Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lí hình học không gian (chương quan hệ vuông góc hìmh học lớp 11

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN ------ VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM TRỰC QUAN VÀO VIỆC HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC - HÌNH HỌC LỚP 11 KHOÁ LUẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN - -

VẬN DỤNG QUAN ĐIỂM TRỰC QUAN VÀO VIỆC HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH

LÝ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

(CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC - HÌNH HỌC LỚP 11 )

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngành học: CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN

Cán bộ hướng dẫn khoá luận: GS.TS Đào Tam

THS Thái Thị Hồng Lam

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này tôi xin chân thành cảm ơn:

- PGS.TS Đào Tam – Khoa toán – Trường đại học Vinh

- Thạc sĩ Thái Thị Hồng Lam - Khoa toán – Trường đại học Vinh

- Thầy giáo Nguyễn Văn Thịnh – Giáo viên trường THPT Triệu Sơn – Thanh Hoá

- Các thầy cô giáo trong Khoa toán – Trường đại học Vinh cùng gia đình

và toàn thể bè bạn đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Do thời gian ít, năng lực bản thân còn hạn chế, kinh nghiệm trong giảng dạy còn non yếu nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận dược sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn

Vinh, tháng 4 năm 2003

Người thực hiện:

Vũ Đoàn Kết

Mục lục

Trang

1 Khái niệm trực quan 4

2 Toán học là một khoa học trừu tượng 25

3 Trình độ tư duy trừu tượng của học sinh còn thấp 28

4 Mâu thuẫn trong nội bộ môn toán 29

5 Quan điểm đổi mới Phương pháp dạy học 31

Phần 2: Các biện pháp dạy học trực quan 33

1- Sử dụng đồ dùng dạy học 33 2- Sử dụng kiến thức đã biết (có trước) của học sinh 39

4- Sử dụng phương tiện trực quan là phần mềm ứng dụng 53

Chương III Thực nghiệm sư phạm 57

MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài:

Để học tốt môn toán nói chung và môn hình học không gian (lớp 11) nói riêng thì người học cần nắm vững hệ thống các khái niệm và định lý toán học

Sách giáo khoa đã trình bày các khái niệm, các định lý và nêu cách chứng minh một số định lý, song lại chưa chỉ ra con đường hình thành và cách học khái niẹm và định lý ra sao để học sinh dễ tiếp thu

Nhìn chung học sinh phổ thông học khái niệm và định lý toán học một cách máy móc, ghi nhớ nhưng chưa hiểu bản chất của khái niệm và định lý, điều đó làm cho tư duy toán học cuả các em kém phát triển

Giáo viên trung học phổ thông chưa khai thác và vận dụng tốt quy luật của hoạt động nhận thức mà Lênin đã nêu ra: “Từ trực quan sinh động đến

tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của nhận thức thực tại khách quan” Vì thế học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động, ghi chép và học bài một cách máy móc Điều đó dẫn đến tư duy sáng tạo của các em bị hạn chế ghi nhớ không lôgic

Toán học là một khoa học trừu tượng cao, song toán học lại nảy sinh

và phát triển từ những vấn đề cụ thể trong đời sống thực tiễn Học sinh khi học cũng sẽ tiếp thu tốt hơn nếu giáo viên biết sử dụng tốt mô hình trực quan, hình vẽ, kiến thức có trước… và từ đó khái quát hoá lên cho trường hợp tổng quát và đi đến cái trừu tượng

Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lý hình học không gian (Chương quan hệ vuông góc trong không gian – lớp 11)”

Quan hệ vuông góc trong không gian - được chọn làm minh hoạ cho những ý tưởng của đề tài vì chương này đòi hỏi ở học sinh trí tưởng tượng không gian phong phú, ở khả năng suy diễn linh hoạt, cơ bản và vững chắc Mặt khác khi học sinh bước vào chương này các em đã nắm vững vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đã có những hiểu biét cần thiết về các phương pháp tìm tòi và chứng minh, hay các cách thức hành động qua quá trình nghiên cứu quan hệ song song trong không gian

Bàn về chủ đề phương tiện trực quan, đã có một số tác giả như: PTS Bùi Gia Quang – phương tiện dạy học môn toán.(Tài liệu dùng cho hệ đào tạo Cao học thạc sĩ – chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy Toán)

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là xây dựng hệ thống các biện pháp hình thành khái niệm và định lý ở chương quan hệ vuông góc của hình học không gian lớp 11 theo quan điểm trực quan

III Giả thuyết khoa học:

Nếu quan tâm đúng mức trong việc hình thành khái niệm và định lý về quan hệ vuông góc sẽ giúp học sinh hiểu và nắm được một cách vững chắc kiến thức hình học không gian tạo điều kiện cho các em học hình học không gian tốt hơn

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu khái niệm trực quan và các cấp độ của nó

2 Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lí hình học không gian

3 Xây dựng các phương pháp hình thành khái niệm và định lý

4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm

V Phương pháp nghiên cứu

5.1- Nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu về lý luận, dạy học, phương pháp dạy học, tâm

lý học làm sáng tỏ nội dung của đề tài

Đọc sách giáo khoa và tài liệu tham khảo về phương pháp dạy học khái niệm và diịnh lý

5.2- Điều tra và tìm hiểu:

- Tình hình dạy và học khái niệm, định lý hình học không gian ở trong trường phổ thông

- Những khó khăn mà học sinh và giáo viên gặp phải khi dạy học hình học không gian

5.3- Làm các mô hình trực quan giúp việc dạy học hình học không gian 5.4- Thực nghiệm sư phạm

VI Cấu trúc của luận văn

Mở đầu

Chương I Cơ sở lý luận

Chương II Các biện pháp dạy học trực quan

Chương III Thực nghiệm sư phạm

1 Khái niệm trực quan

1.1 Trực quan

a, Trực quan trong triết học

Để khái quát con đường nhận thức, Lênin viết “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn - đó là con

đường biện chứng của sự nhận thức chân lí, của sự nhận thức thực tại khách quan”

Trong đó “ Trực quan sinh động” được hiểu là giai đoạn đầu tiên của quá trình nhận thức, gắn liền với thực tiễn Trực quan sinh động là phản ánh trực tiếp khách thể bằng các giác quan và diễn ra với các hình thức cơ bản kế tiếp nhau như: cảm giác, tri giác và biểu tượng Như vậy theo Triết học thì trực quan rất quan trọng đối với việc nhận thức khách quan, nó là tài liệu, là

cơ sở đầu tiên khởi nguồn cho sự nhận thức của con người

b, Trực quan trong Toán học

Trong Toán học, trực quan được hiểu là những mô hình, giáo cụ, hình

vẽ, sơ đồ, bảng biểu, kiến thức cũ, những ví dụ cụ thể,…Chúng ta biết rằng Toán học là một khoa học trừu tượng nhưng khi học tập, giảng dạy và nghiên cứu nó thì lại phải sử dụng các mô phỏng trực quan rất cụ thể và không hề trừu tượng

Ví dụ khái niệm về điểm, đường thẳng và mặt phẳng chẳng hạn, đó là những khái niệm rất trừu tượng là những khái niệm cơ bản của toán học không được định nghĩa Khi học tập mọi người đều phải công nhận một chấm phấn là một điểm, một nét kẻ bằng phấn trên bảng đen là một đường thẳng tuy trong toán học điều đó là hoàn toàn không đúng

Trong dạy học toán, vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan là đảm bảo sự chuyển từ “ trực quan sinh động sang tư duy trừu tượng” Trực quan

có vai trò đặc biệt quan trọng vì môn toán đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tượng, khái quát cao hớno với cvác môn học khác và vì trực quan nếu

sử dụng đúng thì sẽ góp phần vào việc phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh

Mặt khác, do sự phát triển về cấu trúc và chức năng của bộ não cũng như tâm sinh lí của học sinh nên tư duy của các em vẫn còn xuất phát từ

ngôn ngữ có hình tượng và có khi cả từ trực quan, cụ thể Năng lực phân tích, tổng hợp trừu tượng hoá, khái quát hoá còn chưa cao

Vì thế khi dạy học,đặc biệt là dạy hình học không gian chúng ta cần quán triệt nguyên tắc dạy học trực quan trong dạy học toán học

Vậy thực hiện nguyên tắc trực quan đó bằng những biện pháp nào? Chúng ta có thể sử dụng các biện pháp sau:

1 Sử dụng thực tế xung quanh (mặt bảng, bức tường, cột nhà, mái nhà, bút, thước,…)

2 Sử dụng những mô hình, giáo cụ do giáo viên và học sinh tự làm

3 Sử dụng ví dụ cụ thể, trình bày bảng đẹp, có thứ tự, viết chữ cẩn thận, sử dụng đúng mức phấn màu…

4 Sử dụng hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, bảng biểu…

5 Sử dụng những hiểu bết của học sinh (kiến thức cũ), những hiểu biết này ở một giai đoạn nào đó là trừu tượng nhưng ở một giai đoạn khác lại trở thành cụ thể Chẳng hạn hình học phẳng là trừu tượng đối với học sinh THCS nhưng đối với học sinh THPT hình học phẳng lại có thể

là “trực quan sinh động” để làm hiểu rõ một vấn đề của hình học không gian trừu tượng

c, Trực quan trong giáo dục học:

Trước đây, các nhà giáo dục học đã từng nói “ Giờ đây khi mà tôi nhìn lại quá khứ và tự hỏi: Thực ra tôi đã làm được gì cho nhân loại? Thì tôi đã tìm thấy ngay điều sau đây: Tôi đã thiết lập được nguyên tắc dạy học tối cao khi thừa nhận trực quan là nền tảng tuyệt đối của bất kỳ quá trình nhận thức nào “ – Pextaloxi

“Trẻ em suy nghĩ bằng hình vẽ, màu sắc, âm thanh, bằng các cảm giác nói chung, do đó đối với trẻ em rất cần thiết việc dạy học trực quan dựa trên những hình ảnh cụ thể, được các em cảm thụ một cách

trực tiếp, chứ không phải dựa trên khái niệm và lời nói trừu tượng” – K.Đ Usinxki

“Trong ý nghĩa nhận thức luận thì trực quan là cái dựa trên những tri giác và biểu tượng cảm tính của học sinh, vì thế dạy học trực quan không có ý nghĩa nhất thiết phải sử dụng tài liệu trực quan “đồ vật”, nhưng trước hết phải xây dựng quá trình dạy học sao cho luôn luôn dựa trên cảm giác, tri giác và chủ yếu trên các biểu tượng của học sinh” – Rôzenblat

Chúng ta nhận thấy sai lầm về phương pháp luận của Pextaloxi là ông đã tuyệt đối hoá phương pháp trực quan Còn K.Đ.Usinxki đã hiểu rộng hơn về trực quan, song ông đã gián tiếp gắn liền “ tính trực quan” với khả năng “nhìn thấy”

Ở Rozenbat đã hiểu “trực quan” trong dạy học rộng hơn khả năng trực tiếp tri giác bằng thị giác Nhưng rồi chúng ta vẫn chưa có được một định nghĩa thõa đáng về “trực quan”!?

Trong khoa học giáo dục ngày nay trực quan được hiểu gồm có hai thuộc tính đó là: tính đẳng cấu và tính đơn giản Như vậy mô hình trực quan phải là một mô hình đơn giản về mặt tri giác( Đơn giản dễ hiểu đối với học sinh) và phản ánh một cách đẳng cấu những nét chủ yếu của đối tượng (phản ánh đúng đắn và đầy đủ đối tượng cần nghiên cứu)

1.2 Các cấp độ của trực quan(các loại trực quan)

Trong phạm vi của luận án tốt nghiệp này chúng ta chỉ xét 2 loại trực quan cơ bản sau:

- Trực quan vật chất

- Trực quan trừu tượng (trực quan phi vật chất)

Trong đó, trực quan vật chất là những vật dụng cụ thể như: mô hình, biểu tượng, giáo cụ tự làm, hình vẽ, bản đồ, bảng biểu, máy móc…Đối với loại trực quan này học sinh có thể trực tiếp quan sát, sử dụng nghiên cứu và học tập Còn trực quan trừu tượng là những ví dụ

cụ thể, những kiến thức, những kinh nghiệm mà học sinh đã có Đối với loại trực quan này nó không phải là những vật dụng nên học sinh không thể quan sát trực tiếp mà học sinh phải liên tưởng một cách gián tiếp Để sử dụng được loại trực quan này thì học sinh phải nắm vững kiến thức trước đó, phải nắm được những ví dụ những bài tập ở mức độ trừu tượng thấp để làm trực quan cho mức độ trừu tượng cao hơn Ví dụ

để xem kiến thức hình học phẳng là trực quan của kiến thức hình học không gian thì học sinh phải nắm vững kiến thức của hình học phẳng

Có như vậy hình học phẳng mới trở thành công cụ trực quan cho hình học không gian được

Như vậy, trong quá trình dạy học, tuỳ vào từng đối tượng học sinh như thế nào mà ta sử dụng loại trực quan nào cho phù hợp Kết quả của việc giảng dạy trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn và sử dụng các phương tiện trực quan trong từng giai đoạn của quá trình dạy học toán Chẳng hạn, trong giai đoạn đầu tiên dạy hình học không gian cần chú trọng sử dụng thực tế xung quanh và mô hình để học sinh dễ tưởng tượng trên hình vẽ, nhưng sau này khi học sinh đã quen đọc đúng hình

vẽ không gian thì không cần mô hình nữa mà khi cần thiết sẽ vẽ riêng một số yếu tố phẳng nào đó của hình không gian theo đúng hình dạng lên mặt phẳng để học sinh dễ nhận thức, suy luận

Việc không sử dụng phương tiện trực quan và việc lạm dụng trực quan đều ảnh hưởng không tốt đến chất lượng học toán Chúng ta cần nhớ trực quan chỉ là phương tiện chứ không phải là mục đích Trực

quan đóng vai trò phát triển tư duy của học sinh, Cho nên nếu học sinh

có thể nhận thức được vấn đề mà không cần đồ dùng trực quan (phương tiện trực quan) thì lúc đó trực quan là hoàn toàn không cần thiết Khi sử dụng trực quan ta không nên dừng quá lâu mà nhanh chóng chuyển sang giai đoạn tư duy trừu tượng để phát triển tư duy cho học sinh lên mức độ cao hơn

Đ1 Hai đường thẳng vuông góc

Đ2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Về bài tập:

Sách giáo khoa đã đưa ra một hệ thống rất phong phú bao gồm 32 bài tập và 6 bài ôn tập chương với nội dung chủ yếu là các vấn đề sau: +) Tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

+) Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc trong không gian

+) chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

+) Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

+) Chứng minh các đẳng thức hình học và bất đẳng thức hình học

+) Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

+) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

+) Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

+) Chứng minh nhiều đường đồng phẳng

+) Chứng minh một đường di động luôn đi qua một điểm cố định

2.2 Hệ thống định nghĩa SGK gồm có:

+) Định nghĩa 1: Góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O chúng tạo thành bốn góc

Số đo của góc nhỏ nhất trong 4 góc đó được gọi là số đo góc hợp bởi 2 đương thẳng a, b hay đơn giản là góc giữa

hai đường thẳng a,b kí hiệu là ( b a, )

Khi a  b thì ( b a , )

= 900

Vậy: 00  ( b a , )

 900 +) Định nghĩa 2: Góc giữa hai đường thẳng a,b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’,b’ lần lượt song song với a và b

+) Định nghĩa 3: Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc gữa chúng bằng 900

+) Định nghĩa 4: Một đường thẳng  gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó

+) Định nghĩa 5: Phép chiếu song song

lên mặt phẳng (P) theo phương l sẽ gọi

là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng

(P) nếu l  mp(P) Cũng có thể gọi nó

đơn giản là phép chiếu lên mp(P)

Nếu (H’) là hình chiếu vuông góc của hình (H) lên mp(P) thì ta cũng nói gọn: (H’) là hình chiếu của (H) lên (P)

+) Định nghĩa 6: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó

+) Định nghĩa 7: Phép đối xứng qua

mp() là phép cho tương ứng với mỗi

điểm M trong không gian với một điểm

M’ sao cho mp() là mặt phẳng trung

trực của đoạn MM’

+) Định nghĩa 8: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

+) Định nghĩa 9:

Một hình lăng trụ được gọi là lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các mặt đáy

Một hình lăng trụ đứng có đáy là miền đa giác đều được gọi là lăng trụ đều

Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng

Một hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật

Một hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phương +) Định nghĩa 10: Hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp đều gọi là một hình chóp cụt đều

+) Định nghĩa 11: Giả sử a, b là hai

đường thẳng chéo nhau, đường vuông

góc chung của chúng cắt a và b lần

lượt tại M và N Đoạn MN được gọi

là đoạn vuông góc chung của a và b

Độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

+) Định nghĩa 12: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a' của nó trên (P)

+) Định nghĩa 13: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

+) Định nghĩa 14: Hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng () và () có chung bờ a gọi là nhị diện

+) Định nghĩa 15: Hình hợp bởi ba tia ox, oy, oz không đồng phẳng được gọi

là một tam diện

2.3 Hệ thống định lý trong SGK gồm có:

Định lý 1: Cho hai dường thẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai

Định lý 2: Nếu đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng a,b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì  vuông góc với mọi đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P)

Định lý 3: Qua một điểm O cho trước, có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng  cho trước

Định lý 4: Qua một điểm O cho trước, có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước

Định lý 5: (Định lý 3 đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P)

Một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu của a trên mặt phẳng (P)

Định lý 6: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó

Định lý 7: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Định lý 8: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trên (P) Thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

Định lý 9: Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ hai thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Định lý 10: Qua một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có một và chỉ một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P)

Định lý 11: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một đường thẳng  cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy Đường thẳng  đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b

Định lý 12: Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu S'=Scos

2.4 Cách trình bày của các tài liệu về quan hệ vuông góc:

2.4.1 Quan hệ vuông góc trong hình học Ơclit:

Trong không gian Ơclit En cho phẳng  với phương  và phẳng  với phương  Hai phẳng  và  gọi là trực giao, ký hiệu    nếu hai không gian véc tơ  và  trực giao (tức mọi vectơ của  trực giao với mọi vectơ của )

Hai phẳng  và  gọi là bù trực giao nếu  và bù trực giao trong n

E Tính chất:

1) Hai phẳng trực giao có không quá một điểm chung Hai phẳng bù trực giao có một điểm chung duy nhất

2) Nếu  trực giao với  và  bù trực giao với  thì  và  là hai cái phẳng song song

3) Hai phẳng cùng bù trực giao với phẳng thứ 3 thì song song với nhau (và có cùng số chiều)

4) Qua một điểm đã cho có duy nhất một phẳng bù trực giao với một phẳng đã cho

2.4.2 SGK lớp 7:

Định nghĩa: ở hình bên hai đường thẳng

xx' và yy' cắt nhau ở O Nếu góc xOy

xx' và yy' được gọi là hai đường thẳng vuông và được ký hiệu xx'yy'

Định lý: " Qua một điểm O nằm trên (hoặc nằm ngoài) đường thẳng a, có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với a"

3 Cơ sở lí luận dạy học:

Trong quá trình dạy học môn toán chúng ta gặp 3 tình huống sau đây:

- Dạy học những khái niệm và định nghĩa

- Dạy học những định lý và chứng minh

- Dạy giải các bài tập toán

Trong toàn bộ quá trình đó các hoạt động cơ bản cần chú trọng là:

- Hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện"

- Hoạt động toán học phức hợp

- Hoạt động trí tuệ và các thao tác tư duy

- Hoạt động ngôn ngữ

3.1 Dạy học khái niệm toán học

Việc hình thành hệ thống các toán học là rất cần thiết và hết sức quan trọng vì nó tạo nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền

đề hình thành khả năng vận dụng hiệu qủa các kiến thức đã học, và góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng

* Việc dạy học khái niệm cần làm cho học sinh từng bước đạt được các yêu cầu sau:

1- Nắm vững các tính chất, đặc trưng cho một khái niệm

2- Biết nhận dạng khái niệm và thể hiện khái niệm

3- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

4- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

5- Nắm được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một

hệ thống các khái niệm

* Để hình thành một khái niệm mới người ta thường dẫn dắt học sinh đi theo hai con đường, đó là con đường quy nạp và con đường suy diễn

+) Quy nạp: Là xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (trực quan- như mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể, ) sau đó khái quát hoá để tìm các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm, rồi từ đó đi đến định nghĩa nó

Ví dụ: Để hình thành khái niệm phương trình mũ, ta có thể lấy một số ví dụ

cụ thể về phương trình mũ:

Các phương trình sau gọi là phương trình mũ:

3

2x  x 1 (1)

2 2

2 1 ) 2 (x  x  x (3)

? Từ các ví dụ trên em nào có thể đưa ra khái niệm phương trình mũ?

- Nhận xét: + Ở phương trình (1), (2) có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa

+ Ở phương trình (3) có chứa ẩn số ở cả số mũ và cơ số Vậy đặc điểm chung của 3 phương trình trên là đều chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa

Từ nhận xét đó ta đi đến định nghĩa: "Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa”

+) Suy diễn: Là xuất phát từ một hay một số khái niệm mà học sinh đã biết

để hình thành định nghĩa của một khái niệm mới

VD: Khái niệm phép vị tự được định nghĩa thông qua khái niệm phép biến hình "cho mọt điểm O và số k  0, phép biến hình biến một điểm M bất kỳ thành điểm M' sao cho OM' k OM OMgọi là phép vị tự tâm O tỉ số k"

- Các hoạt động tương thích với khái niệm là định nghĩa và phân chia khái niệm

- Quy trình dạy học khái niệm thường là: nhận dạng, thể hiện, vận dụng và sắp xếp khái niệm mới và hệ thống khái niệm đã có

+ Khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá khái niệm

Chú ý: Trong quá trình dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông,

không phải khái niệm nào cũng được định nghĩa một cách tường minh qua các khái niệm khác Vì hai lý do sau:

+ Thứ nhất có những khái niệm là khái niệm xuất phát (khái niệm ban đầu) của khoa học toán học Ví như khái niệm "điểm" , "đường thẳng", "mặt phẳng",

Chúng ta định nghĩa hình vuông thông qua khái niệm hình thoi

định nghĩa hình thoi thông qua khái niệm hình bình hành định nghĩa hình bình hành thông qua khái niệm hình thang định nghĩa hình thang thông qua khái niệm hình tứ giác định nghĩa tứ giác thông qua khái niệm đoạn thẳng

định nghĩa đoạn thẳng thông qua khái niệm điểm

Nhưng không thể định nghĩa "điểm" thông qua một khái niệm khác

giải thích cặn kẽ nó cũng không ảnh hưởng gì đến việc tiếp thu kiến thức của các em

3.2 Dạy học định lý:

Khi có trong tay hệ thống những khái niệm cần thiết, học sinh sẽ được trang bị thêm những kiến thức cơ bản của toán học đó, những định lí, tính chất và cách chứng minh chúng Việc học định lí và chứng minh định lí rất quan trọng vì nó góp phần phát triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho các em

Chính vì thế, khi dạy học định lí phải từng bước gúp các em đạt được các yêu cầu sau:

1- Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ gữa chúng Sau đó rèn luyện khả năng vận dụng chúng vào việc giải toán

2- Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác

3- Phát triển tư duy, năng lực chứng minh toán học ở các em

* Để tiếp cận với một định lí mới ta có hai con đường:

+ Suy đoán : là tạo ra tình huống có vấn đề để giúp học sinh dự đoán, phát hiện ra định lí, từ đó tìm cách chứng minh, phát biểu và cũng cố định lí

Trong đó, việc tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh suy nghĩ và đưa ra dự đoán là khâu đầu tiên rất quan trọng, giáo viên phải có được những tình huống hợp lí, những câu hỏi gợi mở tối ưu hướng vào định lí giúp học sinh tự phát hiện ra định lí

VD Để hình thành định lí hàm số sin chúng ta phải có thể cho học sinh phát hiện ra định lí xuất phát từ những trường hợp đặc biệt:

+ Trong  đều ABC ta có : a a R

C

AB B

AC A

BC

2 3

2 60 sin sin

sin

+ Trong  vuông ABC, vuông tại A ta cũng có:

BC BC R

A

BC

2 90

sin sin  0   (R- bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

B

B BC

B

AC

2 sin

sin

C

C BC

C

AB

2 sin

sin

C

AB B

AC A

BC

2 sin sin

+ Trong  ABC bất kì thì kết luận trên có còn đúng nữa không?

* Dự đoán trong ABC bất kỳ ta có : R

C

c B

b A

a

2 sin sin

Trong “phương pháp dạy học môn toán” của hai tác giả: Nguyễn Bá Kim và Vũ Dương Thụy đã đưa ra sơ đồ minh hoạ hai con đường này như

sau:

- Trong dạy học định lý thì hoạt động lôgic đặc trưng là chứng minh toán học theo các cách: Trực tiếp, gián tiếp, phản chứng, quy nạp toán học Ngoài ra còn hoạt động ngôn ngữ: Thay đổi hình thức phát biểu định lí, hình vẽ, kí hiệu toán học nhằm rèn luyện năng lực diễn đạt

- Quy trình dạy học định lí thường là: Nhận dạng (hay phát hiện), chứng minh, hệ thống hoá, củng cố, vận dụng định lí ( đặc biệt hoá, khái quát hoá, lật ngược vấn đề, )

Trong đó, để củng cố và khắc sâu định lí, chúng ta phải tổ chức cho học sinh rèn luyện các hoạt động sau:

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí

- Hoạt động ngôn ngữ

- Hoạt động khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá định lí

3.3 Các hoạt động cơ bản cần chú trọng trong hoạt động dạy học toán nói chung và trong dạy học khái niệm, định lí toán học nói riêng

Trong quá trình dạy toán chúng ta phải cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học - nghĩa là việc nắm vững nội dung là điều kiện hoặc kết quả của hoạt động đó

1 Hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện"

"Nhận dạng " và "thể hiện " là hai dạng hoạt động theo chiều hưóng trái ngược nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một phương pháp

- Nhận dạng một khái niệm - là tạo ra một đối tượng cho trước có đặc trưng của một khái niệm nào đó hay không?

- Thể hiện một khái niệm - là tạo ra một đối tượng có các đặc trưng của khái niệm đó (Có thể đòi hỏi đối tượng phải thoả mãn một số yêu cầu khác nữa)

-Nhận dạng một định lí - là phát hiện xem một tình huống cho trước

có phù hợp, ăn khớp với một định lí nào đó hay không?

- Thể hiện một định lí - là xây dựng một tình huống phù hợp, ăn khớp với một định lí cho trước

2 Hoạt động toán học phức hợp

Đó là những hoạt động như chứng minh, định nghĩa, tìm tập hợp điểm, dựng hình, Những hoạt động này giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học và phát triển năng lực giải toán

3 Hoạt động trí tuệ phổ biến và các thao tác tư duy

Đó là các hoạt động như phân chia các trường hợp của một tình huống, lật ngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm) và hoạt động tư duy làm các thao tác tư duy gồm: Phân tích, tổng hựop, so sánh, tương tự hoá, trừu tưọng hoá, khái quát hoá,

4 Những hoạt động ngôn ngữ

+ Hoạt động ngôn ngữ khi dạy học khái niệm:

- Cần diễn đạt định nghĩa một cách chính xác

- Phát biểu định nghĩa bằng nhiều cách tương đương

- Sử dụng các kí hiệu toán học để mô tả định nghĩa toán học

+ Hoạt động ngôn ngữ khi dạy học các định lí:

- Cần phải phát biểu chính xác định lí toán học

- Phát biểu định lí đó bằng nhiều cách tương đương

- Sử dụng các kí hiệu toán học để thể hiện các định lí

*) Để tiến hành các hoạt động toán học và hoạt động có hiệu quả cao thì chúng ta phải gây động cơ và phân bậc hoạt động Cụ thể là:

+ Mỗi nội dung dạy học thưòng có nhiều hoạt động tương thích, mỗi hoạt động lại có mục đích riêng của nó, nên cần sàng lọc những hoạt động

đã phát hiện để tập trung vào một số mục đích nhất định Sau khi đã đạt được, coi chúng là phương tiện để đạt những mục đích còn lại, Vì vậy đòi hỏi học sinh phải có ý thức về hệ thống mục đích cần đạt và tạo được động lực bên trong để thúc đẩy bản thân tiến trình hoạt động Vì thế việc gọi động

cơ phải được xuyên suốt quá trình dạy học: Từ lúc mở đầu, qua trung gian cho tới khi kết thúc, đồng thời bảo đảm tính hướng đích của nó

+ Điều quan trọng là xác định được mức độ yêu cầu của từng hoạt động

mà học sinh phải đạt ở giai đoạn nào trong toàn bộ giờ học Do đó cần phân bậc chúng để làm căn cứ điều khiển quá trình học tập

4 Cơ sở thực tiễn:

Sau khi tham khảo, tìm hiểu thực trạng giảng dạy ở một số trường phổ thông như trường Tây Hiếu (Nghĩa Đàn- Nghệ An), trường Triệu Sơn 4, trường bán công(Triệu Sơn Thanh Hoá) Tôi nhận thấy:

+ Giáo viên chỉ quan tâm đến việc truyền thụ tri thức trên cơ sở lí thuyết, ít quan tâm đến việc trực quan hoá giúp học sinh dễ hiểu và hiểu rõ hơn lí thuyết

+ Hầu hết giáo viên đều không dùng đồ dùng dạy học trực quan khi dạy hình học không gian với lí do :không có thời gian chuyển bị và cũng không

có thời gian cho học sinh quan sát nghiên cứu các mô hình trực quan trong tiết học

+Đồ dùng dạy học trực quan ở trường phổ thông rất nghèo nàn, lãnh đạo nhà trường cũng chưa quan tâm nhiều đến vấn đề này

+Chính vì chưa quan tâm đến việc sử dụng phương tiện trực quan, nên các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc chuyển tiếp từ hình học phẳng sang hình học không gian, từ đó hình học không gian trở thành "gánh nặng" đối với các em - đặc biệt là học sinh lớp 11

+ Nhu cầu học hình học không gian của học sinh ngày càng tăng với hai lí do cơ bản sau:

- Mức độ tư duy trừu tượng của học sinh ngày càng tăng, các em háo hức muốn khám phá những kiến thức mới lạ ở hình học không gian, muốn quan sát và thấu hiểu các mối quan hệ thú vị sống động trong không gian ba chiều rất thực tế nhưng cũng huyền ảo và thú vị

- Xu hướng thi đại học ngày nay bao giờ cũng có phần hình học không gian

- Lên lớp 12 các em phải học về phương pháp toạ độ trong không gian Kiến thức không gian lớp 11 sẽ giúp cho các em rất nhiều

*) Kết luận chương 1

- Chương 1 của luận án đã nêu lên được khái niệm về trực quan trong các lĩnh vực: triết học, giáo dục học và toán học Trong lĩnh vực toán học

chủ yếu phân tích và bàn luận về trực quan đơn giản, tức là chỉ nói về mặt đơn giản của trực quan và các cấp độ của nó, còn mặt thứ hai của trực quan

là tính đẳng cấu chúng ta không nghiên cứu trong phạm vi luận văn này

- Trên cơ sở khoa học, cơ sở giáo dục,cơ sở thực tiễn luận văn đã cho ta thấy vấn đề vận dụng quan điểm trực quan vào việc dạy học - đặc biệt là hình học không gian là rất cần thiết

- Nhưng vấn đề đặt ra mang tính phương pháp pháp luận là thực hiện dạy học vận dụng quan điểm trực quan như thế nào? Dựa trên cơ sở cụ thể, chúng tôi đề xuất bốn biện pháp vận dụng quan điểm trực quan trong việc hình thành khái niệm và định lí hình học không gian (lớp 11) Mời bạn đọc cùng chúng tôi bước sang chương 2 với những nội dung cụ thể hơn

Chương II CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC TRỰC QUAN

Phần 1- Cơ sở xây dựng các biện pháp trực quan

1- Lí thuyết về hoạt động nhận thức:

Theo chủ nghĩa duy vật biện chứng thì “hoạt động nhận thức là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào bộ óc con người thông qua lăng kính chủ quan” Như vậy, chủ nghĩa duy vật thừa nhận thế giới tồn tại độc lập và không lệ thuộc vào ý thức của con người, và nó là nguồn gốc duy nhất của nhận thức Chủ nghĩa duy vật cũng cho ta biết nguồn gốc duy nhất của nhận thức Chủ nghĩa duy vật cũng cho ta biết điều quan trọng nữa là, đứng trước những sự vật , hiện tượng khác nhau thì mỗi người khác nhau sẽ có sự nhận thức khác nhau; đó là vì: “lăng kính chủ quan” của mỗi người phản ánh thế giới khách quan là khác nhau

Ví dụ như trong toán học chẳng hạn, đứng trước một bài toán thì tâm sinh lí khác nhau, trình độ khác nhau sẽ tạo ra một "lăng kính chủ quan" phản ánh khác nhau Và vì thế các em có nhận xét khác nhau, đưa ra hướng giải khác nhau và lời giải cũng sẽ khác nhau tương đối

VD: Tìm giá trị min của biểu thức A=|x+1| + |x-2| Có học sinh nhận xét rằng:

|x+1|  0 , x

|x-2|  0 , x Vậy A  0 suy ra Amin =0

Học sinh khác lại giải như sau:

Ta có A=|x+1| + |x-2| = |x+1| + |2-x|  |(x+1) +(2-x)| =3

Vậy Amin =3 (x+1)(2-x)  0 x [-1;2]

Một học sinh khác lại giải như sau:

Xét dấu biểu thức A= |x+1| + |x-2| (phá trị tuyệt đối)

Hoạt động nhận thức là một quá trình hoạt động đa dạng phong phú

và rất phức tạp của não bộ con người Để khái quát quá trình đó Lênin đã diễn tả như sau: "Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn - đó là con đường biện chứng của sự nhận thức thực tại khách quan" Trong đó trực quan sinh động ( hay nhận thức cảm tính ) là giai đoạn đầu tiên của quá trình nhận thức, nó gắn liền với thực tiễn, nó phản ánh trực tiếp khách thể bằng các giác quan và diễn ra với các hình thức cơ bản kế tiếp nhau như: cảm giác, tri giác và biểu tượng

Tư duy trừu tượng (nhận thức lí tính) là giai đoạn của quá trình nhận thức dựa trên cơ sở những tài liệu do trực quan sinh động đem lại Tư duy trừu tượng cũng phản ánh hiện thực, nhưng là sự phản ánh gián tiếp và khái quát Dựa trên cơ sở đó, để hình thành một khái niệm hay một định lí hình học nói riêng và dạy học hình học nói chung ta nên đi theo con đường nhận thức mà Lênin đã vạch ra “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng”

Để có được trực quan sinh động chúng ta nên cho học sinh quan sát các mô