Bộ công thức Toán ôn thi THPT Quốc gia (Toàn bộ công thức ôn thi THPT Quốc gia môn Toán lớp 12 từ A Z)

Bộ công thức Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia từ A Z gồm 3 phần với nhiều công thức toán học được áp dụng thường xuyên trong các bài thi THPT Quốc gia năm 2021. Xem thêm các thông tin về Bộ công thức Toán ôn thi THPT Quốc gia tại đây

BỘ CÔNG THỨC TOÁN LỚP 12

ÔN THỊ THPT QUỐC GIA TỪ A — Z

Phần I ĐẠI SỐ

Tam thức bậc 2

Bất đăng thức Cauchy

Cấp số cộng

Cấp số nhân

Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương trình, bất phương trình chứa căn

Phương trình, bất phương trình logarit

Phương trình, bất phương trình mũ

Lũy thừa

10 Logarit

1 Tam thức bậc hai :

Íx) = ax+bx+c (az0;œ 8e; œ<B; s=-%)

fW20,vxeR < {55 — { Ax>0

a>0 X;<Xa<œ af(a) > 0

f«)<0,VxeR © (een X,<a<B<x, © a <0

œ là nghiệm củaf(x) e f(œ) =0| Xạ<œ<x¿<B_ © af(B) > 0

af(œ) >0

X1<@<X2 <= af(œ) <0 Spy af(p) <0

A>0

a<xy<cx, © |96)>9 | << s tp) <0 S œ0 œ<X;<B<X;

2

A>0

af(B) >O Xạ<Xy<œ «@Ằ© nh œ<X;<Xạ<B © cà

57% <0 li SAU

2 Bất đắng thức Cauchy (Cô-sj) :

«a,b>0 thi 222 Jab „ dấu“="xảyra œ a=b

on

® a,b,c>0 thì abe , dấu" ="xayra @ a=b=c

3 Cấp số cộng :

ai Định nghĩa: Dãy số U+, Ua, ;Ưn,

gọi là một cấp số cộng có công sai d nếu |_U, = u,_;+ d

b/ Số hạng thứn: | uạ= u;+ (n - 1)d

c/ Téng n số hạng đầu tiên :

Ÿn= ¿+ Uạ+ + Uạ = pli tn) = 5 [2u1+ (n—1)d]

4 Cấp số nhân :

ai Định nghĩa: Dãysố U, Uạ, ;Ún;

gọi là một cấp số nhân có công bội q nếu |_U, = U,.;-d

bí Số hạng thứ n : uUn= u¡.q"1

c/ Tổng n số hạng đầu tiên :

1-q"

S, = Uy + Up + + Uy = Uy (q #1)

Néu -1<q<1 (/q/<1) thi lim, =

5 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối :

|A|=|B| © A=+B |A|<|B| <8

lA|=B © lề

A=+B

|A| >B ° eee

A<-B

DI la A>-B

6 Phương trình, bất phương trình chứa căn :

A>0

>

A=B a

A<B

B20

A=B

Ree o {,

A<B

Weenie to

KG ÔN {ace

A>o Ý |A>B?

7 Phương trình, bất phương trình Iogarit :

log, f(x) = log, g(x) = 0<az1 f(x) >0 (ho&c g(x) >0)

F(x) = a(x)

log, f(x) > log, g(x) =

f(x)>O Q(x) > 0

(a-[fe) - ge] > 0

8 Phương trình, bất phương trình mũ :

fx) — a9) Khai

oes een a=1 f(x), g(x) xae định

al 5 gw c„ lệ =O

10

Lũy thừa: a,b>0

81721100 onaa lau a a li

(ara a |a“b°=(abj“| 4°=

Logarit: 0O<N:,N2,N va O<a,b#1 tacé

log,N = M <> N=a™ log,[N_} =log,N, ~log,N, N

alos,N =N log„N = tlog,N

log,N

Nie! = Noe! H log, N log, a

1

log, (Ni.Ne) = log,N; + log,N2| !og,b = log,a

Phân II LƯỢNG GIÁC

Bao gồm 3 chuyên đề lớn

1 Công thức lượng giác

2 Phương trình lượng giác

3 Hệ thức lượng trong tam giác

I Công thức lượng giác :

1 Hệ thức cơ bản :

sin°X + cos*x = 1 tgx.cotgx = 1

tgx 9 COSX 1 + tg*x g = cos? x

2 Các cung liên kết: Đối - Bù - Phụ - Hơn kém 7r; =

cos(-x) = cosx tg (—x) = — {gx

cos(x—x) = —cosx cotg(7t —-x) = —cotgx

sin(C -x) = cosx tg( —x) = cotgx

7 7 7t

cos(= -X) = sinx cotg(= —) = tgx

sin(x+z) = —sinx tg (x + 7) = igx

3 Công thức cộng :

sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny

cos(x + y)= cosx.cosy + sinx.siny

tgx + toy

tg (x+ ig (x+y) a 7 = Gey

4 Công thức nhân đôi :

sin2x 2sinx.cosx ig 1 to’x

cos2x = cos*x— sin"x ES =

= 2cos”x— 1

: Ae) 1—cos2x

5 Công thức biểu diễn sinx, cosx,tgx theo t = to> B

6 Công thức nhân ba :

3tgx — tg*

in3x = 3sinx - 4sin” tg3x = ==

§in3x = 3sinx - 4sinx g 1— 3Igx

neue 3cosx + cos3x

cos3x = 4cos*x - 3cosx eZ

.¬8, 8sinx — sin3x

Sinx =-——————

7 Công thức biến đổi :

a Tích thành tổng :

© cosa.cosb = ã [cos(a —b) + cos(a + b)]

« sina.sinb = 4 [cos(a—b) — cos(a + b)]

« sina.cosb = 5 [sin(a —b) + sin (a + b)]

b/ Tổng thành tích :

x+y

* cosx + cosy w 2cos

+y

* cosx — cosy = — 2sin ~

x+y

sinx + siny = 2sin

e sinx — siny = 2cos XY sin X—¥

cals MY lis cosx.cosy SS2025299107, sinx.siny

sin(x-y) sin(y - x)

SKS suy cosx.cosy COO CNY sinx.siny

Đặc biệt: | SỈPX + cosx = Ý2 sinx +) = Y2 cos(x - 7)

sinx - cosx = Ý2 sinx—^) = - 2 cos(x + ˆ)

I Phương trình lượng giác :

1 Phương trình cơ bản :

8í sinx =sina [

x

Đặc biệt: sinx=1 © x=2+k2w ¡ Sinx=-1 <> x= Skee

sinx=0 «œ@ x=kz

bí cosx=cos © [MT SEKÊ" x=-œ +k2m (kez)

Đặc biệt: cosx=1 <= x=k2n ; Cosx=-1 > x=n+k2n

cosx = 0 > xa 5 tke

eí †gx = tga © x=ơ+kz (KeZ)

dí cotgx = cotga x=œ+km (KkeZ)

2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác :

Cách giải : Đặt t= sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta có phương trình

"1

a,t" + an, + + a = 0

Nếu t = cosx hoặc t = sinx thì có điểu kiện -1<t <1

3 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx :

Điều kiện có nghiệm : a?+b? >c?

Cách giải : Chia 2 vế phương trình cho +a?+b? và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản

4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx :

a.sin?x + b.sinx.cosx + c.cos*x = 0

Cách giải :

Xét cosx =0 © x “§ + km có phải là nghiệm không?

Xét cosx z O chia 2vế cho coạx và đặt t=tgx

5 Phương trình dạng : | a.(sinx + cosx) + b.sinx.cosx = œ

Cách giải : Đặt t= sinx cosx = W2sin(x + 5) ¡ -⁄2<t<v2

†2—1

2

và giải phương trình bậc hai theo t

= sinx.cosx = (hoặc sinx.cosx

II Hệ thức lượng trong tam giác :

1 Định lý hàm số cosin: | a? = b2 + c2 —- 2bccosA

b* = a* + c* — 2accosB

c* = a” + b* — Zab cosC

2 Dinh ly ham s6 sin: sinA = sinB — sinC 7 2R

3 Công thức tính độ dài trung tuyến :

2 4 2 4 2 4

4 Công thức tính diện tích tam giác :

S= Sah, — Sph, — sch,

= —bc.sinA = —ac.sinB = —ab.sinC

4R

Phan III BAO HAM — TICH PHAN — HINH HOC - NHI THUC NEWTON

1 Dao ham

2 Bang cac nguyén ham

3 Dién tich hinh phang — Thé tich vat thé tron xoay

4 Phương pháp tọa độ trong mặt phang

5 Phương pháp tọa độ trong không gian

6 Nhị thức Newton

I Dao ham:

Wxy = Bale Wey aa

(sinx)” = cosx (sinu)y’ = u’.cosu

(tax) ~ cos?x Gy = cos?

(e*)’ = _e* (@") = u'.e"

H Bảng các nguyên hàm :

Ina

xe

jx“dx= œ+† +C (a#-1)| Jeosxdx = sinx +c

SX=-1+c x’ x ƒenxdx =—cosx+©

OX ~InIx|+C x J—P -toxsc cos? x

Chú ý :Nếu [f@s)dx = F(x)+© thì [T(ex+ b)dx = tr ax +b) +C

II Diện tích hình phẳng - Thể tích vật thể tròn xoay :

© Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng

® Chọn công thức để tính diện tích

S= |ly.-yo|dx | hoặc | S= [|x, —x¿|dy

® Chọn công thức để tính thể tích :

B

- Hình phẳng quay quanh Ox: | V = xj|yš = v2|dx

a

- Hình phang quay quanh Oy:| y= x {x2 = xã|dy

e Biến x thì cận là x=a; x=b cho trong giả thiết hoặc

hoành độ các giao điểm

Biến y thì cận là y=oœ; y=d_ cho trong giả thiết hoặc

tung độ các giao điểm

b Góc @ (0° < <90°) giữa hai đường thẳng :

Ax + By+C=0và Ax+By+C'=0

e Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo) đến đường thẳng A:

Xp + Byg + C|

A:

d(M, A) = |

VA? +B?

d Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Ax+By+C _, Ax+By+C

[A2 + B2 4 ÍA2 + B2

e Hai điểm M(x,y:), M'(xa,yz) nằm cùng phía so với A

© titla>O

Hai điểm M(x¡,y:), M'(xs,ya) nằm khác phía so với A

© t¡la<O

= SS Ÿ¬=_=-

A?+BE Ô ” - VA2+B?

2 Đường tròn :

~ Phương trình đường tròn :

Dạng 1 : Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a ;b) và bán kính R

(x - a)? + (y—b)?=R?

Dạng 2: Phương trình có dạng | x? + y?- 2ax- 2by+c =0 với điểu kiện a?®+b?—c > 0 là phương trình đường tròn (C) cé

†âm I{(a;b) và bán kính R= va2+b2—c

- Phương tích của một điểm Mo(xo;yo) đối với một đường tròn :

Pwo) = Xo" + Yor — 2aXo— 2byo + ¢

® Phương trình chính tắc Elip (E) me e =1] (a>b) 5 P=

* Tiêu điểm : F;(c;0), Fa(c;0)

s Đỉnh trục lớn: A:(Ca;0), Aa(a;0)

« Đinh trục bé : B:(0;-b) , Bz(0;b) ; Tâm sai:

« Phương trình đường chuẩn : x= aS

ẻẺẻ ate eae XX YoY _

s Phương trình tiếp tuyến của Elip tại M (xo; yo)e(E) S28 01p)

se Điều kiện tiếp xúc của (E) và (A) : Ax + By +C =

A?a? + B*b? = C?

4 Hypebol :

SN:

* Phương trình chính tắc Hypebol (H) nh # a =1| =a? +b?

* Tiêu điểm : F(c;0) , Fa(c;0)

«Đinh — : Ar(a;0), Aa(a;0) ; Tâm sai: e =<

* Phương trình đường chuẩn: | x = ae

® Phương trình tiệm cận : y= 2x

© Diéu kién tiép xtc ca (H) va (A): Ax + By + C =0

A?a?T— B?b? = C? (C#0)

5 Parabol :

_ Phương trình chính tắc của Parabol : (P): Y'= 2px

*® Tiêu điểm : F(E : 0) ;_* Phương trình đường chuẩn : | x= a

© Phuong trinh tiép tuyén vdi (P) tal M (xo; yo)e(P): | yoy = p(Xo + x)

© Biéu kién tiếp xtc cia (P) va (A): AX + By + C =0 | 2AC = B’p

1I Phương pháp tọa độ trong không gian :

1 Tích có hướng hai vectơ :

a Định nghĩa : ử= (x;y;Z) và V = (X';y';Z)

—m _(|y Z

Tho l z

b Các ứng dụng :

« ñWcùngphương «+ ÏỦ,

© ủWw đổngphẳng œ (i,

© Suc eo = 2 36 7 ||AB,

+ ABCD la tu din <> [AB,AG].AD = m0;

2 Mặt phẳng : ~

a Phương trình mặt phẳng (Gœ) :

~ Phương trình tổng quát : Ax + By + Cz+D=0,

Ziex|I [uy ee ee eee ee z xx y = (yZ— zy’; 2X —Xxz 5 Xy— yx

T=(A;B;C) , (A?+B*+C? #0)

xn vezi

~ Phương trình đoạn chắn : HN

((œ) qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c)

b Góc giữa hai mặt phẳng :

(œ) : Ax +By +Cz +D =0

(B) : Ax+B'y +C'z+D'=0

_ |AA' + BB'+ CC!|

VA? +B? +C? VA?+B7+C?

e Khoảng cách từ điểm Mo(Xo; Vo ; Zo) đến mặt phẳng (a) :

cos@ =

|Axạ +Byạ +Czạ + DỊ d(M, oe

vo, ‘A? +B? +C?

3 Đường thang:

a Ba dạng phương trình của đường thẳng :

® Phương trình tham số của A qua Mo(Xo;Yo; Zo) và

X=X, +at

có vectơ chỉ phương H = (a;b;c) : y=y,+bt | (teR)

Z=Zạ+ct

© Phuong trinh téng quat:| [Ax +By +Cz +D =0

Ax+By+C'z+D'=0

(với A:B:CzA':B':C')

b Góc giữa hai đường thẳng :

_ |aa' + bb'+cc|

va? + b°+c? Ja'2+ b2+ c2

c Khoảng cách từ A đến đường thắng A (A có vtep U và qua M) :

|[z.waj

fal

d Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Á có vtcp U vaquaM ; A’cévicp V va qua M’

d(A,A) =

si

e Góc giữa đường thẳng A và mặt phẳng (o) :

|Aa + Bb + Cc|

_ VA? +B? +C? va? +b? +c

sing =

4 Mặt cầu :

a Phương trình mặt cầu :

~ Dạng 1 : Phương trình mặt cầu (8) có tâm 1(a;b;c) và bán kính R

(x-a)?+(x-—b)?+ (x-c)? = R?

~ Dạng 2 : Phương trình có dạng :

x + y? + 2?— 2ax — 2by —2cz+d =0 v6i diéu kign a? +b? +c?—d > 0 là phương trình mặt cầu (S)

có tâm1(a;b;c) và bán kính R=a? + b? + e?~ d

b Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng :

¢ d(1,(a))<R < (o) giao (S) theo đường tròn (C)

(x-a)Ê + (x—b) + (x-c)? = R?

Ax+By+Cz+D=0

~ Tâm H của (C) là hình chiếu của tâm 1(a ;b;c) lên mặt phẳng (o)

- Bán kính của (C) : r=VRÊ~IHÊ

« d(o)=R © (ø) tiếp xúc với (S)

+ đ0(6))>R ® (6)a(6) =ở -

(a+b)"= Cia" + Cla tb + C?2a”?b? + + C7b" = ŠC‡a"*p*

k=0

=0

(1-x)" = C2 = Cx + CR? - + ETCH = FENCE

k=0

! n!

:|cr=—" — | ake aac Em | “n m- Hội P, =n!