xạ) Với mọi  và  ,Z ~ ( ; )S   trong (1.4)

ta có:

).

, ( )

, (   Z  

Từ tính chất phản xạ ta thấy, để nghiên cứu hàm mật độ và hàm phân phốicủa đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định, ta chỉ cần mô tả chúng với

0

Như đã nói ở trên, hàm mật độ của phân phối ổn định không có biểu thứcgiải tích cụ thể, tuy nhiên chúng có thể được biểu diễn thông qua một chuỗihội tụ

Định lí 1.2.3 Giả sử Z Z  ( ; ),0    2 được biểu diễn trong (1.4) Khi

đó, với x  0 :

1

1 1

1

1 1

1 ( 1)

! ( ; )

n

n n

n Sin n x

f x

n Sin n x

n n

Do đó hàm mật độ và hàm phân phối đối xứng quanh O

phải của phân phối ổn định nặng hơn đuôi bên trái, hay nói cách khác:

), (

) (X x P X x

Khi   1 , phân phối ổn định hoàn toàn lệch sang bên phải Từ tính chất

khi   0 , phân phối ổn định lệch sang bên trái, nghĩa là đuôi phía bên trái củaphân phối ổn định nặng hơn đuôi bên phải, hay nói cách khác:

), (

) (X x P X x

đặc trưng như phân phối chuẩn, phân phối Levy và phân phối Cauchy là các

ví dụ cụ thể cho tính chất trên cũng như tính chất “heavy-tail” của phân phối

ổn định

2 tan  

trong (1.4)

Vì vậy hàm đặc trưng là thực và vì thế phân phối luôn đối xứng, không liênquan gì về giá trị của  Trong kí hiệu, Z(2, ) d Z(2, 0). Trong trường hợp

chính xác

Như chúng ta đã biết không có công thức nào được đưa ra cho sự xác định

vị trí của mode Tuy nhiên, mode của phân phối Z ~ ( ; ; 0)S   , kí hiệu

( , )

m   , bằng các phần mềm Stable trong J.P Nolan[14] Giá trị của m  ( , )

được hiển thị cho   0 Theo các tính chất phản xạ, m( ,    ) m( , )   Tacó

( ( , )) ( ( , ))

P Z m   P Z m  

khi   0,

1 ( ( , )) ( ( , )) 2

P Z m   P Z m   

( ( , )) ( ( , ))

P Z m   P Z m  

khi   0

Các tính chất và mô phỏng của phân phối ổn định sẽ được mô tả và chứngminh cụ thể trong Chương II

2 Các tính chất cơ bản của phân phối ổn định

2.1 Moment và tính chất đuôi “heavy-tail”

Ta có phân phối chuẩn cũng như tính chất đuôi của phân phối chuẩn đãđược trình bày trong nhiều tài liệu về lý thuyết xác suất Ở đây chúng tôi giớithiệu tính chất tiệm cận đuôi cho những phân phối ổn định nhưng không phải

là phân phối chuẩn

~ ) 1

và

( 1) ( , , , ) ~ (1 )

 

1

1 2

p

p Cos

2.2 Các phép toán của đại lượng ngẫu nhiên ổn định

số của phân phối chuẩn được cho bởi mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 2.2.1 Phân phối ổn định có các tính chất sau đây:

(a) Nếu X ~ ( ; ; ; )S     và a  0,b R ,

~ ( ;( ) ; ; ).

a X b S  sign a    a b (b) Hàm đặc trưng, hàm phân phối và hàm mật độ liên tục đối với tất cả bốn tham số ( , , , )    

Một trong các công thức giới thiệu có liên quan đến tổng của n đại lượng

ngẫu nhiên có phân phối ổn định đối với X j ~ (S     j; j; ; )j j , j 1, 2, 3, ,n

độc lập và bất kỳ w1,w2, ,w n có biểu thức xác định như sau:

Lưu ý: Nếu  j 0, j, sau đó   0 và  j w jj.

Một tính chất quan trọng các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định là:

,1,

n n n

n

Chúng ta khẳng định rằng không có phân phối nào khác có tính chất này,nếu có thì chỉ duy nhất đó là phân phối ổn định

2.3 Định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát

Định lý giới hạn trung tâm nói rằng tổng chuẩn hóa của các đại lượngngẫu nhiên với phương sai hữu hạn, hội tụ về một đại lượng ngẫu nhiên cóphân phối chuẩn Cho X1, X2, , X n là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

~ (0,1)

d n

X

Z N n

Định lý 2.3.2 Giả sử X1, X2, , X n là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc

lập cùng phân phối, tồn tại hằng số a n  0 ,b nR và Z là đại lượng ngẫu nhiên không suy biến với:

1 2

a X X  X  b  Z nếu và chỉ nếu Z là  - ổn định với 0    2

Ta ký hiệu X  DA (Z) nếu tồn tại hằng số các a n  0,b nR sao cho

a X n( 1X2 X n)  b nd Z ~ ( ; ; 1;0)S   (1.5)

với X1, X2, , X n là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phốivới X.

định Trong chứng minh định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát, Levycũng đưa ra các dạng của các hằng số a n và b n



Chương II

ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH

Với những ứng dụng rộng rãi của phân phối  - ổn định, việc ước lượng

chúng ta đã biết, ước lượng Hill là một trong những công cụ phổ biến nhấtdùng để ước lượng tham số đuôi của những phân phối có tính chất heavy-tail

B Hill đã công bố công trình nghiên cứu của mình về phương pháp ướclượng này năm 1975 Tuy nhiên một nhược điểm của phương pháp ước lượngHill là cần phải khảo sát một mẫu có cỡ rất lớn, đặc tính này của ước lượngHill là một khó khăn lớn cho các nhà thống kê khi áp dụng vào thực tế Tuynhiên, trong những năm cuối thế kỷ XX, đầu thế kỷ XXI, nhiều nhà nghiêncứu thống kê đã cải tiến lại phương pháp Hill thành nhiều mô hình ước lượngkhác nhau phù hợp với từng phân phối heavy-tail, điển hình như P Hall trong[7], S Resnick và C Starica trong [16], E Hausler và J Teugels trong [8].Trong luận văn này, bằng các phương pháp mô phỏng đại lượng ngẫunhiên, chúng tôi sử dụng công cụ excel để mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên có

pháp ước lượng Zolotarev và phương pháp ước lượng mà chúng tôi gọi làphương pháp DPR, được giới thiệu bởi Yu Davydov, V Paulauskas và A

định Những kết quả chúng tôi thu được cho thấy rằng, trong trường hợp phânphối ổn định, ước lượng Hill truyền thống và phương pháp Zolotarev làm việcrất hiệu quả, còn sự cải tiến của phương pháp ước lượng Hill - được giới thiệubởi S Resnick và C Starica trong [16] và phương pháp DPR cho kết quả

không thực sự chính xác

2.1 Mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên của phân phối ổn định