Tập lồi, đa giác lồi và một số dạng toán phủ đa giác lồi

Mục đích của khóa luận tốt nghiệp này là trình bày các vấn đề: Tập lồi, đagiác lồi và một số bài toán phủ đa giác lồi; cụ thể là trình bày một cách hệ thốngcác định nghĩa, các định lý cơ

Lời mở đầuTrong hình học nói chung và hình học tổ hợp nói riêng bao lồi, đa giác lồi

và bài toán phủ đa giác lồi là những khái niệm quan trọng và đã đợc trình bàytrong nhiều giáo trình của hình học tổ hợp

Mục đích của khóa luận tốt nghiệp này là trình bày các vấn đề: Tập lồi, đagiác lồi và một số bài toán phủ đa giác lồi; cụ thể là trình bày một cách hệ thốngcác định nghĩa, các định lý cơ bản và chứng minh chi tiết một số định lý và bổ đề

về tập lồi, bao lồi và một số dạng bài toán phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp

Đặc biệt khóa luận trình bày một số tính chất của bao lồi và các bài toán phủ đagiác lồi, đa ra và chứng minh đợc một số ví dụ và bài toán

Cấu trúc của khóa luận này gồm hai chơng

Chơng1 Cơ sở lý thuyết ở đây chúng tôi đã hệ thống lại và chứng minh chitiết một số tính chất về tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và bao đóng đại số, nhắc lại

định lý Helly và đã đa ra đợc một số ví dụ, ứng dụng của các tính chất và định lý

Chơng 2 Một số dạng toán phủ đa giác lồi Trong chơng này chúng tôitrình bày kiến thức về các dạng bài toán phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp,bao gồm các khái niệm về phủ đa giác lồi, các định lý và bổ đề về bài toán phủ

đa giác lồi, hơn nữa trong chơng này nghiên cứu đến bài toán phủ một đa giác lồibất kì bằng những đa giác lồi đồng dạng hoặc vị tự với nó Chúng tôi đã đa ramột số bài toán để nói rõ về các dạng bài toán phủ đa giác lồi, bao gồm một hìnhtròn phủ hữu hạn điểm đã cho hoặc phủ một đa giác lồi

Khóa luận này đã đạt đợc các kết quả sau

1) Trình bày có hệ thống khái niệm tập lồi, bao lồi, phần trong đại số vàbao đóng đại số, phủ hình

2) Chứng minh một số tính chất của tập lồi, bao lồi, phần trong đại số vàbao đóng đại số, các định lý về các dạng bài toán phủ đa giác lồi Những tínhchất này hầu hết đợc nêu ra ở các tài liệu tham khảo khác dới dạng tóm tắt, chú ýhoặc bài tập

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giảChơng I Cơ sở lý thuyết

Trong khóa luận này chúng tôi xét không gian vectơ Ơclít n - chiều E n, 

là tập các số thực

Ta kí hiệu:

* . là chuẩn trong E n.

* int A là phần trong của A

* co A  là bao lồi của A.

- Giả sử x,yE n Đoạn thẳng  x, y là tập hợp x1  y/ 0    1. Nếu

y

x  , phần trong x, y của x, y là tập hợp x1  y/ 0    1. Tơng tự ta cóthể định nghĩa x, y và x, y

- Giả sử A  E n Tập A đợc gọi là lồi nếu  x,yA với mọi x,yA

 Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo n.

Với n 2, ta có x 1x1 2x2 A với mọi x1,x2 A, 1, 2  0 và1

2

1   

 (vì A là tập lồi) Vậy kết luận đúng với n 2

Giả sử kết luận đúng với nk 2, nghĩa là x k x A

i i

Ngîc l¹i, gi¶ sö A A1  A ta chøng minh cho A lµ tËp låi

LÊy x,yA, víi 0    1 ta cÇn chøng minh x1  yA Do

iii) ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là tập lồi Chứng minh

i) Giả sử A iiI là họ các tập lồi của E n Đặt i

I i

Vậy, A là tập lồi của E n

ii) Giả sử A iE n,iI là tập lồi và   i (i=1,2,…n)

Đặt A 1A1  2A2   n A n Khi đó, với x,yA và 0    1 (giả sử

n

n x x

x

x 1 1  2 2    ; y 1y1 2y2   n y n; trongđó: x i,y i A ii 1 , 2 , ,n)

Ta có: x1  y 1x1  2x2   n x n1   1y1 2y2   n y n

 1 x11  y1 2x2 1  y2  nx n 1  y nA

(vì A ilà các tập lồi nên x i 1  y iA i,i 1 , 2 , ,n) Vậy, A là tập lồi của E n

iii) Giả sử W là không gian véctơ trên  và f E n W

 : là ánh xạ tuyến tính

Giả sử B W là tập lồi Khi đó, với x,y f 1 B

 , ta có f x, f y B Do

đó, với 0    1 ta có fx1  y f  x  1    f y B (vì f là ánh xạ tuyếntính và B là tập lồi) Từ đó suy ra, x 1 y f 1 B

1.1.2.1 Định nghĩa (xem [6]) Cho A  E n

- Giao của tất cả các tập lồi chứa A đợc gọi là bao lồi của A Kí hiệu là :co(A)

- Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A đợc gọi là bao lồi đóng của A.

Kí hiệu là : co A 

1.1.2.2 Nhận xét (xem [6])

i) co(A) là tập lồi nhỏ nhất chứa A

ii) A là tập lồi khi và chỉ khi A  co A

iii) co A  là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A

1.1.2.3 Mệnh đề (xem [4])

Nếu A là tập lồi thì bao đóng co(A) của A cũng là tập lồi.

Chứng minh

Lấy x1,x2 co A Đặt x x11  x2),0    1 Giả sử U là một lân cậnlồi của điểm 0 Do x1,x2co A nên x iUA  , i 1 , 2 Suy ra tồn tại

Từ (3) và (4) ta suy ra: co A co A

1.1.2.5 Mệnh đề (xem [6])

i) Nếu A,BE n là các tập lồi thì

1 0

1

ii) Giả sử A  E n là tập lồi Nếu x  co A thì coAxco A

Chứng minh

1 0

1

i i

x

1 1



(trong đó a i A,b j B;i  1 , 2 , ,n; j  1 , 2 , ,m) với  ,i j sao cho 1

1 1





; 1

1 1

j

j j n

j j

j b x

1

 là tổ hợp các phần tửthuộc B Vì B là tập lồi nên x  B

 , với mọi i 0 thì x a a i A

m

j i

i  





; 1

1 1

j i j n

j j m

Vậy x  C hay    

1 0

1

1

ii) Giả sử A  E n, A là tổ hợp, theo giả thiết x  co A và A  co A nênsuy ra xAco A co A Do đó co x A co co A    co A 

 int A là tập lồi

Cách 1: Lấy x,yA Khi đó tồn tại lân cận U của x sao cho U  A Do

A là tập lồi nên x, y đợc biểu dới dạng zx1 y với 0 1

Ta có U1  y là một lân cận của z vào U 1  yA Suy ra x, y intA

Từ bổ đề 1.1.2.6 suy ra intco A  là tập lồi mà nó chứa A, vì thế

a) Phần trong đại số A i của A là tập tất cả các điểm x  A sao cho mọi

đờng thẳng m đi qua x trong E n , giao của m và A chứa một đờng thẳng mà

x thuộc phần trong của đoạn thẳng đó.

b) Bao đóng đại số A a của A là tập hợp của A và tập hợp tất cả các

điểm x  E n sao cho tồn tại a  A sao cho a,x  A

c) Tập A đợc gọi là tập mở đại số nếu A i A

y,y0C Giả sử x0  x1  u,y0  y1  u, trong đó 0   ,   1 Khi đó,

\ Thật vậy, với y0C a \C ta suy ra tồn tại x 0 C sao cho x0;y0 C.

Giả sử U là một lân cận bất kỳ của y0 Khi đó, từ tính liên tục của ánh xạ

0 1 y



    tại   0, ta suy ra tồn tại   0 sao cho x0 1  y0U với mọi

  ,    Do đó, UC  Suy ra, y 0 co C Vậy C a co C

iii) Trớc hết ta chú ý, với mỗi a,bE,   ,   0và mỗi lân cận U của

a ta có b U a là một lân cận của b

Với x0  intC, y 0 co C và 0    1 ta cần chứng tỏ z0  x0 1  y0 intC

Thật vậy, ta có thể giả thiết 0    1, bởi vì nếu   1 thì ta có ngay z0 x0 intC

Vì x  intC nên tồn tại lân cận U của x sao cho U  C Khi đó, ta có

 Theo định lý 1.1.3.3 (i) ta có intC  C i (9)

 Giả sử x  C i Khi đó, với y intC ta có theo giả thiết y  x, vì nếu

x

y  thì ta có ngay x int C), vì x  C i nên tồn tại z  E sao cho xy,z và

x,zCco C Theo định lý 1.1.3.3 (iii) ta có y,z intC và do đó x int C

Vậy, từ (9) và (10) ta có C i  intC

 intC  intco C

 Ta có intC intco C Hiển nhiên (11)

 Giả sử x intco C Khi đó, với y intC, vì x intco C theo định lý1.1.3.3 (i) ta có intco C co C i suy ra x co C i nên tồn tại z  E sao cho

 Giả sử x  co C Khi đó, với y intC C, ta có

y,x intCC (theo định 1.1.3.3(iii)) do đó x  C a Từ đó suy ra co C C a

(14)Vậy, từ (13) và (14) ta có co C C a

 co C cointC

 Ta có cointCco C Hiển nhiên (15)

 Giả sử x  co C và U là một lân cận bất kỳ của x Khi đó, từ tính liên

tục của ánh xạ   y1  x tại   0, ta suy ra tồn tại   0 sao cho

1

Từ đó, suy ra: x,cC Vậy, x,y C i.

b  sao cho b,yC Ta có thể giả thiết (b) không thuộc đờng thẳng đi qua

x và y (vì nếu (b) thuộc đờng thẳng đi qua x và y thì ta có hoặc y' b,y

n

i i i



 cũng là tập lồi , với   i Trong đó:  C /c c C 

n

i i i

Vậy

1

n

i i i

Để chứng minh điều ngợc lại co A B trớc hết ta chứng minh B là tập

lồi Thật vậy, lấy x,yB khi đó x, y có dạng sau: 





n

i i

i a x

j b x

1 1 1

i i

y x

1 1

i

i

1 1

1  



1 1

1 1

i i n

j

j n

 hay x1  yB suy ra B là tập lồi

Mặt khác, A  B mà co(A) là tập lồi nhỏ nhất chứa A nên co A B.(2)

Vậy, từ (1) và (2) ta suy ra: B  co A

Từ mệnh đề trên ta suy ra hệ quả sau:

Theo mệnh đề 1.2.3

1

k

i i i



 , x iC,

1 1

k i i







 ,  i 0

 Trờng hợp 1: Nếu  x x1 , , , 2 x r độc lập affine  dimx x1 , , , 2 x r  r 1

Mặt khác, dimx x1 , , , 2 x r n Suy ra r 1 n vậy r n  1

 Trờng hợp 2: Nếu x x1 , , , 2 x r phụ thuộc affine Ta chứng minh có thểbiểu diễn x dạng tổ hợp lồi của r 1 điểm thuộc C

+) Nếu  y y1 , , , 2 y r1 độc lập affine ta áp dụng trờng hợp 1 ta có:

dim y y, , ,y r  r 2 n  r 1  n 1

+) Nếu  y y1 , , , 2 y r1 phụ thuộc affine thì ta lại xét hệ điểm là  y y1 , , , 2 y r2

Sau hữu hạn bớc thì dừng đến z z1 , , , 2 z p là hệ độc lập affine mà

1

p

j j j

k k k

, ,

1 , 1 , 0 ,

M a a

i ; 1

y y

i i

A y ky R

k A y y k

A

i

i i n

i

i i

1 1





 kA co R k A y ky x

n

i

i i i

Suy ra: kco A cokA (4)

V©y, Tõ (3) vµ (4) suy ra cokAkco A

A y b y x x b

A

i i i

n

i

i i i

i ; ; , 1 ; 1 , 2 , ,

1 1

o b

i i n

i

i

i ; 1 ; , 1 ; 1 , 2 , ,

1 1

b

i i n

i i n

i i

1 1

n

i i

; 1 , 0

; 1 ,

;

1 1





Vậy, coAbco A b (5)

i i i

i n

i i

1 1

A y b

i i i

i n

i i

i , , 0 , 1 ; 1 ; 1 , 2 , ,

1 1







A y b

i i n

i i n

i i

1 1

; 1 ,

; 1

; 1 1

Ta sẽ chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo n

 Nếu các điểm x x1 , , , 2 x n thẳng hàng Giả sử x x1, 2 là hai điểm xa nhaunhất trong hữu hạn điểm đã cho Khi đó co x x 1 , , , 2 x nx x1 , 2

 Xét x x1 , , , 2 x n không nằm trên một đờng thẳng

+) Với n 3 suy ra định lý luôn đúng Vì khi đó co x x x 1 , , 2 3 là một hình tam giác

1 2 3

x x x

+) Giả sử định lý đúng cho n k ta chứng minh cho định lý đúng với n k  1

Cho x x1, , , ,2 x x k k1 2 Theo giả thiết quy nạp co x x 1 , , , 2 x k phải làmột hình đa giác lồi mà đỉnh của nó thuộc tập hợp hữu hạn điểm  x x1 , , , 2 x k Giả

sử D là miền chứa các điểm x x1, , , ;2 x r r k Khi đó:

Khả năng 1: x k1 D co x x 1 , , , 2 x kD.

Khả năng 2: x k1D qua điểm x k1

sẽ có một đờng thẳng  không cắt

D, sau đó quay  chạm đỉnh của D

Khi đó sẽ tồn tại hai đờng thẳng qua x k1

là d1 và d2 sao cho D sẽ nằm trong miền

gọi là d x d1 k1 2 (hình 1).

Trên đờng thẳng d1 có một điểm thuộc tập hợp điểm đã cho xa x k1 nhất và

ta kí hiệu là y1

Cũng tơng tự nh vậy gọi y2 là điểm nằm trên đờng thẳng d2 mà xa x k1

nhất Trên phần của D ta có y y x1 2 k1 là một đa giác lồi, phần còn lại của D ta

đánh số thứ tự lại cho các đỉnh của nó là y y1 2 y r Khi đó x y y k1 1 r y2 chính là một

đa giác lồi mà đỉnh của nó nằm trong số x x1 , , , 2 x k Đó là bao lồi của

0

2 1

2 2 1 1

k

k

k x x

L i  j /  ;  1 , 2 , , L là tập affine chứa  nên L là không gian

véctơ con của E n Do hệ x1,x2, ,x k độc lập affine nên dimx1,x2, ,x k k 1

Mặt khỏc, cơ sở của khụng gian vộctơ con L là x i x ji j



 và dimL k 1 Do đú hệ vộctơ x i x ji j

0

2 1

2 2 1 1

k

k

k x x



 độc lập tuyến nên

0

1.2.9.2 Định lý (Định lý Helly xem [2])

Trong E n cho tập  gồm hữu hạn các tập lồi A i; i 1 , 2 , ,m sao cho

cứ mỗi n 1 tập hợp nằm trong  giao khác rỗng Khi đó các tập của cógiao khác rỗng

Chứng minh

Ta chứng minh định lý bằng phơng pháp quy nạp đối với m

 Rõ ràng với mn 1, theo giả thiết thì định lý đúng

 Giả sử định lý đúng với mkkn 1 ta chứng minh định lý đúng với1

A x

j j

1

1

k

i i

k

i i

1 1

i x x

1

 thì x x

k

r j



p

x p

x y

k r j

j j r

i i i





1 1

r

i i i

x p p

x y

y r1 Ar2   Ak1  (7)

Chøng minh t¬ng tù víi

p

x y

k r j

j j

tơng ứng song song Chứng minh rằng nếu hai cạnh chữ nhật bất kỳ trong chúnggiao khác rỗng thì cả hệ có giao khác rỗng.

m y

Ví dụ 3 Trên đờng thẳng chọn n đoạn thẳng, mọi cặp hai đoạn thẳng có

điểm chung Khi đó, tồn tại một điểm chung cho tất cả các đoạn thẳng

cũng đa về trờng hợp tất cả là đoạn thẳng)

Mỗi đoạn thẳng A i trên đờng thẳng số đợc xác định bởi hai số tại hai điểmcuối là a b i, i và a i b i Số a i gọi là đầu trái của đoạn thẳng A i, còn b i gọi là đầu

phải của đoạn thẳng A i Lấy b là số nhỏ nhất của b i i,  1, 2, ,n; a là số lớn nhấtcủa a i i,  1, 2, ,n Ta sẽ chứng minh rằng a b

Thật vậy, giả sử a b Vì theo cách xác định ở trên thì số a trùng với mộttrong những số nào đó trong a i i,  1, 2, ,n, số b trùng với một trong những số nào

đó trong b i i,  1, 2, ,n, thì a i1 a, b i1 b mà theo giả thiết a b nên a i1 b i1 Khi đótrong những đoạn thẳng A i1 (với đầu trái

điểm chung mâu thuẫn với giả thiết của định lý Helly Vậy a b Đpcm

Ví dụ 4 Cho một nửa đờng tròn đờng kính AB và một họ dây cung, biếtrằng cứ hai dây cung bất kỳ thì có giao khác rỗng Chứng minh rằng tất cả cácdây cung đó có giao khác rỗng

Nhận xét Hình chiếu vuông góc của các dây cung trên đờng thẳng là các

đoạn thẳng

Chứng minh

Gọi  i iI là họ các dây cung đã cho

Gọi a , i b i là hình chiếu họ dây cung  i iI lên đờng kính AB

Theo giả thiết i j  , theo nhận xét ở trên thì ta suy ra

a b i, i a b j, j   ,ij i j I; ,   Theo định lý Helly nếu hai đoạn thẳng bất kỳ cógiao khác rỗng thì họ các đoạn thẳng có khác rỗng Chiếu ngợc lại lên dây cung

thì tất cả các dây cung đó có giao khác rỗng, suy ra i

Ta nói hình H đợc phủ bởi các hình H1,H2, ,H n nếu mỗi điểm củahình H điều thuộc ít nhất một trong các hình H1,H2, ,H n Nói cách khác,hình H là tập hợp con của hợp các hình H1,H2, ,H n: H H1H2  H n.

2.1.2.Ví dụ

Ví dụ 1 Cho một ngũ giác lồi có tất cả các góc là góc tù Chứng minh

rằng tồn tại hai đờng chéo của ngũ giác sao cho hai hình tròn là có đờng kính làcác đờng chéo đó phủ kín ngũ giác

Nh vậy AD, BD là hai đờng chéo phải tìm

b) Trờng hợp H nằm ngoài cạnh AB, khi đó DH cắt cạnh AE hoặc cắt cạnh BC, chẳng hạn DH cắt cạnh AE (hình 3).

Hình tròn có đờng kính AD phủ ADE (vì góc AED 90 0 nên E nằm trong đờng tròn), hình tròn có đờng kính BD phủ tứ giác ABCD (vì góc

của ngũ giác lồi ABCDE có các góc tù

Kẻ các đờng thẳng Ax, By vuông góc

với AB , tạo thành một dải (hình 4)

Hình 3

H A

B E

Khi đó E và C nằm ngoài dải đó vì

góc BAE 90 0, góc ABC 90 0, còn D

thì nằm trong dải, vì nếu chẳng hạn D

ở vị trí D' cùng phía với C đối với By

thì ED' AB, trái với cách chọn cạnh AB là lớn nhất Kẻ DH  AB thì H thuộccạnh AB Hình tròn có đờng kính AD phủ tứ giác AHDE, hình tròn có đờngkính BD phủ tứ giác BHDC Nh vậy: AD, BD là hai đờng chéo phải tìm

Ví dụ 2 Cho 100 điểm trên mặt phẳng, hai điểm nào cũng có khoảng cách

không quá 1, ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác tù Chứng minh rằng

tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1

2 phủ 100 điểm đã cho.

Chứng minh

Giả sử hai điểm A và B là hai điểm

xa nhất trong 100 điểm đã cho và ta có AB 1

(hình 5) Vẽ đờng tròn có đờng kính AB,

hình tròn này có bán kính không quá 1

2.

Ta chứng minh đờng tròn này chứa mọi

điểm đã cho Thật vậy, vẽ hai đờng thẳng vuông góc với AB tại A và tại B tạothành một dải

Nếu tồn tại một điểm C trong 100 điểm đã cho nằm ngoài dải thì AC AB

hoặc BCBA mâu thuẫn với cách chọn hai điểm AB lớn nhất Suy ra không tồntại điểm C Nếu tồn tại một điểm C trong 100 điểm đã cho nằm trên dải và nằmngoài hình tròn thì ABC là tam giác không có góc tù lại mâu thuẫn với giả thiết.Suy ra, không tồn tại điểm C nh vậy Đpcm

2.2 Một số dạng toán phủ đa giác lồi

2.2.1 Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự với chính nó

2.2.1.1 Định nghĩa

Giả sử H1,H2, ,H n là những ảnh của đa giác lồi H qua phép vị tự có

tỷ số vị tự k k1, , ,2 k n (tơng ứng) nhỏ hơn 1 và H H1H2  H n Khi đó, ta nóirằng H đợc phủ bởi các đa giác vị tự với nó: H1,H2, ,H n

Hình 5