Ứng dụng các nguyên lí cơ học đề giải các bài tập động lực học

NHỮNG CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC GIẢI TÍCH Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng của lực hay nó thiết lập mối qua

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Cơ học lý thuyết là khoa học về các quy luật chuyển động, cân bằng và

sự tương tác của các vật thể trong không gian, theo thời gian Đặc biệt cơ học

lý thuyết đáp ứng yêu cầu hiểu biết và tính toán xác định các hiện tượng chuyển động gặp trong thực tế

Đối với khối xây dựng, kỹ thuật nó là cơ sở cho hàng loạt những môn kỹ thuật hiện đại như: Sức bền vật liệu, Cơ học công trình, Đàn hồi, Nguyên lý máy, Động lực máy bay

Đối với sinh viên sư phạm, một mặt nó giúp cho sinh viên hiểu thêm về phần cơ học đại cương nhằm phục vụ tốt cho việc giảng dạy phần cơ học ở trường THPT, mặt khác nó còn làm cơ sở giúp cho sinh viên học tiếp các môn vật lý lý thuyết như: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ học lượng

tử

Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập Cơ học lý thuyết

là yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp hiểu sâu về lý thuyết đồng thời nâng cao tư duy và kỹ năng học tập

Với tính chất quan trọng của bộ môn cùng với lòng yêu thích nó, tôi càng muốn đi sâu nghiên cứu kỹ hơn bộ môn này Được sự hướng dẫn của cô

giáo Lê Thị Thai, tôi mạnh dạn tập nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng các

nguyên lý cơ học để giải các bài tập động lực học”

Chuyển động của vật rắn thật phong phú và đa dạng Khi giải các bài toán cơ học về chuyển động, ta vẫn thường lúng túng giữa việc lựa chọn kiến thức nào? Phương pháp nào? Thực ra, một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi phương pháp có những đặc điểm riêng, có những ưu – nhược điểm khác nhau Có thể nhược điểm của phương pháp này lại được khắc phục

bằng ưu điểm của phương pháp kia Ở cơ học đại cương, chúng ta giải quyết

hệ thống bài tập về chuyển động của cơ hệ chủ yếu bằng hai phương pháp: Phương pháp động lực học và phương pháp bảo toàn Thực hiện đề tài này, một lần nữa chúng tôi khắc sâu thêm một phương pháp mới: Phương pháp áp dụng giải tích toán học để giải các bài toán động lực học

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Tìm hiểu nội dung các nguyên lý cơ học cơ bản: Nguyên lý di chuyển khả dĩ, Nguyên lý Đalămbe, Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng

- Áp dụng cơ sở lý thuyết của các nguyên lý trên vào việc giải các bài toán cơ học Phân loại được các bài toán và đề xuất tiến trình giải các bài toán bằng cách áp dụng các nguyên lý đó

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

- Cơ sở của cơ học giải tích và nội dung các nguyên lý

- Các bài toán về cơ học chuyển động của chất điểm, cơ hệ

- Các giáo trình, tài liệu tham khảo về cơ học lý thuyết, chuyển động cơ học

IV GIẢ THIẾT KHOA HỌC

Việc áp dụng các nguyên lý vào giải quyết bài toán cơ học góp phần khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng, nâng cao hứng thú học tập của sinh viên

Các bài tập vận dụng sẽ sát với cơ sở lý thuyết, tập trung làm rõ hơn những khái niệm trừu tượng, khó hiểu trong lý thuyết đã xây dựng Cung cấp cho sinh viên một phương pháp khoa học tự giải quyết bài toán cơ học có hiệu quả, giúp họ tự tin, nâng cao chất lượng tự học

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích, cơ sở lý thuyết của các nguyên lý cơ học

- Phương pháp thực nghiệm: tiến hành thu thập bài tập, tìm hiểu các dấu hiệu để phân loại, đề xuất tiến trình giải

VI PHẠM VI ỨNG DỤNG :

Đề tài có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm, cử nhân khoa học, giáo viên vật lý THPT trong quá trình học tập và công tác VII CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn gồm ba phần chính:

Phần mở đầu

Phần nội dung

A Những cơ sơ của cơ học giải tích

B Các nguyên lý cơ học cơ bản và ứng dụng

Chương I: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Chương II: Nguyên lý Đalămbe

Chương III: Nguyên lý Đalămbe – Lagrăng

Trong mỗi chương có ba mục:

I Cơ sở lý thuyết

II Bài tập ứng dụng III Phân loại bài toán và phương pháp áp dụng cùng nguyên lý

Phần kết luận

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bào tận tình của

cô giáo Lê Thị Thai và sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo trong khoa

Vật lý - Trường Đại học Vinh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết

ơn sâu sắc đến các thầy cô

Vì bản thân là sinh viên lần đầu tiên làm công tác nghiên cứu, chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc trình bày một vấn đề khoa học Do vậy, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô và các bạn đọc

PHẦN NỘI DUNG

A NHỮNG CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC GIẢI TÍCH

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm nghiên cứu các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng của lực hay nó thiết lập mối quan hệ giữa chuyển động và lực là nguyên nhân gây nên chuyển động

Cơ học giải tích là phần động lực học dựa vào giải tích toán học để giải quyết vấn đề lập phương trình vi phân của chuyển động các loại cơ hệ khác nhau và tìm cách cầu phương các phương trình ấy

Các khái niệm cơ bản

1.1 Cơ hệ không tự do: là tập hợp các chất điểm mà trong chuyển

động ngoài lực tác động ra, vị trí và vận tốc của chúng bị ràng buộc bởi một

số điều kiện hình học và động học cho trước

- Liên kết: là những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm

của cơ hệ trong không gian (Những điều kiện ràng buộc cơ hệ về mặt hình học và động học)

- Phương trình liên kết: là các phương trình và bất phương trình biểu thị

về mặt toán học mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với chất điểm thuộc cơ hệ Chúng có dạng sau:

f(t,x1,y1,z1,,x N,y N,z N,x1,y1,z1,,xN,yN,zN)  0 (1)

 =1 ,s; s – là số phương trình liên kết; N: Số chất điểm của cơ hệ

- Phân loại liên kết: dựa vào các phương trình liên kết người ta phân loại

các liên kết như sau:

+ Liên kết giữ và không giữ: nếu các điều kiện ràng buộc được miêu tả

bằng phương trình thì liên kết được gọi là liên kết giữ hay liên kết hai phía

Còn nếu liên kết được mô tả bằng những bất phương trình thì được gọi là liên kết không giữ hay liên kết một phía

+ Liên kết dừng và không dừng: nếu trong phương trình liên kết không

chứa rõ biến thời gian thì liên kết gọi là dừng, trường hợp ngược lại là liên kết không dừng

+ Liên kết hôlônôm và không hôlônôm: nếu trong phương trình liên kết

không chứa các yếu tố vận tốc hoặc có chứa các yếu tố vận tốc nhưng nhờ các phép tính tích phân đưa được về dạng không chứa các yếu tố vận tốc thì liên kết ấy được gọi là liên kết hôlônôm Nếu trong phương trình liên kết có chứa các yếu tố vận tốc nhưng không thể loại trừ chúng bằng các phép tính tích phân thì liên kiết được gọi là không hôlônôm

Cơ hệ với liên kết hôlônôm thì được gọi là cơ hệ hôlônôm và ngược lại

cơ hệ với liên kết không hôlônôm thì được gọi là cơ hệ không hôlônôm

1.2 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

1.2.1 Di chuyển khả dĩ của cơ hệ: là tập hợp các di chuyển vô cùng bé

của các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận phù hợp với các liên kết tại vị trí đang xét

Khái niệm di chuyển khả dĩ chỉ có ý nghĩa về mặt hình học, không có quan hệ với các lực tác dụng lên cơ hệ, nghĩa là khi cơ hệ thực hiện di chuyển khả dĩ, hệ lực tác dụng lên cơ hệ không biến đổi và thời gian t được xem như

là một thông số Ngoài ra khái niệm di chuyển khả dĩ gắn liền với một vị trí xác định nào đó của cơ hệ Ký hiệu di chuyển khả dĩ của chất điểm là

),

,

( x y z

r   

 (với r là vectơ định vị của chất điểm) để phân biệt được với

di chuyển thật d r(dx,dy,dz) Di chuyển thực là một trong những di chuyển khả dĩ

Xét cơ hệ gồm N chất điểm: Điều kiện để  rk (k  1 ,N)là một di

chuyển khả dĩ của cơ hệ hôlônôm là  





) 2 ( 0

k k

r r

)

k k

k k

k

z z

f y

y

f x

Tập hợp các thông số đủ để xác định đƣợc vị trí của cơ hệ trong một số

hệ qui chiếu xác định đƣợc gọi là các toạ độ suy rộng của cơ hệ

Các toạ độ suy rộng đƣợc ký hiệu là: q1, q2, , qm Nó có thể là các toạ

độ Đề các của các chất điểm thuộc cơ hệ, có thể là góc quay, toạ độ cong Các toạ độ Đề các của các chất điểm của cơ hệ có thể biểu diễn qua các toạ độ suy rộng:

xk=xk(t, q1, q2, qm);

yk=yk(t, q1, q2, qm) (5)

zk=zk(t, q1, q2, qm)

hoặc viết ở dạng rút gọn: r k  r k(t,q1,q2, q m)

- Toạ độ suy rộng đủ: là tập hợp các toạ độ suy rộng độc lập với nhau

- Toạ độ suy rộng thừa: là tập hợp các toạ độ suy rộng lớn hơn số toạ độ suy rộng đủ Giữa các toạ độ suy rộng thừa có mối ràng buộc với nhau

Đối với cơ hệ hôlônôm có bậc tự do của nó bằng số toạ độ suy rộng đủ

1.2.4 Lực suy rộng:

a Công khả dĩ của lực: (công của lực trong di chuyển khả dĩ)

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ  r k , theo công thức tính công nguyên tố biểu thức của công khả dĩ sẽ là:

k kz k ky k kx k

(

k k

i i

k k

i i

k

q

z z

q q

y y

q q

x x

i i

k kz i

k ky i

k kx

q

z F q

y F q

x F F

i i i

N

k kz i

k ky i

k

q

z F q

y F q

x F

) 7 (

k kz i

k ky i

k kx i

q

r F q

z F q

y F q

x F Q

) 8 (

được gọi là lực suy rộng tương ứng với toạ độ suy rộng qi

Lực suy rộng là đại lượng vô hướng, có thứ nguyên     

Phương pháp I: Suy ra từ định nghĩa, muốn vậy cần tìm hình chiếu các lực trên các trục toạ độ Đề các và biểu thức các toạ độ Đề các của các điểm đặt của các lực theo toạ độ suy rộng, sau đó thay vào công thức (8)

Phương pháp II: Tính công khả dĩ của các lực trong toạ độ Đề các, biểu diễn các toạ độ Đề các theo toạ độ suy rộng Tính các biến phân của toạ độ Đề các theo các biến phân của toạ độ suy rộng sau đó thay vào biểu thức công khả dĩ Các đại lượng đứng trước các biến phân của các toạ độ suy rộng trong các biểu thức công khả dĩ chính là các lực suy rộng

Phương pháp III: Trong trường hợp toạ độ suy rộng đủ, các biến phân của các toạ độ suy rộng đủ là độc lập với nhau Dựa vào tính chất đó ta tính từng lực suy rộng riêng rẽ nhờ việc chọn di chuyển khả dĩ đặc biệt Ví dụ: để tính lực suy rộng Qi ứng với lực suy rộng qi, ta chọn di chuyển khả dĩ đặc biệt như sau: q1=0, q2=0, , qi-1=0, qi0, qi+1=0, ,qn=0 Tức là để tính lực suy rộng Qi ứng với toạ độ suy rộng qi ta chỉ cho toạ độ suy rộng qibiến thiên một lượng qi còn các toạ độ suy rộng khác được giữ không đổi Tính công khả dĩ của các lực trong di chuyển khả dĩ đặc biệt đã chọn, ký hiệu là:

F A i

Khi các lực đều có thế và hàm thế năng U được biểu diễn qua các toạ độ suy rộng: U[xk(q1, ., qn); yk(q1, ., qn); zk(q1, ., qn)] = U(q1, q2, ,qn)

thì lực suy rộng được tính theo công thức: (i 1 ,n)

q

U Q

Các lực liên kết thể hiện tác dụng về mặt động lực của các liên kết cơ

hệ Các lực tác dụng lên cơ hệ không phải là các lực liên kết thì gọi là lực hoạt động

b Liên kết lý tưởng: Liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công của tất cả các lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ đều bằng không

 

A k R k  R k.r k 0

B CÁC NGUYÊN LÝ CƠ HỌC CƠ BẢN CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ

I Cơ sở lý thuyết

Đối với cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tưởng, điều kiện cần và đủ để cơ hệ cân bằng tại một vị trí đang xét là tổng công nguyên tố của tất cả các lực hoạt động trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ từ vị trí đang xét đều triệt tiêu

F A

1

)1.1(0

.)

Với F k là lực hoạt động (hay hợp lực) tác dụng lên điểm Mk

k

r

 là di chuyển khả dĩ của chất điểm

(1.1) còn được gọi là phương trình công khả dĩ

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử cơ hệ ở trạng thái cân bằng tại vị trí đang xét Ta cần chứng minh F k phải thoả mãn  A(F k)  0

Thật vậy: khi cơ hệ cần bằng thì mọi chất điểm Mk của nó nằm yên, lực hoạt động và lực liên kết đặt lên chất điểm phải cân bằng nhau, nghĩa là

Với bất kỳ một di chuyển r k nào của Mk ta đều có: (F k R k)r k  0

N k

N k k k

k r

Điều kiện đủ: Bây giờ ta giả sử F k thoả mãn điều kiện

0)

A F k , ta sẽ chứng minh cơ hệ nằm ở trạng thái cân bằng Thực

vậy giả sử ngược lại cơ hệ không nằm ở trạng thái cân bằng, như thế có ít nhất một chất điểm M k bắt đầu chuyển động dưới tác dụng của lực hoạt động

Vì vậy: k  rk  ( Fk  Rk)  rk  Fk  rk  Rk  rk  0

Đối với toàn bộ cơ hệ F k.r k R k.r k 0nhưng cơ hệ chịu liên kết lý tưởng R k.r k  0suy ra: F kr k 0 điều này trái với giả thiết Vậy không có chất điểm nào thuộc cơ hệ chuyển động từ vị trí cân bằng Nên cơ hệ nằm ở trạng thái cân bằng

Ý nghĩa: Ý nghĩa của nguyên lý di chuyển khả dĩ là ở chỗ nó cho ta điều kiện cân bằng của mọi cơ hệ dưới dạng tổng quát, trong khi đó các phương pháp tĩnh học yêu cầu xét sự cân bằng của từng vật thể trong hệ Để áp dụng nguyên lý này ta chỉ cần xét đến lực hoạt động, cho nên ngay từ đầu đã tránh được không phải xét đến các phản lực liên kết chưa biết khi chúng là liên kết

lý tưởng

Điều kiện cân bằng của cơ hệ hôlônôm trong toạ độ suy rộng đủ : giả sử

hệ hôlônôm có n bậc tự do, vị trí của nó được xác định bằng n toạ độ suy rộng

đủ q1,q2,,q3, , qn. Từ biểu thức công khả dĩ của các lực hoạt động trong hệ

i k N k k N

1

) ( , với Qi là lực suy rộng của các lực của các lực hoạt động tương ứng với toạ độ suy rộng qi

Điều kiện cân bằng của hệ, theo nguyên lý di chuyển khả dĩ là: 0

i q

Q

Vì cơ hệ là hôlônôm và các gia số q1,q2, ,qn hoàn toàn là độc lập với nhau (do các toạ độ suy rộng là đủ) nên điều kiện để đẳng thức trên thực hiện được là: Qi=0 , với i=1 ,n

Ta có thể phát biểu định lý:

Định lý: Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng

và lý tưởng cân bằng tại một ví trí nào đó là tất cả các lực suy rộng của các lực hoạt động ứng với toạ độ suy rộng đủ, tính với vị trí đang xét, phải đồng thời triệt tiêu

Trong trường hợp các lực hoạt động là những lực có thế và hàm thế năng

có dạng: U = U(q1,q2, ,.qn) Từ công thức i n

q

U Q

Định lý : Điều kiện cần và đủ để cơ hệ bảo toàn với liên kết hôlônôm, giữ,dừng, và lý tưởng cân bằng tại một vị trí nào đó là hàm thế năng đạt cực trị tại vị trí đó

II Bài tập ứng dụng

Bài 1.1: Cho một cơ cấu tay

quay thanh truyền như hình vẽ Bỏ

qua ma sát, tìm sự liên hệ giữa P và

Xét cơ hệ với toàn bộ cơ cấu tay quay, thanh truyền Liên kết của cơ hệ

là liên kết lý tưởng Cơ hệ có một bậc tự do

Chọn toạ độ suy rộng đủ q =  ứng với góc định vị tay quay OA

Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm lực P và ngẫu lực M

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ trong đó tay quay OA quay góc  , tương ứng với con chạy B di chuyển đoạn s ta có: AP=Ps , AM= -M

Dấu “–” ở đây có nghĩa: Nếu chọn chiều dương là chiều tăng của s thì chiều tăng của  ngược chiều với chiều tăng của s

Cần tìm sự liên hệ của  và s theo phương pháp toạ độ:

Ta có : s =OB = r cos + l cos => s = - (r sin + lsin)

Mà AI = OA sin =AB sin <=> r sin = lsin => r cos = lcos

cos

r l

cos

2 2 2

r l

sin

cos 1

Pr

r l

r Sin

sin

cos 1

( sin Pr

2 2





r l

r M

phương nằm ngang, được giữ cân bằng

nhờ tải trọng P Biết rằng tải trọng P1và

P2 buộc vào hai đầu dây cáp, dây này đi

từ tải trọng P1 luồn qua ròng rọc 01 đặt

lên trục nằm ngang, rồi luồn vào ròng rọc động mang tải trọng P, sau đó luồn qua ròng rọc 02 cùng nằm trên trục của ròng rọc 01 và cuối cùng buộc vào tải trọng P2 Bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc và dây cáp

Bài giải:

Khảo sát cơ hệ gồm dây nối,ròng rọc và ba vật A,B,C Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm,giữ, dừng và lý tưởng

Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có hai bậc tự do Chọn toạ độ suy rộng đủ q1=

x1, q2= x2 Chúng xác định vị trí các vật A,B trên mặt phẳng nghiêng Với hệ toạ độ 0x1x2 như hình vẽ, chiều dương hướng xuống dưới

Các lực hoạt động gồm P1,P2,P Trước hết chúng ta cần tìm các lực suy rộng tác dụng lên cơ hệ

Vì dây không giãn nên chiều dài của dây không đổi : x1+x2 +2xc = cons’t

Suy ra: x1 + x2 + 2xc = 0 hay xc=

(

1 1

1 1

Q P

x

F A

0 ,

(

2 2

2 2

Q P

x

F A





Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ

sin 2 0

Q P

ra suy Q

Q x

x

Bài 1.3: Dùng tời kéo vật A lên dốc với góc nghiêng  so với phương ngang, vật A có trọng lượng P, hệ số ma sát trượt giữa vật A và và mặt phẳng nghiêng là f Tác dụng lên tời một ngẫu lực phát động có mômen M Bán kính trục tời là R Tìm điều kiện để kéo được vật lên từ trạng thái nghỉ (hình vẽ)

Bỏ qua ma sát ổ trục kéo và trọng lượng dây

Bài giải:

Khảo sát cơ hệ gồm ròng rọc

và A Cơ hệ đang xét có một bậc tự

do chịu liên kết lý tưởng Chọn toạ

độ suy rộng đủ q= là góc quay của

Giả sử vật A sắp trượt lên, lực ma sát hướng xuống dưới

Cho hệ di chuyển khả dĩ ứng với tời quay một góc  thuận chiều kim đồng hồ, khi đó vật A sẽ di chuyển lên dọc mặt phẳng nghiêng một đoạn

Q = M – P(Sin + f cos)R

Khi vật A sắp sửa trượt lên nhưng vẫn còn ở trạng thái cân bằng Q = 0 Suy ra M = PR(Sin + fcos)

Để vật không trượt lên ta cần có M  PR(sin+ fcos)

* Xét trường hợp vật A sắp trượt xuống, khi đó lực ma sát sẽ hướng lên Tương tự như trên ta có công nguyên tố của các lực hoạt động:

0 ) cos

Để vật không trượt xuống  M  PR(sin  f cos)

Như vậy để vật A cân bằng không trượt lên và cũng không trượt xuống thì điều kiện sau phải thoả mãn: PR(sin f cos)M PR(sin f cos)Nếu một trong hai điều kiện đó bị phá vỡ thì A sẽ không còn cân bằng tức là bị kéo lên hay trượt xuống

Bài 1.4: Cho cơ hệ được biểu

diễn trên hình vẽ Dây mềm mảnh,

nhẹ và không giãn được buộc vào

lượng P Xác định P theo Q và xác định hệ số ma sát trượt giữa vật A và mặt phẳng ngang để hệ cân bằng

Bài giải :

Khảo sát cơ hệ gồm dây nối, ròng rọc và các vật A, K, B Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm giữ, dừng và lý tưởng Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có hai bậc tự do Chọn các toạ độ suy rộng đủ đủ q1=x, q2=y biểu diễn như hình vẽ Chiều dương của x hướng sang phải, còn của y hướng xuống dưới

Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ đang xét: F ms,Q,P,P

Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ  x ,  y  0 Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động A(F k ) = -Fmsx + Py + Qy1 Với y1 là di chuyển khả dĩ của vật nặng K

Ta sẽ có

2

1

x y

2 ( )

Q fP x

Q y

Q y P x

2()2

(2

0 2

Q P

Q fP

2

f

Q P

Bài 1.5: Dầm tổ hợp AD nằm trên ba gối tựa gồm có hai dầm nối khớp

nhau tại C Người ta tác dụng lên dầm những lực thẳng đứng trọng tải 2 tấn, 6 tấn, và 3 tấn, kích thước nêu trên hình vẽ Hãy xác định phản lực của gối tựa

A, B và D

Đầu tiên ta tìm phản lực ở gối tựa

A : N A Phá vỡ liên kết tại A xem như

ở đó chỉ có một lực N A giữ cho hệ cân

bằng hướng thẳng đứng lên trên (Hình

1.6a)

Cơ hệ có một bậc tự do, cân bằng

dưới tác dụng của các lực hoạt động

A N

đủ đủ q= xA, là di chuyển của điểm A

đối với điểm C

; 2

1

P N x

F A

A

k x x

Chọn toạ độ suy rộng đủ đủ là xB là di chuyển của B đối với điểm C

Cho B một di chuyển khả dĩ x B 0suy ra

0

; 2

1

; 2

3

; 4

B B

B B

B

Q p

M B

B k

x

x P P

P N

x P

x P

x P x

N

x P x

P x

P x

N F

14

54

3(

2

14

54

3

)(

3 2

1

3 2

1

3 2

5 4

3 )

(

P P

P N

x

F A

B

k x x

B





Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ : Q 0 suy ra :

T N

T P

P P

2

1 6 4

5 2 2

3 ( 2

1 4

5 2

3

3 2

1       



Tìm phản lực tại D: N D, tương tự phá vỡ liên kết tại D xem như chỉ có một lực tác dụng N D giữ cho hệ cân bằng, lực hướng thẳng đứng lên trên Ta thấy cơ hệ có một bậc tự do, cân bằng dưới tác dụng của lực hoạt động

D p

D M

B A

1 ,

4

1

; 0

1 4

1 4

1

P P

P N

x

F A

1 6 4

1 2 4

1 ( 2

1 4

1 2

1

3 2

Suy ra: N A N B  N D P1P2 P3  0

Chiếu phương trình này lên phương vuông góc với AB:

NA+NB+ND–P1–P2–P3=0

Nên ND =P1+P2+P3-NA-NB =(2+3+6-10,5-1)T =-0,5T

Bài 1.6: Trên hình vẽ (1.7) ta có sơ đồ cơ cấu culic của máy bào ngang

Tay quay OA có chiều dài là a, cần lắc CB có chiều dài là l, còn khoảng cách giữa hai trục O và C là d Ở vị trí đang xét OA tạo với phương thẳng đứng một góc quay  Tay quay OA chịu tác dụng một ngẫu lực có mômen M, còn cần lắc chịu tác dụng của lực ngang F

tại B hướng từ trái sang phải Bỏ qua

ma sát và trọng lượng bản thân của các khâu Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu và ở vị trí đó tìm phản lực tại trục quay C

Bài giải :

Khảo sát cơ hệ là cơ cấu culic của máy bào

ngang Cơ hệ đang xét có một bậc tự do chịu liên

kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tưởng Chọn hệ toạ độ

suy rộng đủ q= là góc quay của tay quay OA Các

lực hoạt động gồm F

và ngẫu lực có mômen M

Trước tiên ta tìm lực suy rộng ứng với toạ độ

suy rộng  Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ  0 ngược chiều kim đồng hồ Khi đó cần lắc quay quanh C một góc 

Ta cần tìm mối liên hệ giữa  và 

Gọi V A là vận tốc tuyệt đối của A , V t là vận tốc tương đối do A chạy trên CB , V k là vận tốc kéo theo do CB quay quanh C

Khi đó V A V t V k Các véc tơ vận tốc được biểu diễn trên hình vẽ

Với VA = o.OA ; o : vận tốc quay của OA ; Vk = CB.CA , CB : vận tốc góc của CB

Ta có V K V Acos( ) nên CB.CA = o.OA.cos(-)

(

l

a Fl

M F

l

a Fl

Tìm phản lực tại trục quay C: phá vỡ liên kết

tại C và thay thế nó bằng hai phản lựcX C và Y C , biểu diễn trên hình vẽ Khi này cơ hệ có 3 bậc tự do Chọn các toạ độ suy rộng đủ q1 ,q2 ,q3 s với

s là toạ độ của một điểm bất kỳ của khâu BC đối với điểm A (xét điểm C) Nhƣ vậy q3  ACs

Các lực hoạt động sẽ là: F,X C,Y C và mômen có ngẫu lực M

Việc đi tìm các phản lực tại C: Xc và Yc sẽ chuyển sang việc tìm điều kiện cân bằng của cơ hệ trong toạ độ suy rộng: tức là  0

i q

Với việc Q  0, ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa ngẫu lực M và lực F để

cơ cấu cân bằng đã thiết lập ở trên Còn Q  0 và Qs = 0 chúng ta sẽ sử dụng

để tìm Xc và Yc

Trước hết cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ:   s 0 và   0

Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động:

.

cos ) ( cos

sin )

( )

( ).

( )

(

1

1 1

1

F l l X l l

Y

F l l X l l

Y F

M Y

M X

M

F

A

c c

c c

A c

A c

A k

Lực suy rộng Q ứng với toạ độ suy rộng  là:

Q  Y c l1sin l1cosX c  (l l1)Fcos

Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ :   0, s0

Tổng công khả dĩ của các lực hoạt động :

) sin cos

sin (

sin cos

sin )

(

s F

Y X

s F

s Y

s X

F A

c c

c c

k s

Lực suy rộng: Q s  X csinY ccosFsin

Từ điều kiện cân bằng của cơ hệ:

0

s Q

sin (

0 cos ) ( cos

X

F l l X l

Y l

c c

c c

Giải hệ phương trình trên ta được :

) 1 cos (

1

2 1

l

l F Y

l

l F X

c c

Như vậy Yc sẽ ngược chiều biểu diễn; còn Xc sẽ cùng chiều biểu diễn

1 2

1

cos0

1cos hay l l

trọng lượng Q được nối với nhau

bằng các bản lề và tại đầu tự do của

thanh thứ ba đặt lực F nằm ngang nhờ đó giữ cho cả hệ nằm trong mặt phẳng đứng và cân bằng Khi đó các thanh lập với đường thẳng đứng những góc tương ứng 1 ,2, 3 , xác định những góc đó nếu F=Q

Bài giải:

Khảo sát cơ hệ gồm 3 thanh cùng trọng lượng Q Cơ hệ gồm các vật rắn liên kết với nhau bằng các bản lề không ma sát, cho nên cơ hệ chịu liên kết lý tưởng

Lấy tâm O làm gốc toạ độ, chiều các trục Ox, Oy được biểu diễn trên hình vẽ Dễ dàng nhận thấy cơ hệ có ba bậc tự do, do vậy ta Chọn các toạ độ suy rộng đủ q1=1, q2=2, q3=3

Trọng lượng của mỗi thanh có thể phân ra làm hai thành phần đặt vào hai đầu mút của nó Khi đó ta có hệ lực biểu diễn như trên hìnhvẽ Các lực

hoạt động gồm có:

2 , , , 2

Q Q Q

Q

và F

Cho cơ hệ di chuyển khả dĩ 1  0, 2  0, 3  0 Khi đó A di chuyển khả dĩ xA, yA; B di chuyển khả dĩ xB, yB; C di chuyển khả dĩ xC, yC Tổng công nguyên tố của các lực hoạt động:

)2

(2

)(F k Q y A Q y B Q y C F x c Q y A y B y C x C

yC = ccos3 + acos1 + bcos2; xC = asin1+ bsin2+ csin3

Từ đây ta có thể suy ra đƣợc các di chuyển khả dĩ:

yA = - asin1.1; yB = -asin11 - bsin22

yC = -csin33 - bsin22- asin11;

xC = acos11 + bcos22+ ccos33

Thay các giá trị này vào (*) ta suy ra :

ma sát trượt, ngẫu lực ma sát Ta vẫn sử dụng nguyên lý này bằng cách coi lực ma sát này là lực hoạt động

Từ việc giải một số bài toán cụ thể ở II ta có thể phân loại được bài toán

áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ thành 3 dạng cơ bản:

Loại 1: Bài toán tìm liên hệ giữa các lực hoạt động để hệ cân bằng Loại 2: Bài toán xác định phản lực liên kết khi hệ đã cân bằng

Loại 3: Tìm vị trí cân bằng khi đã biết các lực tác dụng lên hệ

Từ đây ta có thể rút ra được tiến trình giải các bài toán bằng phương pháp áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ:

Bước 1: Xác định cơ hệ khảo sát và số bậc tự do của nó

Kiểm tra điều kiện liên kết lý tưởng của hệ

Bước 2: Chọn các toạ độ suy rộng đủ đủ

Đặt các lực hoạt động lên cơ hệ

Đối với loại bài toán xác định phản lực liên kết: giải phóng liên kết và thay thế phản lực cần tìm - coi nó như một lực hoạt động

Bước 3: Cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ hợp lý rồi biểu diễn những di chuyển khả dĩ các điểm đặt các lực hoạt động theo di chuyển khả dĩ độc lập tự chọn phù hợp với bậc tự do

Viết biểu thức tính công khả dĩ Từ điều kiện cân bằng ta tìm được các giá trị cần xác định Nếu hệ có nhiều bậc tự do thì các tính toán được áp dụng

là các di chuyển khả dĩ độc lập với nhau

CHƯƠNG II : NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE

I Cơ sở lý thuyết

Những phương pháp giải các bài toán động lực mà chúng ta áp dụng trước đây đều dựa trên các phương trình suy trực tiếp từ các định luật Niutơn hoặc từ các định lý tổng quát là hệ quả của các định luật đó Nhưng nó chưa phải là con đường duy nhất, ta còn có thể thiết lập các phương trình chuyển động hay các điều kiện cân bằng của cơ hệ dựa trên những cơ sở khác nữa là các nguyên lý cơ học để thay cho các định luật Niutơn

Ở phần trước chúng ta đã được nghiên cứu về sử dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ Dưới đây ta sẽ đi sâu và tìm hiểu nguyên lý Đalămbe – ứng dụng nó vào giải các bài toán cơ học - một phương pháp rất hiệu quả, đưa bài toán động vào bài toán tĩnh

1 Nguyên lý Đalămbe

1.1 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm:

Tại một thời điểm lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của chất điểm cân bằng nhau: FF qt  0 ( 2 1 )

Chú ý: Đối với trường hợp chất điểm không tự do, lực tác dụng lên chất

điểm bao gồm cả phản lực liên kết R Khi đó (2.1) trở thành:

'

) 1 2 ( 0





R F qt

F

1.2.Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ:

Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm M1,…., MN dưới tác dụng của hệ lực

), ,

,

(F1 F2 F N chuyển động gia tốc ( a1, a2,  , aN)

Xét chất điểm Mk có khối lượng mk, chịu tác dụng của các lực F k chuyển động với gia tốc a k Lực quán tính của chất điểm ấy : qt k k

Do vậy nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ được phát biểu như sau :

Tại mỗi thời điểm, các lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ và các lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng

)2.2(0),

,,

,,,,

(F1 F2  F N F1qt F2qt  F N qt 

Với F k  F k eF k i

1.3 Hệ quả: Ta có hai loại phương trình cân bằng :

)4.2(0)

(

)3.2(0

k k

k

qt e

k

M F

m

R F

Với:

qt M F

R k

qt k qt

tính, sáu phương cân bằng đối với hệ lực không gian và ba phương trình đối với hệ lực phẳng

Phương pháp này được gọi là phương pháp tĩnh hình học - động lực

Cụ thể ta sẽ đi vào khảo sát phương trình cân bằng động lực của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định

Giả sử vật rắn chuyển động quay quanh trục Oz với vận tốc góc  phần

tử B k khối lượng mk, có toạ độ xk, yk, zk sẽ có lực quán tính

qt z

c qt

y

c qt

x

R

y M R

x M R

.

2 2

0

qt z

xz qt y

yz qt

x

M

J M

J M

00

0

00

00

2 1

01

2 1

01

2 01

0

2 01

J X

J Y

My Y

Y

Mx X

X

Trong đó X0 ,Y0 , X 01 ,Y01 là những phản lực của các ổ đỡ tác dụng trên trục quay Khi thiết lập những phương trình (2.5) ta không để ý đến trọng lượng của vật quay mà chỉ để ý đến lực quán tính, nên các phản lực tìm được

Nếu điều kiện: Xc=Yc=0 ; Jyz=Jxz=0 được thoả mãn, nghĩa là trục quay

z là trục quán tính chính trung tâm thì các phản lực động lực triệt tiêu

Đó là cơ sở lý thuyết của các phương pháp cân bằng động lực dùng để cân bằng các máy có chuyển động quay

II Bài tập ứng dụng:

Bài 2.1: Con lắc đơn có khối lượng m, chiều dài l, gia tốc trọng trường g,

kéo con lắc lệch khỏi góc thẳng đứng một góc 0 rồi buông nhẹ Tìm sức căng của sợi dây khi con lắc đi qua vị trí cân bằng Bỏ qua sức cản của không khí

Bài giải:

Khảo sát cơ hệ là con lắc đơn trong hệ quy

chiếu quán tính Biểu diễn cơ hệ tại vị trí cần xác

định sức căng T, tức là vị trí C Chọn hệ trục toạ

độ xx’ như hình vẽ, chiều dương hướng xuống

dưới Khi đi qua vị trí cân bằng vật có gia tốc

bằng gia tốc pháp tuyến ww n

Lực quán tính đặt lên vật: qt n

w m

Áp dụng nguyên lý Đalămbe, phương trình cân bằng tĩnh động lực:

2

l

mv mg P F T T

Thay vào (*) ta được: T= mg+2mg(1-cos) = mg(3-2cos)

Bài 2.2: Hai vật nặng có trọng lượng P1, P2 quấn vào hai tầng của ròng rọc có trọng lượng Q, có bán kính quán tính đối với trục quay là  Tầng một

có bán kính tang là r, tầng hai là R (trên hình vẽ) Tìm gia tốc của ròng rọc và phản lực của trục quay Biết tải trọng chuyển động dưới tác dụng của trọng lực

lực quán tính F1qt   m a1 Đặt vào vật P2 lực quán tính F2qt  m a2

Có thể xem chuyển động của ròng rọc này là những tấm phẳng quay quanh khối tâm, hệ lực quán tính thu thành một ngẫu lực có chiều âm, về trị số

g

Q J

M qt  

Theo nguyên lý Đalămbe : ( 1, 2, , 0, qt)0

F R

Q P P

Lấy mômen của hệ lực cân bằng đối với O ta có :

0 ) (

0

0 )

(

2 2

2 2 1 2

1

2 2

1 2 1

2 1

2 1

P

g

Q r r g

P R R g

P r P R

P

M r F R F r P R P F

2 2 1

2 1





Q r P R P

r P R P g

2 2 2 2 1

2 2 1 2 2

1 0

2 2 2 2 1

2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 2 2 2 1

2 2 1 2

1 2 1 2

1

2 1

2 1 1 2 2 1 0

0 2 1 2 1

0 2 2 1 1

) (

) (

) (

) (

) (

) (

0 0

Q P P r R P P R

Q r P R P

r P R P Q

P P r P r P P R P P R P

Q r P R P

r P R P P

P r P R P g P P

r g

P R g

P P P F F P P R

R F F P P

R F P F P

qt qt

qt qt

qt qt

Bài 2.3: Hai vật nặng A và B có trọng lƣợng P và Q buộc vào một sợi

dây không giãn vắt qua ròng rọc không trọng lƣợng và ròng rọc này quay quanh trục cố định O Những vật A, B có thể trƣợt trên hai cạnh của lăng trụ tam giác mà hệ số ma sát của vật lăng trụ là f Tìm gia tốc a của các vật nặng

và sức căng của sợi dây, nếu những góc  , đã biết (hình vẽ)

xuống với gia tốc a1= a, các vật A

và B đƣợc nối với nhau bằng sợi

dây không giãn nên vật B sẽ bị

kéo lên với gia tốc a2= a

Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ P,N,F1ms,Q,N2,F2ms