PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ TRƠN ES + NS – MITC3

Luận văn nghiên cứu kỹ thuật làm trơn trên nút bằng cách trung bình biến dạng các phần tử chung nút để phát triển cho phần tử vỏ phẳng MITC3, tạo nên một phần tử mới được gọi là phần tử NSMITC3 có khả năng phân tích tĩnh kết cấu vỏ đồng nhất.Tuy nhiên, để cải thiện khả năng tính toán và hạn chế các nhược điểm của phần tử NSMITC3, kỹ thuật kết hợp cả hai phương pháp làm trơn trên nút (NS) và trên cạnh (ES) của phần tử cũng được nghiên cứu. Phần tử được phát triển gọi là phần tử ES+NSMITC3 và cách tiếp cận này gọi là bêta phần tử hữu hạn (βFEM).Phần tử NSMITC3 và ES+NSMITC3 được phát triển dựa trên lý thuyết tấm vỏ dày lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) của ReissnerMindlin, và các thành phần biến dạng cắt ngoài mặt phẳng của phần tử được xấp xỉ lại theo kỹ thuật MITC3 để khử hiện tượng “khoá cắt” xảy ra khi phân tích vỏ mỏng. Do đó, phần tử NSMITC3 và ES+NSMITC3 đề xuất có thể được dùng để tính toán cho các kết cấu vỏ dày và mỏng.Tính hiệu quả, độ chính xác và hội tụ của phần tử NSMITC3 và ES+NSMITC3 được đánh giá thông qua các ví dụ số phân tích kết cấu vỏ đồng nhất điển hình. Các ví dụ số được xây dựng và tính toán bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB. Kết quả tính toán độ võng các kết cấu vỏ điển hình bằng phần tử NSMITC3 và ES+NSMITC3 được so sánh với các kết quả độ võng cho bởi các loại phần tử vỏ khác đã được công bố trong các nghiên cứu trong và ngoài nước.

???

???????

?????

????

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỖ ANH VŨ

PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ TRƠN NS – MITC3

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG - 8580201

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỖ ANH VŨ

PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ TRƠN NS – MITC3

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG - 8580201

Hướng dẫn khoa học:

TS CHÂU ĐÌNH THÀNH

LÝ LỊCH KHOA HỌC

I LÝ LỊCH SƠ LƯỢC:

Ngày, tháng, năm sinh: 27/02/1983 Nơi sinh:

Quê quán: Phường 4, thành phố Cao Lãnh, Đồng Tháp Dân tộc:

Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: 128, Nguyễn Thái Học, phường 4, thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp

Điện thoại cơ quan: (0277) 3871503; Điện thoại nhà riêng: 0977098168

Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Trường Chính trị Đồng Tháp Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp: ngày 15/01/2008 tại trường Đại học Kiến trúc thành phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn: PGS.TS Lê Văn Kiểm

III QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC:

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu do cá nhân tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy Châu Đình Thành

Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được sử dụng cho bất

kỳ một luận văn nào khác trừ những thông tin tham khảo đã được trích dẫn trong luận văn

Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm …

Người cam đoan

Đỗ Anh Vũ

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy Châu Đình Thành đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, cung cấp tài liệu tham khảo và các thông tin cần thiết để tôi hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Xây dựng trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Vì kiến thức và thời gian thực hiện luận văn thạc sĩ có hạn nên không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tôi rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô, bạn bè

và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm …

Đỗ Anh Vũ

Tuy nhiên, để cải thiện khả năng tính toán và hạn chế các nhược điểm của phần

tử NS-MITC3, kỹ thuật kết hợp cả hai phương pháp làm trơn trên nút (NS) và trên cạnh (ES) của phần tử cũng được nghiên cứu Phần tử được phát triển gọi là phần tử ES+NS-MITC3 và cách tiếp cận này gọi là bêta phần tử hữu hạn (β-FEM)

Phần tử NS-MITC3 và ES+NS-MITC3 được phát triển dựa trên lý thuyết tấm

vỏ dày - lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) của Reissner-Mindlin, và các thành phần biến dạng cắt ngoài mặt phẳng của phần tử được xấp xỉ lại theo kỹ thuật MITC3

để khử hiện tượng “khoá cắt” xảy ra khi phân tích vỏ mỏng Do đó, phần tử MITC3 và ES+NS-MITC3 đề xuất có thể được dùng để tính toán cho các kết cấu vỏ

bố trong các nghiên cứu trong và ngoài nước

ABSTRACT

The thesis researches on the node-based smoothing technique by averaging strains of the elements having common nodes and develops for the flat shell element MITC3 The proposed element is called NS-MITC3 element, capable of static analysis of shell structures

However, to improve the computation capacity and limit the disadvantages of the NS-MITC3 element, the combination of both the node-based (NS) and edge-based (ES) smoothing methods, or the beta finite element method (β-FEM), of the

MITC3 flat shell element is also studied The developed element is called the ES + NS-MITC3 element

NS-MITC3 and ES + NS-MITC3 elements are developed based on the order Shear Deformation Theory (FSDT) and the transverse shear strain components

First-of elements have been approximated according to the MITC3 technique to eliminate the "shear lock" phenomenon that occurs in the cases of thin shell analysis Therefore, the proposed NS-MITC3 and ES + NS-MITC3 elements can be used to calculate both thick and thin shell structures

The efficiency, accuracy, and convergence of NS-MITC3 and ES + NS-MITC3 elements are evaluated through numerical examples of typical homogeneous shell structural analysis Numeric examples are implemented and calculated by using the MATLAB programming language The displacement results of some benchmark shell structures provided by the NS-MITC3 and ES + NS-MITC3 elements are compared with results given by other kinds of shell elements in published references

MỤC LỤC

1.3 Mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ và giới hạn của đề tài 6

Chương 3: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN VỎ PHẲNG NS-MITC3 VÀ

3.1 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 trong hệ tọa độ cục bộ 143.2 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 trong hệ trục tọa độ toàn cục 21

3.3 Công thức PTHH vỏ phẳng NS-MITC3 22

4.3 Vỏ mái vòm Scordelis-Lo chịu tải trọng bản thân 344.4 Phân tích tĩnh vỏ panel cầu chịu tải trọng tập trung 374.5 Phân tích tĩnh vỏ Hyperbolic paraboloid chịu tải trọng bản thân và kiểm tra điều kiện không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử 40

4.5.2 Kiểm tra điều kiện không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử 43

Phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten-xơ MITC

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 4.1: Kết quả chuyển vị và nội lực tại nút 5 của bài toán patch test 30

Bảng 4.2: Kết quả chuyển vị w (10 -5 ) tại điểm đặt lực của vỏ trụ 32

Bảng 4.3: Kết quả chuyển vị w (10 -5 ) tại điểm A của vỏ mái vòm 35

Bảng 4.4: Kết quả chuyển vị w (10 -5 ) tại điểm đặt lực của vỏ panel cầu 38

Bảng 4.5: Kết quả chuyển vị w tại điểm B của vỏ Hyperbolic paraboloid 42

Bảng 4.6: Kết quả chuyển vị w tại điểm B của vỏ Hyperbolic paraboloid trong các sơ đồ đánh số nút khác nhau mô hình chia lưới 8x8 phần tử tam giác 43

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Một số công trình sử dụng kết cấu vỏ [Nguồn Internet] 1

Hình 2.1 Trường chuyển vị trong tấm 8

Hình 2.2 Sự phân bố các thành phần ứng suất theo bề dày tấm 9

Hình 2.3 Các thành phần nội lực trong tấm 10

Hình 3.1 Phần tử tam giác 3 nút trong hệ toạ độ cục bộ 14

Hình 3.2 Hệ trục tọa độ tự nhiên (r,s) của phần tử 15

Hình 3.3 Vị trí các điểm “tying point” cho phần tử tam giác 3 nút [11] 17

Hình 3.4 Chia lưới phần tử tam giác làm trơn trên nút 22

Hình 3.5 Phần tử vỏ được làm trơn trên nút, miền tích phân và hệ thống tọa độ 23

Hình 3.6 Chia lưới phần tử tam giác làm trơn trên cạnh 27

Hình 3.7 Miền làm trơn dựa trên sự kết hợp của phần tử ES-MITC3 và NS-MITC3 28

Hình 3.8 Chia lưới phần tử tam giác cho mô hình ES+NS-MITC3 28

Hình 4.1 Hình học và tọa độ nút của lưới phần tử trong bài toán patch test 30

Hình 4.2 Hình học, điều kiện biên vỏ trụ chịu tải trọng tập trung P 31

Hình 4.3 1/4 vỏ trụ được mô hình chia lưới 8x8 phần tử tam giác 32

Hình 4.4 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ 33

Hình 4.5 Hình học, điều kiện biên và tải trọng bản thân của vỏ mái vòm 34

Hình 4.6 1/4 vỏ mái vòm được mô hình chia lưới 8x8 phần tử tam giác 35

Hình 4.7 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm A của vỏ mái vòm 36

Hình 4.8 Hình học, điều kiện biên Vỏ panel cầu chịu tải trọng tập trung P 37

Hình 4.9 1/4 vỏ panel cầu được mô hình chia lưới 8x8 phần tử tam giác 37

Hình 4.10 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ panel cầu 38

Hình 4.11 Hình học, điều kiện biên và tải trọng bản thân của vỏ Hyperbolic paraboloid 40

Hình 4.12 Vỏ Hyperbolic paraboloid được mô hình chia lưới 8x8 phần tử tam giác và 3 sơ đồ đánh số nút phần tử khác nhau 41

Hình 4.13 Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm B của vỏ Hyperbolic paraboloid 42

Chương 1: TỔNG QUAN 1.1 Đặt vấn đề

Việc phân tích các cấu trúc vỏ có tầm quan trọng trong các ngành khoa học kỹ thuật như: xây dựng, cơ khí, hàng không, hàng hải, ô tô, … Kết cấu vỏ tuy mỏng, nhẹ nhưng có ưu điểm là chịu tải trọng tốt, khả năng vượt nhịp lớn Ngoài ra, kết cấu vỏ còn có tính thẩm mỹ cao, phù hợp với các công trình kiến trúc mang tính nghệ thuật

từ cổ đại cho đến ngày nay (Hình 1.1)

Hình 1.1 Một số công trình sử dụng kết cấu vỏ [Nguồn Internet]

Có rất nhiều công trình nghiên cứu của các nhà khoa học trong nhiều thập kỷ qua nhằm xây dựng những phương pháp phân tích kết cấu vỏ tốt nhất với yêu cầu thiết kế có khả năng chịu lực hiệu quả, tỉ số giữa cường độ và trọng lượng lớn, chứa không gian lớn, tiết kiệm chi phí và đảm bảo tính thẩm mỹ Có nhiều lý thuyết vỏ khác nhau đã được xây dựng và kèm với nó là các phương pháp để giải quyết bài toán cũng được phát triển, điển hình nhất là phương pháp giải tích và phương pháp số Do các kết cấu vỏ thường có hình dạng, điều kiện biên và chịu tải trọng phức tạp nên cần

được giải quyết bằng các phương pháp số, phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) Tuy nhiên, các PP PTHH thông thường vẫn còn những hạn chế nhất định liên quan đến kỹ thuật rời rạc phần tử, độ chính xác, tính ổn định khi phân tích kết cấu vỏ có hình dáng, điều kiện và tải trọng bất kỳ Do đó, việc xây dựng và phát triển các loại phần tử vỏ đơn giản nhưng hiệu quả, có khả năng tính toán và dự báo chính xác khả năng chịu lực của các kết cấu vỏ trong thực tế là rất quan trọng trong việc thiết kế và kiểm định các kết cấu có dạng vỏ

1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

1.2.1 Lý thuyết phân tích vỏ

Lý thuyết tấm vỏ hiện nay có thể chia làm 3 loại: lý thuyết tấm vỏ mỏng (lý thuyết tấm vỏ cổ điển) của Kirchhoff –Love (CPT), lý thuyết tấm vỏ dày (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) của Reissner-Mindlin (FSDT) và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) [1–3] Đối với tấm vỏ đồng nhất thì chỉ cần dùng lý thuyết tấm vỏ cổ điển hoặc lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Trong đó, lý thuyết tấm vỏ cổ điển thường được áp dụng đối với các loại tấm vỏ mỏng còn lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất

áp dụng cho các loại tấm vỏ dày Lý thuyết tấm vỏ cổ điển bỏ qua các biến dạng cắt

ngoài mặt phẳng (γ xz = γ yz = 0) nên sẽ cho kết quả không chính xác trong trường hợp tấm vỏ dày Trong khi đó, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất có kể đến các biến dạng cắt ngoài mặt phẳng nên phù hợp với ứng xử tấm vỏ dày Trong nhiều thập kỷ qua,

lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đã được sử dụng rộng rãi để phân tích kết cấu tấm và

vỏ Đề tài này sẽ phân tích kết cấu vỏ đồng nhất dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

1.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho kết cấu vỏ

Khi phân tích bằng PP PTHH [4] các kết cấu vỏ thường được rời rạc bằng một trong các loại phần tử: phần tử vỏ khối 3 chiều, phần tử vỏ 3 chiều suy biến và phần

tử vỏ phẳng Trong các loại phần tử này thì phần tử vỏ phẳng, kết hợp giữa phần tử tấm và phần tử ứng suất phẳng, thường được sử dụng rộng rãi vì dễ thiết lập công thức PTHH và dễ lập trình Trong nhiều thập kỷ qua, đã có rất nhiều công trình nghiên

cứu và phát triển công thức PTHH vỏ trên thế giới nhưng hiện nay vẫn là chủ đề quan tâm và nghiên cứu của nhiều nhà nghiên cứu do tính chất ứng xử phức tạp của các kết cấu vỏ trong thực tế

Công thức PTHH kết cấu vỏ đơn giản nhất là loại phần tử tam giác 3 nút được

xây dựng bằng cách xấp xỉ trường chuyển vị sử dụng hàm dạng tuyến tính dạng C0

được Ahmad, Irons và Zienkiewicz [5] giới thiệu vào năm 1970 Tuy nhiên, khi phân tích các kết cấu vỏ mỏng bằng công thức PTHH kết cấu vỏ sử dụng hàm xấp xỉ dạng

C0 thuần túy không loại bỏ được biến dạng cắt ngoài mặt phẳng và dẫn đến hiện tượng

“khóa cắt” làm cho kết quả không chính xác khi phân tích kết cấu vỏ mỏng Do đó,

để phân tích kết cấu vỏ dày hoặc mỏng bằng công thức PTHH vỏ dạng C0 thì phải khử hiện tượng “khóa cắt” Hiện nay đã có nhiều kỹ thuật khác nhau để khử hiện tượng “khóa cắt” như kỹ thuật chênh lệch biến dạng cắt rời rạc (Discrete Shear Gap – DSG) [6], dạng Mindlin (Mindlin type – MIN) [7], hoặc các thành phần ten-sơ nội suy hỗn hợp (Mixed Interpolation of Tensorial Components – MITC) được Bathe and Dvorkin đề xuất lần đầu vào năm 1984 với phần tử tứ giác 4 nút (MITC4) [8]và phần

tử tứ giác 8 nút (MITC8) [9]vào năm 1986 Đến năm 1993 Bathe và Bucalem đã phát triển kỹ thuật MITC cho phần tử 9 nút và 16 nút (MITC9 và MITC 16) [10] Các phương pháp MITC thường được sử dụng nhất và rất hiệu quả trong giải quyết các bài toán vỏ cho kết quả tin cậy

Từ khi ra đời phương pháp MITC đã được sử dụng rất thành công trong việc loại bỏ các hiện tượng “khóa cắt” cho bài toán tấm và vỏ Khi mô hình hóa kết cấu

vỏ nói chung, thì phần tử vỏ tam giác 3 nút thường được sử dụng vì phần tử tam giác

3 nút dễ dàng hơn trong việc chia lưới PTHH các kết cấu có hình dạng phức tạp Do

đó, Lee và Bathe [11]đã phát triển phương pháp khử “khóa cắt” MITC3 cho phần tử

vỏ 3 chiều suy biến dạng tam giác 3 nút có đặc điểm nổi trội là ma trận độ cứng độc lập với thứ tự đánh số nút phần tử Các phương pháp khử “khóa cắt” khác như MIN3 đượcTessler and Hughes [7] công bố năm 1985 hoặc DSG3 được Bletzinger và cộng

sự [12] nghiên cứu vào năm 2000 có ma trận độ cứng phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút phần tử Mặc dù, năm 2014 Jeon và các cộng sự [13] tiếp tục phát triển kỹ thuật

khử “khóa cắt” MITC3 lên MITC3+ với công thức Lagrange được sử dụng cho chuyển vị lớn và góc xoay lớn nhằm cải tiến công thức PTHH vỏ tam giác 3 nút nhưng công thức PTHH này lại cung cấp xấp xỉ chuyển vị dùng hàm dạng lưỡng tuyến tính bằng cách đưa vào nút “nổi” đặt tại trọng tâm phần tử phức tạp hơn phương pháp MITC3 Vì vậy, phương pháp khử “khóa cắt” MITC3 đơn giản hơn phương pháp MITC3+ và cho kết quả tính toán tốt hơn phương pháp DSG3 và MIN3

1.2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn

Trong nổ lực cải thiện khả năng tính toán của PP PTHH thông thường đã có nhiều tác giả xây dựng và phát triển PP PTHH trơn Liu và Nguyen - Thoi [14] đã phát triển PP PTHH trơn bằng cách trung bình các biến dạng bên trong phần tử (cell-based smoothing – CS) hoặc giữa các phần tử chung cạnh (edge-based smoothing – ES) hoặc giữa các phần tử chung nút (node-based smoothing – NS) PP PTHH trơn

đã được áp dụng và cải thiện được kết quả tính toán các kết cấu vật rắn biến dạng 2 chiều, 3 chiều, kết cấu tấm vỏ

Năm 2008, các nghiên cứu của Nguyen-Xuan và cộng sự [15], Nguyen-Thanh

và cộng sự [16] đã áp dụng PP PTHH trơn phát triển cho công thức PTHH tấm và vỏ

tứ giác 4 nút sử dụng phương pháp khử “khóa cắt” MITC4 [8]để cải thiện khả năng tính toán các kết cấu tấm và vỏ Tiếp đó, PP PTHH trơn được tiếp tục phát triển cho các phần tử tấm và vỏ tam giác 3 nút bằng cách kết hợp các phương pháp làm trơn trên phần tử (CS), trên cạnh (ES) hoặc trên nút (NS) với các phương pháp khử “khóa cắt” là DSG3, MIN3 hoặc MITC3

Nguyen-Xuan và cộng sự [17] đã đề xuất một PP PTHH trơn NS – DSG3 để phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn định tấm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Mindlin – Reissner Phương pháp này xây dựng phần tử tấm tam giác 3 nút, sử dụng

kỹ thuật DSG3 để khử hiện tượng “khóa cắt” kết hợp với kỹ thuật làm trơn trên nút Sau đó, Nguyen-Xuan và cộng sự [18] cũng đã tiếp tục đưa ra một phương pháp phân tích kết cấu tấm Mindlin kết hợp kỹ thuật DSG3 và làm trơn trên cạnh (ES-DSG3)

Các công thức PTHH tấm vỏ CS-MIN3, CS-DSG3 cũng được Nguyen - Thoi và cộng

sự [19], [20] lần lượt nghiên cứu, phát triển để phân tích tĩnh và dao động của các kết cấu tấm vỏ đồng nhất, chuyển vị bé Gần đây, tác giả Chau-Dinh và cộng sự [21] đã nghiên cứu, phát triển công thức PTHH tấm, vỏ tam giác 3 nút ES-MITC3 có trường biến dạng được làm trơn trên cạnh và khử “khóa cắt” bằng phương pháp MITC3 dùng

để phân tích kết cấu tấm, vỏ dày và mỏng Ngoài ra, một số đề tài luận văn thạc sĩ cũng đã dùng phương pháp MITC3 kết hợp với kỹ thuật làm trơn trên nút (NS) và trên cạnh (ES) để phân tích kết cấu tấm, vỏ như Nguyen-Van [22] với đề tài “Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn NS – MITC3” để phân tích tấm composite nhiều lớp được công bố vào năm 2016, hay Quach-Van [23] với đề tài

“Phân tích kết cấu vỏ bằng phần tử hữu hạn MITC3 được làm trơn trên cạnh MITC3)” để phân tích ứng xử tĩnh của kết cấu vỏ đồng nhất vào năm 2017

(ES-Tuy nhiên, nếu chỉ dùng một trong các cách trên để phân tích kết cấu vỏ thì vẫn chưa tốt lắm, nên gần đây một số tác giả đã đề xuất cải tiến PP PTHH trơn bằng cách đưa thêm hệ số hiệu chỉnh α (Sα-FEM) Tác giả Chai và cộng sự [24] đã nghiên cứu

áp dụng kỹ thuật làm trơn trên miền nút phần tử (NS) kết hợp với phương pháp PTHH αFEM được phát triển cho phần tử vỏ phẳng DSG3 (Sα-DSG3) đã cung cấp các giải pháp số rất chính xác khi phân tích cấu trúc vỏ

Và trong nổ lực cải thiện khả năng tính toán của PP PTHH trơn, kỹ thuật làm trơn trên nút (NS) và trên cạnh (ES) phần tử đã được kết hợp Phương pháp này còn

được gọi là bêta PTHH (β-FEM) Nguyen-Hoang và cộng sự đã sử dụng kỹ thuật khử

khóa cắt DSG3 có trường biến dạng được làm trơn một phần trên cạnh và phần còn lại làm trơn trên nút phần tử để phân tích tĩnh và dao động tự do của phần tử vỏ phẳng Reissner–Mindlin [25] Kết quả nghiên cứu cho thấy phần tử ES+NS-DSG3 có độ hội tụ nằm giữa độ hội tụ của phần tử ES-DSG3 và NS-DSG3

Dựa trên các công trình nghiên cứu về các phần tử tấm, vỏ đã được công bố trong và ngoài nước, ưu nhược điểm của các phương pháp làm trơn và các phương

pháp khử “khóa cắt”, luận văn thạc sĩ này tập trung nghiên cứu xây dựng công thức PTHH vỏ phẳng tam giác 3 nút NS-MITC3 sử dụng phương pháp làm trơn trên miền

nút phần tử và phần tử vỏ phẳng 3 nút ES+NS-MITC3 sử dụng phương pháp làm trơn trên cạnh kết hợp làm trơn trên nút; đồng thời áp dụng kỹ thuật khử “khóa cắt” MITC3 nhằm phân tích và đánh giá hiệu quả tính toán của phần tử khi phân tích các kết cấu

vỏ đồng nhất

1.3 Mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ và giới hạn của đề tài

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là thiết lập công thức PTHH trơn NS-MITC3 Tuy nhiên để cải thiện khả năng tính toán của phẩn tử, để tài luận văn cũng đã nghiên cứu phương pháp làm trơn trên cạnh của phần tử ES-MITC3 đã được công bố [21]

Từ đó, phát triển hướng ngiên cứu của đề tài bằng kỹ thuật kết hợp cả hai phương pháp làm trơn trên cạnh (ES) và làm trơn trên nút (NS) để thiết lập công thức phần tử hữu hạn trơn ES+NS-MITC3

Sau đó áp dụng công thức phần tử đề xuất để phân tích ứng xử tĩnh của kết cấu

vỏ đồng nhất So sánh kết quả thu được với kết quả của các phương pháp nghiên cứu khác và rút ra nhận xét, kết luận về các phần tử đề xuất

1.4 Phương pháp nghiên cứu và cách tiếp cận

Đề tài nghiên cứu PP PTHH được làm trơn trên miền nút phần tử và PP PTHH được làm trơn trên cạnh phần tử áp dụng kỹ thuật khử “khóa cắt” MITC3 Sau đó

phát triển hướng nghiên cứu bằng cách áp dụng phương pháp bêta PTHH (β-FEM)

để tiếp cận và phân tích bài toán kết cấu vỏ đồng nhất theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Phương pháp này được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab nhằm đánh giá hiệu quả của phần tử khi được so sánh với kết quả của các phần tử khác

1.5 Nội dung nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:

- Phương pháp PTHH trơn trên nút (NS) và trên cạnh (ES);

- Phương pháp PTHH β-FEM;

- Thiết lập công thức PTHH vỏ phẳng NS-MITC3 và ES+NS-MITC3;

- Mô phỏng và tính toán một số kết cấu vỏ điển hình bằng các phần tử đề xuất;

- So sánh và đánh giá độ chính xác, hội tụ của phần tử đề xuất

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT)

Lý thuyết tấm cổ điển của Kirchoff giả thiết: vật liệu đồng nhất và đàn hồi tuyến tính Ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm là rất nhỏ so với các ứng suất khác nên có thể bỏ qua trong tính toán (σz = 0) Đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình sau

khi biến dạng Từ giả thuyết này các thành phần biến dạng cắt ngang γ xz = γ yz = 0 và

ε z = 0 (ε z là biến dạng thẳng theo phương trục z; γ xz; γ yz lần lượt là biến dạng trượt

trong mặt phẳng Oxz và Oyz) Lý thuyết tấm cổ điển phù hợp với các tấm vỏ có chiều dày mỏng, tức là tỷ số t/a nhỏ (t là chiều dày tấm, a là kích thước nhỏ nhất của mặt

trung bình tấm) Do đó, khi tính tấm vỏ dày thì việc bỏ qua các biến cắt ngang sẽ không hợp lý

Trong nhiều năm qua, nhiều giả thuyết biến dạng cắt được đưa ra và phát triển

để khắc phục những hạn chế của lý thuyết tấm cổ điển, trong đó có Reissner và Mindlin với đề xuất về lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất [26] Theo lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất Reissner và Mindlin xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến vuông góc với mặt trung gian trước khi biến dạng, sau khi biến dạng vẫn thẳng nhưng không

vuông góc với mặt phẳng biến dạng (γ xz ≠ γ yz ≠ 0) tức là góc xoay trung bình của mặt

cắt ngang có thể xem như góc xoay của pháp tuyến cộng thêm góc xoay do biến dạng cắt gây ra Mặt khác, ứng suất pháp vẫn xem như bỏ qua (σz = 0) như giả thiết Kirchoff

2.2 Trường chuyển vị trong tọa độ cục bộ

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất được áp dụng trong luận văn này Trong tọa

độ vuông góc, 3 thành phần chuyển vị được thể hiện như sau:

0 0 0

y x

u u z

v v z

w w

θ θ

= +

= −

=

(2.1)

Trong đó: u v w0, ,0 0 là thành phần chuyển vị của điểm trên mặt phẳng trung bình

của vỏ (z = 0) theo phương x, y và z;

,

x y

θ θ là góc xoay pháp tuyến của mặt phẳng trung bình quanh các trục x, y như

Hình 2.1

Hình 2.1 Trường chuyển vị trong tấm

2.3 Trường biến dạng trong tọa độ cục bộ

Từ trường chuyển vị (2.1) các vec-tơ biến dạng được xác định như sau:

θε

s

yz

x

w x w y

γ θ (2.3)

Trong đóεm là biến dạng màng, εb là biến dạng uốn và εslà biến dạng cắt được xác định bởi:

x y

θθ

2.4 Trường ứng suất trong tọa độ cục bộ

Trạng thái ứng suất phẳng được sử dụng để phân tích kết cấu tấm, vỏ như Hình 2.2

Hình 2.2 Sự phân bố các thành phần ứng suất theo bề dày tấm

Theo định luật Hooke, mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được biểu diễn như sau:

Công thức (2.5) và (2.6) có thể được viết lại dưới dạng như sau:

x x

x xy

y

xy xy yx

y y

Hình 2.3 Các thành phần nội lực trong tấm

Nội lực chính là hợp lực của ứng suất phân bố theo bề dày tấm trên một đơn vị

chiều như Hình 2.3, được xác định như sau:

- Lực màng:

2 2

2 2

Thay công thức (2.9) vào công thức (2.20) ta được:

2

2 2

x h

h z yz

2 2

Từ các công thức (2.18), (2.26), (2.33) ta có phương trình thể hiện mối quan

hệ giữa nội lực và biến dạng mặt trung bình thông qua định luật Hooke như sau:

m b s

Chương 3: CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN VỎ

PHẲNG NS-MITC3 VÀ ES+NS-MITC3

3.1 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 trong hệ tọa độ cục bộ

Xét phần tử tam giác 3 nút trong hệ tọa độ cục bộ như Hình 3.1, trường chuyển

vị tổng quát u của phần tử được nội suy bằng cách sử dụng các điểm chuyển vị tại

các nút của phần tử với hàm dạng tuyến tính như sau:

nút thứ i, Nilà ma trận chéo của hàm dạng được xác định bởi:

Hình 3.2 Hệ trục tọa độ tự nhiên (r,s) của phần tử

Từ công thức (3.1), trường chuyển vị tổng quát u của phần tử tam giác 3 nút

được viết lại như sau:

2 3

(3.5)

2 3

như Hình 3.3

Hình 3.3 Vị trí các điểm “tying point” cho phần tử tam giác 3 nút[11]

Theo Lee và Bathe [11] các biến dạng trượt ngoài mặt phẳng trong hệ tọa độ tự

nhiên được xấp xỉ lại như sau:

Do đó, biến dạng cắt ngoài mặt phẳng được biểu diễn lại theo chuyển vị nút trong hệ tọa độ cục bộ như sau: 3 3 3

12

d

b a

12

b a

e MITC

Các ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị của phần tử vỏ phẳng tam giác

3 nút MITC3 là hằng số Do đó, ma trận độ cứng phần tử (3.26) được viết dưới dạng tường minh mà không cần sử dụng phép tính tích phân Gauss

3.2 Công thức PTHH vỏ phẳng MITC3 trong hệ trục tọa độ toàn cục

Gọi dI =[U V W I, I, I, θ θ θXI, YI, ZI] là chuyển vị của nút I trong hệ tọa độ toàn cục

OXYZ Quan hệ giữa chuyển vị nút loc

I

d trong hệ trục tọa độ cục bộ oxyz và chuyển

vị nút dItrong hệ trục tọa độ toàn cục OXYZ cho bởi: loc

Với ( n n nxX, xY, xZ),( n n nyX, yY, yZ)và ( n n nxZ, zY, zZ) lần lượt là cosin chỉ phương

của phương x y z , , trong hệ trục tọa độ toàn cục OXYZ

Thế (3.28) vào (3.14) ta được quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử trong hệ trục tọa độ toàn cục:

Do đó, ma trận độ cứng của phần tử Ke trong hệ trục tọa độ toàn cục với thành

phần độ cứng liên quan các bậc tự do của nút I và J

Với k = 5/6 là hệ số hiệu chỉnh cắt, h e là chiều dài lớn nhất của cạnh phần tử, α

là hệ số ổn định được đưa vào nhằm tăng khả năng hội tụ [27] Trong nghiên cứu này

tương tự như các nghiên cứu khác, sử dụng α = 0,1 [17,18,21]

Từ (3.23), (3.24) và (3.25), ta nhận thấy rằng thành phần của ma trận độ cứng

phần tử Keliên quan bậc tự do θzIbằng không Vì vậy, trong ma trận độ cứng kết cấu, thành phần liên quan đến bậc tự do θzItại nút kết nối giữa các phần tử đồng phẳng sẽ bằng không, tức là ma trận độ cứng kết cấu bị suy biến Để khắc phục hiện tượng này, tại vị trí liên quan bậc tự do θzIcủa ma trận độ cứng phần tử, một giá trị bằng 10-3lần

giá trị lớn nhất của các thành phần trên đường chéo chính của ma trận Keđược thêm vào [20]

i=

Ω =∑ Ω , và e e

Ω Ω = ∅, i j≠ Xét miền trơn Ωk được giới hạn bởi

đường Γk quanh nút k như Hình 3.4 [24], với

1

k

N k

I=

Ω =∑ Ω , và Ωi Ω = ∅j , i j≠ ,

k

N là tổng số nút trên miền Ω k

ΟNút của phần tử; ∆ Trọng tâm của phần tử; • Giữa cạnh

Hình 3.4 Chia lưới phần tử tam giác làm trơn trên nút