Chương 3 Ước lượng tham số 3.1 Ước lượng khoảng cho kì vọng Bài tập 3.1. (a) Có thể dùng X n để ước lượng cho p bởi vì tần suất là ước lượng không chệch và vững cho tỉ lệ (b) p q = = 0, 2 0,8 Ta có: 2 2 2 4 2 4 2 4 2 ( ) ( . . ) (500.0,2.0,8) 500 X DX n p q P p n n n − = = 5 1,024.10 − Bài tập 3.2. 305; 45; 2150; 95% 1,96 n x u = = = = = Vậy khoảng tin cậy 95% là: 305 . 2150 1,96. 2150 89,11 45 x u n = = hay 2060,89 2239,11 Vậy với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của bóng đèn nằm giữa 2060,89 và 2239,11 Bài tập 3.3. (a) 3,8; 9; 99% 2,58 n u = = = = 9 1 16,77 9 i i x x = = = ; 9 2 1 ( ) 2,79 1 i i x x s n = − = = − Vậy khoảng tin cậy 99% là: 3,8 . 16,77 2,58. 16,77 3,268 9 x u n = = hay 13,502 20,038
Trang 1HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 1
Contents
3.1 Ước lượng khoảng cho kì vọng 2
Bài tập 3.1 2
Bài tập 3.2 2
Bài tập 3.3 2
Bài tập 3.4 2
Bài tập 3.5 2
Bài tập 3.6 3
Bài tập 3.7 3
Bài tập 3.8 3
Bài tập 3.9 3
Bài tập 3.10 4
Bài tập 3.11 4
Bài tập 3.12 4
Bài tập 3.13 5
Bài tập 3.14 5
Bài tập 3.15 5
Bài tập 3.16 5
Bài tập 3.17 6
Bài tập 3.18 6
Bài tập 3.19 6
Bài tập 3.20 6
3.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ hay xác suất 7
Bài tập 3.21 7
Bài tập 3.22 7
Bài tập 3.23 7
Bài tập 3.24 7
Bài tập 3.25 8
Bài tập 3.26 8
Bài tập 3.27 8
Bài tập 3.28 9
Bài tập 3.29 9
Bài tập 3.30 9
Trang 2HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 2
Link đề bài tại đây
Chương 3
Ước lượng tham số
3.1 Ước lượng khoảng cho kì vọng
Bài tập 3.1
(a)
Có thể dùng X
n để ước lượng cho p bởi vì tần suất là ước lượng không chệch và vững cho tỉ lệ
(b)
0, 2 0,8
Ta có:
( ) ( ) (500.0, 2.0,8)
500
5
1, 024.10
Bài tập 3.2
305;n 45;x 2150; 95% u 1, 96
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
305
45
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của bóng đèn nằm giữa 2060,89 và 2239,11
Bài tập 3.3
(a)
3,8;n 9; 99% u 2, 58
9
1
16, 77
9
i
i
x
;
9
2
1
2, 79 1
i i
x x s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
3,8 16, 77 2,58 16, 77 3, 268
9
x u
n
Vậy với độ tin cậy 99%, trọng lượng tạp chất trung bình của sản phẩm nằm giữa 13,502 và 20,038 (b)
Nếu độ tin cậy là 95% thì khoảng ước lượng trung bình sẽ hẹp hơn so với ý (a)
Bài tập 3.4
0, 2;n 35;x 25; 95% u 1, 96
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
0, 2
35
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, chiều dài trung bình của chi tiết sản phẩm nằm giữa 24,934 và 25,066
Bài tập 3.5
1,8; 20 30; 49, 2; 99%
2
bảng phân bố Student với bậc tự do k= − =n 1 20 1 19− = , ta tìm được t0,005 =2,861
Trang 3HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 3
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
1,8
20
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình của một bao gạo nằm giữa 48,05 và 50,35
Bài tập 3.6
1,8; 16 30; 4; 99%
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 16 1 15
k = − =n − = , ta tìm được t0,005 =2, 947
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
1,8
16
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 99%, thời gian chờ đợi trung bình của một khách hàng nằm giữa 2,68 và 5,32
Bài tập 3.7
16 30; 95%
16
1
19, 33
16
i
i
x
;
16
2
1
0, 61 1
i i
x x s
n
=
−
−
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 16 1 15
k = − =n − = , ta tìm được t0,025 =2,131
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
0, 61
16
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình các thùng hàng nằm giữa 19,1775 và 19,4825
Bài tập 3.8
35 30; 95% 1, 96
16,5.3 17,5.4 18,5.10 19,5.9 20,5.5 21,5.4
19,1
3 4 10 9 5 4
35
2
1
1, 41 1
i i
x x s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
1, 41
35
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, thời gian tham gia công trung bình một chi tiết máy nằm giữa 18,633 và 19,567
Bài tập 3.9
18 30; 99%
19, 6.1 19,5.2 19,9.2 20.4 19,8.2 20,5.3 21.2 18,5.1 19, 7.1
19,98
1 2 2 4 2 3 2 1 1
18
2
1
0, 58 1
i i
x x
s
n
=
−
−
Trang 4HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 4
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 18 1 17
k = − =n − = , ta tìm được t0,005 =2,898
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
0,58
18
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 99%, áp lực trung bình của các thùng nằm giữa 19,584 và 20,376
Bài tập 3.10
12 30; 95%
12
1
2, 9
12
i
i
x
;
12
2
1
0, 099 1
i i
x x s
n
=
−
−
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 12 1 11
k = − =n − = , ta tìm được t0,025 =2, 201
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
0, 099
12
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ làm giàu trung bình của các thanh nhiên liệu nằm giữa 2,8371 và 2,9629
Bài tập 3.11
(a)
0,15; 25 30; 2, 45; 99%
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 25 1 24
k = − =n − = , ta tìm được t0,005 =2, 797
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
0,15 2, 45 2, 797 2, 45 0, 08
25
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình các viên gạch nằm giữa 2,37 và 2,53
(b)
Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ hẹp hơn so với kết quả câu (a)
(c)
Với độ tin cậy 99% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ rộng hơn so với kết quả câu (a)
(d)
Với độ tin cậy 99% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ rộng hơn so với kết quả câu (a)
Bài tập 3.12
(a)
6, 43; 16 30; 15, 26; 95%
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 16 1 15
k = − =n − = , ta tìm được t0,025 =2,131
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
6, 43 15, 26 2,131 15, 26 3, 42
16
s
x t
n
Trang 5HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 5
Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình các viên gạch nằm giữa 11,84 và 18,68
(b)
b1 Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ hẹp hơn so với kết quả câu (a)
b2 Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ hẹp hơn so với kết quả câu (a)
b3 Với độ tin cậy 95% thì khoảng tin cậy trung bình sẽ rộng hơn so với kết quả câu (a)
Bài tập 3.13
(a)
12 30; 95%
12
1
2256, 75
12
i
i
x
;
12
2
1
31,81 1
i i
x x s
n
=
−
−
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 12 1 11
k = − =n − = , ta tìm được t0,025 =2, 201
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
31,81 2256, 75 2, 201 2256, 75 20, 21
12
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 95%, cường độ nén trung bình của bê tông nằm giữa 2236,54 và 2276,96 (b)
12 30; 99%
12
1
2256, 75
12
i
i
x
;
12
2
1
31,81 1
i i
x x s
n
=
−
−
2
= − = − = = Tra bảng phân bố Student với bậc tự do
1 12 1 11
k = − =n − = , ta tìm được t0,005 =3,106
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
31,81
12
s
x t
n
Vậy với độ tin cậy 99%, khoảng tin cậy phải cho cường độ nén trung bình của bê tông là 2285,27
Bài tập 3.14
163; 12; 49 30; 99% 2, 58
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
12
49
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 99%, chiều cao trung bình của sinh viên trường đó nằm giữa 158,58 và 167,42
Bài tập 3.15
95; 36; 60 30; 95% 1, 96
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
36
60
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, số tiền điện thoại trung bình trong một tháng của mỗi sinh viên nằm giữa 85,9 và 104,1
Bài tập 3.16
35 30; 99% 2, 58
Trang 6HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 6
35
1
66, 65
35
i
i
x
;
35
2
1
19,1 1
i i
x x s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
19,1
35
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 99%, số điếu thuốc trung bình trong 5 ngày của những người nghiện thuốc nằm giữa 58,32 và 74,98
Bài tập 3.17
40 30; 99% 2, 58
40
1
21,85
40
i
i
x
;
40
2
1
12, 22 1
i i
x x s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 99% là:
12, 22
40
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 99%, thời gian xem ti vi trung bình của thanh niên ở độ tuổi từ 18 đến 35 trong vòng một tuần nằm giữa 16,87 và 26,83
Bài tập 3.18
200 30; 95% 1, 96
130.14 230.25 330.43 430.46 530.39 630.23 730.10
420
14 25 43 46 39 23 10
200
2
1
156, 6 1
i i
x x
s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
156, 6
200
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, số tiền trung bình một hộ dân phải trả ở phường đó nằm giữa 398,3 và 441,7
Bài tập 3.19
55 30; 95% 1, 96
10, 75.5 11, 25.12 11, 75.15 12, 25.13 12, 75.6 13, 25.4
11,88
5 12 15 13 6 4
55
2
1
0, 68 1
i i
x x
s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
0, 68
55
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, lượng xăng hao phí trung bình cho một xe nằm giữa 11,7 và 12,06
Bài tập 3.20
100 30; 95% 1, 96
Trang 7HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 7
100
1
90, 64
100
i
i
x
;
100
2
1
4, 02 1
i i
x x s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
4, 02
100
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, giá trung bình của loại hàng đó tại thời điểm đang xét nằm giữa 89,86 và 91,42
3.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ hay xác suất
Bài tập 3.21
135; 36; 95% 1, 96
36
0, 27 135
k
f
n
(1 ) 135.(1 0, 27) 99 10
nf
n f
(1 ) 0, 27(1 0, 27)
0, 27 1,96 0, 27 0, 074
135
n
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ các cây bạch đàn có chiều cao trên 7,5m nằm giữa 0,196 và 0,344
Bài tập 3.22
300; 32; 99% 2, 58
32
0,106 300
k
f
n
(1 ) 300.(1 0,106) 268 10
nf
n f
(1 ) 0,106(1 0,106)
0,106 2,58 0,106 0, 045
300
n
Vậy với độ tin cậy 99%, tỷ lệ cá được đánh dấu là:
N
Vậy số cá trong hồ nằm trong 662, 25;1639, 3
Bài tập 3.23
450; 275; 95% 1, 96
275
0, 61 450
k
f
n
(1 ) 450.(1 0, 61) 175 10
nf
n f
(1 ) 0, 61(1 0, 61)
0, 61 1,96 0, 61 0, 045
450
n
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ người mua xe Honda nằm giữa 0,565 và 0,655
Bài tập 3.24
400; 387; 95% 1, 96
Trang 8HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 8
387
0,9675 400
k
f
n
(1 ) 400.(1 0,9675) 13 10
nf
n f
(1 ) 0,9675(1 0,9675)
0,9675 1,96 0,9675 0, 017
400
n
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ chính phẩm tối thiểu của hệ thống máy mới là 0,951
Bài tập 3.25
560; 10; 95% 1, 96
10
0, 017 560
k
f
n
(1 ) 560.(1 0, 017) 550 10
nf
n f
Vậy ta không thể giả thiết rằng phân bố của f là xấp xỉ chuẩn, do đó công thức xây dựng khoảng tin cậy không áp dụng được
Bài tập 3.26
200; 10; 95% 1, 96
10
0, 05 200
k
f
n
(1 ) 200.(1 0, 05) 190 10
nf
n f
Vậy ta không thể giả thiết rằng phân bố của f là xấp xỉ chuẩn, do đó công thức xây dựng khoảng tin cậy không áp dụng được
Bài tập 3.27
(a)
1000; 823; 99% 2, 58
823
0,823 1000
k
f
n
(1 ) 1000.(1 0,823) 177 10
nf
n f
(1 ) 0,823(1 0,823)
0,823 2,58 0,823 0, 031
1000
n
Vậy với độ tin cậy 99%, tỷ lệ tử vong của bệnh nhân điều trị ung thư phổi nằm giữa 0,792 và 0,854 (b)
0, 03;n 1000;k 823; 95% u 1, 96
823
0,823 1000
k
f
n
(1 ) 1000.(1 0,823) 177 10
nf
n f
(1 ) 0,823(1 0,823)
0,823 1,96 0,823 0, 023
1000
n
Để sai số không quá 0,03 thì
(1 ) 1,96 0,823.(1 0,823)
0, 03
u f f
Trang 9HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 9
Vậy phải lấy kích thước mẫu bằng 622 để sai số khi dự đoán không quá 0,03
Bài tập 3.28
0, 2; 95% 1, 96
Theo đề bài ta có: u f(1 f) 0, 05
n
− =
0, 2(1 0, 2) 1,96 0, 05
n
−
245,86
n
Vậy phải lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bằng 246 để thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài tập 3.29
Sai đề
Bài tập 3.30
(a)
64 30; 95% 1, 96
42,5.2 47,5.5 52,5.15 57,5.30 62,5.8 67,5.4
56,32
2 5 15 30 8 4
64
2
1
5, 4 1
i i
x x s
n
=
−
−
Vậy khoảng tin cậy 95% là:
5, 4
64
s
x u
n
Vậy với độ tin cậy 95%, năng suất trung bình của loại hoa màu A nằm giữa 54,99 và 57,64
Sai số giảm đi 2 lần
5, 4 1, 96
64
0, 6615
s u n
Để sai số không quá 0,6615 thì
2 256
u s
n
Vậy để sai số của ước lượng giảm đi 2 lần thì cần kiểm tra 256 điểm
(b)
64; 8 4 12; 99% 2, 58
n= k= + = = u =
12
0,1875 64
k
f
n
(1 ) 64.(1 0,1875) 52 10
nf
n f
(1 ) 0,1875(1 0,1875)
0,1875 2,58 0,1875 0,13
64
n
Vậy với độ tin cậy 99%, tỷ lệ điểm đạt trên 60 tạ/ha là:
10000
K
Vậy có khoảng 580 đến 3180 điểm đạt năng suất trên 60 tạ/ha
(c)
64; 8 4 12; 95% 1, 96
n= k = + = = u =
12
0,1875 64
k
f
n
Trang 10HỒ CÔNG BÌNH K9RHM 10
(1 ) 64.(1 0,1875) 52 10
nf
n f
(1 ) 0,1875(1 0,1875)
0,1875 1,96 0,1875 0, 095
64
n
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ điểm đạt trên 60 tạ/ha của loại hoa màu A tối thiểu là 0,093