Luận văn ngôn ngữ tựa xiclic và ứng dụng vào khảo sát cấu trúc một số lớp nửa nhóm

Một hớng pháttriển của ngôn ngữ hình thức đợc nhiều ngời quan tâm là sử dụng tơng đẳng trên các nửa nhóm để khảo sát cấu trúc đại số của ngôn ngữ hìnhthức.. Trong luận văn này, theo sự h

Mở đầu

Trong những năm gần đây, lý thuyết ngôn ngữ hình thức phát triểnmạnh mẽ và có ứng dụng ngày càng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực khoahọc kỹ thuật, đặc biệt là đối với tin học và toán học Một hớng pháttriển của ngôn ngữ hình thức đợc nhiều ngời quan tâm là sử dụng tơng

đẳng trên các nửa nhóm để khảo sát cấu trúc đại số của ngôn ngữ hìnhthức Cụ thể là khi nghiên cứu một ngôn ngữ, ngời ta thờng xét đến vịnhóm cú pháp, văn phạm, dáng điệu ngôn ngữ và ôtômát của ngôn ngữ

đó

Trong luận văn này, theo sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS LêQuốc Hán, chúng tôi tập trung nghiên cứu một lớp ngôn ngữ có liên hệmật thiết đến nửa nhóm xiclic, đó là ngôn ngữ “tựa xiclic”, ký hiệu làngôn ngữ UOL

Luận văn gồm: phần mở đầu, chơng 1, chơng 2 và phần kết luận

Chơng 1 Đại cơng về ngôn ngữ hình thức Trong chơng này, chúng

tôi trình bày khái niệm và các tính chất cơ bản của nửa nhóm tự do vànửa nhóm xiclic; khái niệm ngôn ngữ hình thức, vị nhóm cú pháp vàvăn phạm sinh ngôn ngữ, ôtômat đoán nhận ngôn ngữ Kiến thức chơngnày là cơ sở để trình bày chơng sau

Chơng 2 Ngôn ngữ tựa xiclic Chơng này gồm 3 tiết và cũng là nội

dung chính của luận văn

2.1 Khái niệm và tính chất cơ bản Trong tiết này chúng tôi đa ra khái

niệm ngôn ngữ tựa xiclíc, ngôn ngữ đơn định, ngôn ngữ lan truyền,ngôn ngữ tăng trởng và nêu lên một số đặc trng của các lớp ngôn ngữ

đó Kết quả chính của tiết này là định lý 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8, 2.1.9 và2.1.10

2.2 Biểu thức chính quy và ngôn ngữ tựa xiclic Tiết này chúng tôi trình

bày sơ lợc về biểu thức chính quy, ngôn ngữ sinh bởi biểu thức chínhquy và ngôn ngữ tựa xiclic trong trờng hợp nó là chính quy

2.3 Khảo sát nửa nhóm xiclíc Tiết này, chúng tôi dùng công cụ ngôn

ngữ hình thức và ôtômát để nghiên cứu nửa nhóm xiclic và đa ra một sốtính chất ( 2.3.7, 2.3.8)

Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ tận tâm nhiệt tình của thầygiáo PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới thầy

Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo GS.TS NguyễnQuốc Thi, PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TSNguyễn Thành Quang, TS Mai T, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn ThịHồng Loan và các thầy cô giáo trong tổ Đại số đã động viên, giúp đỡtác giả trong quá trình học tập cũng nh trong việc hoàn thành luận vănnày

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệunhà trờng, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòngban liên quan đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian học tập vànghiên cứu tại trờng Đại học Vinh

Mặc dù đã rất cố gắng song chắc chắn trong luận văn vẫn còn nhữngthiếu sót, rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn họcviên

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập tuỳ ý và J X gồm tất cả các dãy hữu hạn các phần tử cuả X Phép nhân hai phần tử (x 1 ,x 2 , ,x m ), (y 1 ,y 2 , ,y n ) thuộc J X đợc định nghĩa nh sau.

(x1,x2, ,xm) (y1,y2, ,yn)= (x1,x2, ,xm,y1,y2, ,yn)

Khi đó JX trở thành nửa nhóm tự do xác định trên tập X Các phần

tử của JX gọi là các từ và m là độ dài của từ (x1 ,x 2 , ,x m ) Nếu ta đồng

nhất x với từ (x) có dộ dài bằng 1 thì theo định nghĩa trên ta có :

Thật ra, nó sinh ra bởi tập (X)

1.1.2 Mệnh đề Giả sử JX là một nửa nhóm tự do trên tập X Giả sử S là một nủa nhóm tuỳ ý và  là một ánh xạ bất kỳ từ X vào S Khi đó 0  có 0thể mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu  từ J X vào S.

Chứng minh Nếu  là một đồng cấu bất kỳ tử nửa nhóm JX vào S trùngvới  trên X, thì đối với các phần tử x0 1,x2, , xm  X ta có

 (x1x2 xm)=(x ) (x ) (x )1  2  m

Do đó tồn tại không quá một đồng cấu nh thế Nhng đẳng thức cuốicùng có thể lấy làm định nghĩa cho ánh xạ  từ JX vào S Rõ ràng đồngcấu này trùng với  trên X

1.1.3.Định lý Giả sử J X là một nửa nhóm tự do trên tập X, và  là 0một quan hệ bất kỳ trên J X ; còn  là tơng đẳng sinh bởi  Giả sử 0  *

là đồng cấu tự nhiên từ J X lên JX

 Nếu S là nửa nhóm bất kỳ và  là

đồng cấu từ J X vào S sao cho (u)(v) đối với mỗi (u,v)  Khi đó0tồn tại đồng cấu  từ J X vào S sao cho    *

Chứng minh Trớc hết chúng ta chứng tỏ rằng nếu w, w’  JX mà

w w ' thì (w)(w ') Thật vậy, vì  là tơng đẳng sinh bởi  nên0

w w ' khi và chỉ khi có thể đi từ w đến w’ bằng một dãy hữu hạn  -0bắc cầu Do đó chỉ cần chứng minh (w)(w ') nếu có thể đi từ w

đến w’ bằng một dãy hữu hạn  - bắc cầu Nhng điều đó cũng có0nghĩa là w=w1uw2 và w’ =w1vw2 , trong đó w1,w2  JX và u, v 0Trong mỗi trờng hợp , theo giả thiết ta có (u)(v) và do dó

(w)(w ) (u) (w )1   2 (w ) (u) (w )1   2 (w vw )1 2 (w ') Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ  từ Jx

đó suy ra tính đơn trị của  Còn miền xác định của  là toàn bộ tập

 là đồng cấu Giả sử w,w’  JX , khi đó

Chứng minh Nếu S= JX thì theo định nghĩa nửa nhóm tự do, mỗi phần

tử của S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích các phần tử của

X Đảo lại, giả sử mỗi phần tử của S biểu diễn đợc một cách duy nhất

d-ới dạng tích các phần tử của X, khi đó theo mệnh đề 1.2 ánh xạ đồngnhất từ X vào S có thể mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu  từnửa nhóm JX lên S Mặt khác  là ánh xạ 1 – 1 do đó là đẳng cấu Từ

đây ta suy ra điều phải chứng minh

1.1.5 Định lý[2]. S là một nửa nhóm tự do khi và chỉ khi nó thoả mãn các đièu kiện dới đây.

1 Thoả mãn luật giản ớc trái và phải.

2 S không chứa đơn vị hai phía.

3 Nếu ax=by đối với a,b,x,y  S thì a=b hoặc một trong các phần tử a,b là ớc bên trái của phần tử kia.

4 Mỗi phần tử của S có một số hữu hạn ớc bên trái.

Lu ý rằng không phải bao giờ một nửa nhóm con của một nửanhóm tự do cũng là một nửa nhóm tự do

1.1.6 Hệ quả. Nửa nhóm con T của một nửa nhóm tự do là một nửa nhóm tự do khi và chỉ khi từ đẳng thức ax = by ( a,x,b,y  T) ta suy ra a=b hoặc một trong các phần tử a, b là ớc của phần tử kia.

Cuối cùng là một kết quả của Suytxenbecje, đa ra một đặc trng đốixứng của nửa nhóm con của một nửa nhóm tự do

1.7 Mệnh đề [2]. Một nửa nhóm con T của một nửa nhóm tự do S cũng

là một nửa nhóm tự do khi và chỉ khi với mọi phần tử x  S, từ điều kiện

Tx  T   và xT  T   ta suy ra x  T.

1.2 Nửa nhóm Xiclic.

Nội dung chủ yếu của luận văn này là khảo sát ngôn ngữ tựa xiclic,

có mối liên quan mật thiết với nửa nhóm xiclic Do vậy trong tiết này,chúng tôi trình bày khá chi tiết về khái niệm nửa nhóm xiclic và tơng

đẳng trên nó

Nửa nhóm xiclic.

1.2.1.Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và a là một phần tử của S Khi đó nửa nhóm con <a> của S gồm tất cả các luỹ thừa nguyên dơng của a

<a>={ a, a 2 , },

đợc gọi là nửa nhóm con xiclic của nửa nhóm S sinh bởi a Trong

tr-ờng hợp S=<a> thì S đợc gọi là nửa nhóm xiclic sinh bởi a và a đợc gọi

là phần tử sinh.

Cấp của a đợc gọi là cấp của nửa nhóm con xiclic <a> Với mỗi a 

S chỉ có hai khả năng sau xảy ra

i) Hoặc là mọi luỹ thừa của a đều khác nhau, khi đó cấp của a là vô hạn( đếm đợc)

ii) Hoặc tồn tại các số nguyên r và s với r<s sao cho ar=as Khi đó a cócấp hữu hạn

Giả sử s là số nguyên dơng bé nhất sao cho as là một luỹ thừa của abằng luỹ thừa bé hơn nào đó của a Thế thì as=ar với r nào đó bé hơn s( r là phần tử duy nhất có tính chất này).

Đặt m=s-r, khi đó as=am+r Trong trờng hợp này m đợc gọi là chu kỳ,

r đợc gọi là chỉ số của phần tử a hay của nửa nhóm xiclic <a>

1.2.2 Mệnh đề Giả sử a là một phần tử của nửa nhóm S là <a> là

một nửa nhóm con xiclic sinh bởi phần tử a Nếu <a> là nửa nhóm xiclic vô hạn thì mọi luỹ thừa của a đều khác nhau Nếu <a> là nửa nhóm xiclic hữu hạn với chỉ số r và chu kỳ m thì a m+r =a r và

<a>={a,a 2 ,a 3 , …,a ,a r , ,a m+r-1 }.

Tập Ka= {ar,ar+1, ,ar+m-1} là nhóm con xiclic của nửa nhóm S

Chứng minh Với <a> = {a,a2,a3,…}.}

+) Trờng hợp <a> là nửa nhóm xiclic vô hạn, điều này có nghĩa là <a>

có vô số phần tử Vậy mọi luỹ thừa của a là khác nhau

+) <a> là nửa nhóm xiclic với chu kỳ m=s-r, khi đó as=am+r; vì cácphần tử a,a2, ,as-1 khác nhau cho nên ta suy ra

<a>={ a,a2, ,as-1}={a,a2,a3,…}.,ar, ,am+r-1}

Vậy a có cấp m+r-1

+) Tập Ka= {ar,ar+1, ,ar+m-1} là nhóm con xiclic của nửa nhóm S

Thật vậy, hiển nhiên Ka là nhóm con của nửa nhóm S Ta đặt an  Ka(r n m r 1)    Xét ánh xạ :an  (m) n , trong đó (m)+n là lớpthặng d các số nguyên modm chứa n Rõ ràng  là đẳng cấu từ Ka lên

Z/(m) tất cả các lớp thặng d theo mô đun m Từ đó ta kết luận Ka lànhóm con xiclic cấp m của nửa nhóm S

1.2.3 Mệnh đề. Giả sử S là nhóm xiclic hữu hạn với chu kỳ m và chỉ số

r, n là số tự nhiên thoả mãn (r n m r 1)    và n 0(modm) Khi đó a n

là đơn vị của nhóm con tối đại K a = {a r ,a r+1 , ,a r+m-1 }

Chứng minh. Xét ánh xạ

:Kha Zm

Khi đó  là một đẳng cấu nhóm và

h

a 1(mod m)  (a ) 0h   h 0  h 0(mod m) với 0 h m r  

1.2.4 Mệnh đề Mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm xiclic vô hạn N là

một nhóm con xiclic hữu hạn, và mỗi nhóm xiclic hữu hạn là ảnh đồng

cấu của một nửa nhóm xiclic N.

Chứng minh +) Điều kiện cần Giả sử : N  G là một đồng cấu từ

nửa nhóm xiclic N lên nửa nhóm G và (1) y Khi đó g G, k   Nsao cho (k) g  g y k, suy ra G là nhóm xiclic sinh bởi y

1.2.5 Bổ đề Giả sử  là một tơng đẳng trên nửa nhóm xiclic vô hạn N

và  i N ( i N là quan hệ đồng nhất trên N) Khi đó tồn tại duy nhất một

cặp số tự nhiên (m,r) sao cho a b khi và chỉ khi

Chứng minh +) Điều kiện cần Ta thấy N/ là nửa nhóm xiclic sinh

bởi 1 Vì   iN nên tồn tại p,q  N sao cho p  q mà p  =q Từ

đó ta suy ra N/ là một nửa nhóm xiclic hữu hạn Do đó tồn tại cặp số

(m,r) sao cho r =(m+r) và m+r là số bé nhất có thể chọn thoả mãn

điều kiện ấy ( m  là chu kỳ còn r  là chỉ số của N/ ) Khi đó mỗi lớp 1 , 2 , ,(r-1) chỉ chứa một phần tử của N nên nếu max(a,b)<r thì a 

b khi và chỉ khi a=b

Giả sử max(a,b) ≥r và N/ ={1 , 2 , , (r-1) , , (m+r-1) }, còn

  là đẳng cấu xét trong mệnh đề 2.4 Thế thì

a = b  a(1)=b(1)  ab(modm)

Cặp số tự nhiên (m,r) tồn tại và duy nhất Thật vậy, giả sử tồn tại cặp

số (n,s) thoả mãn đièu kiện (1) Khi đó N/ gồm s lớp, mỗi lớp chỉ chứa một phần tử của N và n lớp, mỗi lớp chứa nhiều hơn một phần tử Từ đó suy ra r=s và m=n ( vì các lớp của N/ không giao nhau).

+) Điều kiện đủ Giả sử (m,r) là cặp số tự nhiên và  là quan hệ trên N thoả mãn hệ thức (1) Thế thì  là một tơng đẳng trên N Thật vậy, tính

phản xạ và đối xứng của  là hiển nhiên

Ta chứng minh tính chất bắc cầu của  ( chứng minh   )

Giả sử (a,b)   Khi đó tồn tại c  N sao cho (a,c)   và

(c,b) Theo (1) có thể xảy ra các trờng hợp sau:

- Trờng hợp 1 max(a,c) <r và max(b,c)<r Khi đó a=c và b=c vàmax(a,b)<r  (a,b) 

- Trờng hợp 2 max(a,c)<r và max(c,b)r Khi đó a=c và bc(modm),max(a,b)r suy ra ab(modm) và max(a,b)r (a,b) 

- Trờng hợp 3 max(a,c) r và max(c,b)<r Lý luận tơng tự trờng hợp 2

i Hoặc  là quan hệ đồng nhất trên N;

ii Hoặc tồn tại duy nhất cặp số (m,r) sao cho

a b(modm) nếu max(a,b)

Đảo lại, nếu một quan hệ trên N đợc xác định nh trong bổ đề 2.5 thì đó

là một tơng đẳng trên N

Tơng đẳng trên nửa nhóm xiclic hữu hạn.

1.2.7 Mệnh đề Giả sử  là một tơng đẳng trên nửa nhóm xiclic hữu hạn S=<a> với chu kỳ m và chỉ số r và  không phải là quan hệ đồng nhất trên S Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên s và n với s<r , n|m sao cho với mọi a x S, a y S thì a xa y khi và chỉ khi

Chứng minh +) Điều kiện cần Giả sử  là một tơng đẳng trên nửa

nhóm xiclic S=<a> khi đó S/ là nửa nhóm xiclic sinh bởi a Suy ra

tồn tại các số tự nhiên s,n sao cho as=as+n , với s+n là số nguyên dơngnhỏ nhất có thể chọn đợc ( s là chỉ số, n là chu kỳ của S/) Khi đó mỗilớp a, a2, ,as-1 chỉ chứa một phần tử Vậy nếu max(x,y)<s thì axay

x=y

Vì S/={a,a2, , as-1,as, ,as+n-1} và Ka={ as, ,as+n-1} trong

đó Ka Zn nên

ap=aq (ps,qs) khi và chỉ khi q   pq(modn).p

Mặt khác, ar=ar+m  ar=ar+m nên r=r+m (modn)  m0(modn) hayn|m

Nh vậy, nếu max(x,y)s thì axay khi và chỉ khi xy(modn)

Với mỗi tơng đẳng  trên S thì cặp (s,n) là tồn tại duy nhất Thật vậy,nếu cặp số tự nhiên (s’,n’) thoả mãn điều kiện trên thì S/ gồm s’ lớp,mỗi lớp chứa một phần tử và n’ lớp mỗi lớp chứa nhiều hơn một phần

tử Vì các lớp không giao nhau suy ra s=s’ và n=n’

+ Điều kiện đủ Giả sử (s,n) là cặp số tự nhiên và  là quan hệ thoảmãn các điều kiện trên Khi đó  là tơng đẳng trên S Thật vậy

i)  là quan hệ tơng đơng vì

- Tính phản xạ: với mọi ax  S thì axax vì nếu x<s thì x=x; nếu x>s thìxx(modn);

- Tính đối xứng: Hiển nhiên ta có axay ayax

- Tính bắc cầu: axay, ayaz  axaz Thật vậy

ii)  ổn định trái, phải: axay  ax+zay+z Thật vậy

i) Ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ

1.3.1.Định nghĩa Ôtômát trạng thái là một cặp (A,X) trong đó

A={a 1 ,a 2 , …,a } là tập các trạng thái và X là tập hữu hạn X={x 1 ,x 2 , ,x n } trên đó xác định ánh xạ :

: AxX A

(a,x)  a

Ta thờng ký hiệu là (a,x)=a hay đơn giản hơn là ax=a.

Giả sử X* là vị nhóm tự do sinh bởi X, khi đó ta có thể thiết lập ánh xạ

 :AxX  A xác định nh sau  (a,)=a và nếu u X* và u=xy trong đóx,y X* thì  (a,u)=((a,x),y)

Để đơn giản nếu không sợ nhầm lẫn ta ký hiệu  thay cho 

Ôtômát đoán nhận ngôn ngữ cho trớc.

1.3.2.Định nghĩa Ôtômát trạng thái (A,X) đợc gọi là đoán nhận ngôn ngữ L , nếu và chỉ nếu chỉ ra đợc:

i) Trạng thái ban đầu a 0

ii) Tập con A của A đ’ ợc gọi là tập trạng thái kết thúc hay tập trạng thái cuối cùng sao cho

Hàm chuyển trạng thái : A A đợc xác định nh sau:

Giả sử a=uA, v X * Khi đó (a,v)=b trong đó b= u v Thế thì bộ năm (L)=(A,X,a 0 ,,A ) đ’ ợc gọi là ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ

ngữ L và là ảnh đồng cấu của mọi ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L.

Chứng minh Theo định nghĩa và theo cách xây dựng (L) ta thấy

(L)=(A,X,a0,,A’) là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L Xétb=(B,X,b0,,B’} cũng là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L và b B’,u,v X* thoả mãn điều kiện b0u=b, b0v=b thì (u,v)   L

Thật vậy, b0(uv)=bw=b0(vw) nên uwL vwL  w X* (u,v)  hay L u v Vậy có thể lập ánh xạ

* L

X: B



Trong đó b0u=b

Vì (au)=(a)u nên  là đồng cấu ôtômát Rõ ràng  là toàn ánh do đó

(u,v) P L (xuy L  xvyL,  x,y  X * )

Khi đó vị nhóm thơng X * /PL đợc gọi là vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ

L và đợc ký hiệu là (L).

Giả sử u X* Khi đó lớp tơng đẳng PL chứa u sẽ đợc ký hiệu là [u]

1.4.2.Mệnh đề. Tơng đẳng P L có các tính chất sau đây.

i) P L bão hoà L theo nghĩa: L làm trọn vẹn một số lớp theo quan hệ P L ii) P L là tơng đẳng lớn nhất bão hoà L.

iii) Đồng cấu chính tắc L : X *X * /P L

u  [u]

có tính chất phổ dụng theo nghĩa: nếu có một toàn cấu : X *M thoả mãn điều kiện -1(L), thì tồn tại đồng cấu :M X * /P L sao cho

Thế thì (u,v)   (u)=(v) Do đó  x,y  X* ta có (xuy)=(x)

(u)(y)=(xvy)  (xuy,xvy)   Do L bão hoà theo  nên xvyL

xuyL, x,y X* Do đó (u,v) PL   PL  (L) là ảnh đồng cấucủa X*/ với toàn cấu X*/ X*/PL, x  [x]

iii) Ta có :=ker PL

Ta lập ánh xạ :M X*/PL nh sau: s  PL-lớp chứa -1(s) Khi đó  là

đồng cấu lên thoả mãn điều kiện L=  Mệnh đề 4.2 đợc chứngminh

1.4.3.Mệnh đề Giả sử (L)=(A,X,a 0 ,,A ) là ôtômát tối tiểu đoán nhận’

ngôn ngữ L và T(A) là vị nhóm chuyển trạng thái của A Thế thì T(A) 

Giả sử aA, a x thế thì u1(a)u2(a) Thật vậy

  (a,u1)=(a,u2)xu1 xu2 (xu1,xu2)PL

 (xu1y  L  xu2y L,  x,y  X*): đúng theo (1) Vậy

  , tồn tại a A    , do đó f là ánh xạ Lý luận theou1 u2chiều ngợc lại ta có f là đơn ánh Hiển nhiên f là toàn ánh nên f là song

ánh Ta còn phải chứng minh f là đồng cấu

Giả sử [u]  u và [v]  v Ta sẽ chứng minh [u].[v]  uv Thật vậy, ta có v u(a)=v(u(a))=v( xu ,v)= xuv =uv( x )=uv(a)  a = x  A

iv)  là một ký hiệu bổ trợ, gọi là ký hiệu ban đầu.

b) Giả sử G=(V,X,P,) là một văn phạm và y,z  V * Ta nói y trực tiếp sinh ra z và ký hiệu y z nếu tồn tại u,v,u 1 ,u 2 sao cho (u,v) P và y=u 1 uu 2 , z=u 1 vu 2 Nh vậy mỗi hệ thống văn phạm là một hệ thống các quy tắc thay thế.

Ta nói rằng y sinh ra z và ký hiệu là y z, nếu

y=z z  z =z.

c) Ngôn ngữ L đợc gọi là sinh bởi văn phạm G nếu

L=L(G)={w X * / w}.

1.4.5 Định nghĩa Ngôn ngữ L đợc gọi là phi ngữ cảnh nếu nó đợc

sinh ra bởi văn phạm G=(V,X,P,) gồm và chỉ gồm các quy tắc thay thế dạng (u,v)  P trong đó u V-X, v  V *

4.6 Định nghĩa Văn phạm G=(V,X,P,) đợc gọi là văn phạm tuyến tính phải nếu P gồm và chỉ gồm các quy tắc dạng

a    thay cho “<a,> trong P”.

1.5.2 Định nghĩa Giả sử S=<X,P> là một lợc đồ OL, x=a1 a 2 a n , với m≥0 và a j V j=1, ,m và giả sử rằng y  X * Khi đó ta nói x trực tiếp sinh ra y (trong S), ký hiệu x  S  y khi và chỉ khi   1, 2, ,m  X sao cho a  j j với j=1,2, ,m và y= 1 2 m Nh thế thì  trực tiếp sinh ra y khi và chỉ khi y=.

1.5.3 Định nghĩa Ta gọi một hệ thống OL là một bộ ba: G=<X,P,>, trong đó S=<X,P> là lợc đồ OL ( gọi là sơ đồ của G);  là một từ trên X ( gọi là tiên đề của G)

1.5.4 Định nghĩa Cho lợc đồ OL bất kỳ S=<X,P>, x X bất kỳ và n là một số nguyên không âm bất kỳ Chúng ta định nghĩa ngôn ngữ hữu hạn

L n (S,x) bằng quy nạp theo n nh sau:

L 0 (S,x)={x}.

L n+1 (S,x)={y/  z sao cho z  L n (S,x) và z   S  y }.

Ta nói x sinh ra y trong S nếu y  L n (S,x) với một n nào đó

Chơng II Ngôn ngữ tựa xiclic

Chơng này chúng ta nghiên cứu ngôn ngữ OL mà bảng chữ cái chỉgồm một ký tự Sự thu hẹp này đợc gọi là thu hẹp Unary, và do đó ngônngữ đợc ký hiệu là UOL, gọi là tựa xiclic

Sau đây là những lý do dẫn đến việc nghiên cứu ngôn ngữ tựa xiclic.i) Hệ thống tựa xiclic mặc dù không quá tầm thờng nhng cũng khôngphức tạp lắm, do đó có thể đặc trng hoàn toàn

ii) Một từ trên trên bảng chỉ một chữ cái có thể biểu diễn thông quamột số tự nhiên, do đó việc xây dựng hệ thống tựa xiclic có thể xem nhviệc xác định một hệ thống các số tự nhiên

2.1 Khái niệm và tính chất cơ bản.

2.1.1 Định nghĩa Một hệ thống OL G=(A,p,) đợc gọi là tựa xiclic (UOL) nếu và chỉ nếu |A|=1 Nếu L là một ngôn ngữ đợc sinh bởi

một hệ thống UOL thì gọi là một ngôn ngữ tựa xiclic, ký hiệu là ngôn

ngữ UOL

Rõ ràng, một từ của ngôn ngữ UOL đợc tạo nên từ một ký hiệu duy nhất Nếu giả thiết A={a} thì mọi ngôn ngữ trên A đợc đặt tơng ứng một cách duy nhất với một tập các số nguyên không âm định nghĩa bởi S={n/ an L}

Hệ thống UOL đợc biểu diễn bởi một tập các số nguyên sắp thứ tự,chúng ta gọi sự biểu diễn đó là hệ thống UL và ngôn ngữ nó sinh ra làngôn ngữ UL