Shape và không gian co rút cơ bản tuyệt đối, không gian co rút lân cận cơ bản tuyệt đối

Rõ ràng rằng mỗi không gian X là một cái co rút của chính nó và phép co rút ở đây là ánh xạ đồng nhất trên X.. là co rút lân cận trong không gian X nếu X 0 là một cái co rút của một tập

lời nói đầu

Lý thuyết co rút là một bộ phận của lý thuyết Tôpô vô hạn chiều, một trong những h-ớng quan tâm của Giải tích hàm Trong luận văn này tác giả trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản về lý thuyết Shape, đồng thời chứng minh một số tính chất, định lý ch-a đ-ợc chứng minh trong các tài liệu đã đọc

Nội dung luận văn đ-ợc chia làm 3 ch-ơng:

Ch-ơng I Những khái niệm và kiến thức cơ bản

1 Corút và các tính chất cơ bản

2 Nhúng không gian metric vào không gian định chuẩn

3 AR, ANR – không gian và các tính chất

Ch-ơng II Dãy cơ bản, t-ơng đ-ơng cơ bản và khái niệm Shape

1 Dãy cơ bản

2 Dãy cơ bản trong không gian metric

3 T-ơng đ-ơng cơ bản, làm trội cơ bản, khái niệm shape Ch-ơng III Co rút cơ bản tuyệt đối và co rút lân cận cơ bản tuyệt

đối

1 Co rút cơ bản

2 Co rút biến dạng cơ bản

3 Co rút cơ bản tuyệt đối và co rút lân cận cơ bản tuyệt đối

4 Tích các FAR, FANR – không gian

5. Hợp của hai FAR, FANR – không gian

Luận văn đ-ợc thực hiện d-ới sự h-ớng dẫn tận tình, chu đáo của Thầy giáo Tiến sĩ Tạ Khắc C- Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo trong

Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Khối THPT chuyên Toán-Tin tr-ờng Đại học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu

Luận văn chắc chắn còn có khiếm khuyết xin các độc giả đóng góp, xây dựng

Xin chân thành cảm ơn

Tác giả

1.1 Định nghĩa: Giả sử A là một tập hợp con của không gian

tôpô X Nếu ánh xạ đồng nhất id: A  A có một thác triển r: X  A

đ-ợc gọi là một cái co rút của X lên A Kí hiệu r: X  A

Nói khác đi, một phép co rút của không gian X lên không gian con A của X là một ánh xạ r: X  A sao cho r(a) = a với mọi a  A

Rõ ràng rằng mỗi không gian X là một cái co rút của chính nó và phép co rút ở đây là ánh xạ đồng nhất trên X Ngoài ra, nếu không gian con A chỉ gồm một điểm a thì ánh xạ duy nhất f : X  A cho bởi f(x) = a với mọi x  X là một phép co rút Vậy nếu không gian chỉ gồm một điểm của X thì là một cái co rút của X Ta xét các ví dụ

khác không tầm th-ờng

E n của không gian Euclide R n Gọi X là không gian nhận đ-ợc từ E n bằng cách bỏ đi một điểm trong, và không mất tổng quát, ta giả sử

rằng bỏ đi điểm gốc O Khi đó S n-1 là cái co rút của x Thật vậy, ta

có phép rút r : X S n-1 đ-ợc xác định bởi

r(x) =  x x1 ,x x2 , x x n 

với mọi x = (x 1 , x 2 x n) X, ở đây x là một khoảng cách từ x tới

điểm gốc Với mỗi x  S n-1 Ta có x = 1 do đó

r(x) = (x 1 , x 2 , , x n ) = x sau này ta sẽ thấy S n-1 không là co rút của E n

2) Gọi E n-1 là hình cấu đơn vị n- chiều trong không gian Euclide

E x với x r(x)

thì r: Rn  E n là một phép co rút Thật vậy, rõ ràng r(x) = x với mọi x  E n và r liên tục trên E n và rõ ràng trên R n\E n Ta chỉ cần

chứng tỏ rằng r liên tục trên mặt cầu (n - 1) - chiều S n-1 là biên của

E n Giả sử { x k } là một dãy trong R n và x k  x  R n khi k   Với những x k mà x k  Rn \ E n ta có

1

x = r(x)

Vậy trong cả hai tr-ờng hợp f(x k ) x = r(x), tức r liên tục

là co rút lân cận trong không gian X nếu X 0 là một cái co rút của một tập mở nào đó chứa X 0 trong không gian X

Rõ ràng rằng mỗi co rút của X cũng là co rút lân cận của X

định bởi hệ thức  x R n: x 1.Khi đóta đặt

r(x) =

x

x với mọi điểm x  R n \ (0) , ta nhận thấy đ-ợc

phép co rút r: Rn\ (0)  S n-1 là một co rút lân cận của R n Tuy

nhiên nh- ta đã thấy S n-1 không là co rút của R n

1.5.Định nghĩa Hai ánh xạ g,h : X  Y đ-ợc gọi là một đồng luân nếu tồn tại ánh xạ f t : I  X  Y sao cho f 0 = g và f 1 = h ở đây

I = [1, 0]

Ta để ý rằng quan hệ "g đồng luân với h" là một quan hệ t-ơng Do

đó tập các ánh xạ f: X Y đ-ợc phân thành các lớp đồng luân ánh xạ f t trong định nghĩa trên đ-ợc gọi là ánh xạ đồng luân nối g với h

nếu có một đồng luân f t nối ánh xạ g = id x với ánh xạ h: X A sao cho

ánh xạ r : X  A đ-ợc xác định bởi công thức

r(x) = h(x) với mọi x  X

là một phép co rút của X lên A Nói rõ hơn, tập con A  X đ-ợc gọi là

co rút biến dạng của X nếu tồn tại một ánh xạ f t : I X  A sao cho

f 0 = id và f 1 = h đồng thời h: X  A là một phép co rút của X lên A

2 nhúng không gian metric vào không gian

2.1.Định lý.(Định lí Dugundji) Giả sử A là một tập con đóng của

không gian metric X và Y là không gian lồi địa ph-ơng Với mỗi ánh xạ

f : A Y, tồn tại một thác triển liên tục f * : X  Y của f Hơn nữa tất cả các giá trị của f * có thể lấy trong bao lồi conv(f(A)) của tập f(A)

Chứng minh G M là phủ chính tắc của tập X \ A Ta hãy chọn trong mỗi tập G một điểm x và cho t-ơng ứng nó với điểm a A sao

ta thấy rằng nếu x  X \ A, thì các số (x) bằng 0 tất cả chỉ trừ ra một số

hữu hạn các chỉ số  M Vậy thì nếu ta đặt

G Gn Khi đó với mỗi x  U thì (x) chỉ có thể không triệt tiêu

nếu  = i với i nào đó mà 1 < i < n

Do mỗi một trong số các hàm 1 n phụ thuộc liên tục vào x nên

ta suy ra rằng f * liên tục tại tất cả các điểm của X \ A Hơn nữa, rõ ràng rằng f * liên tục tại tất cả các điểm trong của A Vậy thì ta chỉ cần phải kiểm tra tính liên tục của f * với những điểm p  A  X \ Nh- vậy, A nếu V là một lân cận của f * (p) = f(p) trong Y, thì ta có thể tìm đ-ợc một lân cận U 0 của p trong X sao cho f * (U 0)  V Không mất tổng quát, ta có thể giả thiết rằng V là lồi do không gian X lồi địa ph-ơng

Gọi K() là hình cầu mở trong X với tâm p và bán kính  Do f liên tục trong A, nên tồn tại số d-ơng  sao cho

đó việc chứng minh f * liên tục đã hoàn thành.

Để áp dụng định lý Dugudji cho lý thuyết thác triển ánh xạ với giá trị trong không gian metric tuỳ ý, ta có định lý sau đây của Kuratowski - wojdyslawski cho phép nhúng đồng phôi mỗi không gian metric vào không gian định chuẩn Khi đó ảnh đồng phôi không gian metric cho tr-ớc trở thành tập đóng trong bao lồi của ảnh đó trong một không gian

định chuẩn thích hợp

2.2.Định lý (Định lý Kuratowski – Wojdyslawski) Với mỗi không

gian metric X, tồn tại một không gian định chuẩn Z và một đồng phôi của X lên một tập con h(x) của Z mà nó là đóng trong bao lồi của nó conv (h(X ))

Chứng minh Nếu  là một metric trên không gian X, ta đặt

'(x,y) =

),(1

),(

y x

y x





 với mọi x, y  X

Khi đó  cũng là một metric trên tập X và với metric này, không gian

X có đ-ờng kính bé hơn hoặc bằng 1.Ta xét tập Z gồm tất cả các hàm thức bị chặn xác định trên X Ta đặt

(f 1 , f 2) =

X

xsup  f 1 (x) - f 2 (x)  f 1 , f 2  Z

và  f  =

X

xsup  f(x)  với mọi x  Z

Khi đó ta thấy rằng Z với phép toán cộng và nhân một vô h-ớng với

hàm theo điểm là một không gian tuyến tính định chuẩn

Để xác định một đồng phôi h: X h(X)  Z ta định nghĩa hàm f(x) liên kết với x  X theo công thức f x (y) = (x,y) và ta đặt h(x) = f x với mỗi

Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng các a i là khác nhau

và có một i nào đó, chẳng hạn 0, thoả mãn điều kiện 0 1/(k+1)

Vậy định lý đã đ-ợc chứng minh đầy đủ.

2.3.Hệ quả Giả sử A là một tập con đóng của một không gian metric

X và giả sử f là một ánh xạ của A vào không gian metric Y Khi đó có một đồng phôi h của Y lên một tập con đóng h(Y) của không gian metric

Z sao cho ánh xạ hợp thành h f: A Z có một thác triển liên tục

g: X  Z

Chứng minh Một cách đơn giản ta chỉ cần lấy Z là bao lồi conv(h(Y)) trong không gian tuyến tính định chuẩn X nh- trên trong định lý và sau

đó chỉ cần áp dụng định lý Dugudji.

3 AR , ANR - không gian và các tính chất

Từ bây giờ trở đi ta xét các không gian tôpô Hausdorff đặc biệt, đó là

các không gian metric

3.1.Định nghĩa Một không gian X đ-ợc gọi là co rút tuyệt đối nếu

với mỗi đồng phôi h ánh xạ từ X lên một tập con đóng h(X) của một không gian metric Y, thì h(X) là một co rút của Y và kí hiệu X  AR hoặc nói rằng X là một AR - không gian

T-ơng tự, một không gian X đ-ợc gọi là co rút lân cận truyệt đối và

kí hiệu X  ANR hoặc nói rằng X là một ANR - không gian nếu với mỗi

đồng phôi h ánh xạ từ X lên một tập con đóng h(X) của một không gian metric Y, thì h(X) là một co rút lân cận của Y

Rõ ràng rằng nếu X  AR thì X  ANR

3.2.Định lý Giả sử X là một tập con đóng của một không gian metric

X' Nếu X  AR, thì mỗi ánh xạ f : X  Y có một thác triển liên tục

f * : X'  Y Nếu X  ANR thì có một lân cận U của X trong X' sao cho mỗi ánh xạ f : X  Y có một thác triển f * : U Y

Chứng minh ánh xạ nhúng i: X X' là một phép đồng phôi Do đó

X  AR kéo theo rằng tồn tại một co rút r : X' i(X) = X khi đặt

f * = f r ta nhận đ-ợc thác triển mong muốn

Ngoài ra nếu X  ANR thì tồn tại một co rút r của một lân cận U của

X (trong không gian X') vào X

3.3 Định lý Giả sử rằng không gian metric X là hợp của hai không

gian X 1 và X 2 và giả sử X 0 = X 1  X 2 Khi đó

(i) Nếu X 0 X 1 X 2  AR thì X  AR

(ii) Nếu X 0 X 1 X 2  ANR thì X  ANR

(iii) Nếu X 0 X  AR thì X 1 X 2  AR

(iv) Nếu X 0 X  ANR thì X 1 X 2  ANR

3.4Bổ đề X n là một dãyGiả sử rằng y các không gian metric Khi đó

tích Descarte X =

 1

n n

)'.(2

n n

n n n n

X X

X X

n = 1, 2, 3….

3.5 Định lý Tích Descarte X =

 1

n n

X là một ANR - không gian nếu

và chỉ nếu mỗi X n ANR và hầu hết các X n  AR

Ch-ơng  DãY Cơ BảN, TƯƠNG đ-ơng CƠ BảN Và KHáI

đ-ợc gọi là dãy cơ bản từ X vào Y nếu đối với mỗi lân cận V của Y trong

N, tồn tại lân cận U của X trong M sao cho

f k / U  fk+1/U trong V, với hầu hết k

Điều đó nghĩa là tồn tại đồng luân

k : U 0,1 V sao cho

k (x,0) = f k (x), k (x,1) = k+1 (x) với mọi x  U

Dãy cơ bản này đ-ợc ký hiệu là F = f k , X, YM, N hoặc đơn giản là F

Ta nói dãy cơ bản F = f k , X, YM, N đ-ợc sinh bởi ánh xạ f : X  Y nếu f k (x) = f(x), với mọi x  X, k = 1, 2, 3…

1.2 Nhận xét Bởi vì N là AR – không gian nên đối với mỗi ánh xạ

liên tục f : X  Y, tồn tại ánh xạ f * : M  N ( thác triển của f) sao cho

f*(x) = f(x),  x  X Khi đó, đặt

f k = f, * với mọi k = 1, 2, 3…

thì ta đ-ợc dãy cơ bản sinh ra bởi f

Đặc biệt dãy cơ bản i k , X, XM, M với i k = i M là ánh xạ đơn vị trên X

đ-ợc sinh bởi ánh xạ đơn vị i X đ-ợc gọi là dãy đơn vị cơ bản của X và ký hiệu I X, M hoặc I X Với b  Y ta đặt

b k (x) = b với mọi x  M và mọi k = 1, 2, 3…

khi đó ta nhận đ-ợc dãy cơ bản b k , X, YM, N đ-ợc gọi là dãy cơ bản hằng

1.3 Định nghĩa Hai dãy cơ bản

Dễ thấy rằng quan hệ đồng luân có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu

Điều đó có nghĩa là quan hệ đồng luân là quan hệ t-ơng đ-ơng Và do

đó quan hệ đồng luân phân chia các dãy cơ bản thành những lớp đôi một không giao nhau Những lớp đó đ-ợc gọi là những lớp cơ bản, lớp cơ bản

với đại diện là dãy cơ bản F đ-ợc viết là [F] : X  Y

1.4 Nhận xét Nếu cho một dãy cơ bản F = f k , X, YM, N , thì dãy cơ

bản F’ =f n k , X, YM, N là dãy cơ bản đồng luân với F

1.5 Định nghĩa Hai dãy cơ bản

F = f k , X, YM, N và G = g k , X, YM, N

đ-ợc gọi là liên hợp với nhau nếu

f k (x) = g k (x) , x  X và mọi k = 1, 2, 3…

Ta dễ thấy F liên hợp với G thì F đồng luân với G

1.6 Định lý Giả sử X, Y là hai không gian metric compact nằm trong

các AR – không gian M, N Hai dãy cơ bản

F = f k , X, YM, N và G = g k , X, YM, N

đồng luân với nhau khi và chỉ khi tồn tại dãy cơ bản

 = k , X 0,1, YM x [0,1], N

f’ k (x) = k (x,0); g’ k = k (x,1) với mọi x  M và mọi k = 1, 2, 3…

Ta nhận đ-ợc hai dãy ánh xạ f’ k và g’ k từ M vào N sao cho

f’ k (x) = f k (x) và g’ k (x) = g k (x) với mọi x  X và mọi k = 1, 2, 3…

Ta chỉ ra rằng f’ k , X, YM, N và g’ k , X, YM, N là các dãy cơ bản đồng

luân Xét lân cận V của không gian compact Y trong N, vì cơ bản nên

tồn tại lân cận W của X 0,1 trong M 0,1 sao cho với k 0 nào đó thì

k / Wk0 / W trong V , với mọi k  k 0

Rõ ràng tồn tại lân cận U của X trong M sao cho U 0,1 đ-ợc chứa trong W

Đặt

’ k (x,t) = k (x,t) , với mọi (x, t)  U 0,1 , mọi k = 1, 2, 3… chúng ta nhận đ-ợc với mỗi k  k 0 một đồng luân ’ k : U  0,1  V nối ánh xạ f’ k / U và g’ k /U nghĩa là f’ k / U  g’ k / U trong V với mọi k  k 0 Bởi vì U 0,1  W , nên ta có

với F và G’ đồng luân với G nên F đồng luân với G

Bây giờ ta giả sử F đồng luân với G Vì Y compact nên tồn tại dãy

V 1 = N V 2 V 3 …

các lân cận compact của Y trong N hội tụ về Y, và rõ ràng ta có thể chọn

đ-ợc dãy

U 1 U 2 U 3 …

các lân cận đóng của X – compact trong N sao cho

f m / Uk  f m+1/kU  gm/Uk trong V với mọi k

Ta giả thiết m 1 = 1, vì V 1 = N mà N là AR – không gian nên suy ra rằng đối với mỗi m tồn tại k thoả mãn m k  m  m k+1 và họ đồng luân

m : U k0,1  V k

sao cho

m (x,0) = f m (x), m (x,1) = g m (x) với mọi x  U k (1.5.1) Vì N là AR - không gian nên có thể thác triển m thành

m (x,t) = f m (x) với mọi (x,t)  (M\U k) 0,1 (1.5.4)

Còn lại ta phải chứng minh rằng dãy m , X  0,1, Y  M x [0,1], N là

dãy cơ bản Với m = 1, 2, 3…ta đặt

Với

m ((x,t),s) = *

(x, m (x).(1-s).t) = *

m (x, 0) = f * m (x,t) với mọi (x,t)  (M\U k) 0,1

Thế nh-ng với m  m k+1 thì tìm đ-ợc l > k sao cho m l  m  m l+1 Khi đó

m ((x,t),s) = m (x, m (x).(1-s).t)  V l  V k ,với mọi (x,t)  U l0,1

Còn nếu x  U k \ U l  M\U m thì

m ((x,t),s) = *

m (x, 0) = f m (x)  V k Bằng cách đó chúng ta thấy rằng với m  m k thì giá trị của họ đồng luân m / Uk x  0,1  thuộc vào V k Vì

f * m / Uk x  0,1   f * m+1 / Uk x  0,1  trong V m với mọi m  m k

Suy ra

m / Uk x  0,1   m+1 / Uk x  0,1  trong V m với mọi m  m k

Bởi vì U k là lân cận của X trong M nên dãy

m , X 0,1, Y  M x [0,1], N

là dãy cơ bản

Cuối cùng từ (1.4.1) chúng ta có

m (x,0) = f m (x), m (x,1) = g m (x) với mọi x  X và m = 1, 2,3…

Nh- vậy dãy m , X 0,1, Y  M x [0,1], N thoả mãn định lý 

2 Dãy cơ bản trong không gian metric

Khái niệm dãy cơ bản có thể định nghĩa cho các không gian metric tuỳ ý không nhất thiết phải là không gian metric compact

Giả sử X, Y là hai không gian metric Theo định lý Kuratowski - Wojdyslawski ta có thể xem X, Y lần l-ợt đóng trong các AR - không gian M, N

2.1 Định nghĩa Dãy các ánh xạ f k từ M vào N đ-ợc gọi là dãy cơ bản (theo nghĩa rộng) từ X vào Y trong M, N nếu đối với mỗi tập con

đóng A trong X, tồn tại tập con đóng B trong Y và B compact nếu A compact, sao cho với mỗi lân cận V của B trong N, tìm đ-ợc lân cận U của A trong N và số k 0 sao cho

f k / U  f k0 / U trong V với mọi k  k 0

Nh- tr-ớc đây ta ký hiệu F = f k , X, YM, N là dãy cơ bản

2.2.Định nghĩa: Cho F = f k , X, YM, N và G = g k , X, YM, N là hai

dãy cơ bản (theo nghĩa rộng) Ta nói F đồng luân với G và viết F  G

nếu đối với mỗi tập con đóng A trong X , tồn tại tập con đóng B trong Y sao cho với mỗi lân cận V của B trong N tồn tại lân cận U của A trong M

sao cho

f k / U  g k / U trong V với mọi k = 1, 2, 3…

2.3.Định nghĩa Họ tất cả các dãy cơ bản đồng luân với dãy cơ bản

F = f k , X, YM, N đ-ợc gọi là lớp cơ bản với đại diện F

3 T-ơng đ-ơng cơ bản, làm trội cơ bản, khái

niệm shape

3.1.Định nghĩa: Hai không gian X, Y đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng đồng

luân nếu tồn tại ánh xạ f: X  Y và g: Y  X sao cho

3.3 Định nghĩa.Giả sử X, Y lần l-ợt là các tập con đóng của các AR –

không gian M, N Ta nói X, Y là t-ơng đ-ơng cơ bản đối với M, N nếu tồn tại các dãy cơ bản F từ X vào Y trong M, N và G từ Y vào X trong N,

M sao cho G F  I X,M ; F G  I Y,N .