Các phương pháp giải bài tập cơ học lí thuyết phần động lực học vật rắn

LỜI MỞ ĐẦU Chúng ta đã biết: Động lực học vật rắn là một phần quan trọng của cơ học lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của các vật thể dưới tác dụng của lực.. Động

LỜI MỞ ĐẦU

Chúng ta đã biết: Động lực học vật rắn là một phần quan trọng của cơ học lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của các vật thể dưới tác dụng của lực Động lưc học nghiên cứu chuyển động của các vật thể một cách toàn diện nhằm thiết lập các mối quan hệ có tính chất quy luật giữa hai đại lượng

+ Các đại lượng đặc trưng cho tác dụng lực

+ Các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của vật thể

Trong quá trình học tập, khi nghiên cứu về cơ học vật rắn, chúng ta có dịp làm quen với 2 phương pháp:

- Phương pháp cơ học véc tơ

- Phương pháp cơ học giải tích

Đối với phương pháp cơ học véc tơ, dựa trên các định luật cơ bản của

cơ học đó là 3 định luật Niutơn, các định luật tổng quát … Chúng ta đã dùng các đại lượng véc tơ như lực, vận tốc, gia tốc để giải các bài tập Phương pháp này chúng ta đã làm quen nhiều ở phổ thông trung học

Đối vơi phương pháp cơ học giải tích Là phần động lực học dựa vào giải tích toán học để giải quyết vấn đề lập phương trình vi phân chuyển động của các loại hệ khác nhau Cơ học giải tích được xây dựng dựa trên nguyên lý biến phân Hamintơn Các đại lượng cơ bản trong các phương trình đều là các đại lượng vô hướng tìm được băng các phép tính tích phân, vi phân Với phương pháp này thì chỉ những năm cuối của bậc đại học chúng ta mới có dịp nghiên cứu Đó là một vấn đề mới mẻ nên chúng ta thường hiểu vấn đề chưa được sâu sắc, do đó trong khi giải bài tập thì học sinh thường sử dụng phương pháp cơ học véc tơ Điều này dẫn đến một số khó khăn vướng mắc khi giải các bài tập có số bậc tự do lớn Nhưng khi đã làm quen với cơ học giải tích thì vấn

đề đó trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn

Trong quá trình học tập, do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu tìm hiểu được tất cả các vấn đề là một điều khó có thể thực hiện được, đặc biệt là

việc giải các bài tập Vì thế tôi chọn đề tài: “ Các phương pháp giải bài tập

cơ học lý thuyết phần động lực học vật rắn”

Hy vọng rằng nội dung của đề tài này sẽ giúp cho người đọc có cách nhìn tổng quát hơn khi giải một bài toán Hiểu thêm về ưu điểm của cơ học giải tích

Nội dung của đề tài bao gồm những vấn đề sau:

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Lê Thị Thai đã hướng

dẫn và đóng góp cho tôi nhiều ý kiến quý báu Giúp tôi hoàn thành luận văn này./

Sinh viên: Võ Thị Nga

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC VÉC TƠ ÁP DỤNG CHO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TẬP.

1 Các định luật cơ bản của Newton

a Định luật I:

Mọi chất điểm đứng yên hay chuyển động thẳng đều khi không có lực nào tác dụng lên nó Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là chuyển động quán tính ( v=const )

a Định lý biến thiên động năng dạng vi phân

Vi phân động năng của hệ bằng tổng công nguyên tố của tất cả các ngoại lực và nội lực tác động lên hệ:

k e

k dA dA

Trong đó: T : động năng ở thời điểm t

b Định lí biến thiên động năng dạng tích phân

Biến thiên động năng của hệ trên một đoạn đường nào đó bằng tổng cộng của tất cả ngoại lực và nội lực tác dụng lên hệ trên đoạn di chuyển ấy

i k n

k M

M

e k M

M

i k M

M

e k T

T

dA dA

dA dA

dT

1 1

1

0 1

0 1

0 1

0 1

k

e

A T

T

1 1

0 1

c Định lí chuyển động của khối tâm

Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm mang khối lượng của cả hệ và chịu tác dụng của một lực được biểu diễn bằng véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ ấy

W

1Trong đó: M : khối lượng của hệ

d Định lí biến thiên và định luật bảo toàn mô men xung lượng

Đạo hàm theo thời gian của mô men xung lượng của cơ hệ đối với một tâm hay một trục bằng tổng mô men đối với tâm hay trục ấy của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ

F M dt

L

d

1 0

với: L0 rm v: mô men xung lượng của hệ đối với 0

M : mô men của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với tâm O

Nếu tổng mô men của tất cả các ngoại lực đối với tâm O bất kì bằng 0 thì mô men động lượng của hệ đối với tâm đó không đổi cả về hướng và giá trị

r m v const

L0   

II LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC GIẢI TÍCH ÁP DỤNG CHO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TẬP

1 Các khái niệm về cơ hệ không tự do

a Liên kết và phương trình liên kết

Cơ hệ không tự do là tập hợp các chất điểm mà chuyển dộng của chúng

bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho trước, độc lập với điều kiện đầu chuyển động và các lực tác dụng được gọi là các liên kết về mặt toán học, các liên kết được biểu thị bởi những phương trình và bất phương trình gọi là những phương trình liên kết

) , , , , ,

(t x k,y k z k x k y k z k

Trong đó:

: , , k k

k y z

x Là các toạ độ đề các của chất điểm Mk thuộc cơ hệ

k k

+ Liên kết giữ và liên kết không giữ

Nếu phương trình liên kết có dạng f(t,x k,y k,z k,xk,yk,zk) = 0 (2) thì liên kết được gọi là giữ hoặc hai phía Còn nếu phương trình liên kết có dạng (1) thì liên kết được gọi là không giữ hoặc liên kết một phía

+ Liên kết dừng và liên kết không dừng

Nếu phương trình liên kết không chứa rõ thời gian t:

) , , ,

,

(x k,y k z k x k y k z k

f    = 0 (3) thì liên kết được gọi là dừng Còn nếu phương trình liên kết chứa rõ thời gian t thì liên kết được gọi là không dừng

+ Liên kết Holonom và không Holonnom

Nếu phương trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc hoặc chứa những yếu tố ấy nhưng nhờ các phương pháp tích phân có thể nhận được các phương trình liên kết tương đương không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết được gọi là Holonom

f(t,xk,yk,zk) = 0 = 1,S<3N (4)

Ngược lại nếu phương trình liên kết chứa các yếu tố vận tốc mà bằng các phương pháp tích phân không loại trừ được các yếu tố đó ra khỏi các phương trình liên kết thì liên kết được gọi là không Holonom

Cơ hệ với liên kết Holonom gọi là cơ hệ Holonom, còn nếu trong các liên kết có liên kết không Holonom thì cơ hệ được gọi là cơ hệ không Holonom

b Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của hệ

Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là tập hợp các di chuyển vô cùng bé của các chất điểm thuộc cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà các liên kết đặt lên cơ hệ cho phép

Điều kiện để  r k với k = 1,N là một di chuyển khả dĩ của cơ hệ Holonom là:

k

k k

r r

z z

f y y

f x x

q q

k

q q

k

q q

+ Toạ độ suy rộng đủ là tập hợp các toạ độ suy rộng độc lập với nhau J  1 ,n

+ Toạ độ suy rộng dư là tập hợp các toạ độ suy rộng lớn hơn toạ độ suy rộng đủ Giữa các toạ độ suy rộng dư có mối ràng buộc với nhau

Đối với cơ hệ Holonom thì giữa các toạ độ suy rộng dư  q j với j = 1 ,nN

sẽ tồn tại các hệ thức:

f(t,q1 qr,) = 0 ,  =1 ,nN (9) Điều kiện để  q j là di chuyển khả dĩ của cơ hệ:

Nếu {qj} là các toạ độ suy rộng đủ thì s = 0 vậy, m = r

Tức là số bậc tư do của cơ hệ Holonom bằng số toạ độ suy rộng đủ

d Lực suy rộng

- Công của lực trong di chuyển khả dĩ gọi tắt là công khả dĩ của lực

- Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ r k Công khả dĩ của lực



k zk k yk k kx k

N

k

k r F x F y F z F

hoặc   



 r

i i

i r Q F

k ky i

k kx i

k k i

q

z F q

y F q

x F q

r F

Trong trường hợp cơ hệ là bảo toàn và hàm thế năng có dạng

thì

j j

q

U Q







Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ

độ suy rộng tương ứng Nếu toạ độ suy rộng là độ dài thì lực suy rộng là lực, nếu toạ độ suy rộng là góc thì lực suy rộng là ngẫu lực

* Dưới đây là một số phương pháp tính lực suy rộng

+ Phương pháp 1:

Tính lực suy rộng theo định nghĩa (13)

Trước hết tìm hình chiếu các lực trên các trục toạ độ đề các, cùng biểu thức của toạ độ điểm đặt lực theo toạ độ suy rộng từ (7) sau đó tính các đạo hàm của các toạ độ đề các theo các toạ độ suy rộng rồi thay các đại lượng tìm được vào (13)

+ Phương pháp 2:

Tính tổng công khả dĩ của các lực trong toạ độ đề các, sau đó biểu diễn các di chuyển khả dĩ qua các biến phân của toạ độ suy rộng theo biểu thức (8) qua đó chúng ta viết biểu thức công khả dĩ trong dạng (12) Các hệ số đứng

trước các biến phân của các toạ độ suy rộng sẽ là các lực suy rộng ứng với các toạ độ suy rộng

0

; ;

0

; 0 1

1 2

i

i

q q

q

q q

khi đó lực suy rộng Qi bằng:  

i

i F i

q

q A Q

Nếu tổng công nguyên tố của các lực liên kết trong mọi di chuyển khả

dĩ của hệ đều bằng không thì liên kết đặt lên hệ gọi là liên kết lý tưởng

k

k R r R

hệ cô lập Hàm Lagrăng chứa đựng mọi tính chất vật lý của nó sẽ không thay đổi khi chất điểm tịnh tiến trong không gian Điều này có nghĩa là hàm Lagrăng của chất điểm tự do không phụ thuộc vào bán kính véc tơ xác định vị

trí của chất điểm Tính đồng nhất của thời gian có nghĩa là tất cả các thời điểm khác nhau là tương đương với nhau Vì vậy hàm Lagrăng của chất điểm

cô lập sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian Hàm Lagrăng của chẩt điểm bây giờ chỉ phụ thuộc vào vận tốc của nó

Tính chẩt đẳng hướng của không gian có nghĩa là tất cả các phương của không gian là tương đương nhau về mặt vật lý Vì vậy hàm Lagrăng của chất điểm cô lập không phụ thuộc vào phương của véc tơ vận tốc v

mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của vận tốc, nghĩa là phụ thuộc vào v2

: L=L(v2)

Để tìm dạng của hàm Lagrăng ta dùng nguyên lý tương đối của Galilê Nếu hệ quy chiếu quán tính k’ chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tinh k với vận tốc v (v=cons) thì theo định lý công vận tốc:

V v v V v

trong đó a=const không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính k hay k’

và hoàn toàn đặc trưng cho chất điểm chuyển động

Xét hệ gồm N chất điểm không tương tác với nhau Vì các chất điểm không tương tác với nhau nên chuyển động của chất điểm này của hệ hoàn toàn không ảnh hưởng đến chuyển động của chất điểm khác

Như vậy, mỗi hạt chuyển động hoàn toàn tự do và hàm Lagrăng của chất điểm thứ i sẽ không chứa tốc độ của hạt khác Kết hợp với tính chất cộng được của động năng của hệ cô lập ta có thể viết

i i N

i

L L

1 2 1

T: gọi là động năng của cơ hệ

Như vậy hàm Lagrăng của một hệ cô lập gồm các hạt không tương tác với nhau bằng tổng động năng của các chất điểm trong cơ hệ

c Hàm Lagrăng của một hệ cô lập gồm các hạt tương tác với nhau

Trường hợp các chất điểm của cơ hệ cô lập tương tác với nhau thì ta thêm vào biểu thức (*) một hàm đặc trưng cho tương tác giữa các chất điểm của cơ hệ Ta kí hiệu hàm này là - U và gọi U là thế năng tương tác giữa các chất điểm của cơ hệ

Đối với hệ cô lập, do tính đồng nhất của thời gian, hàm Lagrăng của hệ không phụ thuộc tường minh vào thời gian và do đó hàm U cũng không phụ thuộc vào thời gian Mặt khác do tính đồng nhất của không gian, hàm L của cơ

hệ sẽ không thay đổi khi tịnh tiến toàn bộ cơ hệ một véc tơ r tuỳ ý Khi đó các bán kính véc tơ xác định vị trí của các chất điểm mi, mk của hệ sẽ biến đổi như sau:

i i i

i r r r

r  ,    ; r k r k, r k  r k; , ,

k i k

i r r r

r    = bất biến

Do vậy hàm Lagrăng của cơ hệ cô lập chỉ phụ thuộc vào hiệu (r i r k ),

và do tính chất đẳng hướng của không gian nên hàm U không phụ thuộc vào chiều của các véc tơ (r i r k) mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn của chúng

Vậy hàm L của hệ cô lập N chất điểm tương tác với nhau có dạng:

L= m V U r r 

2

1

k i 2

d Hàm Lagrăng của một hệ không cô lập

Hệ chất điểm không cô lập nghĩa là hệ chuyển động trong môi trường ngoài

Giả sử có hệ cô lập gồm hai hệ con A, B tương tác với nhau Hàm Lagrăng của hệ cô lập được xác định:

 A A B B B  A B

A q q T q q U q q T

L , ,  , ,  ,

Vớiq , A q B: Là toạ độ suy rộng tương ứng của các hệ con A, B

TA,TB: Là động năng của hai hệ con A, B

Giả sử đã biết quy luật chuyển động của hệ con B tức là biết sự phụ thuộc của ,

3 Ham Lagrăng loại II

a Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ

Đối với cơ hệ liên kết giữ, dừng và lý tưởng chúng ta có:

 lần lượt là tổng công khả dĩ của các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và tổng cộng khả dĩ của các lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ Từ (17) chúng ta nhận được các dạng khác nhau của phương trình chuyển động của cơ hệ

- Phương trình tổng quát của động lực học trong dạng véc tơ:

k m r r

Trong đó: F k: Là lực hoạt động lên chất điểm Mk

mk, rk: Là khối lượng và véc tơ điịnh vị của chất điểm Mk

+ Đối với cơ hệ chịu liên kết Holonom giữ, dừng và lý tưởng, chúng ta

có phương trình Lagrăng loại II:

i i i

U Q q

T q

U: Là thế nămg của cơ hệ

n: Là số bậc tư do của cơ hệ

phương trình (19) có thể viết dưới dạng:

i i i

Q q

L q

Trong đó :L=T-U là hàm Lagrăng

+ Trong trường hợp tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ đều là các lực có thế thì phương trình chuyển động của hệ có dạng:

Q q

* Phương pháp cơ học véc tơ

- Chọn vị trí ban đầu của vật làm gốc của hệ trục toạ độ

- Chọn trục ox hướng theo chiều chuyển động khi vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng, các lực tác dụng lên vật bao gồm:

Trong đó : Wc : Là gia tốc khối tâm của đĩa

m: Là khối lượng của vật

Jc: Là mô men quán tính của đĩa tròn

* Phương pháp cơ học giải tích

Cơ hệ có một bậc tự do, chọn toạ độ suy rộng q = xc

c 2

2

1 x m 2

1

với  là vận tốc góc của đĩa

2 c 2

2 c 2 2

4

3 R

x 2

mR 2

1 x m 2

2

g x

W c  c 

Bài 2:

Hai vật có trọng lượng P1, P2 được treo bằng một sợi dây mảnh không giãn và cuốn vào hai ròng rọc đồng tâm, gắn liền nhau có bán kính r1, r2 Các vật chuyển động dưới tác dụng của trọng lực của chúng Xác định gia tốc góc của ròng rọc, bỏ qua khối lượng của ròng rọc và dây buộc

Giải:

* Phương pháp cơ học véc tơ

Giả sử vật 1 đi xuống,vật 2 đi lên

Áp dụng định lý mô men xung lượng đối với cơ

hệ:

z z

M dt

g

P v g

P r P

2 2 2 2 2

g

P v g

P r P

2 2 2 1 1

r g

P r g

2 2 2 2 1 1

r P r P dt

d g

r P r P

2 2 1 1

r P r P

r P r P g dt

* Phương pháp cơ học giải tích

Hệ có một bậc tự do Chọn toạ độ suy rộng q=x1: Chính là quãng đường của trọng vật P1

Do vật 1 đi xuống,vật 2 đi lên: 1

2

1

x m

T 

- Động năng của vật 2:

2 1 1

2 2 2

2 2 2

2

1 2

1 1

2

1 2

r

r x P x P x P x P

1 1

L dt

P r

r P x

x r

r m x m x

1

2 2 1 1

r

r P P x r

r m x

2 2 1 1

r P r P

P r P r x

P r P r

2 2 2 2 1 1

2 2 1 1





Bài 3: Môt vật A có trọng lượng P được kéo lên từ trạng thái đứng yên nhờ tới B là đĩa tròn đồng chất có bán kính R, trọng lượng Q và chịu tác dụng của ngẫu lực có mô men M xác địnhgia tốc của vật A

Giải:

* Phương pháp cơ học véc tơ:

Cơ hệ khảo sát gồm:

Trong đó chỉ có ngẫu lực có mô men M và trọng lực P sinh công, còn

Q không sinh công vì điểm đặt cố định, các nội lực cũng không sinh công

- Áp dụng định lý biến thiên động năng:

T T0  A   P A M (1)

Trong đó: T0  0 vì ban đầu cơ hệ đứng yên

B

A T T

QR J

Động năng của hệ:

2 2

B A

V g

Q P T

gọi A k là tổng công của tất cả các ngoại lực:

   M A P M Ps A

với S là quãng đường dịch chuyển của vật A

s P R

M Ps R

s M

V g 2

Q P

M dt

dV V g

M dt

dV g

Q P

A A

* Phương pháp cơ học giải tích

Cơ hệ khảo sát gồm: - Vật A chuyển động tịnh tiến

- Tời B quay quanh trục cố định

Hệ có một bậc tự do, chọn toạ độ suy rộng q=s

Động năng của hệ:

2 2

2 4

1 2

2 2

2

A A

A B

A

V g

Q P g

QV PV

T T

Q P 2 T s V

2 A



  



- Tính công của lực hoạt động

Cho hệ một di chuyển khả dĩ  s, công nguyên tố của các lực hoạt động trong di chuyển khả dĩ đó là:

s P R

s M s P M

- Phương trình Lagrăng : QS

s

T s

T dt

M s g 2

Q P

Bài 4

Một hệ thống chuyển tải gồm 2 trục là các trụ đặc tròn đồng chất có trọng lượng Q bán kính R quay quanh các trục quay riêng cố định O1, O2 và bằng tải là đoạn dây khép kín không dãn có khối lượng m, các gầu xúc có trọng lượng P1,,P2 Trục quay O1 chịu tác dụng của ngẫu lực M=const Tìm vận tốc của gầu xúc theo đoạn đường di chuyển, cho biết ban đầu hệ đứng yên

Giải

* Phương pháp cơ học véc tơ

Khảo sát cơ hệ gồm

Hai trục quay,băng tải

Hai gầu xúc A,B

- Lực tác dụng lên cơ hệ: Các lực sinh công

2 1

2g R

Q J

2 2

2 2

1 2

2 2 2

2 2 1 2 2

2

1 2

1 2

2

1 2

2 2

2

1

V m g

P P Q mV

R g

Q V

g

P V g

P R

P P Q 2

1

1 2 2 2

M P P dt

dv v m g

P P Q

1

g mg P P Q

M R P P dt

dv W

1 2

g mg P P Q

M R P P dt

dv W

1 2

* Phương pháp cơ học giải tích:

Hệ có một bậc tự do Chọn s - quãng đường đi của vật A làm toạ độ suy rộng:

s m g

P P Q 2

1 v m g

P P Q 2

cho hệ một di chuyển khả dĩ s Công nguyên tố của các lực hoạt động trong di chuyển khả dĩ s là:



 

s R

M P P

T dt

PQ

MPPPsWR

MPPsmg

PPQ

2 1

1 2 1

2 2

lăng trụ đồng chất có trọng lượng P và 2P OA = AC =

BC = a Trọng lượng các con chạy A, B là như nhau

và bằng Q Bỏ qua ma sát

Giải:

* Phương pháp cơ học véc tơ:

Khảo sát cơ hệ gồm tay quay, thước vẽ

Và các con chạy A,B

- Các lực tác dụng lên hệ gồm: Trọng lực P,Q

,

mô men quay M0

Ta thấy chỉ có mô men quay thực hiện công,

còn các trọng lực không sinh công vì cơ hệ được

đặt trong mặt phẳng nằm ngang cố định

1 2

cos 2

sin 2

T he 

+ Công của lực tác dụng lên hệ : A k M0

Áp dụng định lý biến thiên động năng dạng tích phân:

Mdt

dag

Q4P3dt

dMdt

dag2

Q4P

0 a Q 4 P 3

g M dt

3P Q a

g M





* Phương pháp cơ học giải tích

Hệ có một bậc tự do Chọn toạ độ suy rộng q= Tương tự như trên ta

có động năng của hệ là: 2 2

a g

Q 4 P 3

T    

Tìm lực suy rộng tương ứng toạ độ suy rộng 

Công nguyên tố của hệ: AQ jq j Do chỉ có mô men quay thực hiện công nên khi cho hệ 1 di chuyển khả dĩ d thì công nguyên tố là:

a g

Q P

T  

M a

g

Q P



0 4

3P Q a

g M

Một máy có hình dạng như hinh vẽ

Vật A có khối lượng m1, vật B có khối

lượng m2 Rong rọc C là một trụ tròn đặc

đồng chất bán kính R có khối lượng m3, góc

nghiêng  hệ số ma sát trượt giữa B và mặt

phẳng nghiêng là  Mô men cản đặt lên

ròng rọc là Mc Giả sử lúc đầu cơ hệ đứng

yên, sợi dây có khối lượng không đáng kể,

không co dãn và không trượt trên ròng rọc Tính gia tốc của vật A

P   (1)

2 2 2

T    ms  (2)

J M R T R

T   '   c 

2 '

Trong đó : gia tốc góc

J: mô men quán tính của trụ C

Do dây không dãn nên: W1=W2=W

- Giả sử A đi xuống Chọn chiều (+) làm chiều chuyển động

chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động

1 1 1

m   m1gT1m1W

2 2 2

T  ms     T2 m2gsin  m2g cos  m2W



J M R T R

T1  2  c 

2

3 2

1

W m R

M T

T   c 

2 3

g m F

R m

2 1 2

2 1

m m m W R

M g

m g

m g

2

mmm

R

Mcos

msin

mmgW

3 2 1

c 2

2 1

3 2 1

2 2

1

m m m

R

M m

m m g W

* Phương pháp cơ học giải tích:

Hệ có một bậc tự do, chọn toạ độ suy rộng q = s Khi đó góc quay 

của ròng rọc là

R s



R s

 



Động năng của hệ:T T AT B T C

2 1

2

1

V m

J C  ;

Với V s ;

R s

 

 



1 2

2

1 2

1 2

2 1 2 2

2 2 3 2

2 2

1

m m m S R

S R m S

m S

m

+ Tính lực suy rộng theo toạ độ suy rộng s

Cho hệ một di chuyển khả dĩ s Công nguyên tố của các lực trong di chuyển khả dĩ s là:

m g

m g m s

Phương trình Lagrăng: Q s

s

T s

T dt

m sin

m m g s 2

m m

2 2

1 3

R

M cos

m sin

m m g s W

3 2 1

c 2

2 1

Thanh đồng chất AB có chiều dài là a, đặt trong mặt phẳng thẳng đứng

và nghiêng một góc  so với phương nằm ngang Thanh tựa đầu A lên đường trơn thẳng đứng còn đầu B trượt trên mặt nhẵn nằm ngang, sau đó để thanh rơi tự do không có vận tốc đầu Hãy xác định gia tốc góc của thanh

B

A

x y



Khi thanh chưa tách khỏi đường thì tâm vận tốc tức thời là k



2

a

V c  với  là vận tốc góc của thanh

Áp dụng định lý biến thiên động năng:

 P A A T

T 0   (*)

trong đóT0 = 0 vì v0= 0

2 12 4

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

g cos

2

a g dt

d 12

ma 4

ma dt

dA dt

* Phương pháp cơ học giải tích:

Cơ hệ có một bậc tự do, chon toạ độ suy rộng q = 

Động năng của hệ:

6

ma 6

ma 12

ma 8

ma 2

J mV 2

1 T

2 2 2

2 2

2 2 2 2

c 2 c

a mg