Tập giới hạn của đạo và một số tính chất của chúng

Benđixơn và ứng dụng...32 Kết luận...39 Tài liệu tham khảo...40 Lời nói đầu Trong giai đoạn hiện nay, lý thuyết định tính phơng trình vi phân phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng

bộ giáo dục và đào tạo

Trờng Đại học Vinh

1.1 Hệ động lực 3

1.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm 5

1.3 Sự liên tục của nghiệm theo điều kiện ban đầu 10

1.4 Sự kéo dài nghiệm 11

1.5 Nghiệm toàn cục 13

1.6 Dòng của một phơng trình vi phân 15

Chơng II Tập giới hạn của quĩ đạo và một số tính chất của chúng 18

2.1 Các khái niệm và kiến thức cơ sở 18

2.2 Tính chất của tập giới hạn của quỹ đạo và ứng dụng 23

2.3 Định lý Poăngcarê – Tô pô Benđixơn và ứng dụng 32

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

Lời nói đầu

Trong giai đoạn hiện nay, lý thuyết định tính phơng trình vi phân phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng to lớn trong các việc nghiên cứu các lĩnh vực cơ học, thiên văn học, hoá học, vật lý; khảo sát sự biến đổi của hệ sinh thái học và môi trờng, khảo sát sự ổn định của dân số, mật độ dân số… Khi nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phơng trình vi phân ngời ta thấy một

trong những vấn đề có tầm quan trọng là tập các điểm giới hạn của quỹ đạocủa phơng trình vi phân Tập các điểm giới hạn của quỹ đạo phơng trình viphân vừa là mục đích nghiên cứu vừa là công cụ để nghiên cứu tính ổn địnhcủa phơng trình vi phân: Sự ổn định của quỹ đạo, ổn định của vị trí cân bằng,nghiệm tuần hoàn (hay quỹ đạo đóng)…

Trên cơ sở các tài liệu có thể có đợc, dới sự hớng dẫn của thầy giáoPGS.TS Phạm Ngọc Bội chúng tôi nghiên cứu đề tài: "Tập giới hạn của quỹ

đạo và một số tính chất của chúng"

Luận văn này trình bày một cách tổng hợp, hệ thống những vấn đề vềchủ đề tập các điểm giới hạn của quỹ đạo của phơng trình vi phân, trongkhuôn khổ các tài liệu của các tác giả: E.A Barbasin, Sergelang, HocsM.W.Xmâyl X Chứng minh các tính chất của chúng, nêu các ứng dụng và các

ví dụ Phần lớn các kết quả này đã trình bày trong các tài liệu tham khảo khácnhau theo các cách thức khác nhau ở mức độ vắn tắt hay gợi ý

Luận văn đợc chia làm 2 chơng

Chơng I Lý thuyết cơ bản về phơng trình vi phân

Trong chơng này, chúng tôi trình bày định nghĩa hệ động lực, định

nghĩa nghiệm của phơng trình vi phân, khái niệm Lipsit và Lipsit địa phơng,khái niệm dòng của phơng trình vi phân, các định lý về nghiệm của phơngtrình vi phân trên ℝn: định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm, định lý về sự liêntục của nghiệm, định lý về sự kéo dài nghiệm, định lý nghiệm toàn cục

Chơng II Tập giới hạn của quĩ đạo và một số tính chất của chúng

Trong chơng này, chúng tôi trình bày các định nghĩa: Tập giới hạn,

điểm cân bằng, điểm cân bằng ổn định, điểm cân bằng ổn định tiệm cận, điểmcân bằng không ổn định, quỹ đạo, quỹ đạo đóng, quỹ đạo nguyên vẹn, tập bấtbiến dơng, tập bất biến âm, tập bất biến, hàm có dấu xác định, hàm có dấukhông đổi Ngoài ra,trong chơng này, chúng tôi đã trình bày các định lý về tậpgiới hạn và chứng minh chi tiết các định lí đó Từ đó đa ra các kết quả có liênquan đến tập giới hạn và chứng minh các kết quả đó, chẳng hạn: sự ổn định(ổn định tiệm cận) của điểm cân bằng, sự ổn định (ổn định tiệm cận), không

ổn định của nghiệm của hệ phơng trình vi phân, nhát cắt địa phơng và hộpdòng, dãy đơn điệu trong hệ động lực Hơn thế nữa, một trong những thể hiện

về tập giới hạn là định lí Poăngcarê-Benđixơn và một vài ứng dụng của nócũng đợc trình bày trong luận văn này

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2008 tại khoa Đào tạo Sau

đại học - Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS Phạm Ngọc Bội.Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã tận tình chỉdẫn, giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc các thầy giáo trong bộ môn hình học_PGS.TS Nuyễn Hữu Quang, TS Nguyễn Duy Bình, TS Phan Thành An đãgiảng dạy, chỉ bảo các vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu và cũng xinchân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, khoa Sau đại học – Tô pô Tr-ờng Đại học Vinh Tôi xin cảm ơn tới các đồng nghiệp, gia đình, bạn bè đã tạo

điều kiện cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

ánh xạ t: S  S thỏa mãn:

(a) 0 : S  S là ánh xạ đồng nhất

(b) Tích t S = t+s với mỗi t, s trong ℝ

Chú ý rằng từ định nghĩa ta suy ra rằng với mỗi một t, ánh xạ

t: S  S thuộc lớp C1, có nghịch đảo là -t cũng thuộc lớp C1 (lấy s = - t trong (b))

Cho trớc hệ động lực t : S  S, ta xác định một trờng vectơ trên S:

f: S  E, (S mở  E)bởi:

nh thế với x  S, f(x) là một vectơ trong E tiếp xúc với đờng cong t  t(x) tại

t = 0 Vậy mỗi hệ động lực cho ta một phơng trình vi phân

Giả sử x(t) = t(x), x  S Khi đó ta có thể viết lại (1.1) nh sau:

x' = f(x) (1.2)Vậy x(t) (cũng là t(x)) là đờng cong nghiệm của (1.1) thỏa mãn điềukiện đầu x(0) = x ở đây hàm f không phụ thuộc vào thời gian và phơng trình(1.1) đợc gọi là phơng trình ôtônôm

Ngợc lại, cho trớc một phơng trình vi phân, ta có thể liên kết với một

ánh xạ, mà ánh xạ này sẽ là một hệ động lực nếu kèm theo giả thiết nó đợcxác định với mọi t Vấn đề này đợc trình bày ở mục 6

Trờng hợp tổng quát hơn, khi f là ánh xạ thuộc lớp C1,

f: J  W  E,

trong đó J là một khoảng và W là một tập mở trong không gian vectơ, phơngtrình trong trờng hợp này là:

x' = f(t, x)

ở đây hàm f phụ thuộc vào thời gian t và phơng trình (1.2) đợc gọi làphơng trình không ôtônôm

Trong luận văn này ta chỉ xét phơng trình ôtônôm (1.2)

1.1.2 Định nghĩa Giả sử f: W  E là một ánh xạ liên tục, W là một

tập hợp mở trong E Ta gọi một nghiệm của phơng trình vi phân x' = f(x) là

một hàm khả vi u: J  W, xác định trên một khoảng J  ℝ nào đó sao cho vớimọi t  J ta có u'(t) = f (u (t))

(ở đây J có thể là một khoảng các số thực, mở, đóng, hoặc nửa mở, nửa đóng)

Chú ý Về mặt hình học, u là một đờng cong

trong E và vectơ tiếp tuyến u'(t) của nó bằng f(u(t))

Ta coi vectơ này có gốc tại u(t) ánh xạ f: W  E là

một trờng vectơ trên W Một nghiệm u có thể đợc coi

nh quỹ đạo của một hạt chuyển động trong E sao cho

ở thời điểm t, vectơ tiếp tuyến của nó hoặc vận tốc

đ-ợc cho bởi giá trị của trờng vectơ tại vị trí của hạt

1.1.3 Định nghĩa Một điều kiện ban đầu cho nghiệm u: J  W là một

điều kiện u(t0) = x0, trong đó t0  J, x0  W (để đơn giản ta thờng lấy t0 = 0)

1.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm

1.2.1 Định nghĩa

Một hàm f: W  E, W là một tập mở của không gian vectơ E, đợc gọi

là Lipsit trên W nếu tồn tại một hằng K sao cho:

f (y) f (x) K y xvới mọi x,y trong W Ta gọi K là một hằng số Lipsit đối với f

Ta nói f là Lipsit địa phơng nếu mỗi điểm thuộc miền xác định W của f

có một lân cận W0 trong W sao cho hạn chế f W là Lipsit Hằng số Lipsitcủa f W có thể thay đổi cùng với W0 0

1.2.2 Định lý Giả sử W  E là một tập con mở của không gian vectơ

định chuẩn, f: W  E là một ánh xạ lớp C 1 (khả vi liên tục) và x0  W, khi đó

có một số a > 0 nào đó và một nghiệm duy nhất

x = u(t

0) u(t)f(x)

x: (-a, a)  W

của phơng trình vi phân (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0

Để chứng minh Định lý 1.2.2, trớc tiên ta chứng minh bổ đề sau

Bổ đề Nếu hàm f: W  E thuộc lớp C1 thì f Lipsit địa phơng

Trớc khi đa ra chứng minh ta nhắc lại ý nghĩa của đạo hàm Df(x) của hàm ftại x  W Đây là một toán tử tuyến tính trên E đặt tơng ứng mỗi vectơ u  Evới một vectơ

Df(x)u =

s 0

1lim (f (x su) f (x)s

   , s  ℝ

vectơ này tồn tại nếu Df(x) đợc xác định

Trong hệ toạ độ (x1, , xn) trên E, giả thử f(x) = (f1(x1, , xn), fn(x1, ,

xn)), khi đó Df(x) đợc xác định bởi n  n - ma trận của các đạo hàm riêng

( / x )(f (x , , x ) Ngợc lại, nếu tất cả các đạo hàm riêng nói trên tồn tại và liên tục thì f

thuộc lớp C1 Với mỗi x  W, ta có Df (x) Df (x) u

Điều này khẳng định f: W  E thuộc lớp C1 kéo theo ánh xạ

W  L(E) biến x thành Df(x) là một ánh xạ liên tục

Chứng minh bổ đề Giả thử rằng: f: W  E thuộc lớp C1 và x0  W Giảthử b > 0 là khá bé để cho hình cầu Bb(x0) đợc chứa trong W, ở đây:

Khi đó y + su  W0 với 0  s  1 Giả thử (s) = f(y + su);

Vậy : [0, 1]  E là tích [0, 1]  W0  E trong đó ánh xạ thứ nhấtbiến s thành y + su Theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp ta có

Vậy do 1

0

f (z) f (y) K u ds K z y 

Bổ đề đã đợc chứng minh

Chú ý rằng thực chất ta đã chứng minh nhận xét sau:

Nếu W0 là lồi và nếu Df (x)  với mọi x  WK 0 thì K là một hằng sốLipsit đối với f W 0

Bây giờ ta chuyển sang chứng minh sự tồn tại nghiệm của định lý Giả sử

x0  W và W0 là tập nói trong chứng minh của bổ đề trên Giả sử J là mộtkhoảng mở chứa số 0 và x: J  W thoả mãn phơng trình (1.2), với điều kiện

đầu

x(0) = x0 (1.3)Khi đó bằng cách tích phân hai vế ta có:

t

0 0

x(t) x f (x,s)ds (1.4)Ngợc lại, nếu x: J  W thoả mãn (1.4), khi đó x(0) = x0 và x thoả mãn(1.2) mà ta có thể thấy đợc rằng cách lấy đạo hàm (1.4) là nghiệm của phơngtrình (1.2) dới dạng tích phân

Vì vậy để chỉ ra sự tồn tại nghiệm nói trong định lý, ta sẽ chỉ ra nghiệmcủa (1.4)

Do sự lựa chọn W0, ta có một hằng số Lipsít K đối với f trên W0 Hơn

nữa, f (x) bị chặn trên W0, chẳng hạn, bởi hằng số M Giả thử

a > 0 thoả mãn a < min{b/M,1/K} và ta định nghĩa J = [-a, a] ở đây b là bánkính của hình cầu W0 Ta sẽ định nghĩa một dãy hàm u0, u1, … từ J vào W từ J vào W0

Ta sẽ chứng minh rằng chúng hội tụ đều đến một hàm thoả mãn (1.4) và sau

đó chứng minh rằng phơng trình (1.4) không có nghiệm nào khác Ta sử dụngmột bổ đề sau:

Giả sử uk: J  E, k = 0, 1, 2, là một dãy hàm liên tục từ một khoảng

đóng J vào một không gian định chuẩn E thoả mãn điều kiện: với mỗi  > 0cho trớc, tồn tại một số N > 0 nào đó sao cho với mọi p, q > N

f (u (s))ds



Điều này có nghĩa vì uk(s)  W0 nên biểu thức dới dấu tích phân đợc xác định

Ta chứng minh rằng:

uk+1(t) - x0  b hoặc uk+1(t)  W0 với t  J

điều này chứng tỏ rằng dãy có thể tiếp tục đợc đối với uk+2 , uk+3,

với  > 0 cho trớc, nếu N khá lớn.

Theo bổ đề nói trên, bất đẳng thức trên chứng tỏ rằng dãy hàm u0, u1, hội tụ đều đến một hàm liên tục x: J  E Từ đồng nhất thức

u1, hội tụ đều ta thu đợc

x f x s ds ()

Vậy x: J  W0 thoả mãn (1.4) và do đó là một nghiệm của (1.2), x(0)

= x0

Từ biểu thức của x ta có x : J W0, x thuộc lớp C1

Điều này chứng minh phần tồn tại định nghiệm trong lý trên Bây giờ tachứng minh phần duy nhất nghiệm

Giả thử x, y : J  W là hai nghiệm của (1) thoả mãn x(0) = y(0) = x0, ở

đây ta có thể giả thiết rằng J là khoảng đóng [-a,a] (vì giả sử J là khoản mở(-a, a) thì ta lấy tập đóng [a1, a1]  J) Ta sẽ chứng minh rằng x(t) = y(t) với

mọi t  J Giả thử Q = maxt J x t   y t  .

Giá trị cực đại này đạt đợc tại một điểm t1  J nào đó Khi ấy

1.3 Sự liên tục của nghiệm theo điều kiện ban đầu

Trớc tiên ta chứng minh bổ đề sau:

1.3.1 Bổ đề Giả thử u: [0, ]  ℝ liên tục và không âm Giả thử C

với mọi t  [0, ] Khi đó u(t)  Ce kt với mọi t  [0, ].

Chứng minh Trớc hết, giả thiết rằng C > 0, đặt

Bằng cách lấy đạo hàm U(t) ta đợc U'(t) = Ku(t),

từ đây suy raU '(t) Ku(t)

1.4 Sự kéo dài nghiệm

1.4.1.Bổ đề Giả sử cho trớc một ánh xạ lớp C 1 : f: W  E và giả sử hai

nghiệm u(t), v(t) của x' = f(x) đợc xác định trên cùng một khoảng mở J chia t0

và thoả mãn u(t0) = v(t0) Khi ấy u(t) = v(t) với t J.

Chứng minh: Từ định lý 1.2.2 ta biết rằng u(t) = v(t) trong một khoảng

mở nào đó chứa t0 Hợp của tất cả các khoảng mở nh vậy là khoảng mở lớnnhất J* trong J chứa t0trên đó u = v Nhng J* phải bằng I Vì nếu không thì J*

có một điểm mút t1 J, ta thử t1là điểm mút bên phải, trờng hợp kia cũng tơng

tự Do tính liên tục u(t1) = v(t1) Cũng từ theo định lý 1.2.2, u = v trong mộtkhoảng J' nào đó cha t1 Khi ấy u = v trong J*  J' lớn hơn J* Điều mâu thuẫnnày chứng minh bổ đề

1.4.2 Định lý Giả sử W  E là mở, giả sử f: W  E là một ánh xạ lớp

C 1 Gọi y(t) là một nghiệm trên một khoảng mở cực đại J = (   ℝ với  <

.Khi đó với mọi tập compact bất kỳ cho trớc K  W, sẽ tồn tại t  (, ) với

y(t) K.

Chứng minh: Giả thử y(t)  K với mọi t  (, ) Vì f là liên tục, nên

tồn tại M > 0 sao cho f(x)  M nếu x  K

Giả thử   (, Bây giờ ta chứng minh rằng y kéo dài đợc thànhmột ánh xạ liên tục [, ]  E Theo một bổ đề từ giải thích chỉ cần chứngminh rằng y: J  E liên tục đều Với t0 < t1 trong J ta có:

0 1

0

t

t t

1 0 t

y(t ) y(t ) y'(s)ds

với mọi t giữa  và  Do đó y là khả vi tại , và quả thực y'() = f(y())

Vậy y là một nghiệm trên [, ] Vì có một nghiệm trên khoảng [, ),

 > nên ta có thể kéo dài y sang khoảng (, Thành thử (, ) không thể

là một miền cực đại một nghiệm Định lý đợc chứng minh 

Từ định lý ta suy ra ngay mệnh đề sau đây:

1.4.3 Mệnh đề Giả sử A là một tập con compăc của tập mở W  E và f:

W  E thuộc lớp C 1 , gọi y0  A và giả sử ta biết rằng mỗi đờng cong nghiệm

dạng:

y: [0, ]  W, y(0) = y 0 nằm hoàn toàn trong A Khi đó có một nghiệm:

y: [0, ]  W, y(0) = y 0 và y(t)  A, t  0

Chứng minh: Giả thử [0, ] là khoảng cực đại nửa mở trên đó có một

nghiệm y nh ở trên Khi ấy y([0, ])  A, và do đó theo định lý,  không thể

1.5 Nghiệm toàn cục

1.5.1 Bổ đề Nếu f: W  E Lipsit địa phơng và A  W là một tập

compăc, khi đó f A Lipsit

Chứng minh Giả thử rằng bổ đề không đúng Khi đó, với mỗi K > 0 lớn

tuỳ ý, ta có thể tìm đợc x, y trong A với:

f(x) - f(y) > Kx - y

Đặc biệt, ta có thể tìm đợc xn, yn sao cho

f(xn) - f(yn)  nxn - yn với n = 1, 2, (1.6)Vì A là compăc nên ta có thể chọn những dãy con hội tụ của xn và yn.Bằng cách viết chỉ số lại ta có thể giả thiết xn  x* và yn  y* với x* và y*

ở đây M là giá trị cực đại của f trên A Tiếp đó tồn tại một lân cận W0 của x*

sao cho fW có một hằng số Lipsit K trong W0 Tồn tại một số n0 sao cho xn

 W0 nếu n  n0 Vì vậy nếu n  n0 ta có:

f(xn) - f(yn)  K xn - yn ,

điều này mâu thuẫn với (1.6) khi n > K Bổ đề đợc chứng minh 

1.5.2 Định lý Giả sử thuộc lớp C 1 Gọi y(t) là một nghiệm của x' = f(x) xác định trên khoảng đóng [t0, t1] với y(t0) = y0 Khi đó tồn tại một lân cận U 

E của y0 và một hằng số K sao cho nếu z0  U, thì có một nghiệm duy nhất

z(t) cũng đợc xác định trên [t0,t1] với z(t) = z0 và thỏa mãn hệ thức:

y(t) z(t) K y  z exp K(t t ) , (1.7) với t  [t 0, t1].

Chứng minh Do tính compact của [t0, t1], tồn tại  > 0 sao cho x  W

nếu x y t    Tập tất cả các điểm nh vậy là một tập compact A của W

ánh xạ f lớp C1 là Lipsit địa phơng Do bổ đề ta suy ra rằng f | A csó mộthằng số Lipsit K

Giả thử  > 0 là khá bé để cho    và  exp (K | t1 - t0|)  Ta khẳng

định rằng nếu z0  y0   thì có một nghiệm duy nhất đi qua z0 đợc xác địnhtrên cả [t0, t1] Trớc hết, z0  W vì z  y(t0)   Do đó có một nghiệm z(t) điqua z0 xác định trên một khoảng cực đại [t0, ) Ta chứng minh  > t1 Vì nếu

  t1, thì do bất đẳng thức (1.5), với mọi t  [t0, ) ta có:

z t  y t z  y exp(K t 1

 0 

.exp K t t

  

Vậy z(t) nằm trong tập compact A Theo Định lý 4,1,2, [t0, ) không thể

là một miền nghiệm cực đại Thành thử z(t) đợc xác định trên

[t0, t1] Căn cứ vào Định lý 1.3.2 ta có sự đánh giá z theo hàm mũ và từ Bổ đề1.4.1, ta chứng minh đợc sự duy nhất của hàm z(t) 

ý nghĩa của Định lý 1.5.2 Cho trớc f(x) nh trong định lý và một

nghiệm y(t) xác định trên [t0, t1], ta thấy rằng với mọi z0 khá gần y0 = y(t0),tồn tại một nghiệm duy nhất trên [t0, t1] xuất phát từ z0 tại thời điểm 0 Ta hãy kýhiệu nghiệm này bởi t  u([t, z0]; vậy u(0, z0) = z0 và u(t, y0) = y(t) Khi đó từ

Chứng minh.Trớc tiên giả sử s và t là dơng và S(t(x)) đợc xác định

Điều này có nghĩa rằng t  J(x) và s Jt(x)) Giả thử J(x) = (, ) Khi đó 

< t < , ta sẽ chứng minh rằng  > s + t

Ta xác định

y : (, s + t]  W

định lý của mục 5, tồn tại một lân cận U  W của x0 sao cho nghiệm t 

(t,x) đợc xác định trên [-, t0 + ] với mọi x trong U Vậy (-, t0 + ) x U 

 và điều này chứng minh rằng  mở.Để chứng minh :   W liên tục tại (t0, x0) ta giả thử U và nh ở

trên Ta có thể giả thử rằng U có bao đóng compact UW Vì f là Lipsit địaphơng và tập A = [-, t0 + ] x U) là compact; nên có một hằng số Lipsit K

đối với f | A Giả thử M = max  f x : x  A Giả thử  > 0 thoả mãn  < ,

và nếu x1 x0   , thì x1 U Giả thử t1  t0  , x1 x0   Khi đó

t1  x1  t0  x0  t1 x1 t0  x0  t , x1 0 t , x0 0

Số hạng thứ hai ở vế phải dần đến 0 cùng với  vì nghiệp đi qua x0 làliên tục (thực chất là khả vi) theo t Theo đánh giá trong Định lý 1.5.2, số hạngthứ nhất ở vế phải bị chặn bởi ek và số này cũng dần tới 0 cùng với  Điềunày chứng minh Định lý 6.1.3 

1.6.4 Định lý -t ánh xạ U lên một tập mở V và t đợc xác định trên V

và ánh xạ V lên U Tích - tt là ánh xạ đồng nhất của U và tích t- t là ánh xạ

đồng nhất của V.

Chứng minh: Nếu y = t(x) thì t  J(x) Khi đó dễ dàng thấy rằng -t J(y) vì hàm s  s-t(y) là một nghiệm trên [-t,0] ánh xạ 0 thành y, vậy -t đợcxác định trên t(U) = V; sự phát biểu về tích là hiển nhiên Chỉ còn phảichứng minh V là mở Giả sử V*V là tập con cực đại của W trên đó -t đợcxác định V* là mở, vì  mở, và -t: V*  W là liên tục vì  liên tục Do vậynghịch ảnh của tập mở U đối với -t là mở Nhng nghịch ảnh này lại đúng là

Trong phần này chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số định lýlàm cơ sở cho việc nghiên cứu tập giới hạn của quỹ đạo

Xét phơng trình vi phân

x' = f(x) (2.1)f: W  E, W là tập mở của E, f thuộc lớp C1,  là dòng của phơng trình

2.1.1 Định nghĩa.

+ Nếu x = x(t), a <t < b là một nghiệm của hệ (2.1) thì tập hợp điểm L=

{x(t) | t (a, b)} đợc gọi là quỹ đạo của nghiệm.

+ Điểm y  W đợc gọi là điểm  - giới hạn của điểm x  W nếu có

một dãy tn   sao cho nlim tn(x) y

   Tập hợp của tất cả các điểm  - giớihạn của x đợc ký hiệu là L(x)

+ Điểm y  W đợc gọi là điểm  - giới hạncủa điểm x  W nếu có một

dãy tn  -  sao cho limn tn(x) y

   Tập hợp của tất cả các điểm  - giới hạncủa x đợc ký hiệu là L(x)

Tập L(x) đợc gọi là tập  - giới hạncủa điểm x, tập L(x) đợc gọi là

tập  - giới hạncủa điểm x Các tập L(x), L(x) đợc gọi chung là tập giới

hạncủa điểm x, hay tập giới hạn của quỹ đạo.

Trong phần 2.2 ta sẽ chứng minh một tính chất nói rằng nếu y là điểm 

-giới hạncủa điểm x thì y cũng là điểm -giới hạn của điểm z bất kỳ thuộc quỹ đạo

đi qua x Chính vì vậy ta còn gọi mỗi điểm  - giới hạn là điểm  - giới hạn của quỹ đạo, hay điểm - giới hạn của dòng  Hoàn toàn tơng tự cho

điểm dừng hoặc một điểm bất động của dòng Ta cũng gọi x là không điểmhoặc điểm kỳ dị của trờng vectơ f

2.1.3 Định nghĩa Giả sử x  W là một điểm cân bằng của (2.1) Khi

đó x đợc gọi là điểm cân bằng ổn định của (2.1)nếu với mỗi lân cận U của xtrong W có một lân cận U1 của x trong U sao cho mỗi nghiệm x(t) với x(0)thuộc U1 đợc xác định và nằm trong U với  t > 0 (xem hình A)

2.1.4 Định nghĩa Nếu có thể chọn U1 sao cho ngoài các tính chất nói

trong định nghĩa 2.1.3 ta còn có xlim x(t) x

   , thì x là ổn định tiệm cận (xemhình B)

 U