Phân bố phổ dao động của phân tử nali trong dịch chuyển điện tử 61π 11ς+ luận văn thạc sỹ vật lý

Theo logic này có thể xem các phân tử kim loại kiềm là đối tượng thuận tiện tiếp sau phân tử H2 vì cấu trúc điện tửđơn giản của chúng chỉ có hai điện tử hóa trị chuyển động xung quanh cá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đinh Xuân Khoa,

TS Nguyễn Huy Bằng đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tác giảtrong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả luận văn xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Vũ Ngọc Sáu, TS Mai VănLưu đã có những ý kiến quý báu đóng góp cho luận văn Tác giả cũng xincảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Vật lýTrường Đại học Sài Gòn, Trường Đại Học Vinh, đã tạo điều kiện thuận lợicho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, thầy cô

và các học viên cao học cùng lớp đã động viên, giúp đỡ tác giả trong thời giannghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2012

Tác giả

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

Mở đầu 4

Chương 1 6

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CẤU TRÚC PHÂN TỬ HAI NGUYÊN TỬ .6

1.1 Các dạng chuyển động trong phân tử 6

1.2 So sánh độ lớn năng lượng của các dạng chuyển động 7

1.3 Phân loại các trạng thái điện tử của phân tử 10

1.4 Tương quan giữa trạng thái phân tử với trạng thái nguyên tử 13

1.5 Gần đúng Born-Oppenheimer 14

Kết luận chương 1 18

Chương 2 19

PHỔ DAO ĐỘNG CỦA PHÂN TỬ HAI NGUYÊN TỬ 19

2.1 Năng lượng dao động và phổ dao động của phân tử hai nguyên tử theo mẫu dao động điều hòa 19

2.2 Năng lượng dao động và phổ dao động của phân tử hai nguyên tử theo mẫu dao động không điều hòa 27

trong đó : là tần số dao động , 29

2.3 Nguyên lý Franck-Condon và phân bố phổ dao động trong các dịch chuyển điện tử.32 Kết luận chương 2 34

Chương 3 35

PHÂN BỐ PHỔ DAO ĐỘNG CỦA PHÂN TỬ NaLi TRONG DỊCH CHUYỂN ĐIỆN TỬ .35

3.1 Giải phương trình Schrödinger bán kính bằng phương pháp số 35

3.2 Phân bố phổ dao động trong dịch chuyển 6←11 Σ + của NaLi 38

Kết luận chương 3 40

KẾT LUẬN CHUNG 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

PHỤ LỤC 1 43

PHỤ LỤC 2 43

Mở đầu

Dựa vào số liệu phổ được quan sát (bước sóng, phân bố phổ, cường độ vạch phổ, độ rộng vạch phổ) ta có thể biết được thông tin về cấu trúc hay nói cách khác là các trạng thái lượng tử của phân tử (trạng thái điện tử, trạng thái dao động, trạng thái quay) đã tham gia vào dịch chuyển phổ Hiểu biết được

tập hợp các trạng thái này cho phép ta tiên đoán được các tính chất vật lý vàhóa học của phân tử cũng như tính chất của môi trường tạo nên từ các phân tửnày Đồng thời, khi biết cấu trúc ta có thể tiên đoán được các quá trình độnghọc của phân tử ở các điều kiện môi trường khác nhau (điều kiện kích thích,môi trường bao quanh) Vì thế quang phổ học đã và đang giữ vai trò quantrọng trong nghiên cứu cấu trúc vật chất, góp phần vào sự phát triển của nhiềulĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh học, vũ trụ học…

Bên cạnh đó, do mỗi phân tử có một đặc trưng riêng về cấu trúc phổ của chúng nên có thể lợi dụng các tính chất này vào các nghiên cứu về môi trường(dò tìm sự có mặt của các phân tử trong môi trường), hoặc trong hóa học phântích (dò tìm các nhóm chức), v.v

Nghiên cứu cấu trúc phân tử thường gặp nhiều khó khăn do tính phứctạp trong tương tác giữa các điện tử và với các hạt nhân nguyên tử Trên

phương diện lý thuyết, bài toán hệ nhiều hạt này chỉ có thể giải bằng phương pháp gần đúng Rất nhiều phương pháp tính toán (các phương pháp ab initio,

phương pháp bán thực nghiệm) đã được đề xuất để nghiên cứu cấu trúc vàtính chất của các hệ phân tử Việc thiết lập mô hình tính toán thường phảixuất phát từ các hệ phân tử đơn giản nhất (các phân tử hai nguyên tử) và sau

đó mở rộng ra cho các hệ phức tạp hơn Theo logic này có thể xem các phân

tử kim loại kiềm là đối tượng thuận tiện tiếp sau phân tử H2 vì cấu trúc điện tửđơn giản của chúng (chỉ có hai điện tử hóa trị chuyển động xung quanh các

lớp điện tử đã được lấp đầy) Mặt khác, trên phương diện thực nghiệm thì

phân tử kim loại kiềm thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà phổ họckhông chỉ bởi cấu trúc đơn giản của nó mà còn bởi phổ điện tử của nó nằmtrong miền UV – VIS Điều này cho phép sử dụng các kỹ thuật phổ laser có

độ phân giải cao để nghiên cứu Đặc biệt, sự ra đời của các kỹ thuật làm lạnhcác nguyên tử và phân tử kim loại kiềm trong thời gian gần đây đã mở ranhiều hướng nghiên cứu mới và rất có triển vọng trong ứng dụng

Trong số các phân tử kim loại kiềm thì NaLi là phân tử dị chất nhẹ nhất

và đã thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu gần đây trong lĩnh vực làmlạnh phân tử, bởi nó có mômen lưỡng cực vĩnh cửu nên có thể dùng trườngngoài để điều khiển chuyển động của phân tử này [9,10] Ở Việt Nam, nghiêncứu về cấu trúc các phân tử kim loại kiềm mới chỉ được thực hiện bước đầu ởnhóm nghiên cứu Quang học-Quang phổ của ĐH Vinh trên cơ sở hợp tác vớinước ngoài Cụ thể, từ năm 2005 nhóm nghiên cứu này đã tiến hành hợp tácvới các nhà khoa học ở Viện Vật lý thuộc viện Hàn lâm khoa học Ba Lan đểnghiên cứu phổ của các phân tử kim loại kiềm bằng cách sử dụng các kỹ thuậtphổ laser [3] Điều này đã làm cơ sở thuận lợi cho các nghiên cứu liên quansau này Tuy nhiên, hiện nhiều vấn đề liên quan đặc biệt là mô tả cường độphổ dao động hiện vẫn chưa được mô tả chi tiết Bởi vậy, chúng tôi lựa chọn

vấn đề “phân bố phổ dao động của phân tử NaLi trong dịch chuyển điện tử

6 Π ¬ Σ 1 +” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp của mình.

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CẤU TRÚC PHÂN TỬ HAI NGUYÊN TỬ

1.1 Các dạng chuyển động trong phân tử

Sự phức tạp của quang phổ phân tử có liên quan chặt chẽ đến tính đadạng chuyển động của phân tử Trong nguyên tử, quang phổ của nó gây nênbởi chuyển động của các điện tử hóa trị xung quanh một lõi gồm hạt nhân vàcác điện tử được lấp đầy, thì trong phân tử quang phổ của nó liên quan đến batrong bốn dạng chuyển động sau đây :

Chuyển động tịnh tiến của toàn bộ phân tử trong không gian Chuyểnđộng này không dẫn đến sự tạo thành phổ, vì vậy ta không xét đến.

Chuyển động của các điện tử trong trường lực của hạt nhân Chuyểnđộng này xác định các trạng thái điện tử của phân tử Mỗi trạng thái điện tửđược mô tả bằng hàm sóng Ψe và được đặc trưng bằng giá trị năng lượng E e

Sự dao động của các hạt nhân xung quanh vị trí cân bằng, đó là sự thayđổi tuần hoàn vị trí tương đối của chúng đối với nhau Do dao động mà dẫnđến sự biến thiên hoàn toàn khoảng cách R giữa các hạt nhân và góc hóa trị.Chuyển động này được mô tả bằng hàm Ψv ứng với giá trị năng lượng E v

Chuyển động quay của toàn bộ phân tử trong không gian: đó là sự biếnthiên tuần hoàn sự định hướng của phân tử trong không gian Chuyển độngnày được mô tả bằng hàm sóng Ψr (hoặc Ψj) ứng với giá trị năng lượng E r

(hoặc E j)

1.2 So sánh độ lớn năng lượng của các dạng chuyển động

1.2.1 Năng lượng điện tử và năng lượng dao động

Ta có thể so sánh độ lớn năng lượng của ba dạng chuyển động : chuyểnđộng của điện tử trong trường lực hạt nhân, sự dao động của phân tử và sự quay của phân tử để từ đó rút ra được sự phân bố vùng phổ của chúng

Nếu xem rằng chuyển động của điện tử trong trường lực hạt nhân vàdao động của các hạt nhân, tức là dao động của phân tử như là các dao độngđiều hòa, thì tần số dao động νe của điện tử và νv của các hạt nhân được xác

định bằng các biểu thức tương ứng :

1 2

e e

e

K m

hiệu dụng của phân tử ) Khối lượng hiệu dụng này được xem như tập trungtại trọng tâm của phân tử

1.2.2 Năng lượng điện tử và năng lượng quay

Ta có thể xem năng lượng của điện tử có cùng bậc với năng lượng quay

của điện tử quanh hạt nhân [1]

2 1 2

Trong đó M e=P r e là mô men động lượng quay của điện tử

Tương tự ta có năng lượng quay toàn phần của phân tử :

2 2

Trong đó : M r là mô men động lượng quay của phân tử

R là khoảng cách giữa hai nguyên tử của phân tử

Với phân tử hai nguyên tử một cách gần đúng ta có thể xem R r≈ , khi đó

Từ đó suy ra E e>>E v >>E r, tức là năng lượng quay của phân tử nhỏ hơn

rất nhiều so với năng lượng dao động và năng lượng điện tử của phân tử Nếu

phổ dao động của phân tử nằm ở vùng hồng ngoại gần thì phổ quay của phân

tử phải nằm ở vùng hồng ngoại xa Trên thực tế, mỗi phân tử thực hiện đồngthời cả ba dạng chuyển động: chuyển động của các điện tử trong trường lựchạt nhân, sự dao động của các hạt nhân và sự quay của toàn bộ phân tử trongkhông gian Nếu xem rằng các dạng chuyển động này không ảnh hưởng đếnnhau thì một các gần đúng, năng lượng toàn phần của phân tử được xác địnhbằng biểu thức : E E= e+E v+E r

1.3 Phân loại các trạng thái điện tử của phân tử

Xét một phân tử hai nguyên tử mà bao gồm hai hạt nhân A và B đượcbao quanh bởi các điện tử chuyển động nhanh Nếu chúng ta bỏ qua spin hạtnhân, là nguyên nhân tạo nên cấu trúc siêu tinh tế, thì có ba loại của momengóc của phân tử hai nguyên tử: spin Sr

của điện tử, momen quỹ đạo (momenxung lượng) Lr do chuyển động của điện tử và momen quay Rr của toàn hệphân tử [4]

Đối với phân tử hai nguyên tử, điện tích của các hạt nhân nguyên tử sẽtạo ra điện trường đối xứng trục dọc theo đường nối các hạt nhân này Trongđiện trường như thế, momen quỹ đạo tổng hợp Lr của các điện tử sẽ tiến độngrất nhanh xung quanh trục đối xứng này Do đó, chỉ có thành phần hình chiếu

Mặt khác, nếu ta đảo chiều chuyển động của tất cả các điện tử thì dấu của ML đổi thành –ML nhưng năng lượng của hệ phân tử sẽ không thay đổi Nghĩa là các trạng thái chỉ khác nhau bởi dấu của ML sẽ có cùng năng lượng (suy biến bội hai) trong khi các trạng thái với các giá trị khác nhau của |ML| có năng

lượng khác nhau Vì vậy, để thuận tiện người ta phân loại các trạng thái điện

tử của phân tử hai nguyên tử theo [11]:

Tùy theo Λ = 0, 1, 2, 3 các trạng thái điện tử được ký hiệu tương ứng là

Σ, Π, ∆, Φ, Trong đó, các trạng thái Π, ∆, Φ, là bị suy biến bội hai bởi ML

có thể có hai giá trị +Λ và –Λ, trong khi trạng thái Σ là không suy biến

Trong phân tử hai nguyên tử, tính đối xứng của hàm sóng điện tử phụthuộc vào sự đối xứng của điện trường trong đó các điện tử chuyển động Bất

kỳ mặt phẳng xuyên qua trục giữa các hạt nhân nguyên tử là mặt phẳng đối

xứng Cụ thể là, các hàm sóng điện tử hoặc là không thay đổi hoặc thay đổi dấu của chúng qua phép phản xạ gương các tọa độ điện tử bởi mặt phẳng đối

xứng Trạng thái ứng với hàm sóng không đổi dấu qua phép phản xạ tươngứng với trạng thái có tính chẵn lẻ dương (+), còn hàm sóng đổi dấu sẽ tươngứng với trạng thái có tính chẵn lẻ âm (-) Ký hiệu tính chẵn lẻ (+/-) được viếtthành chỉ số trên bên phải của ký hiệu trạng thái điện tử [11]

Ngoài mặt phẳng đối xứng, các phân tử hai nguyên tử đồng chất (hainguyên tử giống nhau) còn có một tâm đối xứng là trung điểm của khoảngcách giữa hai hạt nhân Khi đó sự phản xạ hàm sóng điện tử qua tâm đối xứngnày hoặc là không thay đổi hoặc thay đổi dấu của chúng Các trạng thái thuộc

về loại đầu tiên được gọi là gerade (được đánh dấu bởi chỉ số dưới bên phải g), và các trạng thái thuộc loại thứ hai được gọi là ungerade (được ký hiệu bằng chỉ số dưới bên phải u).

Khi tính đến spin của điện tử thì spin tổng hợp Sr của hệ sẽ bằng tổngcủa các spin thành phần Bởi chuyển động của các điện tử sinh ra một từtrường hướng dọc theo trục giữa các hạt nhân nguyên tử, nên chính từ trườngnày tạo ra sự tiến động của Sr Ta ký hiệu hình chiếu của spin tổng hợp lên

trục nối hai hạt nhân là Σ Ứng với một giá trị nhất định của S sẽ có 2S + 1 giá trị khả dĩ của Σ Giá trị 2S + 1 gọi là số bội của trạng thái điện tử và được

đánh dấu là chỉ số trên bên trái trong ký hiệu của trạng thái điện tử, 2S+1Λ.Ngoài các lượng tử số Λ và Σ, người ta còn sử dụng số lượng tử Ω được địnhnghĩa [11]:

Trong danh pháp của phổ học phân tử [11], có hai cách để đánh sốtrạng thái điện tử Cách đầu tiên là ký hiệu trạng thái điện tử bởi chữ cái,

trong đó X là cho trạng thái cơ bản, trong khi A, B, C, … ký hiệu các trạng

thái bị kích thích kế tiếp có cùng số bội với trạng thái cơ bản Các trạng thái

với số bội khác với của trạng thái cơ bản được ký hiệu với chữ thường a, b, c… Cách phân loại thứ hai là ký hiệu trạng thái có cùng tính đối xứng bởi các

số nguyên Cụ thể, số 1 cho trạng thái có năng lượng thấp nhất, kế tiếp là 2, 3, cho các trạng thái lần lượt có năng lượng cao hơn và có cùng độ bội Ví dụ:

11Σ, 21Σ, 31Σ, 11Π

Trên đây ta mới chỉ xét các mômen góc của điện tử trong phân tử màchưa chú ý đến sự quay của phân tử Khi xét đến sự quay của phân tử trongkhông gian thì ta phải đưa vào mômen quay Rr của hệ Véctơ này vuông gócvới trục nối các hạt nhân nguyên tử Lúc đó, véctơ mômen góc toàn phần Jr

của nguyên tử sẽ bằng tổng của tất cả các mômen góc thành phần (Hình 1.1)

Hình 1.1 Sơ đồ biểu diễn sự liên kết các mômen góc trong phân tử [11]

1.4 Tương quan giữa trạng thái phân tử với trạng thái nguyên tử

Trong phân tử hai nguyên tử mối tương quan các giữa các trạng tháinguyên tử và trạng thái phân tử có thể được xác định theo mô hình nguyên tửtách rời [11] Theo mô hình này, tương tác giữa momen quỹ đạo trong nguyên

tử cấu thành được giả thiết tuân theo sơ đồ Russell-Saunders, ở đây các trạngthái nguyên tử được xác định trong trường gần đúng xuyên tâm [5] Bằngcách cộng các thành phần hình chiếu của momen quỹ đạo toàn phần của cácnguyên tử riêng rẽ ta có thể thu được các giá trị khả dĩ của Λ tương ứng vớicác trạng thái điện tử phân tử Mối tương quan này được cho trên bảng 1.1

Với các trạng thái Σ (trạng thái có Λ =0), tính chẵn lẻ của nó được xácđịnh theo quy tắc tương quan Wigner - Witmer [11] Theo quy tắc này, tínhchẵn lẻ của trạng thái Σ phụ thuộc vào tổng L A+L B+∑ ∑l iA+ l iB , với Lk là tổng momen quỹ đạo của nguyên tử k (k = A, B); còn∑l iAvà ∑l iB tương ứng làtính chẵn lẻ của bản thân các trạng thái nguyên tử A và B riêng rẽ Nếu tổnggiá trị của biểu thức trên là chẵn thì tính chẵn lẻ của trạng thái Σ là (+), nếukhông thì nó là (-) Bảng 1.1 trình bày danh sách về sự tương quan giữa cáctrạng thái nguyên tử và phân tử

Bảng 1.1 Sự tương quan giữa các trạng thái phân tử và nguyên tử [11]

Bảng 1.2 Sự tương quan giữa số bội trạng thái nguyên tử và phân tử [11]

1.5 Gần đúng Born-Oppenheimer

Xét một phân tử bao gồm n điện tử chuyển động xung quanh hai hạt

nhân A và B Phương trình Schrödinger phi tương đối tính của hệ có thể đượcviết là

ˆ Ψ = ΨE

Trong phương trình này, Ψlà hàm sóng toàn phần, Hˆ là Hamiltonian toànphần (bao gồm tổng của toán tử động năng (TˆN) của hạt nhân, thế tương tác (

và ZB tương ứng là nguyên tử số của hạt nhân A và B.

Trong thực tế phương trình (1.13) không thể giải được chính xác do cóchứa các số hạng tương tác giữa các điện tử với nhau nên phải dùng đến cácphương pháp gần đúng Hiện nay, người ta thường sử dụng phương pháp doBorn và Oppenheimer đề xuất vào năm 1927 (ta gọi là gần đúng Born-Oppenheimer) [11] Chúng ta biết rằng, do các hạt nhân nặng hơn nhiều cácđiện tử ( thường thì m e

M < 1/1800) nên các hạt nhân sẽ chuyển động rất chậm

so với sự chuyển động của điện tử Do đó, ở bước đầu tiên của gần đúngBorn-Oppenheimer là bỏ qua toán tử động năng của hạt nhân để khảo sát Hˆel

Vì vậy, hàm sóng toàn phần có thể được tách thành tích của hàm sóng hạtnhân và hàm sóng điện tử:

( ) ( , )

Hàm sóng điện tử Φ ( , )r Rr phụ thuộc tham số vào khoảng cách giữa các hạt

nhân nguyên tử, nó thỏa mãn phương trình sau đây:

ˆelΦ( , )r R = ε( ) ( , )R Φ r R

ở đây, ε ( )R là một giá trị riêng của Hˆel tại một khoảng cách cố định R giữa

hai hạt nhân, rrlà vector vị trí của điện tử đối với hạt nhân Bằng cách cộng

lực đẩy tĩnh điện V NN giữa các hạt nhân với trị riêng ε ( )R ta thu được thế

năng:

Bằng cách tính thế năng (1.20) theo các giá trị khả dĩ khác nhau của R ta thu

được đường thế năng Bước thứ hai của gần đúng Born-Oppenheimer xétchuyển động của các hạt nhân trong thế năng (1.20) Khi đó, chuyển động củacác hạt nhân được mô tả bởi phương trình [4]:

ˆ [TN +U R( )] ( ) ψ Rr =Eψ ( )Rr

dao động nên ta có thể tách hàm sóng ψ θ ϕ ( , , )r của hạt nhân thành tích của

phần dao động và phần hàm sóng mô tả chuyển động quay:

ở đây ν và J là lượng tử số dao động và lượng tử số quay, tương ứng;

Biểu thức (1.27) được gọi là phương trình Schrödinger theo bán kính và mô tả

chuyển động quay của hạt nhân theo một thế năng hiệu dụng, Ueff(R):

thì chúng ta phải làm ngược lại [4-5] Từ các số hạng phổ đo được chúng tathay vào phương trình Schrödinger bán kính để xác định thế năng và hàmsóng Vì vậy, bên cạnh việc cung cấp thông tin xác định đặc trưng phổ củaphân tử thì đường thế năng thực nghiệm là một tiêu chí quan trọng để đánhgiá độ tin cậy của mô hình lý thuyết.

Kết luận chương 1

Trong chương này, các dạng chuyển động của phân tử đã được khảosát, so sánh được năng lượng của từng chuyển động và sự đóng góp vào phổcủa từng chuyển động đó cũng đã được khảo sát

Các trạng thái điện tử của phân tử đã được phân loại dựa theo giá trịhình chiếu của momen quỹ đạo toàn phần của điện tử lên đường thẳng nối haihạt nhân

Giá trị năng lượng của các trạng thái này khi kể đến chuyển động daođộng và chuyển động quay của phân tử được mô ta theo phương trìnhSchrodinger phi tương đối tính

Sử dụng gần đúng Born-Oppenheimer, chúng tôi đã đơn giản hóaphương trình Schrodinger này về dạng một chiều chỉ phụ thuộc vào khoảngcách giữa hai hạt nhân Đây là phương trình cơ bản sẽ được được sử dụngtrong chương 3 để tìm hàm sóng dao động của phân tử

Chương 2 PHỔ DAO ĐỘNG CỦA PHÂN TỬ HAI NGUYÊN TỬ

2.1 Năng lượng dao động và phổ dao động của phân tử hai nguyên tử theo mẫu dao động điều hòa.

2.1.1 Khảo sát theo quan điểm cổ điển

Phân tử hai nguyên tử có thể xem một cách gần đúng là một hệ hai hạt

có khối lượng tập trung tại tâm của mỗi hạt nhân và cách nhau một khoảngcách nào đó

Gọi R e là khoảng cách tại vị trí cân bằng giữa hai hạt nhân nguyên tử,cấu hình của phân tử ứng với khoảng cách này gọi là cấu hình cân bằng

Đại lượng q R R= − e gọi là ly độ dao động hay độ dời dao động của

phân tử Để tìm tần số, biên độ, độ dời và năng lượng dao động, ta giảiphương trình Lagrange :

và biểu diễn chúng qua tọa độ tự nhiên q

Phân tử được tạo thành là do tương tác giữa hai hạt nhân, giữa các điện

tử với nhau và giữa các hạt nhân với các điện tử Tổng tất cả các dạng nănglượng tương tác này tạo thành năng lượng điện tử E R e( ) Sự thay đổi trạngthái chuyển động của các điện tử hóa trị khi thay đổi khoảng cách giữa hai hạtnhân trên thực tế xảy ra một cách tức thời, vì vậy có thể xem năng lượng điện

tử E R e( ) là thế năng dao động của phân tử

Vì phân tử thực hiện dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng R e nên ta cóthể khai triển E R e( ) theo chuỗi lũy thừa của độ dời dao động R :

2 2 2 3

3 3

1

2 1

Do năng lượng điện tử của phân tử hai nguyên tử tại vị trí cân bằng R e

kết hóa học của phân tử, U R( ) gọi là thế năng dao động của phân tử, nó códạng thế năng của dao động điều hòa

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của U R( ) theo R có dạng như ở hình 2.1

Động năng dao động của phân tử hai nguyên tử bằng tổng động năngdao động của từng nguyên tử hay động năng của từng hạt nhân :

tử trong không gian Muốn vậy phương của các dịch chuyển của các vectơ

2

1, v



ν phải trùng với trục phân tử

Gọi x1, x2 là các độ dịch chuyển của M M1 , 2 dọc theo trục phân tử Khi

đó động năng T của phân tử được viết dưới dạng sau :

Hình 2.1 Đường cong thế năng dao động của phân tử hai nguyên tử

theo mẫu dao động điều hòa.

⇒ 1

1

x q M

µ

= − (2.10)

Thay (2.9), (2.10) vào (2.6) ta có :

2 1 2

trong đó p= µqg là động lượng chuyển động của phân tử

Từ biểu thức của thế năng dao động và động năng dao động U , T tathấy dao động của phân tử hai nguyên tử tương đương với dao động của mộtchất điểm có khối lượng bằng khối lượng hiệu dụng µ của phân tử tập trung

tại trọng tâm G với độ dời dao động q x= − 1 x2

Thay biểu thức (2.4),(2.11) vào phương trình Lagrange (2.1) ta có phương

trình dao động của phân tử hai nguyên tử :

2 0

ϕ là pha ban đầu của dao động

Nếu pha ban đầu ϕ = 0 thì (2.13) có dạng :

q q cos= 0 2 πνv t (2.15)