Trong lý thuyết shape không gian co rút cơ bản tuyệt đối và không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối là một trong những mảng nội dung quan trọng đã đ-ợc nhiều ng-ời nghiên cứu toán qua
Trang 1Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Lời nói đầu
Lý thuyết shape là một phần của lý thuyết tô pô vô hạn chiều, với mục đích là phân loại các lớp không gian tô pô Những khái niệm đầu tiên của nó xuất hiện từ những năm 1968 Từ đó đến nay đã đ-ợc nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu và phát triển nh-: W.Holsztýnski; J.H.C Whitehead; R.B.Sher …
Các kết quả của nó đã trở thành một trong những tiền đề cho việc nghiên cứu, xây dựng và phát triển ngành toán học hiện đại
Trong lý thuyết shape không gian co rút cơ bản tuyệt đối và không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối là một trong những mảng nội dung quan trọng đã đ-ợc nhiều ng-ời nghiên cứu toán quan tâm, nghiên cứu nó trên các lớp không gian mêtric và đã đ-a ra đ-ợc nhiều kêt quả quan trọng nh- các định lý từ (1.4) – (1.14) mà chúng tôi đã trình bày trong ch-ơng 2 của luận văn và từ Đ6 - Đ12 trong tài liệu [1]
Trong phạm vi của luận văn, chúng tôi chỉ trình bày những nội dung liên quan để phục vụ cho việc chứng minh những tính chất cơ bản của không gian co rút cơ bản tuyệt đối, không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt
đối trên lớp các không gian mêtric compact
Luận văn với tiêu đề: “ Một số vấn đề về không gian co rút tuyệt đối, không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compact”, đó là sự kế thừa, tìm tòi và chứng minh một số tính chất cơ bản
đã đ-ợc trình bày trong tài liệu [1]
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3 ch-ơng:
Ch-ơng 1: Chúng tôi chỉ trình bày những kiến thức cơ bản của lý
thuyết co rút, khái niệm và một số tính chất của co rút tuyệt đối (AR(M) –
không gian), co rút lân cận tuyệt đối (ANR(M) – không gian), dãy co rút
Trang 2Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
cơ bản yếu, co rút lân cận cơ bản yếu nhằm phục vụ cho việc trình bày các khái niệm, và chứng minh một số tính chất ở ch-ơng sau
Ch-ơng 2: Chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của không
gian co rút cơ bản tuyệt đối (FAR(M) – không gian), không gian co rút
lân cận cơ bản tuyệt đối (FAR(M) – không gian), dãy cơ bản, dãy co rút cơ
bản, chiều cơ bản và khái niệm shape
Ch-ơng 3: Đây là nội dung chính của luận văn, chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm về không gian co rút cơ bản tuyệt đối, không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric compact và đi chứng minh một số tính chất của chúng nh- các tính chất từ (1.4) – (1.15)
và (2.1)-(2.4)
Luận văn đ-ợc hoàn thành với sự h-ớng dẫn tận tình của thầy giáo, Tiến sĩ Tạ Khắc C- và sự góp ý của các thầy giáo trong Khoa toán, Khoa sau đại học và tổ toán của Tr-ờng THPT Yên thành 2
Chúng tôi chân thành cảm ơn tất cả các thầy giáo, cô giáo đã giúp đỡ chúng tôi hoàn thành luận văn này
Trang 3Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Ch-ơng 1 một số Kiến thức chuẩn bị
Đ1 R - ánh xạ và phép co rút
1.1.r - ánh xạ
Trong phần này chúng ta luôn giả thiết rằng X,Y,Z là các không gian
Hausdorff, f: X Y là ánh xạ liên tục
1.1.1.Định nghĩa ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại ánh
xạ g : Y X sao cho fg : Y Y là ánh xạ đồng nhất trên Y
Nếu f: X Y là r - ánh xạ thì Y đ-ợc gọi là r - ảnh của X
1.1.2.Nhận xét i) Mỗi phép đồng phôi là một r - ánh xạ
ii) Hợp của hai r- ánh xạ là r - ánh xạ
1.2 Phép co rút và cái co rút
1.2.1 Định nghĩa Giả sử Y X, ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là phép co rút
nếu f(x) = x với mọi x Y
1.2.2 Định nghĩa Tập con Y của không gian X đ-ợc gọi là cái co rút của
X nếu tồn tại phép co rút từ X lên Y
1.2.3.Mệnh đề. Mỗi cái co rút Y của X là đóng trong X
1.2.4 Định nghĩa Tập con X 0 của không gian X đ-ợc gọi là cái co rút lân
cận của X nếu tồn tại tập mở U chứa X 0 và U co rút về X 0
1.2.5 Định nghĩa Cho X 0 là không gian con của X, f 0 : X 0 Y, khi đó
ánh xạ f: X Y đ-ợc gọi là thác triển liên tục của f 0 nếu f X 0 = f 0
1.2.6 Định lý Tập con X 0 của X là cái co rút của nó khi và chỉ khi mỗi
ánh xạ f 0 : X 0 Y luôn có thác triển f : X Y
Trang 4Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
1.3 Corút điểm và corút điểm địa ph-ơng
1.3.1 Định nghĩa Hai ánh xạ f,g: X Y đ-ợc gọi là đồng luân với nhau
nếu tồn tại ánh xạ : X0;1 Y sao cho:
x,0 = fx
(x,1) = g(x)
Khi đó ta viết f g trong X
1.3.2 Định nghĩa Tập A X đ-ợc gọi là co rút đ-ợc trong X vào tập
B X nếu ánh xạ nhúng i: A X đồng luân với ánh xạ f: A X sao cho f(A) B
Nếu i: X X đồng luân với f: X X mà f(x) = a với a X thì ta nói X
là co rút điểm hay tự co rút
1.3.3 Định lý Nếu X co rút điểm thì r- ảnh của nó cũng co rút điểm
1.3.4 Định nghĩa Không gian X đ-ợc gọi là co rút điểm địa ph-ơng
tại x 0 X nếu mỗi lân cận U của x 0 chứa một lân cận U 0 co rút theo U về một điểm
1.3.5.Mệnh đề Mỗi tập lồi A trong không gian tuyến tính là co rút đ-ợc
trong chính nó
1.3.6 Định lý Nếu X là co rút đ-ợc thì mỗi r - ảnh của X cũng là co rút
đ-ợc.
1.4.Các định lý về thác triển ánh xạ
1.4.1 Định nghĩa Cho A là một tập bất kỳ trong không gian tuyến tính Y
Bao lồi của A viết là :
C(A) = y Y : y =t i a i , t i 0; t i =1, a i A, i= 1 k
1.4.2 Định lý Titlze. Mỗi hàm thực xác định trên tập con đóng của không gian mêtric X luôn thác triển đ-ợc thành hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian X
~
Trang 5Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
1.4.3 Định lý Dungunji Giả sử A là tập con đóng của không gian mêtric
X và Y là không gian lồi địa ph-ơng Khi đó ánh xạ f: A Y có thác triển liên tục f ’ : X Y Hơn thế nữa các giá trị của f ’ có thể lấy từ bao lồi C(f(A)) của f(A)
Để chứng minh định lý Dungunji cần sử dụng khái niệm sau
1.4.3.a Định nghĩa Giả sử X là không gian mêtric, G là tập con mở của X
và U U,M là một phủ của G U đ-ợc gọi là phủ chính tắc của G đối với X nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
G X x x
)
\,()
f x
A x x
f x
f
( ) ( ) \
)()
(
'
vớivới
thì hàm f ’ : X Y là thác triển của f và có giá trị trong C(f(A)) Vấn đề còn lại
của định lý là chứng minh f liên tục
Thật vậy, do phủ G M của tập X\A là hữu hạn địa ph-ơng và A đóng, nên với mỗi điểm p X\A tồn tại lân cận U X\A của điểm p thỏa mãn U chỉ
Trang 6Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
cắt một số hữu hạn các tập {G,}, giả sử các tập đó là G1, G2, , Gn Khi đó
với mỗi x U tồn tại chỉ số i mà 1in sao cho = i làm cho (x) không
triệt tiêu
Do các hàm 1, 2, n liên tục và phụ thuộc vào x nên suy ra f ’ liên
tục tại tất cả các điểm của X\A Hơn thế nữa, f ’ liên tục tại tất cả các điểm
trong của A Việc còn lại là kiểm tra tính liên tục của f ’ với những điểm
p AX \ A Thật vậy, với V là một lân cận của f ’ (p) = f(p) trong Y, khi đó
tồn tại lân cận U 0 của p trong X sao cho f ’ (U 0 ) V Không mất tính tổng quát
có thể giả thiết rằng V là lồi trong X do X là không gian lồi địa ph-ơng
Gọi K() là hình cầu mở trong X với tâm p và bán kính Do f liên tục trong A nên tồn tại số d-ơng sao cho f(AK()) V
Vì G M là một phủ chính tắc nên ta suy ra rằng tồn tại một lân cận U0của p trong X sao cho nếu U 0 K() và GU 0 thì G K(1/3), do x G nên ta có (p,) (p,x) + (x,) < 1/3 + 2(x,A) <
Vậy f ’ (x) = f(x) V với AU 0 và với những điểm x (X\A)U 0 ta có thể
i
i x f
1
)()
Trang 7hàm theo điểm là một không gian định chuẩn Ta xây dựng phép đồng
phôi h : X h(X) Z nh- sau:
Với mỗi x X t-ơng ứng với nó với hàm f x Z cho bởi công thức
f x (y) = (x,y), khi đó f x là hàm thực trên (X,) Đặt h(x) = f x ta chứng minh h là
đẳng mêtric Thật vậy, với x 1 , x 2 X ta có:
|),(),(
|
|)()
,(),(f x1 f x2 x1 x2
i f i f
1)(
|)(
|
|)()
(
|),
a n
n x n
k x f x
f x
f x f f
Trang 8Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Vậy h(X) đóng trong C(h(X))
Từ định lý Kuratowsky suy ra rằng: Mỗi không gian mêtric có thể xem
nh- tập con đóng của không gian định chuẩn nào đó
Đ2.ar(M) - không gian và anr(M ) - không gian
2.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản
Trong mục này, các không gian đ-ợc nói đến là không gian mêtric Khi
viết XM, nghĩa là X mêtric hóa đ-ợc
2.1.1 Định nghĩa Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút tuyệt đối đối
h : X h(X) , h(X) đóng trong Y thì h(X) là cái co rút của Y
Khi đó ta viết: X AR( M)
2.1.2 Định nghĩa Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút lân cận tuyệt
đối đối với một không gian mêtric Y M nếu X M và với mỗi phép đồng
phôi h: X h(X), h(X) đóng trong Y thì h(X) là cái co rút lân cận của Y
Khi đó ta viết X ANR( M)
2.1.3 Định lý (Tính chất đặc tr-ng của AR( M)- không gian) Để X là
AR( M) - không gian, điều kiện cần: X là r - ảnh của tập con lồi của không
gian tuyến tính định chuẩn Điều kiện đủ: X là r - ảnh của tập con lồi trong không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X là AR( M) - không gian, theo định lý Kuratowsky tồn tại phép đồng phôi h: X Y, với Y là tập con đóng của tập lồi
Q trong không gian định chuẩn Z, từ định nghĩa của AR(M) – không gian,
tồn tại một ánh xạ co rút r : Q Y Khi đó ánh xạ h -1 r: Q X là một r
- ánh xạ, hay X là r - ảnh của tập con lồi Q trong không gian định chuẩn Z
Trang 9Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Điều kiện đủ: Giả sử X là r - ảnh của tập con lồi Q của không gian lồi địa
ph-ơng Z, f: Q X là r-ánh xạ với nghịch phải g: X Q, h: X h(X), h(X)
đóng trong không gian mêtric X ’ là phép đồng phôi Khi đó theo định lý
Dungunji ánh xạ = g h -1 : h(X) Q, có thác triển liên tục ’
2.1.4 Hệ quả 1 Mỗi r - ảnh của AR( M) - không gian là AR(M) - không gian
Chứng minh Giả sử X AR( M) – không gian, khi đó theo điều kiện cần của định lý (2.1.3, ch-ơng 1) với mỗi Y là tập con lồi của không gian định chuẩn Z, tồn tại r - ánh xạ f: Y X và X = f(Y) Giả sử h là một r - ánh xạ, theo
(1.1.2.ii, ch-ơng 1) ta có hf là r - ánh xạ Do không gian định chuẩn là lồi địa ph-ơng và Y là tập lồi của nó nên theo điều kiện đủ của (2.1.3, ch-ơng 1) thì
h(X) AR( M) – không gian
2.1.5 Hệ quả 2 Mỗi AR( M) - không gian là co rút đ-ợc trong chính nó
Chứng minh Theo (1.3.5, ch-ơng 1), mỗi tập con lồi Y trong không gian
định chuẩn là co rút đ-ợc trong chính nó, do đó nếu XAR( M) – không gian thì X = f(Y) với f: Y X là một r - ánh xạ Theo (1.3.6, ch-ơng 1) thì X là co rút
đ-ợc trong chính nó
2.1.6 Định lý ( Tính chất đặc tr-ng của ANR( M) –không gian) Để không
gian X là ANR( M) – không gian, điều kiện cần: X là r - ảnh của tập con mở
của tập lồi nằm trong không gian tuyến tính định chuẩn Điều kiện đủ: X là r -
ảnh của tập con mở của tập lồi trong không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng
Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X là ANR(M ) – không gian, theo
định lý Kuratowsky tồn tại phép đồng phôi h: X h(X), h(X) đóng trong Q với
Trang 10Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Q là tập con lồi trong không gian định chuẩn Z Theo định nghĩa của ANR(M)
– không gian tồn tại ánh xạ co rút r: U h(X) với U là lân cận mở của h(X)
trong Q Khi đó h -1 r: U X là r - ánh xạ, suy ra X = r(U) với U mở trong Q,
hay X là r - ảnh của tập con mở của tập lồi trong không gian định chuẩn
Điều kiện đủ: Giả sử X là r - ảnh của tập con mở U Q với Q là tập lồi
trong không gian lồi địa ph-ơng
Giả sử f: U X là r - ánh xạ với nghịch phải g: X U Xét phép đồng
phôi h: X h(X), h(X) đóng trong không gian mêtric X ’ khi đó theo định lý
Dungunji thì ánh xạ = gh -1 : h(X) U, có thác triển liên tục ’
: X ’ Q
Ký hiệu: U ’ = ’-1
(U), khi đó U ’ là lân cận của h(X) trong X ’ Xét
ánh xạ r = hf’ :U ’ h(X), khi đó với mỗi x ’ X, với y = h(x ’ ) h(X) thì: r(y) = hf’
h(x ’ ) = hfgh -1 h(x) = h(x) = y
Vậy r là ánh xạ co rút, hay X là r - ảnh của tập con mở của tập lồi trong
không gian tuyến tính lồi địa ph-ơng
2.1.7 Hệ quả 1. Mỗi r - ảnh của ANR( M) – không gian là ANR(M) –
không gian
2.1.8 Hệ quả 2 Mỗi cái co rút lân cận của ANR( M) – không gian là
2.1.9 Định lý Đối với mỗi không gian X luôn tồn tại không gian
M AR( M) – không gian chứa X nh- là một tập con đóng
2.1.10 Định lý (Hanner 1) Mỗi tập con mở của ANR( M) – không gian
là ANR( M) – không gian
2.1.11 Định lý (Hanner 2) Nếu X là hợp đếm đ-ợc của các không gian G i , i = 1,2, , G i là ANR( M) – không gian thì X là ANR(M) – không gian
Trang 11i) Nếu X là ANR( M) – không gian thì tồn tại lân cận mở U của X trong X ’
sao cho ánh xạ tuỳ ý f: X Y có thác triển liên tục f ’ : U Y
ii) Nếu X là AR( M) – không gian thì ánh xạ bất kỳ f: X Y có thác triển liên tục f ’ : X ’ Y
2.2.2 Định lý. Giả sử Y là không gian mêtric, khi đó:
i) Y là AR( M) – không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X của
không gian mêtric X ’ và mỗi ánh xạ f: X Y đều có thác triển liên tục f ’ :
X ’ Y
ii) Y là ANR( M) – không gian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X
của không gian mêtric X ’ và mỗi ánh xạ f: X Y đều có thác triển liên tục lên lân cận U của X trong X ’
2.2.3 Định lý Giả sử X 1 , X 2 là các không gian metric, X = X 1 X 2 và X 0 =X 1X 2 , khi đó:
i) Nếu X 0 , X 1 , X 2 AR( M) – không gian thì X AR( M) – không gian
ii) Nếu X 0 ,X 1 ,X 2 ANR( M) – không gian thì X ANR( M) – không gian
iii) Nếu X 0 ,X AR( M) – không gian thì X 1 ,X 2 AR( M) – không gian
iv) Nếu X 0 ,X ANR( M) – không gian thì X 1 , X 2 ANR( M) – không gian
2.2.4 Định lý Nếu X là một tập con đóng của hình hộp Hilbert Q thì với mỗi lân cận U của X trong Q, tồn tại tập AANR( M) sao cho X A U
Trang 122.3.2 Định nghĩa Không gian X đ-ợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối hay
ANR – không gian nếu X là không gian metric compact và X là ANR( M) –
không gian
Khi đó ta viết XANR
2.3.3 Định lý Giả sử X là không gian metric, khi đó
(i) X là AR – không gian khi và chỉ khi X là r - ảnh của hình hộp Hilbert Q (ii) X là ANR – không gian khi và chỉ khi X là r - ảnh compact của tập con mở của hình hộp Hilbert Q
Chứng minh (i) Giả sử XAR – không gian, theo định lý Ur-xơn
([2].tr.94) “Mỗi AR – không gian có thể nhúng đồng phôi vào hình hộp Hilbert Q” cho nên tồn tại phép đồng phôi h:Xh(X) trong Q Vì X là tập compact nên h(X) là tập compact trong Q do đó h(X) đóng trong Q Mặt khác, XAR( M)) – không gian suy ra tồn tại phép co rút r:Qh(X) Khi đó ánh xạ h -1 r:QX
là r - ánh xạ với nghịch phải là h
Thật vậy, xX ta có: h -1 rh(x) = h -1 (rh(x)) = h -1 h(x) = x Vậy h -1 r
là r - ánh xạ
Ng-ợc lại, do hình hộp Hilbert Q là tập lồi trong không gian Hilbert nên
Q là AR( M) – không gian và Q là tập compact do đó Q là AR – không gian vì vậy r-ảnh của Q cũng là AR – không gian
(ii).Xem ([7].tr.15)
2.3.4 Định lý (i) Mỗi r - ảnh của AR – không gian là AR – không gian
Trang 13Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
(ii) Mỗi r - ảnh của ANR – không gian là ANR – không gian
Chứng minh xem ([7].tr.17)
2.3.5 Định lý Không gian metric compact X là ANR – không gian khi và
chỉ khi mọi xX đều có lân cận là ANR – không gian
Chứng minh Theo định lý (2.1.10,ch-ơng1)) thì mọi điểm của ANR( M) – không gian đều có lân cận U là ANR – không gian
Ng-ợc lại, giả sử rằng X là không gian metric compact sao cho với mọi
xX đều có lân cận U x là ANR( M) – không gian Khi đó phần trong của lân cận U x cũng là ANR( M) – không gian và là tập mở, các phần trong này phủ
X Từ X là tập compact nên tồn tại một số hữu hạn các tập là ANR( M) phủ X Theo định lý (2.1.11, ch-ơng 1) ta suy ra X là ANR(M) – không gian Kết hợp
với X là tập compact ta có X là ANR – không gian
2.3.6.Định lý. Mỗi không gian mêtric compact là ảnh đồng phôi của tập con đóng của AR - không gian
2.3.7 Định lý. X AR - không gian khi và chỉ khi X là ảnh đồng phôi của cái co rút của hình hộp Hilbert Q
2.3.8 Định lý. XANR - không gian khi và chỉ khi X là ảnh đồng phôi của cái co rút lân cận của hình hộp Hilbert Q
Đ 3 dãy cơ bản yếu – co rút cơ bản yếu 3.1 Dãy cơ bản yếu
3.1.2.Định nghĩa Giả sử X, Y lần l-ợt nằm trong các AR( M) – không gian
M, N, f k : X Y, k = 1, 2, , là dãy ánh xạ liên tục Một dãy cơ bản yếu là
Trang 14Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
bộ ba gồm X, Y, f k , k =1,2,…; thoả mãn với mỗi không gian compact A X có
một không gian compact B Y sao cho mỗi lân cận Vcủa B trong N luôn tồn
tại lân cận U của A trong M sao cho:
f k /U f k+1 /U trong V với hầu hết k
Khi đó ta ký hiệu: F = { f k , X , Y } M,N là dãy cơ bản yếu
3.1.2 Định nghĩa Giả sử X,Y lần l-ợt nằm trong các AR( M ) – không gian
M,N, f: X Y là một ánh xạ liên tục Dãy cơ bản yếu F = {f k ,X,Y} M,N đ-ợc
gọ i là dã y c ơ b ản y ếu si nh bởi ánh x ạ f nếu f k ( x ) = f ( x) vớ i mọi
x Y , k = 1 ,2 .
3.2 Dãy co rút cơ bản yếu, cái co rút lân cận cơ bản yếu
3.2.1 Định nghĩa Giả sử X, X ’ là các tập con đóng của không gian M
và X X ’ Một dãy cơ bản yếu R = { r k , X ’ , X} M,M đ-ợc gọi là dãy co rút cơ
bản yếu của X ’ lên X nếu r k (x) = x x X với k = 1, 2,
Nếu tồn tại dãy co rút cơ bản yếu từ X ’ lên X thì X đ-ợc gọi là cái co rút cơ
bản yếu của X ’
gọi là cái co rút lân cận cơ bản yếu của X ’ nếu tồn tại lân cận đóng V của X trong X ’ sao cho X là cái co rút cơ bản yếu của X ’
3.2.2 Định lý Nếu r: X ‘ X là phép co rút của tập con đóng X ’ lên X trong M thì mọi dãy cơ bản yếu R = { r k , X ’ , X} M,M đ-ợc sinh ra bởi r là một dãy
co rút cơ bản yếu của X ’ lên X
3.2.3 Định lý Nếu X X ’ X ’’ và nếu R = { r k , X ’ , X} M,M và R ’ = { r ’ k , X ’’ , X ’ } M,M là các dãy co rút cơ bản yếu thì RR ’ = {r k r ’
k , X”,X ’ } M,M là một dãy co rút cơ bản yếu
3.2.4 Định lý Nếu M, N AR( M) – không gian và nếu X là cái co rút
cơ bản yếu của X ’ M thì mỗi cặp tập đóng (Y ’ , Y) trong M và đồng phôi với
~
Trang 15Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
(X ’ ,X) thì Y là cái co rút cơ bản yếu của Y ’ (Cặp đóng (X ’ ,X) đ-ợc hiểu là X
đóng trong X ’ và X ’ đóng trong M)
Chứng minh Giả sử R = { r k , X ’ , X} M , M là dãy co rút cơ bản yếu
và h: (X ’ ,X) (Y ’ , Y) là phép đồng phôi Vì X ’ đóng trong M AR( M ) - không gian và Y ’ đóng trong N AR( M ) - không gian do đó tồn tại ánh xạ g: M N và g ’ : N M sao cho:
Mặt khác, với mỗi y Y ta có: s k (y) = gr k g ’ (y) = hh -1 (y) = y suy ra
S ={s k ,Y,Y} N,N là dãy co rút cơ bản yếu
3.2.5 Định lý Nếu X là cái co rút của X ’ thì X là cái co rút cơ bản yếu của X ’
3.2.6 Định lý Nếu X là cái co rút lân cận của X ’
thì X là cái co rút lân cận cơ bản yếu của X ’
Trang 16Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Ch-ơng 2
Co rút cơ bản tuyệt đối, co rút lân cận cơ bản tuyệt đối trên lớp các không gian mêtric
Đ1 far(M) – không gian và fanr(M) – không gian.
1.1.Định nghĩa Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút cơ bản tuyệt đối
đối với mọi không gian mêtric nếu với mỗi không gian X ’
chứa X nh- là tập con đóng thì X là cái co rút cơ bản yếu của X ’
Khi đó ta viết: X FAR( M )
1.2 Định nghĩa Không gian mêtric X đ-ợc gọi là co rút lân cận cơ bản
tuyệt đối đối với mọi không gian mêtric nếu với mỗi không gian X ’ chứa X nh-
là tập con đóng thì X là cái co rút lân cận cơ bản yếu của X ’
Khi đó ta viết: X FANR( M)
1.3 Nhận xét Nếu X FAR( M) – không gian thì X FANR( M) –
không gian
Thật vậy, giả sử X FAR( M) – không gian, khi đó với mỗi không gian
mêtric X’ chứa X nh- là tập con đóng thì X là cái co rút cơ bản yếu của X ’ Khi
đó ta chọn V = X ’ , rõ ràng V là lân cận của X trong X ’ do đó X là cái co rút lân cận cơ bản yếu của X ’ , hay X FANR( M) – không gian
1.4 Định lý Mỗi không gian đồng phôi với FAR( M) – không gian là
Trang 17Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Chứng minh Giả sử X FAR( M) - không gian, Y là tập con đóng của không gian Y’ với Y’ đóng trong N AR( M) – không gian và Y đồng phôi với X Bây giờ chứng minh Y FAR( M) – không gian, hay chứng minh rằng tồn tại dãy cơ bản yếu S = {s k , Y’,Y } N,N
tồn tại thác triển liên tục h ’ của h lên toàn bộ Y ’ bởi ánh xạ h ’ : Y ’ X thoả
mãn h ’ (y) = h(y) y Y ta suy ra X = h ’ (Y) Đặt X ’ = h ’ (Y ’ ), vì h ’ liên tục và
Y đóng trong Y ’ suy ra X đóng trong X ’ Do X FAR( M) – không gian nên tồn tại dãy cơ bản yếu R = { r k , X ’ , X} M,M
Lập dãy các ánh xạ s k : Y ’ Y với s k = h -1 r k h ’ , k = 1,2, , khi đó y Y ta
có s k (y) = h -1 [r k h ’ (y)] = h -1 [h(y)] = y Do đó S = {s k ,Y ’ ,Y} N,N là dãy cơ bản
yếu trong N hay Y là cái co rút cơ bản yếu của Y ’ từ đó suy ra Y FAR( M) –
không gian
1.5 Định lý Mỗi không gian đồng phôi với FANR( M) – không gian là
Chứng minh Cho X FANR( M) - không gian, Y là không gian mêtric và
Y đồng phôi với X Ta chứng minh YFANR( M) - không gian, nghĩa là chứng minh với mọi không gian Y' chứa Y nh- là tập con đóng thì Y là cái co rút lân cận cơ bản yếu của Y '
Thật vậy, từ định lý Kuratowsky ta có thể giả thiết rằng X Z với Z
và h: X Y là ánh xạ đồng phôi Đặt g = h -1 :Y X rõ ràng g là ánh xạ liên
tục Theo định lý Dungunji về thác triển ánh xạ, tồn tại ánh xạ g * : Y ' M là
Trang 18Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
thác triển liên tục của g lên toàn bộ Y ' , vì vậy g * (y) = g(y) = h -1 (y) với mọi
yY, do đó X = g * (Y)
Đặt X' = g*(Y'), do g* liên tục và Y đóng trong Y' nên X sẽ đóng trong X'
Theo giả thiết XFANR( M) - không gian nên X là cái co rút lân cận cơ bản yếu của X ' , nghĩa là tồn tại một lân cận đóng W của X trong X ' sao cho X
là cái co rút cơ bản yếu của W
Đặt V = g *-1 (W), vì g * liên tục nên V là lân cận đóng của Y trong Y '
Giả sử R = {r k , W,X} Z,Z là dãy co rút cơ bản yếu từ W lên X theo Z, ta xét dãy F = {f k ,V,Y} N,N với f k = hr k g * : V Y , k = 1,2, là dãy các ánh xạ liên
tục (vì các ánh xạ h, r k , g * liên tục) và khi đó với mọi yY ta có:
f k (y) = h[r k (g * (y))] = h[r k (g(y))] = h[r k (h -1 (y))] = h[h -1 (y)] = y
Vì vậy, F = {f k , V,Y} N,N là dãy co rút cơ bản yếu từ V lên Y trong N hay
YFANR( M ) - không gian
1.6 Định lý i) Nếu X AR( M) – không gian thì X FAR( M) – không
gian
ii) Nếu X ANR( M) – không gian thì X FANR( M) – không gian
Chứng minh i) Giả sử X là AR( M) – không gian, khi đó mọi không gian mêtric X ’ chứa X nh- là tập con đóng thì tồn tại ánh xạ co rút r:X ’ X
Đặt R = r k =r, X ’ , XM,M , với giả thiết X ’ M AR( M) – không gian Với cách đặt nh- vậy thì R = r k = r, X ’ , XM,M là dãy co rút cơ bản yếu từ X ’ lên X sinh bởi ánh xạ co rút r, hay X FAR( M) – không gian
T-ơng tự ta cũng chứng minh đ-ợc ii)
1.7 Định lý X FAR( M ) - không gian khi và chỉ khi X là cái co rút
cơ bản yếu của AR( M ) –không gian
Trang 19Nguyễn Đức Văn Luận văn thạc sĩ
Chứng minh Tr-ớc hết giả thiết rằng X là cái co rút cơ bản yếu của không
gian M AR( M ) – không gian Khi đó nếu X chứa X nh- là một tập con
đóng thì từ (2.1.9, ch-ơng 1) suy ra tồn tại một không gian N AR( M) - không gian chứa X ’ nh- là một tập con đóng Theo (3.2.4, ch-ơng 1), tồn tại
dãy co rút cơ bản yếu S = s k ,N,XN,N , đặt R = s k ,X ’ ,XN,N thì R là dãy co rút cơ bản yếu từ X ’ lên X trong N
Mặt khác, với mỗi không gian X FAR(M ) -không gian theo
(2.1.9, ch-ơng 1) luôn tồn tại M AR( M ) - không gian chứa X nh- một tập con đóng Khi đó nếu X FAR( M ) – không gian thì X là cái co rút cơ bản yếu của M
1.8 Hệ quả Mỗi cái co rút cơ bản yếu của FAR( M ) - không gian là
FAR( M) - không gian
1 9 Định lý X là FANR( M) – không gian khi và chỉ khi X là cái co
rút cơ bản yếu của ANR( M) – không gian
Chứng minh Giả sử X là FANR( M) – không gian, khi đó mỗi N AR( M) – không gian chứa X nh- một tập con đóng thì X là cái co rút cơ bản yếu của N Ng-ợc lại, nếu X là cái co rút lân cận cơ bản yếu của mọi M ANR( M) – không gian chứa nó, khi đó tồn tại lân cận đóng W của X trong M và X là cái co rút của W
Giả thiết rằng, i(X) = X là tập con đóng của không gian định chuẩn N nào
đó và NANR( M) – không gian, với i: XX là ánh xạ đồng nhất trên X Nh-
vậy ánh xạ lồng i:XN có thác triển liên tục h:MN