Nửa nhóm chính quy hoàn toàn luận văn thạc sĩ toán học

LỜI NÓI ĐẦU Các nửa nhóm chính quy đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nửanhóm, nhưng lớp nửa nhóm này quá rộng và rất khó đặc trưng chúng.Vì vậy,người ta đã tìm cách nghiên cứu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHÍ VĂN THỦY

NỬA NHÓM CHÍNH QUY HOÀN TOÀN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NỬA NHÓM CHÍNH QUY HOÀN TOÀN

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An, 2012

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1. Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngược 4

1.2. Các quan hệ Grin trên nửa nhóm 7

CHƯƠNG 2 NỬA NHÓM CHÍNH QUY HOÀN TOÀN 16

2.1 Nửa nhóm chính quy hoàn toàn 16

2.2 Sự phân tích Cliphớt 19

2.3 Nửa nhóm Cliphớt 24

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

LỜI NÓI ĐẦU

Các nửa nhóm chính quy đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nửanhóm, nhưng lớp nửa nhóm này quá rộng và rất khó đặc trưng chúng.Vì vậy,người ta đã tìm cách nghiên cứu các lớp nửa nhóm chính quy đặc biệt gần vớinhóm hơn như nửa nhóm ngược, nửa nhóm orthodox…Với những thành tựu đạtđược về nửa dàn, một lớp nửa nhóm là nửa dàn các nửa nhóm đơn hoàn toànđược nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Lớp nửa nhóm này được gọi là lớp nửanhóm chính quy hoàn toàn và cùng với nó, lớp nửa nhóm Cliphớt (là dàn củacác nhóm) cũng được xem xét Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách

Fundamentals of Semigroup Theory của J M Howie xuất bản năm 1995 để tìm

hiểu lớp nửa nhóm trên

Luâ ̣n văn gồm có hai chương:

Chương 1 trình bày định nghĩa nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược vàcác tính chất của chúng Sau đó chúng tôi trình bày quan hệ Grin trên nửa nhóm

và các D - lớp chính quy trong nửa nhóm để làm cơ sở trình bày chương sau.

Chương 2 trình bày định nghĩa nửa nhóm chính quy hoàn toàn và các đặc trưngcủa lớp nửa nhóm này (Mệnh đề 2.1.2) Sau đó chúng tôi trình bày mối liênquan giữa nửa nhóm chính quy hoàn toàn và nửa nhóm đơn hoàn toàn (Mệnh đề2.1.2, Định lý 2.2.6) Tiếp theo, chúng tôi trình bày các nửa nhóm Cliphớt vàcác đặc trưng của chúng (Định lý 2.3.4) Phần cuối của chương trình bày một sốlớp nửa nhóm với điều kiện yếu hơn của nửa nhóm Cliphớt như nửa nhóm chínhquy trái, nửa nhóm chính quy phải, nửa nhóm nửa nguyên tố

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnPGS.TS Lê Quốc Hán, người đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả trân tro ̣ng cảm ơn Phòng Đào ta ̣o Sau Đại học Trường Đa ̣i ho ̣cVinh cũng như các thầy giáo, cô giáo trong Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết

số đã tạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoànthành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo vàcác bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 8 năm 2012 Tác giả

6 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược

nếu a∈aSa hay nói cách khác: a = axa với x∈S Nửa nhóm S được gọi là chính

quy nếu mỗi phần tử của nó là chính quy.

Nếu axa = a thì e = ax là một lũy đẳng, hơn nữa ea = a Thật vậy;

e 2 = (ax) (ax) = (axa)x = e và ea = axa = a Tương tự f = xa cũng là một lũy

đẳng của S và af = a Ta cũng chú ý rằng a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm

S, thì iđêan chính phải aS 1 = a∪aS sinh bởi a bằng aS, vì a = af kéo theo a ∈aS.

Tương tự S 1 a = Sa.

1.1.2 Bổ đề Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính

phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi một lũy đẳng nào đó, tức

là aS 1 = eS 1 (S 1 a = S 1 e).

Chứng minh Nếu a là chính quy thì axa = a với x nào đó thuộc S và e = ax là

phần tử lũy đẳng của S mà ea = a Do đó aS 1 = eS 1

Đảo lại, giả thiết rằng aS 1 = eS 1 và e 2 = e Khi đó e = ex với x nào đó

thuộc S, vì vậy ea = e 2 x = ex = a, e = ay với y nào đó thuộc S 1 nên a = ea = aya Nếu y = 1 thì a = a 2 và a = aaa Do đó mọi trường hợp a ∈ aSa, tức là a chính

quy

1.1.3 Định nghĩa (i) Hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S được gọi là ngược

nhau nếu aba = a và ba b = b.

(ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần

tử của nó có một phần tử ngược duy nhất

Nếu a và b là các phần tử thuộc nhóm con tối đại H nào đó của một nửa nhóm S, đặc biệt khi S là một nhóm thì a, b là ngược nhau khi và chỉ khi chúng là nghịch

đảo của nhau trong nhóm với nghĩa thông thường

Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ngược với nó thì a là chính quy.

1.1.4 Bổ đề Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa = a

với x ∈ S, thì a có ít nhất một phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax Chứng minh: Giả sử b = xax Thế thì: aba = a(xax)a = (axa)xa = axa = a.

Do đó b ngược với a

1.1.5 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một

nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán với nhau Chứng minh Giả sử a và b là các phần tử ngược nhau và giao hoán với nhau

thuộc một nửa nhóm S và e = ab(=ba) Khi đó e là lũy đẳng, hơn nữa

ea = ae = a và eb = be = b Do đó a và b là các phần tử khả nghịch trong eSe và

thuộc nhóm con tối đại H e của S chứa e.

Vì ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong nhóm H e Mệnh

đề đảo là hiển nhiên

Một phần tử chính quy có thể có một số phần tử ngược với nó Nửa nhómngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần tử ngược duy nhất Vácne[1952b] gọi các nửa nhóm đó là “nhóm suy rộng” Hiện nay các nửa nhómngược lập thành lớp các nửa nhóm có nhiều triển vọng nhất cho việc nghiên cứu

vì chúng khá gần các nhóm

1.1.6 Bổ đề Nếu e, f, ef và fe là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe

ngược nhau

Chứng minh Ta có (ef) (fe) (ef) = ef 2 e 2 f = ef.ef = (e f) 2 = ef.

Tương tự (fe)(ef)(fe) = fe

1.1.7 Định lý Ba điều kiện sau đối với nửa nhóm S là tương đương:

(i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau

(ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất.

(iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy nhất).

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Theo Bổ đề 1.1.2, mỗi iđêan chính phải của S có ít nhất

một phần tử sinh lũy đẳng Giả thiết rằng e và f là các lũy đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải tức là eS = fS Khi đó ef = f và fe = e Nhưng theo (i)

ef = fe nên e = f

(ii) ⇒ (iii) Theo Bổ đề 1.1.2, nửa nhóm S chính quy Chỉ cần chứng minh sự

duy nhất của phần tử ngược Giả sử b và c ngược với a Khi đó aba = a, bab

= b, aca = a, cac = c Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca nên ab = ac

và ba = ca (theo (ii)) Do đó b = bab = bac = cac = c

(iii) ⇒ (i) Rõ ràng một nửa nhóm ngược thì chính quy Chỉ còn phải chứng

tỏ rằng hai lũy đẳng bất kỳ giao hoán với nhau Trước hết ta phải chứng minh

tích ef của hai lũy đẳng e và f là một lũy đẳng Thật vậy, giả sử a là phần tử ngược của ef Khi đó (ef)a(ef) = ef, a(ef)a = a Đặt b = ae Thế thì: (ef)b(ef) = efae 2 f = efaef = ef và b(ef)b = ae 2 fae = aefae = ae = b.

Do đó b cũng là phần tử ngược của ef, nên theo tính chất (iii) ae = b = a.

Tương tự có thể chứng minh rằng fa = a Do đó a 2 = (ae)(fa) = a(ef)a = a.

Nhưng một lũy đẳng là phần tử ngược với chính nó và lại dùng điều kiện (iii) ta

kết luận a = ef Như vậy ef là lũy đẳng Bây giờ giả sử e và f là hai lũy đẳng bất

kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef và fe cũng lũy đẳng Theo Bổ đề 1.1.6 chúng ngược nhau Vậy ef và fe đều ngược ef, do đó ef = fe

1.1.8 Bổ đề Đối với phần tử a, b tùy ý thuộc nửa nhóm ngược S có các hệ thức

là (a -1 ) -1 = a và (ab) -1 = a -1 b -1

Chứng minh Hệ thức thứ nhất là hiển nhiên Ta chứng minh hệ thức thứ hai Ta

có (ab)(b -1 a -1 )(ab) = a(bb -1 )(a -1 a) b = a(a -1 a)(b -1 b)b = ab,(b -1 a -1 )(ab)(b -1 a -1 ) =

b -1 (a -1 a)(bb -1 )a -1 = b -1 (bb -1 )(a -1 a)a -1 = b -1 a -1 Do đó b -1 a-1 ngược với ab 1.1.9.

Bổ đề Nếu e và f là các lũy đẳng của nửa nhóm ngược S thì Se

∩ Sf = Sef (= Sfe).

Chứng minh Nếu a ∈ Se ∩ Sf thì ae = af = a nên aef = af = a và vì vậy a

∈ Sef Đảo lại, nếu a ∈ Sef (= Sfe) thì aef = afe = a từ đó ae = af = a,

tức là a ∈ Se ∩ Sf

1.2 Các quan hệ Grin trên nửa nhóm

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ L, R, J

sau đây trên S:

a L b ⇔ S 1 a = S 1 b

a R b ⇔ aS 1 = bS 1

a J b ⇔ S 1 aS 1 = S 1 bS 1

trong đó S 1 a, aS 1 , S 1 aS 1 tương ứng là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan

chính của S được sinh ra bởi a.

Rõ ràng L, R, J là các quan hệ tương đương trên S Hơn nữa, L là một tương

đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S Với mỗi a ∈ S, ký hiệu L a , R a và

J a tương ứng với các L – lớp, R – lớp, J – lớp tương ứng chứa a.

1.2.2 Bổ đề Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và do đó quan hệ D

= LoR = RoL là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và R.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh LoR ⊆ RoL Giả sử (a,b)∈ LoR Khi đó,

tồn tại c∈S sao cho a L c và c R b Thế thì tồn tại u,v ∈S 1 sao cho a = uc

và b = cv, đặt d= av = ucv = ub Vì L là tương đẳng phải nên (a,c) ∈ L kéo

theo (av, cv) ∈L, nghĩa là (d,b) ∈L Vì R là tương đẳng trái nên (c,b) ∈R kéo

theo (uc, ub) ∈R, nghĩa là (a,d) ∈R Từ (a,d) ∈R và (d,b) ∈L kéo theo (a,b) ∈

RoL và do đó LoR ⊆ RoL

D chứa lớp a được ký hiệu là D a Chú ý rằng L ⊆ J và R ⊆ J nên D ⊆ J,

và nói chung D ≠J Với mỗi a ∈ S, ta có hai ký hiệu thường dùng: J(a) là iđêan

chính sinh bởi a, J (a) = S 1 aS 1 và J a là tập tất cả các phần tử sinh của J(a), nghĩa

là J a chính là D – lớp chứa a.

1.2.3 Định nghĩa Quan hệ H trên S được xác định bởi H = L ∩R.

Với mỗi a ∈ S, ký hiệu H – lớp chứa a là H a

1.2.4 Chú ý a) R -lớp R và L – lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi

chúng được chứa trong một D – lớp của S.

Thật vậy; giả sử a ∈ R và b ∈ L Khi đó a Db khi và chỉ khi tồn tại c ∈ S sao cho

(a,c) ∈R và (c,b) ∈L Nhưng điều đó tương đương với điều kiện c∈R và

c ∈ L, nghĩa là c∈R∩L Do đó a Db khi và chỉ khi R∩ L ≠φ Mặt khác, rõ ràng

a Db khi và chỉ khi các D – lớp chứa R và L trùng nhau

b) Để hình dung tốt hơn về các D – lớp của nửa nhóm S, ta dùng hình ảnh sau

đây gọi là “hộp trứng” Hãy tưởng tượng các phần tử thuộc D được sắp thành

một bảng chữ nhật giống các hộp dùng để sắp trứng, mà các dòng ứng với các

R – lớp, còn các cột ứng với các L – lớp chứa trong D Mỗi ô của hộp ứng là

một H – lớp chứa trong D, và chú ý trên chứng tỏ trong hộp không có ô trống

nào Ta không giả thiết rằng các phần tử thuộc các H – lớp được sắp một cách

đặc biệt nào đó Ta sẽ thấy ngay rằng các H – lớp chứa trong D có cùng cấp.

Vậy có thể nói các ô của hộp trứng được sắp bởi một số giống nhau các phần tử

thuộc nửa nhóm S.

c) Nếu a và b là các phần tử thuộc nửa nhóm S, thì ta có thể viết J a ≤ J b

trong trường hợp S 1 aS 1 ⊆S 1 bS 1 , nghĩa là khi a∈J(b) Quan hệ ≤ là một thứ tự bộphận trên tập J – lớp của S.

d) Chú ý rằng một nửa nhóm S là đơn trái (phải) khi và chỉ khi nó chỉ gồm

một L – lớp (R – lớp) và một nửa nhóm là đơn khi và chỉ khi nó chỉ gồm một

J – lớp Ta nói rằng nửa nhóm S là D – đơn hoặc song đơn nếu nó chỉ gồm một

D – lớp Vì D ⊆ J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa nhóm đơn.

Vì R ⊆ D và L ⊆ D nên mỗi nửa nhóm đơn phải hay đơn trái đều song đơn 1.2.5 Bổ đề (Grin) Giả sử a và b là các phần tử R – tương đương tùy ý thuộc

nửa nhóm S, và giả sử s,s’∈S 1 sao cho as = b và bs’ = a Khi đó các ánh xạ x→

xs (x∈L a ) và y→ys (y∈L b ) ngược nhau và bảo toàn các R – lớp và ánh xạ

một-một từ L a lên L b và L b lên L a tương ứng.

Chứng minh Ta ký hiệu hai ánh xạ đó bởi σ và σ’ tương ứng Chú ý rằng σ(σ

’) là cái thu hẹp của phép chuyển dịch trong bên phải ξs(ξs′) trên tập L a (L b ).

Giả sử x ∈L a Vì L là tương đẳng phải nên (x,a) ∈L kéo theo (xs,as)∈L,

từ đó xs ∈L b Vậy σ ánh xạ L a vào L b và tương tự σ ’ ánh xạ L b vào L a .

Giả sử x ∈L a Khi đó tồn tại phần tử t ∈S 1 sao cho x = ta Do đó xσ

σ ’ = xss’ = tass’ = tbs’ = ta = x.

Vậy σ σ ’ là phép biến đổi đồng nhất của L a Tương tự, σ σ ’ là phép biến

đổi đồng nhất của L b, nên σ và σ ’ là các ánh xạ một- một ngược nhau từ L a lên

L b và ngược lại

Ta chứng tỏ σ bảo toàn các R – lớp Thực vậy, nếu x ∈L a và y = xσ = xs

thì ys’ = x, nghĩa là (y,x) ∈R Tương tự ta cũng chứng minh được σ’ bảo toàn

các L– lớp 1.2.6 Định lý 1.2.6 Giả sử a và c là các phần tử D – tương đương tùy ý thuộc

nửa nhóm S Khi đó tồn tại phần tử b∈S sao cho (a,b) ∈R và (b,c) ∈L và do đó

as = b, bs’ = a, tb = c, t’c = b với s, s’, t, t’ nào đó thuộc S 1 Các ánh xạ x→txs (x

∈H a ) và z→tzs’ (z∈H c ) ngược nhau và ánh xạ một – một các lớp H a và H c sang

lẫn nhau Đặc biệt, hai H – lớp nằm trong cùng một D – lớp thì có cấp như nhau.

Chứng minh Theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Grin, các ánh xạ τ : y→ty (y ∈R b )

và τ ′: z→t’z (z∈R c ) (y∈R b ) ngược nhau, bảo toàn các L – lớp và ánh xạ một

– một từ R b lên R c và ngược lại

Giả sử σ và σ′ là các ánh xạ trong Bổ đề Grin, nhưng thu hẹp trên H a và

H b tương ứng (vì theo Bổ đề Grin các ánh xạ σ và σ ′ bảo toàn các R – lớp nên

các thu hẹp của chúng ánh xạ một – một từ H a lên H b và ngược lại) Tương tự,giả sử τ và τ ′được thu hẹp trên H b và H c tương ứng Khi đó στ và τ σ′ ′ là các

ánh xạ một – một ngược nhau từ H a lên H b và ngược lại Nhưng chúng trùng vớicác ánh xạ nêu trong định lý

1.2.7 Định lý Tích LR của L – lớp và R – lớp bất kỳ L và R tương ứng của nửa

nhóm S được chứa hoàn toàn trong một D – lớp của S.

Chứng minh Định lý tương đương với điều khẳng định rằng nếu a, a’, b, b’ là

các phần tử thuộc S mà a La’.bRb’ thì abDa’b’ Vì L là một tương đẳng phải

nên (a,a’) ∈L kéo theo (ab,a’b) ∈L Vì R là một tương đẳng trái nên

(b,b’) ∈R kéo theo (a’b,a’b’) ∈R Do đó (ab,a’b’) ∈D.

1.3 D – Lớp chính quy

1.3.1 Định nghĩa D – lớp D của một nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu mỗi

phần tử của D chính quy, nghĩa là với mọi a∈D, tồn tại x ∈S sao cho

a = axa.

Định lý sau đây chứng tỏ rằng nếu D là D – lớp không chính quy thì trong D

không có phần tử nào chính quy cả, khi đó ta nói rằng D không chính quy Phần

còn lại của tiết này trình bày lý thuyết các D – lớp chính quy của một nửa nhóm

tùy ý

1.3.2 Định lý (i) Nếu D – lớp D của một nửa nhóm S chứa phần tử chính quy thì

mỗi phần tử thuộc D là chính quy.

(ii) Nếu D chính quy thì mỗi L – lớp và mỗi R – lớp chứa trong D đều

chứa lũy đẳng.

Chứng minh Ta có thể phát biểu kết quả Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính trái (phải) của nửa nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, nghĩa là aS 1 = eS 1 (S 1 a = S 1 e) một cách khác: Phần tử

a ∈ S là chính quy khi và chỉ khi R a (L a ) chứa lũy đẳng Từ đó suy ra rằng nếu R

– lớp R ( L – lớp L) chứa phần tử chính quy thì nó chứa lũy đẳng và mỗi phần tử

thuộc R(L) chính quy Vì mỗi R – lớp của S chứa trong D đều giao với mỗi L –

lớp của S chứa trong D, nên điều khẳng định (i) là hiển nhiên Nhưng khi đó suy

ra (ii)

Ta nhắc lại rằng hai phần tử a và a’ thuộc nửa nhóm S gọi là ngược nhau, nếu aa’a = a và a’aa’ = a.

Hai Bổ đề sau đây là hiển nhiên.

1.3.3 Bổ đề Nếu a và a’ là các phần tử ngược nhau thuộc một nửa nhóm S, thì e

= aa’ và f = a’a là các lũy đẳng, hơn nữa ea = af = a và a’e = fa’ = a’ Do đó e

∈R a∩L a’ ; f∈R a’ ∩L a Các phần tử a, a’, e, f cùng thuộc một lớp D – lớp của S 1.3.4 Bổ đề (i) Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì aS 1 = aS và S 1 a

1.3.6 Bổ đề Một H – lớp có thể chứa không quá một lũy đẳng.

Chứng minh Nếu e và f là các lũy đẳng, hơn nữa H e = H f thì theo Bổ đề

1.3.5, có e và f là đơn vị hai phía nên e = f

1.3.7 Định lý (Grin) Nếu các phần tử a, b, ab thuộc cùng một lớp H – lớp H

của nửa nhóm S, thì H là một nhóm con Đặc biệt, mọi H – lớp chứa lũy đẳng

đều là nhóm con.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng nếu h và hs(sh) cùng thuộc một H

– lớp H của nửa nhóm S, thì Hs = H(sH = H) Thật vậy, khi đó h Rhs và từ Bổ đề

Grin (1.2.5) suy ra rằng ánh xạ x→xs là ánh xạ một – một từ H h lên H hs tức là từ

H lên chính nó Mệnh đề đối ngẫu suy ra từ Bổ đề Grin.

Bây giờ giả sử a, b, ab thuộc cùng một H – lớp H Theo chú ý trên Hb = H.

Giả sử x, y là các phần tử tùy ý thuộc H Khi đó xb = Hb = H Vì b và xb cùng thuộc H, nên từ chú ý trên suy ra rằng xH = H Khi đó xy∈H Lại dùng chú ý

trên ta thấy Hy = H Từ đẳng thức xH = Hy = H với x, y tùy ý thuộc H ta suy ra

H là nhóm con của S

1.3.8 Định lý Nếu a và b là các phần tử thuộc cùng một nửa nhóm S, thì ab∈R a

∩L b khi và chỉ khi R b∩L a chứa lũy đẳng Khi đó aH b = H a b = H a H b = H ab = R a∩

L b

Chứng minh Trước hết ta giả thiết rằng ab∈R a∩L b Từ điều kiện ab∈R a suy ra

tồn tại phần tử b’∈S sao cho abb’ = a Theo Bổ đề Grin, các ánh xạ

:x xb x L( a)

σ → ∈ và σ ′ :y→yb y L′ ( ∈ ab) ngược nhau, bảo toàn các R – lớp và ánh

xạ một – một tương ứng từ L a lên L ab và từ L ab lên L a Nhưng ab∈L b và do đó L ab

= L a Như vậy σ ′ánh xạ phần tử b∈L b thành phần tử bb’∈L b Hơn nữa, bb’∈Rb

vì σ ′bảo toàn các R – lớp Do đó bb’∈R b∩L a Nếu x∈L a thì xbb’ = xσσ ′

= x Đặt x = bb’ ta kết luận rằng x là lũy đẳng.

Đảo lại, giả thiết rằng R b∩L a chứa lũy đẳng e Khi đó eb = b theo Bổ đề

1.3.5 Vì eRb nên theo Bổ đề Grin suy ra rằng ánh xạ σ :x→xb x L( ∈ a) bảo toàncác R – lớp và ánh xạ một – một từ L e lên L b Vì a∈L e nên ab∈L b ; hơn nữa ab∈

R a và σ bảo toàn các R – lớp Do đó ab∈R a ∩L b.

Nếu giữ nguyên giả thiết R b∩R a chứa lũy đẳng e và các phần tử x∈H a , y∈

H b thì e∈R y∩L x và ta kết luận rằng x, y∈R x∩L y = R a∩L b theo điều vừa chứng

minh trên Do đó H a H b⊆R a∩L b Vì L e = L a và L b = L ab nên σ: x→xb ánh xạ L a

lên L ab Vì σ bảo toàn các R – lớp nên nó ánh xạ H a lên H ab , vì vậy 0 a b =

H ab Do đó H b a ⊆H H a b ⊆R a∩L b =H ab =H b a nghĩa là H b H H a = a b =H ab =R a ∩L b.

Bằng cách đối ngẫu ta được aH b = H ab

Định lý sau đây mô tả tất cả các phần tử ngược với phần tử chính quy a của nửa nhóm S Định lý đó chứng tỏ rằng tồn tại tương ứng một – một giữa tập tất cả các cặp (e,f) các lũy đẳng sao cho e∈R a và f∈L a Phần tử a’ ứng với cặp (e,f) sẽ thuộc R f ∩L e.

1.3.9 Định lý Giả sử a là phần tử chính quy của nửa nhóm S.

(i) Mỗi phần tử ngược với a nằm trong D a

(ii) H – lớp H b chứa phần tử ngược với a khi và chỉ khi cả hai H – lớp R a∩

L b và R b∩L a chứa lũy đẳng.

(iii) Một H – lớp không chứa quá một phần tử ngược với a.

Chứng minh Mệnh đề (i) là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.3.3 Ta chứng minh (ii).

Trước hết ta giả thiết rằng H b chứa phần tử ngược a’ và a Theo Bổ đề 1.3.3 các

H – lớp R a∩L b (= R a∩L b′) và R b∩L a (= R a’∩L b ) chứa các lũy đẳng aa’ và a’a

tương ứng

Đảo lại, giả thiết rằng e là lũy đẳng thuộc R a∩L b và f là lũy đẳng thuộc R b∩L a.

Từ các điều kiện (a,e) ∈R và (a,f) ∈L và áp dụng Bổ đề 1.3.5 suy ra ea = a =

af và nếu áp dụng Bổ đề 1.3.4 suy ra e = ax = ya với x, y nào đó thuộc S Đặt a’

= fxe Khi đó

fa’ = a’e = a’

aa’ = afxe = axe = e2 = e a’a = fa’a = yaa’a = yea = ya = f

Vì aa’a = ea = a, a’aa’ = a’e = a’ nên các phần tử a và a’ ngược nhau Từ các đẳng thức a’e = a’, aa’ = e suy ra (a’,e) ∈L Do đó a’∈R f∩L e = R b∩L b = H b.

Cuối cùng ta chứng minh (iii) Giả sử b và c là các phần tử ngược với a và

H – tương đương với nhau Theo Bổ đề 1.3.3, ab là lũy đẳng thuộc R a∩L b còn ac

là lũy đẳng thuộc R a∩L c Nhưng L b = L c từ đó theo Bổ đề 1.3.6, có ab = ac.

Tương tự từ đẳng thức R b = R c suy ra ba = ca Do đó b = bab = cab = cac = c

1.3.10 Hệ quả (i) S là nửa nhóm ngược khi và chỉ khi mỗi L – lớp và mỗi R

– lớp của S chỉ chứa một lũy đẳng.

(ii) Nếu D là một D – lớp của nửa nhóm ngược S, thì tồn tại tương ứng một

– một giữa tập các L – lớp chứa trong D và tập các R – lớp chứa trong D sao

cho L – lớp L ứng với R – lớp R khi và chỉ khi R∩L chứa lũy đẳng.

Chứng minh Theo Định lý 1.3.9, điều kiện nêu trong mệnh đề (i) có nghĩa là đối

với mỗi phần tử thuộc S có đúng một phần tử ngược với nó, từ đó suy ra (ii)

Giá trị của Hệ quả 1.3.10 (ii) ở chỗ ta có thể đặt các L – lớp và R – lớp chứa

trong D – lớp D của nửa nhóm ngược S sao cho các H – lớp chứa lũy đẳng và

chỉ chúng nằm trên đường chéo chính Khi đó Định lý 1.3.9 chứng tỏ phần tử

ngược a-1 của a∈D nằm trong H – lớp được sắp xếp qua đường chéo chính 1.3.11 Định lý Giả sử e, f là các lũy đẳng D – tương đương với nhau thuộc một

nửa nhóm S Giả sử a là một phần tử tùy ý cố định thuộc R e∩L f và giả sử a’ là

phần tử ngược với a thuộc R f∩L e (xem Định lý 1.3.9) Khi đó các ánh xạ x→

a’xa, y→aya’ là các đẳng cấu ngược nhau tương ứng từ H e lên H f và từ H f lên

H e

Chứng minh Giả sử x∈H e Áp dụng hai lần Định lý 1.3.8 ta có:

xa∈R e∩L a và a’xa∈R a’∩L xa = R a’∩L a = H f.

Tương tự, y∈H f kéo theo aya’∈H e Nếu x∈H e thì a(a’xa)a’ = exe = x và nếu y∈

H f thì a’(aya)a = fyf = y Do đó các ánh xạ x→a’xa, y→aya’ ngược nhau và ánh