Dạy học giải bài tập toán hình học không gian lớp 11 theo định hướng tiếp cận tư tưởng dạy học giải quyết vấn đề luận án thạc sĩ toán học

Trong đó, dạy học giải quyết vấn đề đ-ợc quan tâm nh- một biện pháp hữu hiệu để ng-ời học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập, sáng tạo.. còn việc triển khai dạy học giải quyết vấn đề v

mở đầu

I Lý do chọn đề tài

Sự phát triển của xã hội và đất n-ớc đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất l-ợng giáo dục và đào tạo Đào tạo những con ng-ời mới năng động, sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề, đáp ứng yêu cầu nguồn nhân lực của đất n-ớc trong giai đoạn phát triển mới là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của ngành Tuy nhiên, lối dạy học theo kiểu

“Thầy nói, trò nghe” như lâu nay vẫn còn phổ biến, làm cho trò trở nên bị

động, lệ thuộc vào thầy, giáo viên khó kiểm soát đ-ợc việc học của trò Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ng-ời xây dựng xã hội công nghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của ph-ơng pháp dạy học toán đã làm nẩy sinh và thúc đẩy cuộc vận động đổi mới ph-ơng pháp dạy học toán với định h-ớng đổi mới là tổ chức cho ng-ời học học tập trong hoạt

động và bằng hoạt động, tự giác, tích cực, sáng tạo Điều này đ-ợc thể hiện rõ trong Nghị quyết Trung ương 2 (Khoá VIII) “ Đổi mới mạnh

mẽ ph-ơng pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp t- duy sáng tạo cho ng-ời học, từng b-ớc áp dụng các phương pháp tiên tiến hiện đại vào quá trình dạy học ” Và gần đây, Nghị quyết Trung ương 6 (khoá IX) tiếp tục khẳng định: “ Đổi mới nội dung, ch-ơng trình, ph-ơng pháp giáo dục theo h-ớng chuẩn hoá, hiện

đại hoá, tăng c-ờng giáo dục t- duy sáng tạo, năng lực tự học, tự tu dưỡng ”

Phù hợp với định h-ớng đó, có thể trình bày những xu h-ớng dạy học không truyền thống nh- dạy học giải quyết vấn đề, dạy học dựa vào

lý thuyết tình huống, dạy học ch-ơng trình hoá, dạy học với công cụ máy tính điện tử Trong đó, dạy học giải quyết vấn đề đ-ợc quan tâm nh- một biện pháp hữu hiệu để ng-ời học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập, sáng tạo

Các tác giả trong và ngoài n-ớc đã có nhiều công trình nghiên cứu

về vấn đề này Chẳng hạn nh- V.Ô-Kôn và Lec-ne đã viết khá đầy đủ về cơ sở lý luận của dạy học nêu vấn đề ở trong n-ớc cũng có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, tiêu biểu là Nguyễn Bá Kim, Vũ D-ơng Thuỵ, Phạm Văn Hoàn, Trần Luận Gần đây có luận án Tiến sỹ của tác giả Nguyễn Lan Ph-ơng và luận án Thạc sỹ của Nguyễn Thị Mỹ Hằng viết

về vấn đề này Tuy nhiên, các tác giả chủ yếu là nghiên cứu về lý luận,

còn việc triển khai dạy học giải quyết vấn đề vào từng nội dung cụ thể thì ch-a đ-ợc đề cập một cách đầy đủ, nhất là đối với nội dung giải bài tập toán

ở tr-ờng phổ thông, dạy học toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, có thể xem giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học Những bài toán có tính chất vấn đề có tác dụng nhiều trong việc phát triển trí thông minh nh-ng lại không phù hợp với mọi đối t-ợng học sinh Vì vậy, việc h-ớng dẫn phát hiện và giải quyết vấn đề từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp đóng vai trò quan trọng

Đối với học sinh, việc giải các bài toán hình học không gian còn gặp nhiều khó khăn do so với hình học phẳng, hình học không gian có thêm đối t-ợng cơ bản là mặt phẳng, nên các mối quan hệ rất phức tạp Hơn nữa, hình biểu diễn của hình không gian trên mặt phẳng không thể phản ánh một cách trung thành các quan hệ nh- quan hệ bằng nhau của hai cạnh hay của hai góc, quan hệ vuông góc của hai đ-ờng thẳng v.v

Đây là một khó khăn lớn đối với học sinh Ph-ơng pháp dạy học giải quyết vấn đề sẽ góp phần tháo gỡ khó khăn đó

Từ những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài: “ Dạy học giải bài tập toán Hình học không gian lớp 11 theo định h-ớng tiếp cận t- t-ởng dạy học giải quyết vấn đề ”

II Mục đích nghiên cứu

1 Cơ sở lý luận của dạy học giải quyết vấn đề

2 Dạy học giải bài tập toán hình học không gian lớp 11 theo định h-ớng tiếp cận t- t-ởng dạy học giải quyết vấn đề

III Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Hệ thống hoá cơ sở lý luận, phân tích bản chất và hình thức tổ chức của dạy học giải quyết vấn đề

2 Nghiên cứu một h-ớng triển khai dạy học giải quyết vấn đề đối với nội dung giải bài tập toán

3 Xây dựng các bài toán gốc, cơ sở để tạo tình huống có vấn đề và giải quyết vấn đề

4 Thực nghiệm s- phạm, kiểm tra tính khả thi của dạy học giải quyết vấn đề

IV Giả thuyết khoa học

Nếu quan tâm dạy học Hình học không gian lớp 11 theo định h-ớng dạy học giải quyết vấn đề giúp học sinh xây dựng các bài toán gốc, từ đó phát hiện những vấn đề mới, đề xuất giải quyết những bài toán mới ở mức độ nâng cao khó khăn thì sẽ góp phần giáo dục t- duy toán học cho học sinh đáp ứng yêu cầu của đổi mới ph-ơng pháp dạy học toán

VI Cấu trúc luận văn

Bản luận văn có 3 ch-ơng:

Ch-ơng 1: Một số cơ sở lý luận để xây dựng quy trình dạy học giải

quyết vấn đề

Ch-ơng 2: Xây dựng hệ thống bài toán gốc, cơ sở tạo tình huống

có vấn đề và giải quyết vấn đề

2.1 Hệ thống bài toán gốc trên cơ sở để giải quyết các vấn đề t-ơng tự

2.2 Các bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen

2.3 Hệ thống bài toán gốc với t- cách cơ sở để khái quát hoá

2.4 Hệ thống các bài toán gốc để giải quyết các bài toán nâng cao mức độ khó khăn

Ch-ơng 3: Thực nghiệm s- phạm

Kết luận

Ch-ơng 1

Một số cơ sở lý luận để xây dựng quy trình dạy học theo ph-ơng pháp dạy học giải quyết vấn đề

1.1 Nhu cầu và định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học

Quá trình dạy học gồm 3 thành phần cơ bản: mục đích - nội dung - ph-ơng pháp Mục đích dạy học là kiểu nhân cách mà xã hội đòi hỏi Nội dung dạy học trong tr-ờng hợp này là môn toán Ph-ơng pháp dạy học là cách thức hoạt động và ứng xử của thầy để gây nên những hoạt động và giao l-u của trò nhằm đạt đ-ợc mục đích dạy học Các thành phần cơ bản này tác động lẫn nhau, quy định lẫn nhau, trong đó mục đích đóng vai trò chủ đạo

Cho đến gần đây, các ph-ơng pháp dạy học mang tính chất thông tin - tiếp thu và tái hiện vẫn còn chiếm -u thế Giáo viên truyền đạt (thông báo) cho học sinh các tri thức về thực tại xung quanh và các ph-ơng thức hoạt động trong thực tại đó mà xã hội thu l-ợm đ-ợc, còn học sinh tiếp thu thông tin ấy, sau đó giáo viên ra những bài tập để học sinh nhớ lại (tạo lại) những tri thức và ph-ơng thức hoạt động mà họ lĩnh hội đ-ợc để lặp lại hệ thống hành động theo mẫu thầy giáo đã làm Các ph-ơng pháp này cần thiết để củng cố tri thức, lĩnh hội kỹ năng, kỷ xảo Chừng nào mà dạy học chỉ có mục đích cung cấp tri thức và luyện tập kỹ năng, áp dụng tri thức theo mẫu thì ph-ơng pháp trên là đủ Tuy nhiên, nhịp độ phát triển của kỹ thuật, công nghệ, khoa học của mọi mặt đời sống xã hội ngày càng tăng thêm khiến cho những tri thức thu đ-ợc trong những năm học ở tr-ờng trở thành không đủ nữa Đồng thời, sự phát triển xã hội và đất n-ớc đề ra những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục

Đó là, đào tạo ra những con ng-ời phát huy đ-ợc tính tích cực cá nhân, làm chủ đ-ợc tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có t- duy sáng tạo,

có kỹ năng thực hành giỏi, có khả năng đề ra và độc lập giải quyết những vấn đề mới Những thay đổi của mục đích dạy học tất yếu dẫn tới sự đổi mới về nội dung và ph-ơng pháp dạy học

ở n-ớc ta, t- t-ởng chỉ đạo công cuộc đổi mới ph-ơng pháp dạy học từ một vài năm gần đây đ-ợc phát biểu với nhiều thuật ngữ nh-: tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động hoá ng-ời học, lấy ng-ời học làm

trung tâm Với t- t-ởng đó, định h-ớng đổi mới ph-ơng pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho ng-ời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt

động tự giác, tích cực, sáng tạo

Định h-ớng đó bao hàm các ý t-ởng đặc tr-ng sau:

1.1.1 Xác lập vị trí chủ thể của ng-ời học, bảo đảm tính tự giác,

tích cực và sáng tạo của hoạt động học tập

Ng-ời học là chủ thể chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo Vai trò chủ thể của ng-ời học đ-ợc khẳng định trong quá trình

họ học tập trong hoạt động và bằng hoạt động của bản thân mình

1.1.2 Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan

niệm về kiến thức sẵn có của ng-ời học

Theo tâm lý học, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó ng-ời học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm nghiệm mới với những kiến thức và kinh nghiệm sẵn có, bắc một chiếc cầu nối giữa cái mới và cái sẵn có Khi học một kiến thức mới, th-ờng không phải là học trò ch-a có một quan niệm nào về kiến thức đó Trái lại, bộ óc học trò th-ờng đã có một quan niệm, kinh nghiệm nào đó có liên quan với kiến thức cần học, làm thuận lợi hoặc gây khó khăn cho quá trình xây dựng kiến thức mới Vì vậy, tổ chức cho học sinh hoạt động học tập có một hàm nghĩa là nghiên cứu những quan niệm, kinh nghiệm sẵn có đó, khai thác mặt thuận lợi và hạn chế mặt khó khăn cho quá trình học tập, nghiên cứu những ch-ớng ngại mà họ có thể gặp, những sai lầm mà họ có thể mắc khi xây dựng một kiến thức mới, nhờ đó thầy giáo điều khiển việc học có hiệu quả

1.1.3 Dạy việc học, cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học tập: ở tri thức và kỹ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quá trình học tập một cách hiệu quả

1.1.4 Dạy tự học trong quá trình dạy học

Kho tàng văn hoá của nhân loại là vô tận Cứ sau một chu kỳ ngắn thì tri thức trên các lĩnh vực lại tăng lên gấp đôi Nếu đặt mục tiêu dạy

một lần đủ tri thức để ng-ời học có thể sống và hoạt động suốt đời thì sẽ không bao giờ đạt đ-ợc Để có thể sống và hoạt động suốt đời thì phải học suốt đời Để học đ-ợc suốt đời thì phải có khả năng tự học Khả năng này cần đ-ợc rèn luyện ngay trong khi còn là học sinh ngồi trên ghế nhà tr-ờng Vì vậy, quá trình dạy học phải bao hàm dạy tự học

1.1.5 Xác định vai trò mới của ng-ời thầy với t- cách ng-ời thiết

kế, uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá

Hoạt động hoá ng-ời học dễ dẫn tới việc ngộ nhận về sự giảm sút vai trò của ng-ời thầy

Một mặt, cần phải hiểu rằng hoạt động hoá ng-ời học, sự xác lập vị trí chủ thể của ng-ời học không hề làm suy giảm, mà ng-ợc lại còn nhằm nâng cao vai trò, trách nhiệm của ng-ời thầy

Mặt khác, sẽ là bảo thủ nếu cho rằng tính chất, vai trò của ng-ời thầy vẫn nh- x-a Trong khi khẳng định vai trò của thầy không suy giảm, cần phải thấy rằng tính chất của vai trò này đã thay đổi: Thầy không phải

là nguồn phát tin duy nhất, thầy không phải là ng-ời ra lệnh một cách khiên c-ỡng, thầy không phải là ng-ời hoạt động chủ yếu ở hiện tr-ờng Vai trò trách nhiệm của thầy bây giờ quan trọng hơn, nặng nề hơn nh-ng

tế nhị hơn cụ thể là:

+) Thiết kế: xác định, hoạch định toàn bộ kế hoạch giảng dạy

+) Uỷ thác: phải biến đ-ợc ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ tự nguyện, tự giác của trò

+) Điều khiển: h-ớng dẫn, tổ chức quá trình học tập sao cho học sinh tự tìm tòi và tự giải quyết nhiệm vụ đó

+) Thể chế hoá: đánh giá hoạt động học tập của học sinh, xác định

vị trí kiến thức trong hệ thống tri thức đã có và h-ớng dẫn khả năng vận dụng kiến thức đó

Một trong những ph-ơng pháp dạy học đ-ợc đánh giá là rất có khả năng trong việc phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh là dạy học giải quyết vấn đề Luận văn này chọn giải pháp tiếp cận t- t-ởng dạy học giải quyết vấn đề nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới ph-ơng pháp dạy học

1.2 Dạy học giải quyết vấn đề

1.2.1 Cơ sở khoa học của ph-ơng pháp dạy học giải quyết vấn

đề

1.2.1.1 Cơ sở triết học

Theo triết học duy vật biện chứng: “Mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển” Mỗi vấn đề được gợi cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ với những yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế

1.2.1.2 Cơ sở tâm lý học

Theo các nhà tâm lý học, con ng-ời chỉ bắt đầu t- duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần t- duy, tức là khi đứng tr-ớc một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói nh- Rubinstein: “Tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”

1.2.1.3 Cơ sở giáo dục học

Dạy học giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi đ-ợc hoạt động học tập mà chủ thể đ-ợc h-ớng

đích, gợi động cơ trong quá trình giải quyết vấn đề

Dạy học giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa giáo d-ỡng và giáo dục Tác dụng giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho học sinh cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời nó góp phần bồi d-ỡng cho ng-ời học những đức tính cần thiết của ng-ời lao

động sáng tạo nh-: tính chủ động, tính kiên trì v-ợt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

1.2.2 Những khái niệm cơ bản

1.2.2.1 Vấn đề

Trong giáo dục, người ta thường hiểu khái niệm “vấn đề” như sau: Một vấn đề đ-ợc biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:

- Học sinh ch-a giải đáp đ-ợc câu hỏi đó hoặc ch-a thực hiện đ-ợc hành động đó

- Học sinh ch-a đ-ợc học một quy tắc có tính chất thuật toán nào

để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài tập Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những vấn đề

1.2.2.2 Tình huống có vấn đề

Tình huống có vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng v-ợt qua, nh-ng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt

động để biến đổi đối t-ợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Nh- vậy, một tình huống có vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức đ-ợc một khó khăn trong t- duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có ch-a đủ để v-ợt qua

- Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề, nh-ng nếu học sinh thấy xa lạ, không muốn tìm hiểu thì đây cũng ch-a phải là một tình huống có vấn đề Trong tình huống có vấn đề, học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó

Một vấn đề có thể có ý nghĩa do bản thân nội dung của nó, đó có thể là lời giải cho một câu hỏi nào đó mà cá nhân đã quan tâm đến từ lâu, hay một câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên và lý thú từ lôgic của đề tài

đang nghiên cứu Đó có thể là một tình huống nghịch lý khiến ng-ời ta ngạc nhiên thắc mắc Song, quá trình dạy học nêu vấn đề hình thành tốt

đẹp các chức năng của nó thì trong quá trình áp dụng nó ngày càng nhiều trong thực hành thì bản thân quá trình sáng tạo, quá trình tìm tòi sẽ trở thành động cơ chủ yếu

- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nh-ng nếu học sinh cảm thấy nó v-ợt quá xa so với khả năng của mình thì học sinh cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ ch-a có ngay lời giải, nh-ng đã có

một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết vấn đề đó

Đặt vấn đề tốt sẽ tác động đến cá nhân theo một ph-ơng thức nhất

định Nếu việc khắc phục đ-ợc khó khăn trong vấn đề nêu lên dẫn đến sự thoả mãn một nhu cầu nào đó của cá nhân, thì cá nhân đó sẽ có nguyện vọng giải quyết vấn đề ấy Lúc này sẽ nảy sinh một sự căng thẳng trí tuệ nhất định, sự căng thẳng này chỉ mất đi khi vấn đề đã đ-ợc giải quyết Những ng-ời l-ời suy nghĩ, không quen với t- duy độc lập, sẵn sàng tránh sự căng thẳng đó và sự băn khoăn về trí tuệ kèm theo nó Điều đó cũng cho thấy, tình huống có vấn đề còn phụ thuộc vào chủ quan và tạo

ra tình huống có vấn đề nh- thế nào để không bỏ rơi một bộ phận học sinh trong lớp là kết quả của nghệ thuật s- phạm của giáo viên

1.2.2.3 Dạy học giải quyết vấn đề

Trong dạy học giải quyết vấn đề, giáo viên tạo ra những tình huống

có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện

Hình 1

Đ-a học sinh (H) đến một trở ngại (T) (tình huống có vấn đề), ở đó

T thoả mãn các điều kiện gây xúc cảm và trên sức một ít

Học sinh tích cực hoạt động nhận thức d-ới sự gợi mở dẫn dắt toàn

bộ hoặc từng phần của giáo viên, hoặc hoàn toàn độc lập để tìm ra con

đ-ờng HK v-ợt qua T đến kết quả K Mô phỏng theo lý thuyết hoạt động các mũi tên Hx thể hiện yếu tố trực giác với t- cách là một sự mách bảo

bất ngờ, không nhận thức đ-ợc Quá trình rèn luyện học sinh độc lập v-ợt qua trở ngại sẽ dần dần hình thành và phát triển ở họ các năng lực sáng tạo

Dạy học giải quyết vấn đề có những đặc tr-ng sau:

- Học sinh đ-ợc đặt vào một tình huống có vấn đề

- Học sinh hoạt động tích cực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề

- Mục đích của dạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội

đ-ợc kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn làm cho họ phát triển đ-ợc khả năng tiến hành những quá trình nh- vậy Nói cách khác, học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà tr-ớc hết là học bản thân việc học

1.2.3 Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề

Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề, ng-ời ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học giải quyết vấn đề

1.2.3.1 Hình thức nghiên cứu

Trong hình thức nghiên cứu, tính độc lập của ng-ời học đ-ợc phát huy cao độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó Thầy giáo giúp học sinh cùng lắm là ở khâu phát hiện vấn đề Nh- vậy, trong hình thức này, ng-ời học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này, nhờ đó chuẩn bị cho học sinh năng lực giải quyết các vấn đề một cách trọn vẹn

1.2.3.2 Hình thức tìm tòi từng phần

Trong hình thức này, học sinh giải quyết vấn đề không hoàn toàn

độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt khi cần thiết Giáo viên tạo tình huống, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề với sự h-ớng dẫn của giáo viên

Hình thức này là cần thiết trong tr-ờng hợp học sinh gặp khó khăn, không có lối thoát khi giáo viên tạo tình huống gợi vấn đề Khi đó, nhiệm

vụ của giáo viên là phải giúp đỡ học sinh mà không làm mất đi tính có vấn đề của bài toán Có thể chỉ ra một số con đ-ờng để thực hiện ph-ơng

pháp này Nếu học sinh không thể giải đ-ợc bài toán thì thì giáo viên xây dựng một bài toán khác t-ơng tự thế nh-ng hẹp hơn Hoặc giáo viên chia một bài toán khó thành vài ba bài toán nhỏ, dễ hơn, nh-ng tập hợp lại thì thành lời giải cho bài toán ban đầu Hoặc, giáo viên gợi ý những dữ kiện

bổ sung cho điều kiện của bài toán khó, nhờ đó hạn chế đ-ợc số b-ớc giải

và phạm vi tìm tòi

1.2.3.3 Hình thức trình bày nêu vấn đề

ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Trong quá trình này có tìm kiếm dự

đoán, có lúc thành công, có khi thất bại phải điều chỉnh ph-ơng h-ớng mới đi đến kết quả Nh- vậy, kiến thức đ-ợc trình bày không phải d-ới dạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực

Hình thức này đ-ợc áp dụng trong tr-ờng hợp thông báo những sự kiện trong lịch sử phát triển khoa học mà chính khoa học cũng đứng tr-ớc những tình huống có vấn đề, có khi đến nay vẫn ch-a giải quyết đ-ợc Hoặc trong tr-ờng hợp do lô-gic của trình bày tài liệu mà nảy sinh ra những tình huống mâu thuẫn với các quan niệm quen thuộc hay với những khẳng định mới đây của giáo viên liên quan với việc nghiên cứu giai đoạn phát triển khoa học tr-ớc đó Trong hai tr-ờng hợp vừa nêu, tình huống có vấn đề là không vừa sức học sinh Nếu tình huống có vấn

đề tuy cũng vừa sức học sinh nh-ng nó thuận tiện để giới thiệu với học sinh một mẫu mực về t- duy nghiêm túc, tiết kiệm thì vẫn có thể sử dụng hình thức trình bày nêu vấn đề

1.2.4 Thực hiện dạy học giải quyết vấn đề

Hạt nhân của dạy học giải quyết vấn đề là điều khiển quá trình nghiên cứu của học sinh Quá trình này có thể chia thành các b-ớc sau, trong đó b-ớc nào, khâu nào do học trò tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi sự trình bày của thầy là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp

độ đã nêu ở mục 1.2.3

B-ớc 1: Phát hiện vấn đề:

- Đ-a học sinh vào tình huống có vấn đề

- Phân tích tình huống đó

- Dự đoán vấn đề nảy sinh và đặt mục đích chứng minh tính đúng

đắn của nó

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

- Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm

- Đề xuất và thực hiện h-ớng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và chuyển h-ớng khi cần thiết Trong khâu này th-ờng sử dụng những quy tắc tìm đoán nh-: quy lạ về quen, đặc biệt hoá, chuyển qua những tr-ờng hợp suy biến, xem xét t-ơng tự, khái quá hoá, xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy ng-ợc và suy xuôi

- Trình bày cách giải quyết vấn đề

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

- Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp với thực tế của lời giải

- Kiểm tra tính hợp lý hoặc tối -u của lời giải

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét t-ơng tự, khái quát hoá, lật ng-ợc vấn đề và giải quyết nếu có thể

Những điểm l-u ý trong quá trình sử dụng quy trình dạy học:

- Quy trình dạy học trên phải đ-ợc xây dựng trên cơ sở bao quát toàn bộ các đơn vị kiến thức quy định trong một giờ học, tức là giáo viên phải định rõ vấn đề nhận thức nào là cơ bản, cho học sinh phát hiện và giải quyết (giai đoạn 1 và 2), những vấn đề còn lại đ-ợc coi là sự vận dụng (giai đoạn 3) của vấn đề cơ bản đó Nh- vậy, toàn bộ tiến trình giờ học là sự vận động và biến đổi theo ba giai đoạn của vấn đề cơ bản ban

đầu

- B-ớc vận dụng vào tình huống mới (trong giai đoạn thứ ba của quy trình) lại trải qua ba giai đoạn của quy trình dạy học: phát hiện tình huống mới, giải quyết nó và lại vận dụng nó vào tình huống mới khác

cứ thế tiếp tục cho tới hết giờ học Do đó, hành động vận dụng ở quy trình dạy học phải thực hiện mục đích kép: vừa tìm ra kiến thức mới, vừa

rèn luyện ph-ơng thức hành động qua việc thực hành lại quy trình dạy học

- Quy trình dạy học đã nêu nên được coi là quy trình “khung” cho một giờ dạy theo kiểu giải quyết vấn đề Còn trong mỗi giai đoạn, hoạt

động t-ơng tác giữa giáo viên và học sinh luôn biến đổi hết sức linh hoạt bởi: tuỳ thuộc vào nội dung nhận thức nào cần lĩnh hội, hình thức dạy học nào đ-ợc lựa chọn, trình độ nhận thức của học sinh, năng lực chuyên môn

và s- phạm của giáo viên Song, cần đảm bảo tính h-ớng đích của quy trình dạy học: Dựa vào kết quả dự đoán mà chủ thể (học sinh) luôn h-ớng vào đó để điều chỉnh và kiểm tra hành động của mình

- Không nên quá cứng nhắc trong việc xây dựng và sử dụng quy trình dạy học, bởi việc thiết kế nó bị phụ thuộc vào nội dung, đối t-ợng nhận thức, trình độ của giáo viên, ph-ơng tiện dạy học

1.2.5 Những biện pháp thực hiện quy trình

Các biện pháp sử dụng trong từng giai đoạn của quy trình là một yếu tố đảm bảo cho tính hiệu quả của ph-ơng pháp dạy học Vì vậy, điều cần thiết là phải trang bị cho giáo viên và qua đó cho học sinh những biện pháp trong quá trình phát hiện giải quyết, kiểm tra và vận dụng trong giải quyết vấn đề Để từ đó, các em học đ-ợc cách học, cách giải quyết vấn đề

- H-ớng dẫn áp dụng phép t-ơng tự: Từ hai đối t-ợng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận chúng giống nhau ở một số dấu hiệu khác Biện pháp này sử dụng trong hai hoạt động: dự đoán và đặt đề toán

- Gợi ý thay đổi một số bộ phận của vấn đề đã giải quyết

- Gợi ý áp dụng mẫu, mô hình quen thuộc

- H-ớng dẫn dùng quy nạp, thử nghiệm

- Phân tích sự tối nghĩa và mâu thuẫn

- Khái quát hoá, trừu t-ợng hoá những kiến thức đã biết

1.2.5.2 Biện pháp tích cực hoá t- duy của học sinh trong quá trình

giải quyết vấn đề

- Trình bày kiến thức theo kiểu nêu vấn đề

- Thảo luận thông qua hệ thống câu hỏi

- Tìm nguyên nhân của hiện t-ợng

- Tạo nên và h-ớng dẫn giải quyết mâu thuẫn

- Tổ chức độc lập nghiên cứu

1.2.5.3 Tích cực hoá t- duy của học sinh trong quá trình vận dụng

kiến thức

- Phát triển t- duy lô-gic trên cơ sở những lý thuyết đã nhận thức

- Khái quát hoá

- Đặc biệt hoá

- Phép t-ơng tự

- Kết hợp khái quát hoá, đặc biệt hoá và t-ơng tự

- Toán học hoá các tình huống thực tiễn

- Cho học sinh phát hiện lời giải có sai lầm và đ-ợc thử thách th-ờng xuyên với bài toán dễ mắc sai lầm

- Cho học sinh tiếp cận với bài toán mở

Nói tóm lại, thực chất dạy học giải quyết vấn đề là tạo điều kiện để học sinh đ-ợc học tập trong hoạt động, bằng hoạt động của chính mình, khi đó tính tích cực sẽ đ-ợc phát huy tối đa ở mỗi học sinh Vì vậy, có thể nói ph-ơng pháp dạy học giải quyết vấn đề đã tích cực hoá đ-ợc ng-ời học qua các hình thức tổ chức, các giai đoạn của quy trình dạy học và các biện pháp sử dụng trong các giai đoạn đó

Qua phần cơ sở lý luận đã trình bày, chứng tỏ ng-ời thầy giáo có khả năng thiết kế đ-ợc quy trình dạy học nếu họ nắm vững đ-ợc cấu trúc lô-gic của nội dung dạy học và đặc tr-ng cơ bản của ph-ơng pháp dạy học giải quyết vấn đề Vì vậy, có thể nói, giả thuyết khoa học của đề tài

là có thể chấp nhận đ-ợc về mặt lý thuyết

Ch-ơng 2

Xây dựng hệ thống bài toán gốc, cơ sở tạo

tình huống có vấn đề và giải quyết vấn đề

2.1 Dạy học giải bài tập toán Hình học không gian theo định h-ớng dạy học giải quyết vấn đề

2.1.1 Dạy học giải bài tập toán

Dạy học giải toán là điều kiện quan trọng để thực hiện tốt các mục tiêu dạy học, là một trong những vấn đề trọng tâm của ph-ơng pháp dạy học toán ở tr-ờng phổ thông Đối với học sinh, giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học nhằm thực hiện tốt chức năng dạy học, giáo dục, chức năng phát triển, chức năng trí tuệ và chức năng kiểm tra Nh- vậy, dạy học giải toán có một vai trò quyết định thiết yếu đối với chất l-ợng dạy học toán ở tr-ờng phổ thông

Dạy học giải bài tập toán không chỉ dừng lại ở mức độ h-ớng dẫn học sinh trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và có căn cứ chính xác

mà phải biết cách h-ớng dẫn học sinh thực hành giải bài tập theo yêu cầu của ph-ơng pháp tìm tòi lời giải

Việc giải toán cần đ-ợc tiến hành có kế hoạch Các bài toán cần

đ-ợc chọn lọc có hệ thống nhằm những mục đích giáo dục xác định và thích hợp với cả ba loại học sinh: khá, trung bình, kém Có thể quy -ớc phân loại các bài toán nh- sau:

Có tính chất vấn đề

Không có tính chất vấn đề

Bài toán

(Loại II) (Loại III)

(Loại I)

Không nên coi nhẹ loại nào cả Những bài toán không có tính chất vấn đề rất cần thiết cho việc củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng Các bài toán có tính chất vấn đề có tác dụng nhiều trong việc phát triển t- duy nh-ng lại không phù hợp với tất cả học sinh Vì vậy, nên chú ý kết hợp khéo léo trong việc ra bài tập cho học sinh làm, đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Chú trọng nêu các bài toán loại I và loại II cho tất cả các em và khuyến khích tất cả các em nói chung, các em khá giỏi nói riêng giải một số bài toán loại III

Đối với các bài toán hình học không gian, để giải chúng hầu nh- không có trước một thuật toán nào, nếu có thì chỉ là “quy trình” để tiến hành lời giải bài toán Vì vậy, nói chung các bài toán hình học không gian đều có tính chất vấn đề Nhiệm vụ của giáo viên là đ-a học sinh vào các tình huống ấy sao cho gây đ-ợc hứng thú cho các em Nh- vậy, có thể nói dạy học giải bài tập toán hình học không gian là một quá trình rất thuận lợi cho việc tiếp cận t- t-ởng dạy học giải quyết vấn đề

2.1.2 Một h-ớng nghiên cứu triển khai dạy học giải quyết vấn đề

vào thực tiễn

Nhà giáo dục học Xô Viết V.A Radumovski đã mô tả trực quan,

định tính mức độ tích cực của học sinh khi đặt tr-ớc một tình huống có vấn đề nói riêng hoặc một nhiệm vụ cần phải giải quyết nói chung nh- sau:

T = N(KCT - KĐC) (*) T: Mức độ tích cực của học sinh

N: Nhu cầu nhận thức của học sinh

KCT: Kiến thức kỹ năng cần thiết để giải quyết vấn đề

Điều cần l-u ý trong thực tiễn dạy học là nếu KCT <KĐC diễn ra nhiều lần thì tính tích cực của học sinh sẽ đổi dấu trong thời điểm giải quyết vấn đề (nghĩa là niềm hứng khởi tham gia sẽ trở thành chán ghét)

+) Trong tr-ờng hợp có sự khác biệt khá lớn giữa KCT và KĐC (khi

KCT - KĐC  ) thì cũng không xuất hiện nhu cầu (N0) và do đó cũng không nảy sinh tính tích cực của học sinh

+) Vì vậy, trong dạy học nêu vấn đề, yêu cầu cơ bản là phải đảm bảo điều kiện t-ơng quan tối -u, tức là KCT thuộc vùng phát triển gần nhất (theo cách nói của L.X V-gôtxki) Trong tr-ờng hợp này, nhu cầu nhận thức của học sinh càng lớn thì mức độ tích cực của học sinh càng cao

Điều đó có nghĩa là mức độ tích cực của học sinh cũng phụ thuộc vào mức độ hấp dẫn và lôi cuốn của vấn đề, của cách thức đặt vấn đề và dẫn dắt của giáo viên Giáo viên đặt vấn đề và dẫn dắt lớp học càng lôi cuốn, hấp dẫn thì mức độ tích cực của học sinh càng cao

Công thức (*) không chỉ diễn tả mối t-ơng quan phụ thuộc thuận chiều của mức độ tích cực của học sinh mà còn nói lên mối t-ơng quan ng-ợc lại - mức độ tích cực của học sinh khi đã hình thành và ổn định ở mức cao thì nhu cầu nhận thức của học sinh cũng tăng hoặc đôi khi cho phép nới rộng khoảng cách giữa KCT và KĐC

Công thức (*) tuy đã mô tả và lý giải đ-ợc các điều kiện nảy sinh, hình thành và mức độ tích cực của học sinh trong dạy học giải quyết vấn

đề, nh-ng không cho phép xác định các trở ngại cơ bản khi triển khai

Trong [22], Trần Luận nhận định: Trong các sách giáo khoa, các tác giả th-ờng h-ớng tới cách trình bày hay nhất, dễ hiểu nhất trong điều kiện cho phép (vì thế hiệu KCT - KĐC luôn đ-ợc đảm bảo tối -u, KCT luôn thuộc vùng phát triển gần nhất, những tr-ờng hợp đặc biệt chỉ yêu cầu công nhận), nh-ng nó th-ờng ít trùng hợp với h-ớng suy nghĩ của học sinh

Để giải quyết một vấn đề, học sinh không chỉ đơn thuần dựa vào

KĐC mà còn dựa vào các tri thức ph-ơng pháp, các thủ pháp hoạt động nhận thức Nh- vậy, để có thể độc lập chiếm lĩnh một tri thức mới nào đó d-ới sự h-ớng dẫn và tổ chức của giáo viên, cần trang bị cho học sinh các tri thức ph-ơng pháp, các thủ pháp nhận thức thích hợp Tuy nhiên, hiện nay các tri thức này ch-a đ-ợc phản ánh một cách có ý thức và có hệ thống Chúng đ-ợc hình thành ở học sinh chủ yếu là tự phát

Tác giả phân tích: mặc dù hiệu (KCT - KĐC) trong (**) không lớn nh-ng hiệu (TPCT - TPĐC ) th-ờng rất lớn nên tổng trong ngoặc vuông th-ờng rất lớn Và t-ơng tự nh- lý giải ở (*), học sinh không có nhu cầu nhận thức và tính tích cực của học sinh khó nảy sinh Từ đó, để tiến hành dạy học giải quyết vấn đề thực sự có hiệu quả cần phải trang bị cho học sinh các thành phần TPCT sao cho hiệu (TPCT - TPĐC ) nhỏ nhất có thể

được Học sinh được chuẩn bị cho việc thực hiện “phát minh chủ quan” càng tốt thì mức độ tích cực càng cao và quá trình phát minh chủ quan diễn ra càng ngắn

Việc cần thiết phải trang bị các thành phần TPCT thích hợp đã đ-ợc nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến, đặc biệt trong mô hình dạy học phát triển Nhiều nhà khoa học cũng đã đề xuất một loạt các ph-ơng pháp, các thủ pháp hoạt động nhận thức cần trang bị cho học sinh và các biện pháp tiến hành Tuy nhiên, khi đặt các thành phần TPĐC riêng lẻ ở các mô hình dạy học khác nhau, chúng ta mới chỉ thấy đ-ợc sự cần thiết phải trang bị và bồi d-ỡng cho học sinh Nh-ng khi đặt chúng vào cùng một công thức với các thành phần KĐC nh- trong công thức (**), chúng ta thấy rõ đ-ợc vai trò cực kỳ quan trọng, không thể thiếu đ-ợc trong dạy học giải quyết vấn đề Thực ra, trong thực tiễn dạy học ở n-ớc ta đã có một bộ phận giáo viên quan tâm trang bị bồi d-ỡng cho học sinh các thành phần TPĐC nh-: xét t-ơng tự, xét một đối t-ợng d-ới nhiều góc độ khác nhau, khái quát hoá, đặc biệt hoá, quy lạ về quen, xét các tr-ờng hợp tới hạn, suy xuôi, suy ng-ợc tiến Tuy nhiên, những việc làm đó ch-a đ-ợc phổ biến rộng rãi và ch-a có tính hệ thống

Công thức (**) trên đây không chỉ gợi ý cho việc xác định các trở ngại cơ bản của dạy học giải quyết vấn đề trong thực tiễn mà còn gợi ý vùng tìm kiếm các con đ-ờng khắc phục

Từ sự phân tích trên đây, chúng tôi đề xuất một h-ớng tiếp cận t- t-ởng dạy học giải quyết vấn đề đối với nội dung giải bài tập toán hình học không gian Đó là, xây dựng hệ thống bài toán gốc, tạo tiềm năng giải quyết vấn đề cho học sinh Việc giải các bài toán gốc sẽ góp phần làm cho hiệu KCT - KĐC đ-ợc đảm bảo tối -u, KCT thuộc vùng phát triển gần nhất Từ các bài toán gốc, bằng cách khái quát hoá, t-ơng tự hoá, quy lạ về quen giúp học sinh phát hiện và giải quyết các bài toán nâng cao mức độ khó khăn Nh- vậy, đồng thời cũng trang bị cho học sinh các thành phần TPCT , làm giảm hiệu (TPCT - TPĐC ) và tăng nhu cầu nhận thức của học sinh

2.1.3 Các nguyên tắc thiết kế bài dạy theo ph-ơng pháp dạy học giải

quyết vấn đề

2.1.3.1 Nguyên tắc đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và

yêu cầu phát triển

Việc dạy học một mặt yêu cầu đảm bảo vừa sức để học sinh có thể lĩnh hội đ-ợc tri thức, rèn luyện đ-ợc kỹ năng, kỹ xảo, nh-ng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh Hai mặt này t-ởng chừng nh- mâu thuẫn nhau nh-ng thực ra lại rất thống nhất Vừa sức không phải là quá khó nh-ng cũng không có nghĩa là quá dễ “Sức” học sinh, tức là trình độ, năng lực của họ, không phải là bất biến và thay đổi trong quá trình học tập, nói chung là theo chiều h-ớng tăng lên Vì vậy, sự vừa sức ở những thời điểm khác nhau có

ý nghĩa là sự không ngừng nâng cao yêu cầu Nh- thế, không ngừng nâng cao yêu cầu chính là đảm bảo sự vừa sức trong điều kiện trình độ, năng lực của học sinh ngày một nâng cao trong quá trình học tập

Việc đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể đ-ợc thực hiện dựa trên lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của V-gôtxki Theo nguyên lý này, những yêu cầu phải h-ớng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời điểm đó, không thoát li cách xa trình độ này, nh-ng họ vẫn còn phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu v-ơn lên thì mới thực hiện đ-ợc nhiệm

vụ đặt ra Nhờ những hoạt động đa dạng với yêu cầu thuộc về vùng phát triển gần nhất, vùng này chuyển hoá dần thành vùng trình độ hiện tại, tri thức, kỹ năng, năng lực lĩnh hội đ-ợc trở thành vốn trí tuệ của học sinh và những vùng tr-ớc kia còn ở xa nay đ-ợc kéo lại gần và trở thành những vùng phát triển gần nhất mới Cứ nh- vậy, học sinh leo hết nấc thang này tới nấc thang khác, phát triển qua hết b-ớc này tới b-ớc khác

2.1.3.2 Nguyên tắc bảo đảm sự thống nhất giữa đồng loạt và phân

hoá

Để bảo đảm sự thống nhất giữa đồng loạt và phân hoá, một mặt ngay trong dạy học đồng loạt cần tăng c-ờng phân hoá nội tại và mặt khác, khi thực hiện những biện pháp phân hoá, cần có ý thức thiết lập những điều kiện cơ bản giống nhau ở mọi học sinh làm tiền đề cho dạy học đồng loạt

Sự phân hoá hoạt động có thể đ-ợc lợi dụng để thực hiện dạy học phân hoá nội tại theo cách cho học sinh thuộc những loại trình độ khác nhau, đồng thời thực hiện những hoạt động có cùng nội dung nh-ng trải qua hoặc ở những mức yêu cầu khác nhau

Đồng thời kết hợp với dạy học phân hoá ngoài bằng cách phân hoá

về tổ chức nh-: hình thức ngoại khoá, lớp chuyên, lớp chọn, nhóm học sinh yếu

2.1.3.3 Nguyên tắc dựa trên cơ sở vật liệu phổ thông

Sử dụng ph-ơng pháp giải quyết vấn đề trong dạy giải bài tập Hình học không gian lớp 11 cần dựa vào sách giáo khoa Bài tập trong sách giáo khoa là một ph-ơng tiện rất có hiệu quả, nếu giáo viên biết chọn lọc bài toán, khéo léo khai thác bài toán hoặc vận dụng bài toán để phát hiện, giải quyết các bài toán mới thì hiệu quả dạy học sẽ cao hơn Việc khai thác tiềm năng sách giáo khoa nhằm bồi d-ỡng năng lực định h-ớng, năng lực huy động kiến thức năng lực phát hiện, giải quyết vấn đề rất phong phú mà một định h-ớng là xây dựng hệ thống các bài toán gốc đến các bài toán nâng cao Tính chất và số l-ợng các bài toán, tính đa dạng của các bài toán và mức độ phức tạp phải bảo đảm khả năng đặc biệt hoá quá trình học tập trong giờ học và trong các bài toán làm ở nhà

Tuy nhiên, do việc dạy học phải tuân thủ theo nội dung phân phối ch-ơng trình đã quy định nên có thể thời gian trên lớp là không đủ Do vậy, giáo viên có thể kết hợp với các hình thức tổ chức dạy học khác nhau nh- hoạt động ngoại khoá và h-ớng dẫn học sinh tự nghiên cứu ở nhà, dạy học theo nhóm

2.1.3.4 Nguyên tắc dựa trên cơ sở lý luận dạy học hiện đại

Trên cơ sở lý luận dạy học hiện đại, học sinh đ-ợc học tập trong hoạt động và bằng hoạt động mà dạy học giải quyết vấn đề là một trong những ph-ơng pháp phù hợp với định h-ớng này Dạy học thực chất là quá trình tổ chức và h-ớng dẫn học sinh tự tìm hiểu, phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở tự giác và đ-ợc tự do, đ-ợc tạo khả năng và điều kiện để chủ động trong hoạt động học tập của họ

2.2 Xây dựng hệ thống bài toán gốc, cơ sở tạo tình huống có vấn đề

và giải quyết vấn đề

2.2.1 Hệ thống bài toán gốc làm cơ sở để giải quyết các vấn đề

t-ơng tự

T-ơng tự là một kiểu giống nhau nào đó Hai hình là t-ơng tự nếu chúng có những tính chất giống nhau, nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử t-ơng ứng của chúng

có quan hệ giống nhau Chẳng hạn, đ-ờng thẳng (trong hình học phẳng) t-ơng tự với mặt phẳng (trong hình học không gian), vì trong hình học phẳng đ-ờng thẳng là đ-ờng đơn giản nhất và có vai trò giống mặt phẳng

là mặt đơn giản nhất trong hình học không gian Tam giác trong hình học phẳng t-ơng tự với hình tứ diện trong không gian Quan hệ của tam giác

đối với mặt phẳng t-ơng tự nh- của tứ diện đối với không gian, vì cả tam giác và tứ diện đều đ-ợc giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản

Đ-ờng tròn trong hình học phẳng cũng t-ơng tự với mặt cầu trong hình học không gian

Mặt khác, ng-ời ta cũng th-ờng xem những tr-ờng hợp đặc biệt của cùng một vấn đề là t-ơng tự nhau Chẳng hạn, hình tam giác có thể coi là t-ơng tự với tứ giác, ngũ giác vì đều là các tr-ờng hợp đặc biệt của đa giác Những vấn đề th-ờng đ-ợc nghiên cứu cùng nhau, bằng những ph-ơng pháp giống nhau, có liên quan chặt chẽ với nhau cũng là những vấn đề t-ơng tự Thí dụ: chu vi và diện tích, diện tích và thể tích của một

số hình, tổng số và hiệu số, tích số và th-ơng số, cực đại và cực tiểu

Tính t-ơng tự của hai bài toán có thể đ-ợc xem xét trên các khía cạnh sau:

- Chúng có ph-ơng pháp giải giống nhau

- Nội dung của chúng có những nét giống nhau, có giả thiết nh- nhau hoặc có kết luận nh- nhau

- Chúng đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối t-ợng có tính chất giống nhau

T-ơng tự hoá là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai

đối t-ợng để từ những sự kiện (hoặc cách giải quyết vấn đề) đối với đối t-ợng này dự đoán những sự kiện (cách giải quyết vấn đề) t-ơng ứng với

đối t-ợng kia Để tiến hành t-ơng tự hoá bao giờ ng-ời ta cũng bắt đầu từ

sự so sánh, tức là tìm ra chỗ giống nhau, khác nhau của hai đối t-ợng mang ra so sánh, song sự so sánh không bao giờ dừng lại ở đó, mà phải dẫn đến dự đoán những sự kiện (cách giải quyết vấn đề) mới Trong hai

đối t-ợng mà ta mang ra so sánh, một đối t-ợng ta đã biết t-ờng tận, còn

đối t-ợng kia thì ta đang đặt vấn đề tìm hiểu nó Trong bài này đối t-ợng

đã biết chính là bài toán gốc và đối t-ợng cần tìm cách giải quyết là các bài toán có vấn đề t-ơng tự với nó, cũng có thể bài toán gốc là một tính chất của một đối t-ợng nào đó và phép t-ơng tự sẽ giúp ta tìm ra tính chất mới với đối t-ợng t-ơng tự

Nh- vậy, phép t-ơng tự có vai trò quan trọng trong việc phát hiện

và giải quyết các vấn đề toán học Nhà s- phạm và là nhà toán học nổi tiếng Polia đã nhận xét: “Trong toán học sơ cấp cũng như cao cấp, phép t-ơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh Trong một số phát minh, phép tương tự chiếm vai trò quan trọng hơn cả”

AB AD

B-ớc 1: Nêu vấn đề: giải bài toán trên

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Trong bài toán này, AD không vuông góc với (SAB) Vì vậy, không

áp dụng trực tiếp bài toán gốc đ-ợc

Giáo viên đặt câu hỏi:

+) Việc thay đổi đáy ABCD từ hình vuông thành hình bình hành dẫn tới thay đổi nào?

+) Hãy tạo thêm các yếu tố phụ để bài toán “gần” với bài toán gốc hơn?

Từ việc so sánh bài toán gốc:

ABAD (và do đó AD  (SAB)),

còn trong bài toán đã cho AD không

vuông góc AB Học sinh sẽ nghĩ tới việc

kẻ đ-ờng thẳng qua A vuông góc với

AD, đường thẳng này cắt BC tại B’

Lúc này vai trò của SB’ và AD

t-ơng tự nh- SD và AD trong bài toán

gốc Học sinh dễ dàng dựng đ-ợc đ-ờng

vuông góc chung AK của SB’ và AD Hình 3

+) Mối quan hệ giữa SB và SB’?

+) Nhắc lại định lý 3 đ-ờng vuông góc

Do SB’ là hình chiếu của SB trên (SAB’), rút ra kết luận gì?

Sau khi học sinh đã rút ra kết luận AK  AD, AK  SB

Giả sử đã dựng đ-ợc đ-ờng vuông góc chung MN, yêu cầu học sinh chứng minh đ-ờng vuông góc chung MN và AK song song với nhau

Từ đó suy ra MNAK là hình gì? Từ đó nêu cách dựng

+) Học sinh trình bày lời giải

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

Giải bài toán t-ơng tự: Cho hình lập ph-ơng ABCD.A1B1C1D1 Dựng đ-ờng vuông góc chung của BD và AC1

Bài 2: Cho hình lập ph-ơng ABCD.A1B1C1D1, cạnh a Dựng đ-ờng vuông góc chung của các đ-ờng thẳng BB1 và AC1

I A

C

D

B

m n

Bài tập:

Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 Xác định đ-ờng vuông góc chung giữa BB1 và AC

B-ớc 1: Nêu vấn đề: Giải bài toán trên

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Tr-ớc hết giáo viên cần giúp học sinh

Nh-ng kẻ BIAC thì I không phải là tâm của ABCD

Cho học sinh giải

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

+) Nếu bỏ đi tính chất “đứng” của hình hộp thì việc dựng đường vuông góc chung có gì khác?

B-ớc 3.1: Nêu vấn đề: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Dựng đ-ờng vuông góc chung giữa BB1 và AC1

B-ớc 3.2: Giải quyết vấn đề:

+) So sánh quan hệ của 2 mặt phẳng (ABCD) và (ACC1A1) trong tr-ờng hợp hình hộp là hình hộp xiên và đứng?

+) Phân tích bài toán: Trong hình hộp đứng ta có (ABCD)(ACC1A1)

AC AA

+) Trong hình hộp xiên ta không có (*) thì phải làm thế nào?

Câu hỏi này sẽ giúp học sinh nghĩ tới việc dựng các đ-ờng thẳng

C

D

B

m n

J

+) Häc sinh tr×nh bµy lêi gi¶i:

B-íc 3.3: KiÓm tra vµ vËn dông:

+) Cã thÓ cã nh÷ng c¸ch dùng mÆt ph¼ng vu«ng gãc (ACC1A1) nµo kh¸c? C¸ch nµo thuËn lîi nhÊt?

VSABC =

3

1 AH.SA

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Với bài toán này học sinh có thể giải theo nhiều cách nh-ng giáo viên có thể gợi ý để học sinh giải theo cách t-ơng tự nh- bài toán gốc vì cách này có thể sử dụng trong tr-ờng hợp việc tìm hình chiếu của điểm cần tính khoảng cách lên mặt phẳng gặp khó khăn

Giáo viên đặt câu hỏi:

+) Có thể xem khoảng cách cần tính chính là độ dài đ-ờng cao của hình chóp nào?

Học sinh sẽ phát hiện đó là đ-ờng cao hình chóp B1A1C1D

+) Hình chóp này có gì giống với hình chóp trong bài toán gốc? Giáo viên có thể gợi ý thêm cho học sinh trong hình chóp B1A1C1D

có đ-ờng cao nào đã biết, có thể tính đ-ợc diện tích của tam giác nào?

+) Học sinh trình bày lời giải:

Gọi khoảng cách từ B1 đến (A1C1D) là h, ta có:

3V B A C D

1 1

1 = h.S A1C1D = DD1 S A1B1C1

Suy ra:

h =

2 3 2 2 2

a

a a

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

+) Nếu tính khoảng cách từ B1 đến (A1C1M),trong đó M là một

điểm bất kỳ trên (ABCD) thì có áp dụng đ-ợc đ-ợc ph-ơng pháp đã sử dụng trong bài toán trên để giải không?

IJ lµ ®-êng vu«ng gãc chung

(sö dông bµi to¸n gèc 1, 2.2.2.)

2 4

3 4

5 2 2 22

2

BJ BI

A

I

J H

2 2

2 1

6 2

3 1

2

.

1 1

1 1 1 1

1 1

a a

a S

a a a V

V

D BC

D C B B D BC B

2 2 6 3 2

3

a a

2

.

3 2

1 1 1 1 1

1

a h a h a hay

C B S

h S

B-ớc 1: Nêu vấn đề: Giải bài toán T1

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

+) So sánh giả thiết của bài toán T1và bài toán gốc trong các cách làm của bài toán gốc cách nào có thể áp dụng cho T1?

+) Xét cách 1: tứ diện BB1A1D1 còn có những tính chất trong bài toán gốc không?

Học sinh sẽ chỉ ra trong tứ diện BB1A1D1 có BB1A1D1, BA1B1D1, nên việc dựng đ-ờng vuông góc chung sẽ phức tạp hơn

A

+) Xét cách 2:

- Phân tích bài toán:

Ta vẫn có (ABC1D1) (BCC1B1),

nh-ng B1C không vuông góc với BC1

- Hãy dựng hình chiếu của B1 trên (ABC1D1)

- Học sinh trình bày lời giải:

1 1

c b

b c BC

C B BB

- Học sinh trình bày lời giải

+) Xét cách 4: Lời giải hoàn toàn t-ơng tự

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

+) So sánh kết quả giải theo các cách với nhau và so sánh với bài toán gốc là tr-ờng hợp riêng của bài toán với b=c=a

+) Trong các cách giải, cách nào là gọn nhất?

+) Khi nào thì nên sử dụng cách tích khoảng cách bằng cách tính

độ dài đ-ờng vuông góc chung?

+) Tiếp tục thay đổi hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 thành hình hộp đứng thì sẽ dẫn tới những thay đổi nào trong cách giải?

B-ớc 3.1: Nêu vấn đề: Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có cạnh AB=a, AD=b, AA1=c, ABC1 = 1200 Tính khoảng cách giữa hai

Học sinh sẽ chỉ ra trong bài toán T2 thì (ABC1D1) vẫn là mặt phẳng chứa BD1 và song song với A1B1, nh-ng (ABC1D1) không vuông góc với (BCC1B1)

- Có thể dựng mặt phẳng đóng vai trò nh- (BCC1B1) trong T1không?

Nếu học sinh gặp khó khăn, giáo viên gợi ý: trong T1, (BCC1B1) vuông góc (ABC1D1) là do (BCC1B1) vuông góc AB (ABBB1, ABBC1)

- Trong T2, ta đã có ABBB1, nh-ng AB không vuông góc BC1, vậy

) ' (

) ' ( '

1 1 1

1 1

BB D

ABC B

BB

B BB AB BB

AB

BB AB

2 2 2

2 2

2 2

2 2

1

2

3 2

3 '

'

c b

c b c c b

c b c

BB

B B BB

B-ớc 3.3: Kiểm tra và vận dụng:

+) Kiểm tra kết quả bằng cách dùng thứ nguyên

+) Trong các cách giải, cách nào là gọn nhất?

+) Với đặc điểm nào của bài toán thì nên dùng cách 1 hay cách

Bài 5:

Cho hình lập phương ACBD.A’B’C’D’ cạnh a Tính góc giữa 2 mặt phẳng (BA’D) và (A’B’C’D’)

Giải:

Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng (BA’D) và (A’B’C’D’)

Dễ thấy tam giác A’B’D’ là hình chiếu của tam giác A’BD trên mặt phẳng (A’B’C’D’)

Ta có:

2

4

3 2 4

3 ) 2 (

2 '

'

'

2 2

'

a S

a a

3 2 : 2

2 2

'

' '

S

S

BD A

D B

Hình 13

Bài tập: Trong () cho tam giác OAB cân tại O với OA=OB=a, AB=a 3 Trên nửa đ-ờng thẳng vuông góc với () tại A, B và ở cùng phía với mặt phẳng này lấy các điểm M, N sao cho AM=a, BN=a/2 Tính góc giữa () và (MON)

B-ớc 1: Nêu vấn đề: giải bài tập trên

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Giáo viên gợi ý học sinh liên hệ

với bài toán gốc để học sinh thấy đ-ợc

sự t-ơng tự giữa hai bài toán này

+) Học sinh trình bày lời giải

Hình 14

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

+) Giải bài toán theo cách khác, so sánh 2 cách giải với nhau?

+) Cho điểm O’ chạy trên đường thẳng Ox, Ox (OAB) Hãy nêu phương pháp tính góc giữa (O’MN) và (OAB)?

+) Trong tr-ờng hợp nào nên sử dụng công thức cos =

S

S '

để tính góc?

B

D C

A

C'

D' b'

2.2.2 Các bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen

Quy lạ về quen là quá trình quy việc giải một bài toán về giải các bài toán quen thuộc đã biết Quy lạ về quen là một tri thức ph-ơng pháp giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng đ-ợc quy

định trong ch-ơng trình Đồng thời việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian

Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào?”, Pôlia cho rằng: Ví nh- dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng bắt nguồn từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc với chúng ta Vì vậy, trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán nếu giáo viên gợi ý để học sinh tìm đ-ợc xuất xứ của chúng thì sẽ giúp học sinh tìm đ-ợc chìa khoá để giải quyết vấn đề ở đây, bài toán “quen” chính là bài toán gốc

b

c

d n

B-ớc 1: Nêu vấn đề: giải bài toán trên

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Gặp bài toán này học sinh có thể không nghĩ tới việc đ-a về bài toán gốc trên mà giải theo cách thông th-ờng

Vì vậy, giáo viên có thể gợi ý:

+) Có thể chuyển về bài toán tìm

đ-ờng vuông góc chung của 2 đ-ờng

thẳng chứa cặp cạnh đối của một tứ diện

không?

Dĩ nhiên, học sinh sẽ lấy tr-ờng

hợp đơn giản nhất đó là tứ diện DMB1N

đ-ờng thẳng IJ (I, J lần l-ợt là trung điểm của DB1, MN)

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

+) Chứng minh IJ  DB1, IJ  MN

+) Giải bài toán: Cho 2 tam giác cân ACD và BCD nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, đáy CD = 2x, các cạnh khác có độ dài bằng a Dựng đ-ờng vuông góc chung của AB và CD

Bài 2:

Cho tam diện vuông O.ABC có OA=a, OB=b, OC=c Tính khoảng cách từ O đến (ABC)

Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC)

áp dụng tính chất của tam diện vuông, ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 1 1

1 1

1 1

a c c b b a

abc OH

c b a

OC OB

OA OH

Bài tập:

Cho hình lập ph-ơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng 1

Lấy M trên cạnh CC1 sao cho độ dài MC = 3/5 Trên cạnh A1D1 lấy

N sao cho độ dài A1N =1/3 , O là tâm hình lập ph-ơng

Tính khoảng cách từ D đến (MNO)?

B-ớc 1: Nêu vấn đề: Giải bài toán

trên

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Gặp bài toán này học sinh sẽ thấy

khó khăn khi tìm hình chiếu của D trên

(MNO) Giáo viên gợi ý để học sinh tìm

cách đ-a bài toán về bài toán gốc

+) Học sinh phát hiện: Có một tam

diện vuông đỉnh D

+) Làm thế nào để đ-a về bài toán

gốc?

Nếu học sinh ch-a trả lời đ-ợc, giáo

viên tiếp tục gợi ý: mặt phẳng () trong

bài toán gốc cắt 3 cạnh của góc tam diện

A, B, C và độ dài OA, OB, OC đã biết

Bài toán đang xét đã có 3 điểm nh- vậy ch-a?

+) Học sinh trình bày lời giải:

9

2 3

2

3 2 5 3 5 2

1

1 1

EA

AE N A PA

T-ơng tự ta tính đ-ợc

8

11 ,

Vậy:

     

170 11

8 11 1

5 11 1

9 11

1 1

2 2

2 2

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

Giải bài toán t-ơng tự: Cho hình lập ph-ơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng 1 Trên AA1 lấy E sao cho AE = 1/3 Trên BC lấy F sao cho độ dài BF=1/4 , gọi O là tâm hình lập ph-ơng Tìm khoảng cách từ B1 đến (EFO)

Bài 3:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông ở C, SA(ABC)

- Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB cắt SB, SC tại B’, C’, B’C’BC=I Chứng minh:

AC BC

Ng-ợc lại, nếu AB’SB, AC’SC, ta có:

AC SC

AC BC

S

i b'

c'

Bài tập:

T 1: Trong (P) cho nửa lục giác đều ABCD với AB=BC=CD=a, AD=2a Trên nửa đ-ờng thẳng Ax vuông góc (P) tại A, lấy điểm S Mặt phẳng qua A vuông góc SD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’

a) Chứng minh: AB’C’D’ là tứ giác nội tiếp

b) Khi S chuyển động trên Ax thì đường thẳng B’C’ đi qua một

điểm cố định, đường thẳng C’D’ cũng đi qua một điểm cố định B-ớc 1: Nêu vấn đề: Giải bài toán T1

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề: Giáo viên đặt câu hỏi:

+) Xét các bộ phận liên quan tới bài toán gốc:

Học sinh phát hiện đó là các hình chóp S.ABD và S.ACD

Quy về chứng minh bài toán

gốc đối với 2 hình chóp này, ta sẽ

có:

AB’B’D’ và AC’C’D’

 Tứ giác AB’C’D’ nội tiếp

đường tròn đường kính AD’

câu b)

+) Khi S thay đổi trên Ax,

những yếu tố nào cố định, những

yếu tố nào thay đổi?

+) Vẽ vài tr-ờng hợp của S và

dự đoán điểm cố định mà B’C’ đi

qua?

Liên hệ với bài toán gốc, học

sinh sẽ nghĩ tới việc gọi I=BCB’C’

Lúc này bài toán đ-a về bài toán gốc để chứng minh AI(SAD),

mà (SAD) cố định nên AI cố định

+) Học sinh trình bày lời giải

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng:

+) Giải bài toán trên với giả thiết hình chóp S.ABC có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O, điểm S chạy trên đ-ờng thẳng qua O vuông góc với (ABCD), mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SC

+) Giải bài toán: Trong (P) cho đ-ờng tròn đ-ờng kính AB Trên

đ-ờng thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S Gọi C là một điểm thuộc

đ-ờng tròn (CA,B) M là hình chiếu của A trên SC Chứng minh

AMBM

T2: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC Gọi I=BCB’C’

Chứng minh rằng: IAB=ICA

B-ớc 1: Nêu vấn đề: Giải bài toán T2

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Học sinh dễ dàng thấy đ-ợc T2. có nhiều giả thiết gần với bài toán gốc nh- SA(ABC), B’, C’ là hình chiếu của A trên SB, SC

Tuy nhiên, trong bài toán này tam giác ABC không phải là tam giác vuông

+) Tìm định h-ớng để chứng minh IAB=ICA?

Với vị trí hai góc này, học sinh sẽ nghĩ tới việc chứng minh IA là tiếp tuyến của đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Từ đó đ-a về chứng minh AI vuông góc với đ-ờng kính AD của đ-ờng tròn

+) Giáo viên yêu cầu học sinh suy

Việc giải bài toán quy về giải bài

toán gốc đối với hai hình chóp S.ABD và

S.ACD

Hình 21

b' c'

d c

b a

s

i

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng

Giải bài toán: Cho hình chóp SABC có SA(ABC), H, K là hình chiếu của A trên SB, SC Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu

T 3 : Trên mặt phẳng (P), cho đ-ờng tròn (C) đ-ờng kính AB, M là

một điểm trên đ-ờng tròn (C) S là một điểm nằm ngoài (P), SA(P) D

là một điểm trên đoạn SA Từ D kẻ DE SM

a) Chứng minh khi M di động trên đ-ờng tròn (C) thì DE luôn nằm trên một mặt phẳng () cố định

b) Tìm tập hợp điểm E

B-ớc 1: Nêu vấn đề: Giải bài toán T3

B-ớc 2: Giải quyết vấn đề:

Giáo viên cùng học sinh phân tích: Trong bài toán này ta có

SA(AMB), điểm M thuộc đ-ờng tròn (C) đ-ờng kính AB nên

AMB=1v Do đó, có nhiều khả năng có thể liên hệ T3 với bài toán gốc Tuy nhiên, trong bài toán ta lại không có hình chiếu của A trên SM, SB,

mà chỉ có hình chiếu của điểm D thuộc SA lên SM

Tr-ớc hết cho học sinh giải bài toán T3’: Với giả thiết như T3 , gọi M’ là hình chiếu của A trên SM Tìm quỹ tích điểm M’

Dĩ nhiên bài toán này gần bài toán gốc hơn T3 Học sinh sẽ nghĩ tới việc gọi B’ là hình chiếu của A trên SB Việc giải T3’ quy về giải bài toán gốc

Ta có: + (AM’B’) SB nên (AM’B’) cố định

+ AB’ cố định

+  AM’B’=1v nên quỹ tích điểm M’ là đường tròn

đường kính AB’ trong mặt phẳng (AM’B’)

Hình 22

b'

b

a s

m m'

Bây giờ học sinh có thể liên hệ

T3 với T3’ để đi đến:

Kẻ DFSB, chứng minh

()=(DEF) cố định và DEF=1v.Từ

đó suy ra quỹ tích điểm E

+) Học sinh trình bày lời giải M

A

S

d

e f

b

Hình 23

B-ớc 3: Kiểm tra và vận dụng

+) Gọi I=EFMB Tìm quỹ tích điểm I

Bài 4:

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H,

K lần l-ợt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

BH SA

BC SA

s

h k i