Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán hình học phẳng

Mục tiêu đề tài

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tọa độ trong giải quyết các bài toán hình học phẳng giúp phân biệt hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn Qua đó, người học có thể nhận diện bài toán affine và bài toán Euclide, từ đó rút ra những ưu điểm riêng biệt của mỗi hệ tọa độ, góp phần nâng cao hiệu quả trong việc giải quyết các vấn đề hình học.

3 Tính mới và sáng tạo:

Mặc dù không phải là một chủ đề mới mẻ đối với nhiều người, nhưng đây là một lĩnh vực quan trọng cần được nghiên cứu sâu sắc và đưa vào chương trình giảng dạy.

Đề tài này mang lại sự hấp dẫn và nhiều điều mới mẻ, giúp chúng tôi tích lũy kiến thức và kinh nghiệm trong việc giải quyết các bài toán hình học cổ điển Chúng tôi cũng học được cách áp dụng hệ tọa độ để xử lý những bài toán phức tạp một cách hiệu quả.

Bài viết này trình bày nhiều hướng chứng minh cho một bài toán hình học cổ điển, từ những công đoạn chứng minh phức tạp được đơn giản hóa để dễ hiểu và dễ áp dụng Điều này giúp người đọc nhận thấy hiệu quả và tầm quan trọng của việc sử dụng phương pháp tọa độ trong giải quyết các bài toán hình học.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân loại các dạng toán thường gặp liên quan đến hai hệ tọa độ: affine và trực chuẩn Đầu tiên, hệ tọa độ affine thường được sử dụng để biểu diễn các phép biến đổi hình học, trong khi hệ tọa độ trực chuẩn giúp dễ dàng xác định vị trí và khoảng cách giữa các điểm Chúng ta sẽ cung cấp các ví dụ cụ thể cho từng loại hệ tọa độ và đưa ra những nhận xét quan trọng nhằm giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách áp dụng chúng trong thực tiễn.

- Đưa ra được các dấu hiệu nhận biết khi nào thì dùng hệ tọa độ affine khi nào thì sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn

- Đồng thời lồng vào đó là các nhận xét về ưu điểm và nhược điểm khi sử dụng 2 hệ tọa độ này trong một số trương hợp đặc biệt.

UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN

Họ và tên: Trần Thị Như Quỳnh

Nơi sinh: Nam Đàn – Nghệ An

Khoa: Khoa Học Tự Nhiên Địa chỉ liên hệ: Số nhà 8/8, Tân Lập, Đông Hòa, Dĩ An, Bình Dương Điện thoại: 0967521271

II QUÁ TRÌNH HỌC TẬP

Ngành học: Sư Phạm Toán Khoa: Khoa Học Tự Nhiên

Kết quả xếp loại học tập: Giỏi

Ngành học: Sư Phạm Toán Khoa:Khoa Học Tự Nhiên

Kết quả xếp loại học tập: Giỏi

Ngày 25 tháng 3 năm 2016 Xác nhận của lãnh đạo khoa Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài

(ký, họ và tên) (ký, họ và tên)

Trần Thị Như Quỳnh Ảnh 4×6

5 Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội , giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và khả năng áp dụng của đề tài:

Đề tài này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên và giáo viên ngành sư phạm Toán, giúp họ hiểu rõ hơn về ứng dụng của phương pháp tọa độ trong giải toán hình học phẳng Nó cung cấp kiến thức cần thiết để áp dụng phương pháp này vào giải toán hình phẳng, đồng thời hỗ trợ trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi trong tương lai.

Đây sẽ là tài liệu hữu ích cho những ai mong muốn mở rộng kiến thức về hình học giải tích trên hệ tọa độ affine trong quá trình học tập hiện tại.

Ngày 25 tháng 3 năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài

Đề tài nghiên cứu của sinh viên ngành Toán cao đẳng sư phạm được đánh giá là thú vị và phù hợp Nó tập trung vào việc giải các bài toán hình học thuần túy bằng phương pháp tọa độ, cho thấy rằng việc chọn hệ tọa độ thích hợp có thể mang lại lời giải chặt chẽ và ngắn gọn hơn Bằng cách chuyển đổi bài toán hình học thành bài toán đại số, sinh viên có thể áp dụng kiến thức đại số để tìm ra giải pháp hiệu quả Các bài toán trong đề tài được lựa chọn kỹ lưỡng nhằm tối ưu hóa cách giải bằng phương pháp tọa độ.

Xác nhận của lãnh đạo khoa Người hướng dẫn

(ký, họ và tên) (ký, họ và tên)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Thủ Dầu Một, ngày 25 tháng 3 năm 2016

Kính gửi: Ban tổ chức cuộc Giai thưởng “ Tài năng khoa học trẻ Đại học

Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3

Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN

Ngành học: Sư phạm Toán học

Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3

Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN

Ngành học: Sư phạm Toán học

Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3

Lớp, khoa: Lớp C14TO03, Khoa: KHTN

Ngành học: Sư phạm Toán học

Thông tin cá nhân của sinh viên chịu trách nhiệm chính: Địa chỉ liên hệ: Số nhà 8/8, khu phố Tân Lập, phường Đông Hòa, Dĩ An, Bình Dương.

Số điện thoại (cố định, di động): 0967521271 Địa chỉ email: quynhtran10795@gmail.com

Chúng tôi kính đề nghị Ban tổ chức xem xét cho phép chúng tôi gửi đề tài nghiên cứu khoa học nhằm tham gia xét giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học.”

Tên đề tài: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Chúng tôi xin xác nhận rằng đề tài này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Ths Trần Thanh Phong, chưa từng nhận giải thưởng nào khác tại thời điểm nộp hồ sơ và không phải là luận văn hay đồ án tốt nghiệp.

Nếu sai tôi(chúng tôi) chịu trách nhiệm trước khoa và Nhà trường.

Xác nhận của lãnh đạo khoa Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài

(ký, họ và tên) (ký, họ và tên)

1 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu: 3

4 Sản phẩm và khả năng ứng dụng: 3

1 Hệ tọa độ affine trong mặt phẳng 4

1.1 Mục tiêu affine trong mặt phẳng 4

2.1 Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ affine trong mặt phẳng: 5

2.2 Ứng dụng hệ tọa affine để giải một số bài toán 6

2.2.1 Dạng 1: Bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng 6

2.2.2 Dạng 2: Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định 15

2.2.3 Dạng 3: Bài toán tìm quỹ tích 18

1 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng 20

1.1 Hệ tọa độ trực chuẩn 20

1.2 Tính chất của hệ tọa độ trực chuẩn 20

4 Phương trình của ba đường conic 22

5 Ứng dụng hệ tọa trực chuẩn để giải một số bài toán 23

5.1 Dạng 1: Bài toán liên quan đến khoảng cách, chứng minh vuông góc 23

5.1.1 Các bài toán liên quan đến tam giác 23

5.1.2 Bài toán liên quan đến các tứ giác đặc biệt 27

5.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến 3 điểm thẳng hàng 31

5.3 Dạng 3: Bài toán liên quan đến điểm cố định 34

5.4 Dạng 4: Bài toán tìm quỹ tích 38

5.4.1 Quỹ tích là đường thẳng 38

5.4.2 Quỹ tích là đường tròn 39

5.4.3 Quỹ tích là một đường conic 41

6 Dấu hiệu nhận biết để sử dụng hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn 46

6.1 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ affine 46

6.2 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn 46

1 Tính cấp thiết của đề tài

Vào thế kỉ III trước CN, thời Ơclit, các khái niệm và phương pháp chứng minh trong hình học đã được hình thành và vẫn được giảng dạy cho đến nay Phương pháp suy luận logic kết hợp với thực nghiệm đo đạc thực tế cần sử dụng trực giác để công nhận những điều hiển nhiên như tổng ba góc của tam giác là 180˚ và mọi góc vuông đều bằng nhau Để đảm bảo tính chính xác, cần có chứng minh cho mọi phép phân chia và cách vẽ tổng các góc Hiện nay, những lý luận dài dòng đã được đơn giản hóa, và các khái niệm cùng phương pháp chứng minh trở nên rõ ràng và dễ hiểu hơn thông qua môn Hình học giải tích.

Hình học giải tích là môn học cơ bản trong chương trình PTTH và bậc CĐ, ĐH, đặc biệt trong đào tạo sư phạm, sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán hình học Việc áp dụng tọa độ giúp học sinh, sinh viên tránh sai lầm do trực giác và những lý luận phức tạp Tuy nhiên, tài liệu nghiên cứu về hình học phẳng với tọa độ trực chuẩn còn hạn chế, trong khi hệ tọa độ affine có nhiều ưu điểm và phép toán đơn giản hơn Đối với các bài toán hình học phẳng khó, việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp giúp biến đổi bài toán thành đại số dễ giải quyết Nghiên cứu này sẽ trình bày cách xây dựng hệ trục tọa độ và phương pháp chọn trục hợp lý cho một số dạng toán cụ thể, nhằm cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên, đồng thời mở ra hướng tư duy mới trong giải toán hình học phẳng.

Trong những năm gần đây, các kỳ thi quốc gia như thi học sinh giỏi và thi đại học đã xuất hiện nhiều bài toán khó trong hình học phẳng, yêu cầu áp dụng phương pháp tọa độ để giải quyết Do đó, nhu cầu tài liệu tham khảo về vấn đề này trở nên cần thiết cho học sinh, sinh viên, giáo viên và giảng viên Nghiên cứu về "Ứng dụng của phương pháp tọa độ" là một bước quan trọng nhằm hỗ trợ việc dạy và học trong lĩnh vực này.

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ” là một đề tài rất quan trọng, mang tính cấp thiết và có ý nghĩa ứng dụng lâu dài

Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tọa độ trong giải quyết các bài toán hình học phẳng giúp phân biệt hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn Qua đó, người học có thể nhận biết bài toán affine và bài toán Euclide, từ đó rút ra những ưu điểm của từng hệ tọa độ Việc áp dụng đúng phương pháp tọa độ không chỉ nâng cao khả năng giải quyết vấn đề mà còn tối ưu hóa quá trình học tập trong hình học.

Sản phẩm và khả năng ứng dụng

Nghiên cứu đề tài này giúp sinh viên sư phạm Toán hiểu sâu hơn về ứng dụng của phương pháp tọa độ trong giải toán hình học phẳng Qua đó, sinh viên có thêm kiến thức để áp dụng phương pháp này trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng thời, chúng em cũng mở rộng hiểu biết về hình học giải tích trên hệ tọa độ affine trong quá trình học tập hiện tại.

Hệ tọa độ affine trong mặt phẳng

1.1 Mục tiêu affine trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến i  và  j

Bộ ba (O; i; j) được định nghĩa là một mục tiêu affine, hay còn gọi là hệ tọa độ affine Trong đó, cặp vectơ (i; j) được xem là cơ sở vectơ của hệ tọa độ này.

Ta kí hiệu mục tiêu đó là Oxy, với Ox, Oy là các đường thẳng đi qua O và có vectơ chỉ phương lần lượt là i  và  j

(h.2) Điểm O gọi là gốc tọa độ, các đường thẳng Ox và Oy gọi là các trục tọa độ, Ox là trục hoành và Oy là trục tung

Xét mặt phẳng với mục tiêu affine (O;i;j)

Một vectơ u  bất kỳ của mặt phẳng đƣợc phân tích theo hai vectơ cơ sở i  và  j

, tức là ta có duy nhất cặp số ( x; y ) sao cho : u xi yj

Khi đó cặp số (x; y) đƣợc gọi là tọa độ của vectơ u  đối với mục tiêu đã cho và viết: u 

- Hai véc tơ bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng bằng nhau

- Nếu u ( ; )x y ,v ( '; ')x y và k  thì uv(xx';yy') và ku(kx ky; )

- Nếu u(x;y) và v (x';y') là các vectơ khác 0 cộng tuyến với các tọa độ của chúng tỉ lệ : : 'x x  y y: ' , hay một cách tương đương 0

Trên mặt phẳng hệ tọa độ affine Oxy, tọa độ của vectơ OM tại mọi điểm M bất kỳ được gọi là tọa độ của điểm M đối với mục tiêu đã cho.

Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm

Nếu M = (x; y) và N =( '; ')x y thì MNONOM ( 'xx y; 'y)

Đường thẳng

2.1 Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ affine trong mặt phẳng:

Giả sử mặt phẳng cho hệ tọa độ afine  O e e; ,1 2 và cho đường thẳng d đi qua điểmM x y 0( ,0 0) có vectơ chỉ phương u( , )a b

Phương trình tham số của đưởng thẳng d: M M 0 tu

Phương trình tổng quát của đường thẳng d :

- Bằng cách khử tham số t giữa hai phương trình của (1) ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng : Ax + By + C = 0 với A 2 B 2 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng theo đoạn chắn được xác định khi đường thẳng m đi qua điểm A(a; 0) trên trục Ox và điểm B(0; b) trên trục Oy Phương trình này có dạng: x/b + y/a = 1.

Để viết phương trình tham số hoặc tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Do đó: M(x; y)∈ (AB) AM k AB, ta có phương trình tham số của đường thẳng AB:

Từ đó ta dễ dàng lập được phương trình tổng quát của đường thẳng AB dưới dạng:

2.2 Ứng dụng hệ tọa affine để giải một số bài toán

Chủ yếu là có 3 dạng toán cơ bản:

2.2.1 Dạng 1: Bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng Đối với bài toán về chứng các điểm thẳng hàng ta có thể đi theo hai hướng chứng minh đó là: chứng minh hai vectơ tạo bởi ba điểm đó cộng tuyến với nhau( hay còn gọi là cùng phương với nhau ) Cách 2, là viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, sau đó chứng minh cho tọa độ điểm thứ 3 thỏa mãn phương trình đường thẳng đó

Bài 1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm đối xứng của A qua B Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = 2

5 AC Chứng minh rằng ba điểm I, G, K thẳng hàng

Chọn hệ tọa độ affine  A AB AC ; , ta có tọa độ các điểm: I

Cách 1: Ta lập phương trình đường thẳng IK: B

A K C Thay tọa độ điểm G vào phương trình (IK) ta có:

Suy ra hai véctơ KG KI , cùng phương

 Cách làm theo chứng minh suy luận

Lấy D là trung điểm của AK

BD là đường trung bình của AIK

Trên AC lấy N sao cho: 3

Do G là trọng tâm của ABC nên 2

AM  AN theo định lý Ta-let đảo ta có: MN // GK (2)

NCDN 5AC suy ra MN là đường trung bình của BCD

Từ (1), (2), (3) suy ra GK // MN và KI // MN

Theo tiên đề Ơ-clit suy ra 3 điểm I, G, K thẳng hàng

Việc sử dụng hệ tọa độ affine trong giải bài toán đã cho thấy rõ sự tiện lợi và đơn giản hóa quá trình giải quyết, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và thực hiện Trong khi đó, phương pháp suy luận truyền thống yêu cầu vẽ hình và nhận diện các điểm cần chứng minh, điều này không phải là dễ dàng và thường chỉ những học sinh xuất sắc mới có thể thực hiện thành công.

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi các hệ thức

AI aAB bAC AK cAD Tìm hệ thức liên hệ giữa các số a, b, c để cho ba điểm I, J, K thẳng hàng

Chọn hệ tọa độ afin { A; AD, AB }, ta có:

Phương trình đường thẳng IK: x y 1 c  a 

Ba điểm I, J, K thẳng hàng ⇔ điểm J thuộc đường thẳng IK

Do đó: b b 1 c  a  ⇔ 1 1 1 c  a  b là hệ thức cần tìm

Đối với các bài toán này, chúng ta chỉ có thể giải bằng phương pháp vectơ hoặc tọa độ, trong khi phương pháp chứng minh suy luận không khả thi Mặc dù phương pháp vectơ hữu ích, nhưng việc biến đổi biểu thức vectơ đòi hỏi tư duy nhanh nhạy Điều này làm nổi bật hiệu quả của phương pháp tọa độ, vì chỉ cần chọn hệ tọa độ phù hợp, chúng ta có thể áp dụng kiến thức giải tích cơ bản để giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh DC chọn điểm E sao cho

n và trên cạnh DB chọn điểm F sao cho 1

 với n > 0 Chứng minh rằng ba điểm A, F, E thẳng hàng

Giải: Chọn hệ tọa độ affine  A AB AD ; , , ta có: A(0, 0), B(1, 0), D (0, 1), C (1, 1)

AF và AE là hai vectơ cùng phương (hay cộng tuyến ) vì ta có

Vậy ba điểm A, F, E thẳng hàng

Nhận xét: Bài tập này cũng hoàn toàn tương tự bài tập 2 cho thấy việc chọn hệ tọa độ hoàn thoàn đơn giản bài toán rất nhiều

Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi I và K lần lƣợt là trung điểm của AD và BC Chứng minh rằng các trung điểm các đường chéo của hai tứ giác ABKI và CDIK là bốn đỉnh của một hình bình hành hoặc bốn điểm thẳng hàng

Chọn hệ tọa độ afin  A AB AD ; , 

Vì I là trung điểm của AD nên I(0, 1

Vì K là trung điểm của BC nên K 1 ,

Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đường chéo AK, BI, CI, DK Ta tìm đƣợc tọa độ của các điểm đó nhƣ sau:

Vậy bốn đỉnh M, N, Q, P thẳng hàng hoặc tạo nên môt hình bình hành

Việc xét 3 điểm thẳng hàng đã khó, nay xét 4 điểm thẳng hàng lại càng tốn thời gian và khó khăn hơn khi áp dụng phương pháp chứng minh suy luận Bài toán này còn có hai trường hợp xảy ra, đặt ra câu hỏi liệu chỉ với phương pháp suy luận có thể giải quyết đủ tất cả các trường hợp hay không, khi mà chứng minh suy luận phụ thuộc vào hình vẽ, trực giác và suy luận Điều này thực sự là một thách thức không chỉ đối với học sinh mà còn cả giáo viên.

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD ta lấy điểm P Gọi I là điểm đối xứng của C qua P Đường thẳng song song BC và đi qua I cắt đường thẳng AB tại

E Đường thẳng song song với AB và đi qua I cắt AD tại F Chứng minh 3 điểm P, E, F thẳng hàng

Chọn hệ tọa độ affine  B BC BA ; , ta có: B(0, 0), C(1, 0), A(0, 1), D(1, 1)

Phương trình đường thẳng BD: y = x E I Điểm P ∈ BD nên giả sử P (p, p)

Vì P là trung điểm của CI nên : B F P D

 nên EF và EPcùng phương hay 3 điểm P, E, F thẳng hàng

Bài 6 Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AB, CD cắt nhau tại E , các cạnh đối diện AD, BC cắt nhau tại F Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm của các đoạn AC, BD,

EF Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Giải: Chọn hệ toạ độ afin  A AB AD ; , 

     Phương trình đường thẳng DE :

Phương trình đường thẳng EF:

Ta có C = DE  BF Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta có :

MN ef ef ef ef

Bài 7 Cho tam giác ABC Gọi O là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác đó, O 1 là giao điểm của AO với phân giác ngoài của góc B Giả sử các điểm H và

K là hình chiếu của O 1 và O lên BC Điểm I là đối xứng của K qua tâm O Chứng minh

Chọn hệ tọa độ afin  B BC BA ; , 

Phương trình đường thẳng AC: x + y = 1

Phương trình đường thẳng BC: y = 0

Phương trình đường thẳng AB: x = 0 Áp dụng công thức đường phân giác, ta tìm được đường phân giác của góc ABC:

Thế điểm B, C vào (1) ta đƣợc:

Từ phương trình (1) suy ra phương trình đường phân giác trong của góc BAC :

K thuộc BC, K có tọa độ (x, 0)

Ta có OK  BC nên 1 1

Ta có O là trung điểm của IK nên I ( 1

H thuộc BC, H có tọa độ (x, 0)

Bài 8 Giả sử tứ giác ABCD có AD = BC, AC và BD cắt nhau tại O Phân giác các góc DAB và CBA cắt nhau tại I Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn AB, CD và

OI cùng thuộc 1 đường thẳng.

Chọn hệ tọa độ affine  A AB AD ; , 

Khi đó tia phân giác AI có phương trình là: y = x

Phương trình đường thẳng (AB) là: y = 0

Do M, Q lần lƣợt là trung điểm của cạnh BC và AD nên tọa độ điểm M 1

Phương trình đường thẳng MQ là: 2(b+1)x + 2(1-a)y - b - 1 = 0

Phương trình đường thẳng BD : x + y – 1= 0

Vì BC = AD nên ta có :

Phương trình đường phần giác của góc ABC là:

BC AD bx a y b y bx a y b bx ay b

Thay tọa độ điểm A, C vào vế trái (1) sau đó nhân với nhau ta đƣợc:

0 b    b b nên phương trình đường thẳng BI là: - bx + (a - 2)y + b = 0

Phương trình đường thẳng AC là: bx – ay = 0

Ta lại có: O ACBD ; I  AIPI.

Nên tọa độ điểm O là nghiệm của hệ phương trình:

Và tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

Do P là trung điểm của đoạn thẳng OI nên tọa độ điểm P là:

Thay tọa độ điểm P vào phương trình đường thẳng MQ ta có:

Bài toán 3 điểm thẳng hàng là một thách thức phổ biến trong hình học, thường khó giải quyết, đặc biệt là trong việc chứng minh suy luận Có hai hướng chính để giải bài toán này: ba điểm tạo thành góc bẹt hoặc hai đường thẳng song song với một điểm thứ ba, đòi hỏi sự nhạy bén và tinh tế trong phát hiện vấn đề Khi dữ kiện bài toán hạn chế, khó khăn càng tăng, đặc biệt khi liên quan đến các tỉ lệ với tham số là chữ cái Tuy nhiên, phương pháp tọa độ giúp đơn giản hóa quá trình giải bằng cách chọn hệ trục tọa độ hợp lý, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm và chứng minh điểm thứ ba thỏa mãn phương trình hoặc chứng minh hai vecto tạo bởi ba điểm cộng tuyến, áp dụng kiến thức giải tích thông thường mà ai cũng có thể thực hiện.

2.2.2 Dạng 2: Bài toán chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định

Bài 9 Cho tam giác ABC, từ một điểm P thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với CA, CB lần lượt cắt CB, CA tại Q và R Đường thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt đường thẳng d’ nối R với trung điểm

J của CB tại S Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn luôn đi qua một điểm cố định

Chọn hệ tọa độ afin {C; CA CB , } Ta có:

Phương trình đường thẳng QI:

Phương trình đường thẳng RI:

Phương trình chùm đường thẳng tâm S xác định bởi hai đường thẳng QI và RI có dạng: (2 y 1) (x 2 1) 0 m x n y b a

Đường thẳng PS thuộc chùm và đi qua điểm P(a, b), vì vậy tọa độ (a, b) thỏa mãn phương trình đường thẳng PS Theo đó, ta có phương trình ma + mb = 0 với m và n không đồng thời bằng 0.

Chọn m = - b ⇒ n = a ta được phương trình đường thẳng PS là: x – y + a(2y – 1) – b(2x – 1) = 0

Muốn cho đường thẳng này không phụ thuộc vào tọa độ (a, b) của P ta cần có:

Vậy điểm cố định cần tìm là trung điểm M của đoạn AB có tọa độ x = y =1

Bài 10 Cho tam giác ABC, cho hai điểm M, N lần lƣợt lấy trên các cạnh AB và AC sao cho MB = h MA và NCk NA với h + k = -1 Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định

Chọn hệ tọa độ afin  A AB AD ; , 

Theo giả thiết ta có:

Vậy điểm M có tọa độ là 1 , 0

NC NC AN NC k k k AN AC

Vậy điểm N có tọa độ là 0, 1

Phương trình đường thẳng MN là: 1

Do h + k = -1 => h= -1 – k.Thay vào phương trình của MN ta có : x – hx + y – (-1 – k)y – 1=0

Muốn cho MN đi qua một điểm cố định ,ta cần buộc điều kiện sao cho phương trình

(1) không bị lệ thuộc vào tham số h.Ta có:

Nhƣ vậy điểm cố định mà MN luôn luôn đi qua là điểm có tọa độ 1 1 ,

Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC

Bài 11 Cho tam giác ABC Gọi E và F là hai điểm xác định bởi AE 1 AB ,

 với k ≠ 0 và k ≠ -1 Chứng minh rằng khi k thay đổi đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định

Chọn hệ tọa độ afin  A AB AC ; ,  Ta có:

    Đường thẳng EF có phương trình là:

Phương trình (1) là phương trình của một chùm đường thẳng xác định bởi hai đường thẳng lần lượt có phương trình là:

Vậy đường thẳng EF luôn luôn đi qua điểm cố định D(1,-1) là tâm của chùm đường thẳng xác định bởi phương trình một nói trên

Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng

1.1 Hệ tọa độ trực chuẩn Định nghĩa:

Hệ tọa độ afin  O i j ; ;  có cơ sở vec tơ   i j , gồm hai vec tơ đơn vị vuông góc với nhau đƣợc gọi là hệ tọa độ trực chuẩn

Hệ tọa độ trực chuẩn còn gọi là hệ tọa độ Đề các vuông

1.2 Tính chất của hệ tọa độ trực chuẩn

Hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn chia sẻ nhiều tính chất tương đồng, nhưng hệ tọa độ trực chuẩn cũng sở hữu những đặc điểm riêng mà không áp dụng cho hệ tọa độ affine Đặc biệt, biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực chuẩn mang lại những đặc thù quan trọng.

Cho trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, hai vec tơ u    x y ; và v   x y '; ' 

Vì i 2  j 2 1 và i 2 j 2 0nên u v xx  '  yy '

Suy ra: a) Nếu u    x y ; thì u 2   x 2 y 2 b) Nếu M    x y ; và N   x y '; '  thì: MN   x  x '   2  y  y '  2 c) Nếu u    x y ; và u '   x y '; '  là hai véc tơ khác 0 thì góc  tạo bởi hai véc tơ đƣợc tính bởi công thức:

2 Đường thẳng Đối với hệ tọa độ Đề-các vuông góc phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng được thành lập tương tự như đối với hệ tọa độ affine Tuy nhiên, khi xét phương trình tổng quát trong trường hợp này cần lưu ý tới các tính chất sau đây: a) Đường thẳng ax by c    0 nhận n    a b ; làm véc tơ pháp tuyến và nhận

Đường thẳng có phương trình y = kx + b là dạng tổng quát, trong đó k là hệ số góc và b là tung độ góc Cần lưu ý rằng dạng này không bao gồm các đường thẳng có phương trình x = m, tức là các đường thẳng song song với trục Oy Để hiểu rõ hơn, chúng ta cần xem xét dạng tổng quát của phương trình đường thẳng.

Để không bỏ sót trường hợp, cần xem xét phương trình tổng quát của đường thẳng với dạng y = kx + b, trong đó hệ số b khác 0 Đồng thời, cũng cần phân tích trường hợp b = 0 để đảm bảo đầy đủ các trường hợp của đường thẳng.

Đường tròn

a) Định nghĩa: M thuộc đường tròn   C  IM  R không đổi với I a b   , cố định b) Phương trình:

 Đường tròn   C tâm I a b   , bán kính R có phương trình tổng quát là:

 Nếu tâm I trùng với góc tọa độ O   0, 0 ta có phương trình chính tắc của đường tròn tâm O bán kính R là: x 2  y 2  R 2

 Phương trình tham số của đường tròn tâm I a b   , bán kính R là: cost sint x a R y b R

 c) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0  x y 0, 0  thuộc đường tròn   C :

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn có dạng \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) tại điểm \(M_0(x_0, y_0)\) thuộc đường tròn được xác định bởi công thức: \(x x_0 + y y_0 - (0 + -x)(b y_0 + y) = c\) Để đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(Ax + By + C = 0\) tiếp xúc với đường tròn có tâm \(I(a, b)\) và phương trình \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), cần thỏa mãn điều kiện \(d(I, \Delta) = R\).

Phương trình của ba đường conic

- Định nghĩa: Cho F F 1 , 2 cố định và cho độ dài 2aF F 1 2

  E   M F M 1  F M 2  2 a  Trong đó: F F 1 , 2 là các tiêu điểm, F F 1 2 2clà các tiêu cự

- Phương trình chính tắc: x 2 2 y 2 2 1, 2 2 2 b a c a b    4.2 Hypebol

- Định nghĩa: Cho F F 1 , 2 cố định và cho độ dài 2aF F 1 2

Trong đó: F F 1 , 2 là các tiêu điểm, F F 1 2 2clà các tiêu cự

- Định nghĩa: Cho F cố định và đườngthẳng ∆ không đi qua F:

Trong đó: F là các tiêu điểm, ∆ là đường chuẩn, p =d (F, ∆) là tham số tiêu

Ứng dụng hệ tọa trực chuẩn để giải một số bài toán

5.1 Dạng 1: Bài toán liên quan đến khoảng cách, chứng minh vuông góc

5.1.1 Các bài toán liên quan đến tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi Au là tia phân giác của góc A Qua trung điểm M của cạnh huyền BC ta dựng đường thẳng vuông góc với tia Au cắt các đường thẳng AB và AC lần lƣợt tại E và F Chứng minh rằng BE CF

Chọn hệ trục vuông góc Oxy sao cho trục Ox trùng với tia AB, trục Oy trùng với tia

AC Ta có A(0, 0), B(b, 0), C(0, c) Đường thẳng Au có phương trình: x y 0

M là trung điểm của đoạn BC nên có tọa độ:

  Đường thẳng EF đi qua M và vuông góc với Au nên có vectơ pháp tuyến n    1 1 ,

Do đó EF có phương trình:

Ta tìm được các giao điểm E, F của đường thẳng EF với các trục tọa độ Ox, Oy là :

Từ   1 và   2 suy ra BE  CF

Chứng minh bằng suy luận:

Kẻ BD song song với CA

Xét ∆ CFM và ∆ BDM có:

MC =MB ( Vì M là trung điểm của CB)

B C ( vì BD // CA nên 2 góc so le trong)

 BD = CF ( cặp cạnh tương ứng) (1)

∆AEF có AK vừa là phân giác, vừa là đường cao hạ từ đỉnh A

Mặt khác: D 1 F 1 45( vì BD // CA nên 2 góc đồng vị)

E 1 D 1 45∆DEC vuông cân tại C  CD = CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra : BF = CE

Việc đưa bài toán vào hệ tọa độ trực chuẩn và viết phương trình đường thẳng giúp tìm tọa độ các điểm một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn so với việc vẽ hình Điều này cho thấy sự cần thiết của việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp, đặc biệt là đối với những học sinh thường gặp khó khăn trong việc hình dung và giải quyết bài toán.

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông cân tại C Trên các cạnh BC, AC, AB lần lƣợt lấy các điểm M, N, P sao cho MB NC PA

MC  NA  PB Chứng minh rằng CP vuông góc và bằng

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với điểm O trùng với điểm C, tia Ox trùng với tia CA và tia Oy trùng với tia CB Các tọa độ của các điểm được xác định như sau: C(0, 0), A(1, 0) và B(0, 1).

Từ giả thiết ta đặt:

Từ đó suy ra: MN = CP

Vậy MN vuông góc và bằng CP

Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ACM Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng GI vuông góc với CM

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là trung điểm của BC, B Ox, C  Ox, A Oy

Không mất tính tổng quát giả sử:

Do M là trung điểm AB và G là trọng tâm ∆ ACM nên:

Mặt khác I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC suy ra I AO và

Gọi tọa độ điểm I là I   0 , y

Bài 4 Cho hai hình vuông ABCD và BKMN có chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên

DB kéo dài Chứng minh rằng trung tuyến BE của tam giác ABK nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của tam giác BNC

Chọn hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc  B BC BA ; , 

Vậy BE  NC hay BE nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của tam giác BNC

Đối với các bài toán liên quan đến khoảng cách và chứng minh vuông góc, việc chuyển đổi về tọa độ và áp dụng công thức tính sẽ mang lại hiệu quả nhanh chóng và thuận lợi hơn Thay vì xét tổng các góc phụ hay các yếu tố liên quan đến tam giác vuông, định lý Pytago, và tính chất của các tam giác bằng nhau hay đồng dạng, việc sử dụng tọa độ giúp đơn giản hóa quá trình giải Đặc biệt, khi dữ kiện đề bài ít ỏi, việc vẽ hình trở nên cần thiết, nhưng cũng làm cho quá trình chứng minh trở nên khó khăn hơn.

5.1.2 Bài toán liên quan đến các tứ giác đặc biệt

Bài 5 Cho hình vuông ABCD Trên BD lấy điểm M không trùng với B, D Gọi E,F lần lƣợt là hình chiếu cảu M trên AB, AD Chứng minh rằng: a) CM EF b) Ba đường thẳng CM, BF, DE đồng quy

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: AO B, Ox D, Oy Không mất tính tổng quát, giả sử AB a Suy ra B a ,       0 ,C a,a , D 0 , a

Phương trình tham số của đường thẳng   BD : x a at y at

 a, Vì M BD   M a   az,az ,E a    az, 0   ,F 0 ,az 

CM az ,az a ,EF az a,az

CM EF az az a az a az

Vậy CM EF b, Đường thẳng CM đi qua C và nhận CM làm véc tơ chỉ phương có phương trình là:

 (1) Đường thẳng BF có phương trình là x y 1 a  az  hay zx y az  0 (2)

Suy ra tọa độ giao điểm của BF và CM là   2 2

Mặt khác đường thẳng DE có phương trình là x y 1 a az a

Thay tọa độ K vào phương trình (*) ta có:

2 1 0 a z az z a z z z z z az az a az az a z z z z z

Vậy tọa độ điểm K là nghiệm của phương trình đường thẳng DE do đó ba đường thẳng CM, BF, DE đồng quy

Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK vuông góc với AC Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AK và CD a, Chứng minh BMN90 0 b,Tìm điều kiện của hình chữ nhật để ∆ BMN vuông cân

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho CO ,DOx,BOy Giả sử AB a, BCb Suy ra A a ,b ,B         0 ,b ,C 0 0 , ,D a, 0 Đường thẳng AC có phương trình là: x y a  b hay bx ay 0 (1)

Nên có phương trình là: x bt y b at

Thế (2) vào (1) ta có b t 2 a b at   0 t 2 ab 2 a b

M là trung điểm AK nên M có tọa độ:

N là trung điểm CD nên N có tọa độ: 0

BMN  b) Theo câu a) ta có BMN90 0 nên tam giác BMN vuông cân khi và chỉ khi

  Hay ABCD là hình vuông

Bài 7 Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB  2 a , đáy lớn BC3a, đáy nhỏ AD a Chứng minh rằng AI BD

GIẢI: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho:

I là trung điểm của DC nên I  2 a,a 

Ngoài các bài toán về khoảng cách và vuông góc liên quan đến tam giác, còn có những bài toán liên quan đến các tứ giác đặc biệt và tính chất của chúng Để giải quyết những bài toán này, người học cần có sự hiểu biết về các tính chất của tứ giác, tuy nhiên không phải ai cũng nhớ hết Do đó, phương pháp tọa độ trở thành lựa chọn tối ưu trong những trường hợp này.

5.2 Dạng 2: Bài toán liên quan đến 3 điểm thẳng hàng

Bài 8 Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB và CH Một đường thẳng d di dộng luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh

Trong hình vẽ, AC cắt cạnh BC tại điểm N, từ đó dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P và Q nằm trên cạnh AB Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ Cần chứng minh rằng ba điểm I, K và J nằm thẳng hàng.

Chọn hệ trục Đề-các vuông góc Oxy sao cho O trùng với H, các điểm A, B nằm trên trục Ox, điểm C nằm trên trục Oy

Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ là: I 0

K là trung điểm của CH nên K có tọa độ là 0

  Đường thẳng d có phương trình ym với 0  m  c Đường thẳng AC có phương trình: x y 1 0 cx ay ac a  c      Đường thẳng BC có phương trình: x y 1 0 cx by bc b  c     

Vì M là giao điểm của AC và d nên tọa độ của M thõa mãn hệ phương trình:

Vì N là giao điểm của BC và d nên tọa độ của M thõa mãn hệ phương trình:

  Điểm P là hình chiếu vuông góc của N trên trục Ox

Do đó P có tọa dộ là:   b c m 0

J là trung điểm của đoan PM nên J có tọa độ là:   

 m nên ba điểm I, K, J thẳng hàng

Bài 9 Cho đường tròn (C) đường kính AB C là một điểm thay đổi trên đường tròn

Trong tam giác ABC không cân tại C, H được xác định là chân đường cao từ C Các điểm E và F là hình chiếu của H lên các cạnh AC và BC Đường thẳng EF sẽ cắt nhau trong tam giác này.

AB tại K Gọi D là giao điểm (C) và đường tròn   C' đường kính CH  D  C  Chứng minh K, D, C thẳng hàng

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho H  A A Ox B,  , Ox C, Oy

Không làm tính mất tính tổng quát giả sử I a ,   0 , t a t ,a     0 ; C   0 ,b

Vì tam giác ACB vuông tại C có đường cao AH nên:

Vì C, D là hai giao điểm của hai đường thẳng (C) và   C' nên tọa độ của nó là nghiệm của phương trình:

Do đó CD : ax by t2     2 a 2 0

Phương trình đường thẳng AC là: x y 1

  hay bx    a t y   ab   tb 0 Đường thẳng HE nhận AC t   a ,b  làm VTPT nên có phương trình là:

Tọa độ của E là nghiệm của hệ tọa bởi phương trình đường thẳng AC và EH

Tương tự ta có:   AC : x y 1 t a b 

Suy ra tọa độ điểm H là:  

  Thay tọa độ K vào phương trình đường thẳng DC ta được:

Vậy điểm K thuộc đường thẳng DC hay ba điểm K, D, C thẳng hàng

Nhận xét cho thấy rằng trong các bài toán thẳng hàng, việc gắn hệ trục tọa độ để viết phương trình là rất quan trọng Nếu không, việc chứng minh các điểm thuộc đường thẳng chỉ dựa vào hình vẽ sẽ gặp khó khăn, đặc biệt là đối với giáo viên khi phải nhìn vào những hình ảnh phức tạp với nhiều đường thẳng và đường tròn Học sinh càng khó khăn hơn trong việc sử dụng trực giác để chứng minh rằng các đường thẳng song song hay các góc bù nhau.

5.3 Dạng 3: Bài toán liên quan đến điểm cố định

Bài 10: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O,R) và một điểm A cố định I là điểm di động trên (O) Đường tròn tâm I luôn đi qua A Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Chọn hệ trục (Oxy) nhƣ hình vẽ (OA là trục Oy) Ta có: A(0, b) , (O) : x 2 y 2 R 2 Gọi I (m ; n)  (O)  m 2 n 2 R 2 và IA 2 m 2  (b n) 2

Hay x 2 y 2 2mx2ny2nb b 2 0 Suy ra phương trình của trục đẳng phương của (O) và (I) là (d) : 2mx + 2ny – 2nb + b 2  R 2  0

Bài 11 (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008)

Cho tam giác ABC với trung tuyến AD, và đường thẳng (d) vuông góc với AD Xét điểm M trên (d) và gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB và MC Đường thẳng đi qua E và vuông góc với (d) cắt AB tại P, trong khi đường thẳng đi qua F và vuông góc với (d) cắt AC tại Q Cần chứng minh rằng đường thẳng đi qua P và Q có một tính chất đặc biệt nào đó.

M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di động trên (d)

Chọn hệ trục nhƣ hình vẽ OD Oy, DA

Khi đó Ox song song (d): A(0; a), B(b; c) , C(-b; -c)

Khi đó phương trình đường thẳng

Từ đó suy ra: Pd 1 AB, Qd 2 AC

Suy ra đường thẳng đi qua M và vuông góc PQ có phương trình

Suy ra đường thẳng đi qua điểm cố định 

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A Xét D trên cạnh AB và điểm E trên cạnh BC sao cho hình chiếu của DE trên BC có độ dài bằng

BC Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với DE tại E luôn đi qua một điểm cố định

Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ tọa độ sao cho A    0 ,a ,B  b, 0    ,C b, 0 Khi đó các đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình:

Gọi H là hình chiếu của D trên BC Do

EH  BC nên EOC,HOB

Vậy, nên E x ,  0 0 0 , x 0 b thì H x  0b,0 và do đó 0 0

Gọi (∆) là đường thẳng qua E vuông góc với DE Suy ra (∆) nhận x 0

  làm một céc tơ pháp tuyến, vì vậy :

Suy ra    luôn đi qua điểm

Bài 13: Cho ∆ ABC vuông tại A không phải vuông cân, trên cạnh AB và AC lấy M,

N sao cho BM=CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn di qua một điểm cố định

Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau:

A , ,B ,b ,C , ,M ,m thay đổi trên cạnh AB với 0 < m < b ≠ 1

Suy ra trung điểm P của MN có tọa độ 1

 và MN      1 m b, m  Suy ra phương trình đường trung trực của MN là:

Từ đây ta thấy đường thẩng này luôn đi qua điểm cố định 1 1

Đối với các bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn đi qua điểm cố định, ta có thể khảo sát hai vị trí của các yếu tố thay đổi để dự đoán điểm cố định mà các đường này luôn đi qua Từ đó, ta có thể tìm ra các tính chất của điểm đang xét liên quan đến các yếu tố cố định đã biết và áp dụng phương pháp suy luận để chứng minh bài toán Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng thuận lợi cho việc này, như trong ví dụ bài 13 thuộc mục 5.3 chương 2, khi ta khảo sát hai đường trung trực của MN tại hai vị trí khác nhau của M và N.

Dấu hiệu nhận biết để sử dụng hệ tọa độ affine và hệ tọa độ trực chuẩn

Vậy khi nào thì chúng ta sử dụng hệ tọa độ affine, khi nào thì chúng ta sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn:

6.1 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ affine

Hệ tọa độ affine là một hệ tọa độ tổng quát, mặc dù không có nhiều ưu điểm nổi bật như các hệ tọa độ khác, nhưng nếu biết cách áp dụng, nó có thể giải quyết những bài toán mà các hệ tọa độ khác không thể làm được Việc nghiên cứu và sử dụng hệ tọa độ này còn hạn chế, nhưng nó vẫn có những đặc điểm riêng biệt đáng chú ý.

Bài toán affine được chia thành ba loại chính: thứ nhất là ba điểm thẳng hàng, thứ hai là đường thẳng đi qua một điểm cố định, và thứ ba là quỹ tích của đường thẳng.

Trong hệ tọa độ affine, các tính chất như vuông góc và khoảng cách không được định nghĩa, điều này cho thấy rằng việc không đề cập đến những yếu tố này trong các bài toán là một dấu hiệu dễ nhận biết.

Trong hệ tọa độ affine, chỉ tồn tại định nghĩa về đường thẳng và các đường bậc hai, trong khi các hình như đường tròn hay conic không được định nghĩa, điều này đánh dấu một đặc điểm quan trọng.

- Các yếu tố liên quan đến tỉ lệ của các đoạn thẳng, vectơ mà không có yếu tố vuông góc kèm theo

6.2 Các yếu tố nhận biết việc sử dụng hệ tọa độ trực chuẩn

Hệ tọa độ trực chuẩn là một dạng đặc biệt của hệ tọa độ affine, nhưng nó bổ sung nhiều định nghĩa và tính chất như khoảng cách, vuông góc, đường tròn, các yếu tố về góc, ba đường conic và các đường đặc biệt trong tam giác Điều này dẫn đến sự phong phú về số lượng bài tập trong hệ tọa độ trực chuẩn, với nhiều bài khó hơn Tuy nhiên, cũng tồn tại những bài toán đặc trưng của hệ tọa độ affine mà hệ tọa độ trực chuẩn không thể giải quyết và ngược lại.

Các dấu hiệu nhận biết:

Trong chương 2, chúng ta đã thảo luận về các bài toán liên quan đến khoảng cách và chứng minh vuông góc Bên cạnh đó, các bài toán về ba điểm thẳng hàng, đường đi theo quan điểm cố định, quỹ tích, đường thẳng, đường tròn và ba đường cônic cũng được đề cập.

- Các bài toán liên quan đến tứ giác đặc biệt nhƣ: hình thang vuông, hình chữ nhật, hình vuông…

Các lưu ý khi sử dụng hệ tọa độ:

Để giải quyết bài toán, cần xác định chính xác các yếu tố cần tìm và cần chứng minh Từ đó, chúng ta có thể xác định hệ tọa độ phù hợp nhất, gần gũi với dữ kiện của bài toán.