Ứng dụng phương trình schrodinger trong một số hiệu ứng lượng tử

Các đại lượng đặc trưng cơ bản của hệ lượng tử đối với chuyển động một I.. Phương trình cơ bản của cơ học sóng – cơ học lượng tử – nghiên cứu theo quan điểm của Schrửdinger là phương trì

Khóa :39A2 vật lý

Vinh, 5/2002

I Phương trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều

1 Thành lập phương trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều

2 Các tính chất nghiệm phương trình Schrửdinger

II Các tính chất chung của chuyển động một chiều

III Các đại lượng đặc trưng cơ bản của hệ lượng tử đối với chuyển động một

I Thế tuần hoàn.Định lý Bloch

II Mô hình kronig-penney

III Giải thích cấu trúc vùng năng lượng

IV Kim loại,bán dẫn và điện môi

V Hiệu ứng đưòng ngầm

1 Sự phát xạ lạnh của electron kim loại

A-MỞ ĐẦU

Khi nghiên cứu thế giới vi mô, một lĩnh vực mới của vật lý hiện đại ra đời

đó là cơ học lượng tử, một lĩnh vực của vật lý lý thuyết nghiên cứu về các hệ nguyên tử và hạt nhân Nghiên cứu các vấn đề đặt ra cơ học lượng tử dựa vào hai phương pháp chính: Phương pháp Heisenberg (Haixenbec) và phương pháp Schrửdinger(srôdingơ)

Phương trình cơ bản của cơ học sóng – cơ học lượng tử – nghiên cứu theo quan điểm của Schrửdinger là phương trình Schrửdinger.Từ phương trình này về

cơ bản ta có thể giải thích được hầu hết các hiện tượng lượng tử xẩy ra trong phạm vi phi tương đối tính Những dấu hiệu thành công mang đến sự giải thích hài hoà giữa lý thuyết và thực nghiệm liên quan đến hàng loạt những bài toán về hạt chuyển động trong từ trường và điện trường ngoài, hiện tượng phát xạ lạnh của kim loại,hiệu ứng đường ngầm và một số hiệu ứng quan trọng khác.Với vị trí quan trọng đó của phương trình Schrửdinger (sơrôdingơ).Luận văn này đặt mục đích xem xét một cách đầy đủ các ứng dụng của phương trình này trên cơ sở giải thích một số hiện tượng lượng tử quan trọng và một số bài toán cơ học lượng tử tiêu biểu dựa trên phương trình Schrửdinger.Trên cơ sở đó,nội dung luận văn được trình bày trong ba chương chính ngoài phần mở đầu và kết luận

Chương I Tổng quan về lý thuyết phương trình Schrửdinger tổng quát và phương trình Schrửdinger dừng trong trong chuyển động một chiều

Chương II Ứng dụng phương trình Schrửdinger trong các hiệu ứng lượng tử

Chương III : Một số ứng dụng khác của phương trình Schrửdinger

Vinh 1-2002

Trương Quang Sơn

B-NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH SCHRửDINGER DỪNG CHO HẠT VIMÔ

I Phương trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều

1 Phương trình:

Xét một hạt tự do có khối lượng m ở trạng thái năng lượng E,xung lượng p

không đổi(trạng thái dừng).Trạng thái của hạt tự do mà ta xét dược mô tả bởi hàm sóng

( r

,t) = 0exp

-

i(E.t- rp.

 là phần phụ thuộc thời gian

Lấy đạo hàm riêng phần (r

,t) theo thời gian ta được:

i E exp i Et pr i E  r,t

t

)t,r

 =- U(x,y,z)

m2

Do vậy toán tử này không tác dụng lên phần tử hàm sóng chứa biến số thời gian,

Từ đó ta xét cho hạt chuyển động mà vị trí của hạt được xác định bởi một trục toạ độ x.Hạt chuyển động trong trường thế U(x) và có năng lượng E

Ta có:

t

t,xi







 =E(x,t) Suy ra:

)t,x(



 =E(x,t) U(x) (x,t) E (x,t)

x

)t,x(m

2 2

) 2 2

iexpm

2 2

Suy ra:

E U(x) (x) 0

x

)x(m

E 2 2

Phương trình (1.7) được ứng dụng cho các vi hạt chuyển động một chiều.Đồng thời những vi hạt ấy không tự sinh ra và không tự mất đi.Nghĩa là trong các quá trình chúng ta khảo sát hệ lượng tử không có quá trình sinh và huỷ cặp.Trong bất kỳ quá trình vật lý nào số hạt thuộc một loại xác định là không đổi

và những vi hạt ấy chuyển động với vận tốc v đủ nhỏ(v << c)

Chúng ta đả biết phương trình Schrửdinger dừng là một phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính Do vậy ,việc giải phương trình Schrửdinger trong không gian ba chiều nói chung là phức tạp.Hơn nữa trong giới hạn của đề tài này chúng tôi chỉ xét trong trường hợp một chiều.Với bài toán này

có thể phân tích được một số tính chất tiêu biểu đặc trưng cho hệ lượng tử(sẽ được

đề cập đến ở chương sau) mà không làm giảm tính tổng quát của bài toán ba chiều.Mặt khác trong nhiều trường hợp thế năng của trường tương tác có thể phân tích ra dưới dạng:U(x,y,z)=U(x) +U(y) + U(z) Khi đó bài toán trong không gian

ba chiều có thể chuyển về các bài toán một chiều.Thật vậy ta có phương trình Schrửdinger trong trường hợp này là:

- (x,y,z) U(x,y,z) (x,y,z) E (x,y,z)

m2

2 2

2

2 2 2

2 2

EEEE)z()z(Uz

)z(m2)z(

1

)y()y(Uy

)y(m2)y(

1)

x()x(Ux

)x(m2)

2 2

2 2

- U(z) (z) E (z)

z

)z(m

2 2

)z(),

Nghĩa là:E(x0)E(x0)

với x0 là điểm mà tại đó U(x) gián đoạn hữu hạn

II Các tính chất của chuyển động một chiều

1) Các trị riêng năng lượng thuộc phổ gián đoạn của phương trình Schrửdinger một chiều không suy biến.Thật vậy,giả sử tồn tại hai hàm sóng1,2 cùng ứng với mức năng lượng E Khi đó từ (1.7) ta có:

2

2 2

1

1

)E)x(U(m2

Từ đây suy ra: 12 21 01 2 2 1 0

Lấy tích phân hai vế ta được: 1'2 '21 const

ở vô cực đối với phổ gián đoạn: 1,2() 0const0

Suyra :

2 2 1

1 1

2 2 1

1(x) const.2(x) (1.14)

từ (1.14) cho thấy các hàm 1(x),2(x) chỉ khác nhau bởi một hằng số không phụ thuộc x Hay nói cách khác, trị riêng E thuộc phổ gián đoạn không bị suy biến Điều này chỉ có ở các trị riêng thuộc phổ gián đoạn trong chuyển động một chiều 2) Đối với các hàm riêng n(x) tương ứng với trị riêng En thuộc phổ gián đoạn ta

có định lý sau:‟‟Hàm riêng n(x) cắt trục hoành n lần tại những giá trị x hữu hạn.”

ở đây ta đánh số các hàm riêng và trị riêng thuộc phổ gián đoạn của phương trình (1.7) bởi chỉ số n(n=0,1,2,3, )sao cho trị riêng E nhỏ nhất ứng với n=0,mức năng lượng E0 gọi là mức năng lượng cơ bản,còn hàm sóng n mô tả trạng thái kích thích thứ n.Theo định lý trên, nếu chuyển động của hạt chỉ xảy ra trên một đoạn thẳng hữu hạn nào đó thứ n chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm riêng  n (x),với trục x bên trong đoạn thẳng này.Những giao điểm này gọi là nút hàm sóng

3) Điểm quay lui của hạt

Trở về cơ học cổ điển ta thấy hạt có thể chuyển động theo những cách khác nhau phụ thuộc vào tương quan giữa năng lượng toần phần E và thế năng U

trong miền [x1,x2] là U(x)<E

Vậy hạt chỉ xuất hiện E

trong miền[x1,x2]

Nếu hạt có E<U(x)

trong miền (-,x1] (H.2)

thì từ vô cực hạt giảm

dần vận tốc và quay ngược trở lại điểm x1 mà không (H.1)

xuất hiện ở miền II Ta nói hạt bị phản xạ bởi rào

thế và miền II gọi là miền cấm

Nếu E>U(x) với mọi x (H.3)

Thì từ âm vô cực hạt giảm dần

U(x) hoặc tăng dần vận tốc phụ thuộc

vào thế U(x) rồi tiếp tục chuyển

động tới dương vô cực E

Nhưng trong cơ học lượng tử

nghiệm phương trình Schrửdinger (I) (II) cho những kết quả hết sức bất ngờ 0 x1 x

so với những gì mà ta gặp trong cơ (H.2)

học cổ điển Khi E>U(x) hạt vẫn có

thể bị phản xạ bởi rào thế Đặc biệt khi E < U(x) hạt có thể xuất hiện trong miền cấm cổ điển(miền II) với xác suất khác 0 trên những khoảng cách nhất định tính

từ

điểm quay lui trong trường hợp hạt bị giảm trong giếng thế năng

U(x)lượng của nó bị lượng tử hoá mặc dù thế năng hạt bên trong giếng thế bằng

không(U(x)=0)

U(x)

E

0

(H.3) x 4).Ta xét dáng điệu của hàm sóng (x) trong trường hợp được mô tả bởi (H.2)

Chúng ta biết rằng, dấu đạo hàm bậc hai‟‟(x)cho ta biết tính lồi lõm của đồ

thị hàm(x) tại điểm x Nếu ‟‟

‟‟(x)=-k2

(x)(x) (1.16)

k2(x) > 0 nên từ (1.16) ta có ‟‟(x) < 0 ở nửa mặt phẳng phía trên trục toạ độ và

‟‟(x) > 0 ở nửa mặt phẳng dưới trục toạ độ Do vậy đồ thị hàm sóng (x) sẽ lồi ở

nửa mặt phẳng phía trên và lõm ở nửa mặt phẳng phía dưới trục toạ độ(H.4a)

Suy ra khi năng lượng của hạt E > U(x) phương trình (1.7) có thể cho

nghiệm dao động(H.4b)

- Ngược lại E < U(x) (trong miền II):

Nếu đặt: k2(x) =2mU(x)E0

 (1.17)

Ta nhận thấy trong miền II ‟‟(x) > 0 ở nửa mặt phẳng phía trên trục toạ độ và

‟‟(x) < 0 ở nửa mặt phẳng phía dưới trục toạ độ Do vậy đồ thị hàm sóng (x) sẽ lõm ở nửa mặt phẳng phía trên và lồi ở nửa mặt phẳng phía dưới trục toạ độ (H.5a)

0 x 0 x

Hiển nhiên trong miền (II) không tồn tại nghiệm dao động Hàm (x) chỉ có

thể biến thiên một cách đơn điệu (H.5b) Tại điểm quay lui x1 có ‟‟

(x)=0 và hàm

(x) có hệ số góc không đổi

Đối với thế U(x) có dạng như (H.6) nghiệm phương trình (1.7) thoạt đầu dao

động rồi tắt dần đi khi vào miền cấm cổ điển

E (I) (II)

0 x1 x (H.6)

5) Trong thực tế, thế U(x) thường tiến tới những giá trị hữu hạn khi x

Ta xét dạng tiệm cận của hàm sóng trong ba miền giá trị năng lượng của hạt:

E < 0 (miền I), 0 < E < U0 (miền II) và E > U0 (miền III)

1

1e

đó dạng tiệm cận của hàm sóng tại : (x)= x

1

1e

B  khi x

(1.20) *) Cũng trong miền này khi x phương trình(1.7) có dạng tiệm cận:

Từ (1.20)và (1.22)ta nhận thấy khi E<0 hạt không thể ra xa vô cực.Hay nói cách

khác,hạt ở trong rạng thái liên kết.Phổ năng lượng của hạt là gián đoạn, do

đó không suy biến

b) Trong miền II: (0 < E < U0)

Khi x phương trình (1.7) có dạng tiệm cận:

dương trục toạ độ và hữu hạn về hướng ngược lại Ta nói chuyển động của hạt bị chặn từ một hướng Do E > 0 nên trong miền này hạt có phổ năng lượng liên tục

c)Trong miền III: (E > U0)

*)Khi x:Phương trình (1.7) có dạng

‟‟(x) + K2

4(x).(x) =0 Với K24(x) =

2

mE2

1 Mật độ xác suất và véctơ mật độ dòng xác suất

Ta biết rằng nếu biết hàm sóng ta sẻ tính được mật độ xác suất tìm hạt

ta được:

mà:

t)(tt

)(

m2)(

m2

)UU

()(

m2

Hˆ

Hˆ

2 2

2 2

2 2

i)(

m2

Phương trình (1.35) được gọi là phương trình liên tục trong cơ học lượng tử

Trong đó:  gọi là mật độ xác suất

j

: gọi là vectơ mật độ dòng xác suất

Phương trình (1.35) mô tả định luật bảo toàn xác suất, hay còn gọi là định luật bảo toàn số hạt trong cơ học lượng tử

khi x  - 

khi x +

2) Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua

Để đi đến định nghĩa hệ số phản xạ ,hệ số truyền qua ta xét chuyển động của một

hạt trong trường ngoài được biểu diễn như hình vẽ:

này từ trái sang phải, khi đi đến‟‟bức tường thế năng‟‟ sẽ „‟phản xạ‟‟ trở lại và

chuyển động quay về hướng ngược lại, còn nếu E > U0 hạt tiếp tục chuyển động

theo hướng cũ với vận tốc sẽ giảm đi Trong cơ học lượng tử thì vấn đề khác hẳn

Đó là ngay cả khi E > U0 hạt vẫn có thể „‟phản xạ‟‟ bởi bức tường thế năng Bây

giờ ta tính xác suất phản xạ này Giả sử hạt chuyển động từ trái sang phải với

những giá trị dương và lớn Hàm sóng mô tả hạt vượt qua „‟phía trên tường‟‟ và

chuyển động về phía dương của trục x

Ta có biểu thức tiệm cận của hàm sóng:

được đoán nhận là sóng phản xạ

Mật độ dòng xác suất tỷ lệ với k2B ,đối với sóng đi qua k1

2

A *) Để đặc trưng cho sự phản xạ của sóng,người ta đưa ra khái niệm hệ số phản xạ:

Bk

Bk

k

Ak

(1.37)

3 Mô hình một chiều đơn giản

a) Hố thế có chiều sâu vô hạn

E (x)

dx

)x(dm

2 2







  với 0  x  a (1.38)

(x) E (x)

dx

)x(dm

2 2

áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng: (0) =(a) =0

Aa

0B0

Vì B = 0 nên không thể giả thiết A= 0, do đó sin(ka) = 0

nma2m2

k    

(n=1,2, )

Giá trị nhỏ nhất E1 = 2

2 2

ma2





(1.44) là năng lƣợng ở trạng thái cơ bản Năng lƣợng các trạng thái còn lại và khoảng cách En giữa hai mức liên tiếp có thể biểu

diễn trực tiếp qua E1 bởi công thức: En =n2E1 , En =En+1- En =(2n+1)E1

Từ (1.44) ta nhận thấy năng lƣợng ở trạng thái cơ bản là lớn hơn không(E1> 0)

Đây là điều bất ngờ đối với cơ học cổ điển vì theo lý thuyết cổ điển trạng thái này

U(x) =

có năng lượng bằng không Trong cơ học cổ điển giá trị E1 gọi là „‟năng lượng không‟‟ Sự tồn tại của „‟năng lượng không‟‟của các hệ lượng tử là hệ quả trực tiếp của hệ thức bất định giữa toạ độ và xung lượng Biểu thức (1.44) cho thấy nếu giảm bề rộng hố thế (tức là giảm bước sóng Debroglie 1 tương ứng với E1)thì năng lượng E1 sẽ tăng Vậy nếu vị trí hạt càng xác định thì xung lượng của nó càng bất định và ngược lại Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lý bất định.Về vấn

đề „‟năng lượng không‟‟ chúng ta còn gặp ở một số bài toán khác sẽ được đề cập ở chương sau

(I) (II) (III)

Ta viết phương trình Schrửdinger

2 2

2 2

 (x) 2m2 (EU)(x)0

 (1.46) với 0  x  a Xét trường hợp E < U0 Đặt k12

Từ trên ta có nghiệm sau:

I(x) =eik1 x

+Ae-ik1 x

x < 0 (1.49) II (x) =Bek2 x

+Cek2 x

0  x  a (1.50) III (x) =Deik1 x

aikexpkik4

2 2

2 1 2

2 2 1

1 2

định hệ số truyền qua T của hạt đi qua rào:

T = D =2 exp 2k a

kk

kk16

2 2

2 2 1

2 2 2

kk16

0 2

2 2 1

2 2 2 1

Vì vậy có thể chia rào thế này thành vô số rào thế nhỏ hình chữ nhật,mỗi cái

có bề rộng x và chiều cao U(x).Hệ số truyền qua rào thế bằng tích các hệ số truyền qua các rào thế nhỏ



CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU TRONG CÁC HIỆU

L

(H.11) Gọi d là khoảng cách giữa các nút mạng lân cận (d còn được gọi là hằng số mạng) Do tính đối xứng tịnh tiến của mạng nên thế năng U(x) của điện tử là hàm tuần hoàn với chu kỳ d

Tại vùng biên( Tức bề mặt) tinh thể, tính tuần hoàn của mạng sẽ bị vi phạm Do đó

để đảm bảo tính đối xứng tịnh tiến cho mạngngười ta giả thiết rằng do số nút mạng (N) vô cùng lớn, nên sự thay đổi của thế U(x) tại vúng biên không ảnh hưởng gì đến trạng thái của các điện tử bên trong mạng Cũng có thể hình dung rằng: vừa thoát khỏi mặt này của tinh thể, điện tử lập tức trở lại tinh thể ở mặt đối diện

2



Trong đó thế U(x) thoả mãn (2.1)

Trước hết ta xét trường hợp tinh thể rất yếu có thể xem như điện tử chuyển động tự

do ở giới hạn này ta có phương trình Schrửdinger cho điện tử

 

)x(Edx

xdm

k 2 2

pm2

kE

Ae)x(

2 2 2 k ikx

Trong đó pklà xung lượng của điện tử chúng ta đã biết chúng biết chuyển động tự do năng lương Ek nhận các giá trị liên tục và hàm sóng là sóng phẳng De Broglie

Bây giờ ta xét chuyển động của điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể Do thế của điện tử phụ thuộc vào x (U = U(x)) nên toán tử xung lượng

dx

di

p của điện tử không giao hoán với Hamilton nửa và vì vậy xung lượng của điện tử không được bảo toàn Trạng thái điện tử lúc này không thể

mô tả bởi sóng phẳng De Broglie (2.3) mà chỉ có thể biểu diễn dưới dạng chồng chất của những sóng này với các giá trị k khác nhau Để tìm hàm riêng Hamilton (2.2) trước hết ta sử dụng toán tử dịch chuyển T(d)



được định nghĩa:

)dx(f)x(fd(

Từ tính tuần hoàn của thế U(x) ta có:

0H),d(

Nghĩa là hàm T(d)(x)= (xd) cũng là hàm riêng của



H với cùng trị riêng E Trong trường hợp nếu trị riêng E không suy biến thì hai hàm T(d)(x) và (x)chỉ có thể sai khác nhau một hằng số:

)x()

x + d(x)

1)d( 2 



phải thoả mãn hệ thức

)d()d( 1  2

 =(d1 d2)

Suy ra (d)phải có dạng hàm mũ:

)d(

 =e (kikd R) (2.8) Như vậy, do tính tuần hoàn của thế năng U(x) hàm sóng điện tử phải có dạng:

)x(e)dx(   ikd

(2.9) là nội dung của định lý Bloch: “với mọi hàm riêng (x)của toán tử Hamilton (2.2) luôn tồn tại giá trị k sao cho khi tịnh tiến mạng một đoạn d thì hàm sóng này được nhân với thừa số pha ikd

e ” Trong trường hợp tổng quát, định lý Bloch được thoả mãn nếu hàm sóng điện tử có dạng:

ikd k

ikd k

ikd ikx k

) d x ( ik k

k(xd)U (xd)e U (x)e e  (x)e

Hàm sóng (2.10) cũng gọi là hàm Bloch Vây có thể phát biểu định lý Bloch như sau: “Hàm sóng điện tử trong trường tuần hoàn là hàm Bloch” Nó có dạng tích của sóng phẳng exp(ikx) với hàm tuần hoàn Uk(x) Thừa số thứ hai này có tác dụng biến điệu sóng phẳng theo chu kỳ mạng tinh thể

nếu a  x  d=a+b

U > (0) U < (d)

II Mô hình kronig-Penney

Mô hình Kronig-Penney được mô tả như hình vẽ (H.12)

U(x)

IV Giải thích cấu trúc vùng năng lượng

1 Giải phương trình Schrửdinger

Bên trong giếng thế( 0xa) phương trình Schrửdinger có nghiệm:

x ik x

ik I

1

1 BeAe

)x

ik II

2

2 DeCe

)x

2 0 2

2

)UE(m2k

Từ điều kiện liên tục của hàm số (x) suy ra hàm tuần hoàn U(x) và đạo hàm U‟(x) cũng phải liên tục

)d(U)0(U

(2.15)

Từ (2.10) ta được:

U(x) = (x)e-ikx suy ra U‟(x) = '(x)e-ikx- ikU(x) (2.16)

Ta viết lại điều kiện liên tục (2.15) ikd

e)d(')0('  

k1(A-B) = k2e ikd(Ceik2d De ik2d) (2.19) Tương tự, đối với hàm (x) và '(x)liên tục tại điểm x = a ta thu đươc 2 phương trình:

a ik a

ik a

ik a

DeCe

Be

)DeCe

(k)Bee

(

k1 ik1a  ik1a  2 ik2a  ik2a (2.21) Như vậy, ta thu được hệ phương trình 4 ẩn số Ta đi tìm nhứng giá trị khả dĩ của năng lượng điện tử trong mô hình ta xét, bằng việc giải hệ phương trình trên Sau một số biến đổi toán học ta thu được phương trình sau đây cho trường hợp

E > U0

cosk1a cosk2b -

2 1

2 2 2 1

kk2

k

k 

sink1a sink2b = coskd

(2.22)

2 0 2

2 2 1

mU2kk





(2.23)

Việc tính toán hoàn toàn tương tự đối với trường hợp E < U0 Bằng cách sử dụng

công thức trên và thay ik2 = k với k2

kk

1 1

2 2

2 0 2

2 1

mU2kk

Trước hết ta dựng đồ thị hàm F(E), sau đó cho trước giá trị của kd, ta tính được f(kd) rồi vẽ đường thẳng f(kd) tương ứng song song với trục hoành Từ giao điểm của đường thẳng này với đường F(E) ta hạ đường thẳng vuông góc xuống trục hoành rồi xác định nghiệm E(k) ứng với giá trị (kd) đã chọn Những giá trị E này được mô tả bởi những đoạn nhỏ thẳng đứng trên (H.13) Một lần nữa ta đi đến kết luận: Phổ năng lương của điện tử bị gián đoạn

Tuy vậy, phổ năng lượng trong mô hình này có tính chất đặc biệt khác với phổ năng lượng trong mô hình giếng thế đơn đã xét ở mục trước Thật vậy, do

1

kd

cos  nên vế trái F(E) của các phương trình (2.22), (2.25) bị giới hạn trong